不定积分的基本公式和直接积分法

不定积分的基本公式和

直接积分法

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第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined

Integral and Direct Integral）

课题：1.不定积分的基本公式

2.不定积分的直接积分法

课堂类型：讲授

教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。

教学重点：不定积分的基本公式

教学难点: 直接积分法

教具：多媒体课件

教学方法：

教学内容：

一、不定积分的基本公式

由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 二、不定积分的直接积分法

利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。

例１ 求32x dx ⎰

解 313

3

3

41

2222312

x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰

导数的基本公式 (

)122

2()0

1

()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1

(arctan )1(arccos )1

(cot )1x x x x C x x x

e e a a a x x x x

x x x x

x x

x x x

x x x x x x x arc x αα

α+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=

+'='=-+2

1

(log )ln a x x x a '= 不定积分的基本公式 (

)12

2

2

011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x

x x

dx C

dx x C x x dx C a e dx e C a a dx C a dx

x C x xdx x C xdx x C xdx x C

xdx x C x xdx x C x xdx x C x C dx x C x

αα

α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11

log ln a x C

dx

x C x dx x C x a =-+=-++=+⎰⎰⎰

例２

求(23cos x x dx -+⎰ 解

(

3

2

3

22

233233cos 3cos 3sin 5310sin 3

x

x dx x dx xdx x x x C

x x x C -+=-+=⨯-++=-+

+⎰⎰⎰⎰

例３ 求dx x

x ⎰-2

3

)1( 解

C

x x x x C

x x dx

x

x x dx x

x x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1

||ln 332 310

72 )1

33( 1

33)1(223

27222323 例４ 求22

1

sin cos dx x x

⎰ 解

22222222221sin cos 11

sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C

+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

例５ 求2x x e dx ⎰ 解 ()

()()

2222ln 21ln 2

x

x

x

x x e e e dx e dx C C e

==

+=

++⎰⎰

例６ 求2

sin 2

x dx ⎰

解 2

1cos sin 22x x

-=

21cos 11sin sin 2222

x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例７ 求()

22

1dx

x x +⎰ 解

()

2222

111

11x x x x =-++ ()22222211

1111111

arctan dx dx dx dx x x x x x x x C

x

⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭

=--+⎰⎰⎰⎰

例８ 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时，物体经过的路程为3m ，求物体的运动方程。 解 设物体的运动方程为()x x t =

于是有 ()221x t v t '==+

()()232

213

x t t dt t t C =+=++⎰

由已知条件1t s =时，3x m =，代入上式得

2431,33

C C =++=即

所以物体的运动方程为()324

33

x t t t =++