数值分析第五版课后答案解析
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？ 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知， 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) ， 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
数值分析第五版课后答案2篇
数值分析第五版课后答案2篇数值分析第五版课后答案（一）第一章1.1 机器精度的数值为2^-52 ≈2.22 × 10^-16。
1.2 Example 1.2设f(x) = (1 - cosx)/sinx，则f(0)的分母为0，无法进行数值计算。
1.3 Example 1.3设f(x) = (1 - cosx)/sinx，则f(0)的分子为0，因此有f(0) = 0。
1.4 Example 1.4(a) 将x的值从1.8改为1.799，则f(x)的值由-0.000000000000159为0.000000000000313，差值为0.000000000000472。
(b) 我们有f'(x) = sinx/(1 - cosx) - 1/sin^2x。
将x的值从1.8改为1.799，利用f(x)和f'(x)的值可以得到下面的近似式：f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx = -0.000000000000159 + 0.449787416887455×0.001 = -0.000000000000137。
与(a)中的结果相近。
1.5 Example 1.5(a) 当x很接近于0时，函数值的符号取决于cosx的符号，其中cosx接近于1。
因此，函数值为正。
(b) 当x很接近于π时，函数值的大小趋于无穷大，因为分母趋向于0，而分子不为0。
1.6 Example 1.6(a) 因为函数在x = 0处是奇函数，所以它的导数为偶函数。
(b) 首先，我们有f''(0) = -2，因此x = 0是最大值。
其次，我们有f''(x) = -2 - 8sin^2x。
由于-f''(x)在x = 0处是正的，我们有当x越接近0时，f''(x)越小，也就意味着函数在x = 0处是严格的最大值。
1.7 Example 1.7(a) 我们有f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6，f'(x) =3x^2 - 4x - 5和f''(x) = 6x - 4。
数值分析第五版习题答案全部清华大学出版社
6
12．计算 f ( 2 1) ，取 2 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
1 , ( 2 1) 6
(3 2 2) 3 ,
6
1 ， 99 70 2 。 (3 2 2) 3
解：设 y ( x 1) ， 若x 若通过
若通过 (3 2 2) 计算 y 值，则
3
y * (3 2x* )2 x* 6 y * x* * 3 2x y * x*
若通过
1 计算 y 值，则 (3 2 2) 3 1 x* * 4 (3 2 x )
1 1 1 10 4 10 3 10 3 2 2 2 3 1.05 10
* * * (2) ( x1 x2 x3 ) * * * * * * * * * x1 x2 ( x3 ) x2 x3 ( x1 ) x1 x3 ( x2 )
1 1 1 1.1021 0.031 10 1 0.031 385.6 10 4 1.1021 385.6 10 3 2 2 2 0.215
* * * *
*
*
*
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*
*
1 ( x1* ) 10 4 2 1 * ( x2 ) 10 3 2 1 * ( x3 ) 10 1 2 1 * ( x4 ) 10 3 2 1 * ( x5 ) 10 1 2
* * * (1) ( x1 x2 x4 ) * * * ( x1 ) ( x2 ) ( x4 )
解： y0
2 1.41
1 ( y0 *) 10 2 2
又 yn 10 yn 1 1
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案
数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。
解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。
对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。
选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。
迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。
b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。
解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。
矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。
c) 使用插值方法求解函数的近似值。
解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。
其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。
对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。
课后习题二：a) 解决数值积分问题。
解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。
b) 使用迭代方法求解线性方程组。
解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1 •设x 0,x 的相对误差为 解：近似值x *的相对误差为 而In x 的误差为e In x*进而有 (In x*)2 .设x 的相对误差为2%， xf'(x) 解：设f(x) x n ，则函数的条件数为 C p | | f (x)n 1 x nx n 1又Q f '(x) nx , C p || n n 又Q r ((x*) n) C p r (x*)且 e r (x*)为 2r ((x*)n ) 0.02 n3 •下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字： x ；1.1021, x ； 0.031 , x ； 385.6, x ； 56.430, x ； 7 1.0. 解：x * 1.1021是五位有效数字；x 20.031是二位有效数字； x 3 385.6是四位有效数字；x ； 56.430是五位有效数字；x ； 7 1.0.是二位有效数字。
4 .利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x ： x 2 x ； ,(2) X ；X ；X 3,(3) X 2/X；. 其中x *,x 2,x 3,x 4均为第3题所给的数。
解:，求In x 的误差。
* e* x* x =e r x* x* 1 In x* In x e* x* 求x n 的相对误差。
1(X 1) 2 10* 1 ,亠 3(X 2) 2 10* 1 1(X 3) 2 10* 1 ,亠 3(X 4) 2 10* 1 1(X 5)102(2) (x ；x ；x ；)* * *X 1X 2 (X 3) 0.2154 3解：球体体积为V — R 3 3则何种函数的条件数为r (V*) C p 9r (R*) 3 r (R*)(1) (x ； * (X 1 ) 1 10 2 1.05 10 * *X 2 X 4)*(X 2) 4 12310 (X 4)3 1.1021 0.031 10 1 1 0.031 385.6 - 104 1.1021 385.610 0.031 13 1 310 3 56.430 10 32 2 10 556.430 56.430 * I * * *X 2I (X 4) X 4 (X 2) nX 45计算球体积要使相对误差限为 C p 啓X 2X 3 * * *X 1X 3 (x 2)1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?1 1又 Q r (V*) 1%1A 6 •设 Y o 28，按递推公式 Y n Y i 1.783 (n=1,2,…) 100 1 _____解：QY n Y n 1 ——冠100 1 ____ 783100故 x 1 28 ,783 28 27.982 55.982人具有5位有效数字x 2 28 、、783 ——1. 28 V783 28 27.9821 210 .设S -gt 2，假定g 是准确的，而对t 的测量有 0.1秒的误差，证明当t 增加时S 的故方程的根应为 x-(,2 28 J783故度量半径R 时允许的相对误差限为?????）=存他= 1 300 计算到Y 00。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12）之阳早格格创做1、设0>x ，x 的相对付缺面为δ，供x ln 的缺面.[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对付缺面为δε=)(*x r ，千万于缺面为**)(x x δε=，进而xln 的缺面为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对付缺面为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==.2、设x 的相对付缺面为2%，供n x 的相对付缺面.[解]设*x 为x 的近似值，则有相对付缺面为%2)(*=x r ε，千万于缺面为**%2)(x x =ε，进而nx 的缺面为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对付缺面为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε.3、下列各数皆是通过四舍五进得到的近似数，即缺面不超出末尾一位的半个单位，试指出它们是几位灵验数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x .[解]1021.1*1=x 有5位灵验数字；0031.0*2=x 有2位灵验数字；6.385*3=x 有4位灵验数字；430.56*4=x 有5位灵验数字；0.17*5⨯=x 有2位灵验数字.4、利用公式（3.3）供下列各近似值的缺面限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数.（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x . [解]53232323*42*4*2*2*41***4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=⨯≈⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∑x x x x x x x f x x e n k k kεεε. 5、预计球体积要使相对付缺面限为1%，问度量半径R 允许的相对付缺面是几？ [解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1R R R r ππεπε==可知，)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=， 进而***31%1)(R R ⨯=ε，故300131%1)()(*****=⨯==RR R r εε.6、设280=Y ，按递推公式),2,1(78310011 =-=-n Y Y n n 预计到100Y ，若与982.27783≈（五位灵验数字，）试问预计100Y 将有多大缺面？[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，而且由982.2710011⨯-=-n n Y Y ，78310011⨯-=-n n Y Y 可知， )783982.27(100111-⨯--=---n n n n Y Y Y Y ，即=-⨯-=-⨯-=--)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，进而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，而31021982.27783-⨯≤-，所以3100*1021)(-⨯=Y ε. 7、供圆程01562=+-x x 的二个根，使它起码具备四位灵验数字（982.27783≈）[解]由78328±=x 与982.27783≈（五位灵验数字）可知，982.55982.2728783281=+=+=x （五位灵验数字）.而018.0982.2728783282=-=-=x ，惟有二位灵验数字，不切合题意.然而是22107863.1982.55178328178328-⨯==+=-=x .8、当N 充分大时，何如供⎰++1211N N dx x？ [解]果为N N dx xN Narctan )1arctan(1112-+=+⎰+，当N 充分大时为二个相近数相减，设)1arctan(+=N α，N arctan =β，则αtan 1=+N ，βtan =N ，进而11)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=-N N N N N N βαβαβα，果此11arctan 11212++=-=+⎰+N N dx x N Nβα. 9、正圆形的边少约莫为100cm ，应何如丈量才搞使其里积缺面不超出12cm ?[解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知，若央供1))((2**=l ε，则2001100212))(()(*2****=⨯==l l l εε，即边少应谦脚2001100±=l .10、设221gt S =，假定g 是准确的，而对付t 的丈量有1.0±秒的缺面，道明当t 减少时S 的千万于缺面减少，而相对付缺面却缩小.[道明]果为******1.0)()()()(gt t gt t dtdS S ===εεε，***2******51)(2)(21)()()(t t t t g t gt S S S r====εεεε，所以得证.11、序列{}n y 谦脚递推闭系),2,1(1101 =-=-n y y n n ，若41.120≈=y （三位灵验数字），预计到10y 时缺面有多大？那个预计历程宁静吗？[解]设n y 为n y 的近似值，n n n y y y -=)(*ε，则由⎪⎩⎪⎨⎧-==-110210n ny y y 与 ⎩⎨⎧-==-11041.110n n y y y 可知，20*1021)(-⨯=y ε，)(1011---=-n n n n y y y y ，即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-，进而82100*1010*1021102110)(10)(⨯=⨯⨯==-y y εε，果此预计历程不宁静. 12、预计6)12(-=f，与4.12≈，利用下列公式预计，哪一个得到的截止最佳？6)12(1+，3)223(-，3)223(1+，27099-.[解]果为1*1021)(-⨯=f ε，所以对付于61)12(1+=f ，2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯+='=e f f e ，有一位灵验数字； 对付于32)223(-=f ，1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯-='=e f f e ，不灵验数字； 对付于33)223(1+=f ，2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯+='=e f f e ，有一位灵验数字；对付于270994-=f ，111*44*10211035102170)4.1()(⨯<⨯=⨯⨯='=--e f f e ，不灵验数字. 13、)1ln()(2--=x x x f ，供)30(f 的值.若启仄圆用六位函数表，问供对付数时缺面有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 预计，供对付数时缺面有多大？[解]果为9833.298991302==-（六位灵验数字），4*1021)(-⨯=x ε，所以2442**11*102994.010219833.293011021)13030(1)()()(---⨯=⨯⨯-=⨯⨯---='=x e f f e ，6442**22*108336.010219833.29301102111)()()(---⨯=⨯⨯+=⨯⨯-+-='=x x x e f f e .14、试用消元法解圆程组⎩⎨⎧=+=+2101021102101x x x x ，假定惟有三位数预计，问截止是可稳当？[解]透彻解为110210,110101*********--=-=x x .当使用三位数运算时，得到1,121==x x ，截止稳当.15、已知三角形里积c ab s sin 21=，其中c 为弧度，20π<<c ，且丈量a ，b ，c 的缺面分别为c b a ∆∆∆,,，道明里积的缺面s ∆谦脚cc b b a a s s ∆+∆+∆≤∆. [解]果为c c ab b c a a c b x x f s nk k k ∆+∆+∆=∆∂∂=∆∑=cos 21sin 21sin 21)()(1， 所以cc b b c c c c b b c c c ab cc ab b c a a c b ss ∆+∆+∆≤∆+∆+∆=∆+∆+∆=∆tan sin 21cos 21sin 21sin 21. 第二章 插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德受止列式，令⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----nn n n n nn n x x xx xx x x x x x x x V21211020110111),,,,(，道明)(x V n 是n 次多项式，它的根是121,,,-n x x x ，且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V .[道明]由∏∏∏∏-=---=-=-=--⋅=-⋅-=1110111010110)(),,,()()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得供证.2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，供)(x f 的二次插值多项式.[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L .3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值预计54.0ln 的近似值.[解]若与5.00=x ，6.01=x ， 则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则 604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，进而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L . 若与4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ， 693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，进而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L .4、给出 900,cos ≤≤x x 的函数表，步少 )60/1(1='=h ，若函数具备5位灵验数字，钻研用线性插值供x cos 近似值时的总缺面界.[解]设插值节面为h x x x x +=<<010，对付应的x cos 值为10,y y ，函数表值为10,y y ，则由题意可知，5001021-⨯≤-y y ，5111021-⨯≤-y y ，近似线性插值多项式为01011011)(x x x x y x x x x y x L --+--=，所以总缺面为()100101110100100101110100101111,,)()())((2cos )()())((!2)()()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+---=---+---+--''=-+-=-=ξξξ，进而55555201051015100101110100101047.310211094.621102114400121102142110211021))((21))((cos 21)(-------⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=⨯+≤--⨯⨯+--⨯⨯+---≤---+---+--≤h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ.5、设3,2,1,0=+=k kh x x k，供)(max 220x l x x x ≤≤.[解])3)()((max 21)()2()3)()((max))()(())()((max)(max 000300032120231023033030h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l xx x xx x x x x x x x -----=------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤.令)34()383()43()3)()(()(0220302020203000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=，则)383()43(23)(202002h h x x x h x x x f ++++-='，进而极值面大概为 hx h h x h h x x h x h x x 37437)43(6)383(12)43(4)43(2002020200±+=±+=++-+±+=，又果为30)20714(271375371374)374(h h h h h x f -=--⨯-⨯-=-+， 30)71420(271357371374)374(h h h h h x f +-=-⨯+⨯+=++， 隐然)374()374(00h x f h x f ++≤-+，所以277710)71420(27121)374(21)(max 3303230+=+=++=≤≤h h h x f h x l x x x . 6、设),,1,0(n j x j=为互同节面，供证：1）),,1,0()(0n k x x l x kn j j k j =≡∑=；2）),,2,1()()(0n k x x l x x knj j k j =≡-∑=；[解]1）果为左侧是k x 的n 阶推格朗日多项式，所以供证创制. 2）设k x y y f )()(-=，则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶推格朗日多项式，令x y =，即得供证.7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ，供证)(max )(81)(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤. [解]睹补充题3，其中与0)()(==b f a f 即得.8、正在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节面函数表，若用二次插值供x e 的近似值，要使截断缺面不超出610-，问使用函数表的步少h 应与几？[解]由题意可知，设x 使用节面h x x -=10，1x ，h x x +=12举止二次插值，则插值余项为()201112102,)],()[)](([6))()((!3)()(x x h x x x x h x x ex x x x x x f x R ∈+----=---'''=ξξξ，令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=，则)3(63)(22112h x x x x x f -+-='，进而)(x f 的极值面为h x x 331±=，故3932)331()331(33)(max2h h h h x f xx x =-⋅+⋅=≤≤，而 343422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ，要使其不超出610-，则有63410273-≤h e ，即22226210472.010389.74863.310243---⨯=⨯≈⨯≤ee h . 9、若n n y 2=，供n y 4∆及n y 4δ.[解]nn n n n n nn n n n n n n n n j jn j j n j jn n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(123441322314040440444=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆++++++++=-+=-∑∑.22221221122413211204024024021)4(2142121422282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=---=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j jn j j n j j j njj jn n y y y y y y j y E j y E Ej y E E y δ. 10、如果)(x f 是m 次多项式，记)()()(x f h x f x f -+=∆，道明)(x f 的k 阶好分)0()(m k x f k ≤≤∆是k m -次多项式，而且0)(=∆+x f l m （l 为正整数）.[道明]对付k 使用数教归纳法可证. 11、道明k k k k k k g f g f g f ∆+∆=∆+1)(. [道明]kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ∆+∆=-+-=-+-=-=∆++++++++++1111111111)()()(.12、道明∑∑-=+-=∆--=∆11001n k k k n n n k kk f g g f g f g f .[道明]果为01111111111011)()]()([)(g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g fn n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k-=-=-+-=∆+∆=∆+∆∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=，故得证.13、道明：0102y y y n n j j∆-∆=∆∑-=.[道明]01112)(y y y y y n n j j j n j j ∆-∆=∆-∆=∆∑∑-=+-=.14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个分歧真根n x x x ,,,21 ，道明⎩⎨⎧-=-≤≤='-=∑1,20,0)(11n k a n k x f x n nj j k j. [道明]由题意可设∏=-=---=ni i n n n x x a x x x x x x a x f 121)()())(()( ，故∏≠=-='nji i i j n j x x a x f 1)()(，再由好商的本量1战3可知：)!1()(1],,[1)()()1(1111-==-='-=≠==∑∏∑n x a x x x a x x a x xf x n k n n k n nj nj i i i j n k jnj j k j，进而得证.15、道明n 阶均好有下列本量：1）若)()(x cf x F =，则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =； 2）若)()()(x g x f x F +=，则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=.[道明]1）],,,[)()()()()()(],,,[1000000010n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj n x x x cf x xx f c x xx cf x xx F x x x F =-=-=-=∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠=.2）],,,[],,,[)()()()()()()()()(],,,[10100000000010n n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj j nj nji i i jj n x x x g x x x f x xx g x xx f x xx g x f x xx F x x x F +=-+-=-+=-=∑∏∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠==≠=.16、13)(47+++=x x x x f ，供]2,,2,2[71f ，0!80!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f . [解]1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ，]2,,2,2[810 f .17、道明二面三次埃我米特插值余项是()1212)4(3,,!4/)())(()(++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ，并由此供出分段三次埃我米特插值的缺面限. [解]睹P30与P33，缺面限为k nk f h h '+≤≤0max 278)(ω. 18、XXXXXXXXXX ．19、供一个次数不下于4次的多项式)(x P ，使它谦脚0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P .[解]设1223344)(a x a x a x a x a x P ++++=，则122334234)(a x a x a x a x P +++='，再由0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P 可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++==+++='=++++==='===012341234012*********)2(1234)(1)1(1)0(0)0(0a a a a a P a a a a x P a a a a a P a P a P 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-===432141234900aa a a a .进而4)3()96(4492341)(2222234-=+-=+-=x x x x x x x x x P .20、设],[)(b a C x f ∈，把[]b a ,分为n 仄分，试构制一个台阶形的整次分段插值函数)(x n ϕ，并道明当∞→n 时，)(x n ϕ正在[]b a ,上普遍支敛到)(x f .[解]令n i x f x f x ii ii x x x x x xi ,,3,2,1,2)(inf)(sup )(11 =+=≤≤≤≤--ϕ.21、设)1/(1)(2x x f +=，正在55≤≤-x 上与10=n ，按等距节面供分段线性插值函数)(x I h ，预计各节面中面处的)(x I h 与)(x f 的值，并预计缺面.[解]由题意可知，1=h ，进而当[]1,+∈k k x x x 时，)(])1(1[1)()1(1)1(1111)(2121211211k k kk k k k k k k k k h x x k h x x k h x x x x k x x x x k l f l f x I -+++-+-=--+++--+=+=++++++.22、供2)(x x f =正在[]b a ,上的分段线性插值函数)(x I h ，并预计缺面.[解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时， 进而缺面为))(())((!2)()(112++--=--''=k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故4))(()(212h x x x x x R k k ≤--=+.23、供4)(x x f =正在[]b a ,上的分段埃我米特插值，并预计缺面. [解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时，)(4)(42121)()(121312113112141121141111++++++++++++++++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='+'++=k k k kk k k k k k k k k k k kk k k kk kk k k k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x f f f f x I ββαα，进而缺面为212212)4(2)()()()(!4)()(++--=--=k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故16)()()(42122h x x x x x R k k ≤--=+.24、给定数据表如下：试供三次样条函数)(x S ，并谦脚条件： 1）6868.0)53.0(,0000.1)25.0(='='S S ； 2）0)53.0()25.0(=''=''S S .[解]由05.025.030.00=-=h ，09.030.039.01=-=h ，06.039.045.02=-=h ，08.045.053.03=-=h ，及（8.10）式)1,,1(,,111-=+=+=---n j h h h h h h jj j j jj j j μλ可知，14909.005.009.01011=+=+=h h h λ，5206.009.006.02122=+=+=h h h λ，7408.006.008.03233=+=+=h h h λ，14509.005.005.01001=+=+=h h h μ，5306.009.009.02112=+=+=h h h μ，7308.006.006.03223=+=+=h h h μ，由（8.11）式)1,1(]),[],[(311-=+=+-n j x x f x x f g j j j j j j jμλ可知，7541.2700019279)900768145500477149(3)30.039.05477.06245.014525.030.05000.05477.0149(3])()(145)()(149[3]),[],[(3121201012111011==⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.413.2100046332564)6004635390076852(3)39.045.06245.06708.05330.039.05477.06245.052(3])()(53)()(52[3]),[],[(3232312123222122=⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.0814.27001457140011894634)8004727360046374(3)45.053.06708.07280.07339.045.06245.06708.074(3])()(73)()(74[3]),[],[(3343423234333233==⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.进而1）矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7871.1413.21112.26868.0730814.2413.20000.11497541.227405325201452321m m m ，解得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6570.08278.09078.0321m m m ，进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.2）此为自然鸿沟条件，故862.2500477325.030.05000.05477.03)()(3],[30101100=⨯=--⨯=--⨯==x x x f x f x x f g ；145.2800572345.053.06708.07280.03)()(3],[3111=⨯=--⨯=--⨯==---n n n n n n n x x x f x f x x f g ，矩阵形式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡145.20814.2413.27541.2862.227400732740005325200014521490001243210m m m m m ，不妨解得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210m m m m m ，进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.25、若],[)(2b a C x f ∈，)(x S 是三次样条函数，道明 1）⎰⎰⎰⎰''-''''+''-''=''-''babababadx x S x f x S dx x S x f dx x S dx x f )]()()[(2)]()([)]([)]([222；2）若),,1,0()()(n i x S x f i i ==，式中ix 为插值节面，且b x x x a n =<<<= 10则)]()()[()]()()[()]()()[(a S a f a S b S b f b S dx x S x f x S ba '-'''-'-'''=''-''''⎰.[解]1）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''-''=''-''=''-''''+''=''-''''+''-''=''-''''+''-''=''-''''+''-''bababab a ba b ababadxx S dx x f dxx S x f dx x S x f x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S dx x S x f 222222)]([)]([)]([)]([)]()()][()([)]()()}[(2)]()({[)]()()[(2)]()([)]()()[(2)]()([.2）由题意可知，[]b a x A x S ,,)(∈='''，所以)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()()]()([)]}()()[({)]()()[(a S a f a S b S b f b S x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x f A a S a f a S b S b f b S dxx S x S x f x S x f x S dx x S x f x S b a b ab ab aba'-'''-'-'''=--'-'''-'-'''='-'-'-'''-'-'''=''''-'-'-'''=''-''''⎰⎰⎰.补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并预计插值余项.[解]由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知，xe x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(111010110101-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---，余项为()1,0),1(2))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξx x e x x x x f x R ， 故8141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤≤≤-≤≤x x e x R x ξξ. 2、设4)(x x f =，试利用推格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节面的三次插值多项式. [解]由插值余项定理，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!4!4))()()((!4)()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ，进而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=.3、设)(x f 正在[]b a ,内有二阶连绝导数，供证：)(max )(81)]()()()([)(max 2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a bx a ''-≤---+-≤≤≤≤.[证]果为)()()()(a x ab a f b f a f ---+是以a ，b 为插值节面的)(x f 的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：))()((21)]()()()([)(b x a x f a x a b a f b f a f x f --''=---+-ξ，进而)(max )(81)(41)(max 21))((max )(max 21)]()()()([)(max 22x f a b a b f b x a x f a x a b a f b f a f x f b x a b a b x a ba b x a ''-=-⋅''=--⋅''≤---+-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξξξξ.4、设15)(37++=x x x f ，供好商]2,2[10f ，]2,2,2[210f ，]2,,2,2[710 f 战]2,,2,2[810 f .[解]果为7)1()2(0==f f ，1691252)2()2(371=+⨯+==f f ，167051454)4()2(372=+⨯+==f f ，所以162716912)1()2(]2,2[10=-=--=f f f ，826821691670524)2()4(]2,2[21=-=--=f f f ，27023162826822]2,2[]2,2[]2,2,2[02102121=-=--=f f f ， 1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ，0!80!8)(]2,,2,2[)8(810===ξf f .5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ，供4次牛顿插值多项式，并写出插值余项. [解]由好商表可得4次牛顿插值多项式为：)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ，插值余项为()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R .6、如下表给定函数：4,3,2,1,0=i ，试预计出此列表函数的好分表，并利用牛顿背前插值公式给出它的插值多项式. [解]构制好分表：由好分表可得插值多项式为：32)1(3322)1(332)1()(2020004++=-++=⨯-++=+∆-+∆+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N .第三章 函数迫近与预计（80-82）1、（a ）利用区间变更推出区间为[]b a ,的伯恩斯坦多项式；（b ）对付x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上供1次战3次伯恩斯坦多项式并绘出图形，并与相映的马克劳林级数部分战缺面搞出比较. [解]（a ）令t a b a x )(-+=，则[]1,0∈t ，进而伯恩斯坦多项式为∑=-=nk k n x P n k a b f x f B 0)())((),(，其中kn k k x a b x k n x P ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(. （b ）令t x 2π=，则[]1,0∈t ，进而伯恩斯坦多项式为∑==nk k n x P n kf x f B 0)()2(),(π，其中k n k k x x k n x P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2()(π. xx x x x x x f x x f x P kf x f B k k =+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=202sin 20sin 211)2(201)0()()2(),(010101πππππππ；3223323223223223312213033)533(21)32(4383)2(233)4(23)2(233)2(232sin )2(33sin )2(36sin 20sin )2(33)2()2(23)3()2(13)6()2(03)0()()6(),(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x x f x P kf x f B k k ----=+-++-=+-+-=⨯+-⨯+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=πππππππππππππππππππππ.2、供证：（a ）当Mx f m ≤≤)(时，M x f B m n ≤≤),(；（b ）当x x f =)(时，x x f B n =),(.[道明]（a ）由∑==nk k n x P nk f x f B 0)()(),(及Mx f m ≤≤)(可知，∑∑∑∑====≤≤≤≤nk k nk k n n k k n k k x P M x MP x f B x mP x P m 0)()(),()()(，而1)]1([)1()(00=-+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑=-=nnk k n k nk k x x x x k n x P ，进而得证. （b ）当x x f =)(时，xx x x x x k n k n x x xx k n k n x x k n k n n k x x k n n k f x P n k f x f B n n k k n k n k k n k nk kn k f nk kn k nk k n =-+=----=------=--⨯==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--=--=----=-==-=∑∑∑∑∑110)1(1)1()1(110)0(00)]1([)1()!1(!)!1()1()]!1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()()()(),(.3、正在次数不超出6的多项式中，供x x f 4sin )(=正在[]π2,0的最佳普遍迫近多项式.[解]由[]π2,0,4sin ∈x x 可知，14sin 1≤≤-x ，进而最小偏偏好为1，接错面为ππππππππ815,813,811,89,87,85,83,8，此即为6)(H x P ∈的切比雪妇接错面组，进而)(x P 是以那些面为插值节面的推格朗日多项式，可得0)(=x P .4、假设)(x f 正在[]b a ,上连绝，供)(x f 的整次最佳普遍迫近多项式.[解]令)(infx f m bx a ≤≤=，)(sup x f M bx a ≤≤=，则2)(mM x f +=正在[]b a ,上具备最小偏偏好2m M -，进而为整次最佳迫近一次多项式.5、采用常数a ，使得ax x x -≤≤310max 达到极小，又问那个解是可唯一？[解]果为ax x -3是奇函数，所以ax x ax x x x -=-≤≤-≤≤311310max max ，再由定理7可知，当)34(4141333x x T ax x -==-时，坐即43=a ，偏偏好最小.6、供x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最佳一次迫近多项式，并预计缺面.[解]由πππ22sin 2sincos )()()(221=--=='=--=x x f ab a f b f a 可得π2arccos2=x ，进而最佳一次迫近多项式为ππππππππππππ2arccos1242)2arccos 21(224)22arccos0(2)]2sin(arccos 0[sin 21)2()]()([2122212--+=-+-=+-++=+-++=x x x x a x a x f a f y 7、供x e x f =)(正在[]1,0上的最佳一次迫近多项式.[解]由101)()()(01212-=--=='=--=e e e e xf a b a f b f a x 可得)1ln(2-=e x ，进而最佳一次迫近多项式为)1ln(212)1()]1ln(21)[1(2)2)1ln(0)(1(][21)2()]()([21)1ln(0212---+-=---+=-+--++=+-++=-e e e x e e x e e e x e e e x a x a x f a f y e .8、怎么样采用r ，使r x x p +=2)(正在[]1,1-上与整偏偏好最小？r 是可唯一？[解]由r r x x p x x +=+=≤≤-≤≤-1)(max )(max 21111，r r x x p x x =+=≤≤-≤≤-)(min )(min 21111可知当与整偏偏好最小时，r r =+1，进而21-=r .另解：由定理7可知，正在[]1,1-上与整偏偏好最小的二次多项式为21)12(21)(21222-=-=x x x T ，进而21-=r .9、设13)(34-+=x x x f ，正在[]1,0上供三次最佳迫近多项式. [解]设所供三次多项式为)(3x P ，则由定理7可知81)188(81)(21)()(2424433+-=+-==-x x x x x T x P x f ，进而893)81()13()81()()(232434243-+=+---+=+--=x x x x x x x x x f x P .10、令[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n ，供)(*0x T 、)(*1x T 、)(*2x T 、)(3x T . [解]由[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n 可知，令[]1,1,211-∈+=t t x ，则[]1,1),()121(-∈=+t t T t T n n ，进而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=1,21),121(21,1),()(00*x x T x x T x T n . 11、试证{})(*x T n 是正在[]1,0上戴权21xx -=ρ的正接多项式.？12、正在[]1,1-上利用插值极小化供x x f arctan )(=的三次近似最佳迫近多项式.[解]由题意可知，插值节面为)3,2,1(,812cos =-k k π，即ππππ87cos ,85cos ,83cos ,81cos 4321====x x x x ，则可供得)(3x L .13、设x e x f =)(正在[]1,1-上的插值极小化近似最佳迫近多项式为)(x L n ，若∞-nL f 有界，道明对付所有1≥n ，存留常数n n βα,，使得)11()()()()(11≤≤-≤-≤++x x T x L x f x T n n n n n βα.[道明]由题意可知，[]1,1),()!1(2)()()(1)1(-∈+=-++ξξx T n f x L x f n n n n ，进而与)!1(2)(min )1(11+=+≤≤-n x f nn x n α，)!1(2)(max )1(11+=+≤≤-n x f n n x n β，则可得供证.14、设正在[]1,1-上543238401653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ，试将)(x ϕ落矮到3次多项式并预计缺面.[解]果为x x T x 16545161355-+=，8181244-+=x T x ，所以323232307254510241234096199310241029)16545(3840165)81(3841524381211)(~x x x x x x x x x x ---=-------=ϕ，缺面为0056.040962381384016516138415)(~)(≈=+≤-x x ϕϕ.15、正在[]1,1-利用幂级数项数俭朴供x x f sin )(=的3次迫近多项式，使缺面不超出0.005.[解]果为 ++-+++-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n ，与前三项，得到!5!3)(535x x x x L +-=，缺面为0002.0!71)(sin 5≈≤-x L x ，又果为 x x T x 16545161355-+=，所以3次迫近多项式为3333227384383)16545(!51!3sin x x x x x x x +-=-+-=，此时缺面为005.010986.71611201!714<⨯≈⨯+-. 16、)(x f 是[]a a ,-上的连绝奇（奇）函数，道明不管n 是奇数大概奇数，)(x f 的最佳迫近多项式n n H x F ∈)(*也是奇（奇）函数. [解])(x f 的最佳迫近多项式是由切比雪妇多项式得到的，再由切比雪妇多项式的本量4即得.17、供a 、b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 为最小，并与1题及6题的一次迫近多项式缺面做比较. [解]由2120ππ=⎰dx ，8220ππ=⎰dx x ，243202ππ=⎰dx x ，1sin 200==⎰πxdx d ，1cos |)cos (sin 2020201=---==⎰⎰πππxdx x x xdx x d ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1124882322a b ππππ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=1148.0)3(86644.0)4(2423ππππb a . 18、],[)(),(1b a C x g x f ∈，定义 （a ）()⎰''=aadx x g x f g f )()(,；（b ）())()()()(,a g a f dx x g x f g f aa+''=⎰. 问它们是可形成内积？[解]（a ）果为()0)(0)]([,0)(2='⇔='=⇒=⎰x f dx x f f f x f ba ，然而反之不可坐，所以不形成内积. （b ）形成内积.19、用许瓦兹不等式（4.5）预计⎰+161dx xx 的上界，并用积分中值定理预计共一积分的上下界，并比较其截止. [解]1961.026113121)131()11()()11(110131012612106≈==+-=+≤+⎰⎰⎰x x dxx dx xdx x x .果为[]1,0,12666∈≤+≤x x xx x ，所以7112141106106106=≤+≤=⎰⎰⎰dx x dx x x dx x . 20、采用a ，使下列积分与最小值：⎰-1022)(dx ax x ，⎰--112dx ax x .[解]481)45(51512131)2()(22142321022+-=+-=+-=-⎰⎰a a a dx x a ax x dx ax x ，进而45=a .当0=a 时，12121100111112=+=+-==-⎰⎰⎰⎰---xdx xdx dx x dx ax x ，当0≠a 时，由02=-ax x ，可得接面为ax 1=，若1>a ，则1323121316161)2131()2131()3121()2131()()()(222012310321123012102112112>+=++++-=-+-+-=-+-+-=----⎰⎰⎰⎰a a a aa a x ax ax x x ax dxx ax dx ax x dx x ax dx ax x a aa a，若01>≥a ，则1)2131()3121()()(012102112=----=-+-=-⎰⎰⎰--a a dx x ax dx ax x dx ax x .共理可知，当01<≤-a 时，1112=-⎰-dx ax x ，当1-<a 时，1112>-⎰-dx ax x ，进而当1≤a 时，积分博得最小.21、设{}x span ,11=ϕ，{}1011002,x x span =ϕ，分别正在21,ϕϕ上供一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳仄圆迫近，并比较其截止.[解]由1110=⎰dx ，2110=⎰xdx ，31102=⎰dx x ，41103=⎰dx x 可知，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡41313121211b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=161b a ，即正在1ϕ上为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,61. 由201110100100=⋅⎰dx x x ，202110101100=⋅⎰dx x x ，203110101101=⋅⎰dx x x ，1031102100=⋅⎰dx x x ，1041102101=⋅⎰dx x x 可知， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡104110312031202120212011b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≈⨯⨯⨯-=≈⨯⨯⨯=148.37510310420320298243.37510410320220199b a ，即正在2ϕ上为()148.375,243.375-.22、x x f =)(正在[]1,1-上，供正在{}421,,1x x span =ϕ上的最佳仄圆迫近.[解]由1100111=+-=⎰⎰⎰--xdx xdx dx x ，2113013112=+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x ，。
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)
根是ｘ，，２…，ｘ－，且Ｖ。ｘ，ｘ…·，ｘ）＝Ｖ，Ｃｘ６，ｘ…·）（ｘ－ｘ）…（ｘ－ｘ）。
Ｖ，（ｘｏ，ｘ，…ｘ－ｘ）＝１１】 －ｘ，）用ａ－ｘ，）
［证明］由
可得求证。
＝Ｖ，（Ｃｘ８，ｘ，…，ｘＸ））１１（ｘ－ｘ）
２、当ｘ＝１－１，２时，ｆ（ｘ）＝０，－３．４，求ｆ（ｘ）的二次插值多项式。
Ｌ，（ｘ）＝ｙ％（（ｘｘ６－－ｘｘ，）（（ｘｘ－２ｘ－ｘ２２））
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｆ０．５）＝－０．６９３１４７，ｙ２＝ｆ（ｘ）＝ｆ（０．６）＝－０．５１０８２６，则
Ｌ２（ｘ）＝ｙ。 （ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ６－ｘ）ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ－ｘｏ）（ｘ－ｘ） （ｘ２－ｘｏ）（ｘ２－ｘ）
＝－０．９１６２９１×．（０（．ｘ４－０－．０５．）５（）ｘ（－００．．６４）－０．６－．
３０—＋２—９．ｘ９５８３ｘ３１￣０２＇＝０．８３３６×１０４
１４、试用消元法解方程ｘ组１＋１０＂ｘ＝１００
ｘ＋ｘ２＝２
，假定只有三位数计算，问结果是否
可靠？
［解］精确解为ｘ１＝０１００－＊１ １０＂－２ ，当使用三位数运 算时，得到
ｘ ＝１，ｘ２＝１，结果可靠。
１５、已知三角形面积ｓ＝ｓ去＝ ａｂｓｉｎｃ，其中ｃ为弧度，０＜ｃ＜ 且测量ａ，ｂ，ｃ
位有效数字；ｘ＝５６．４３０有５位有效数字；ｘ＝７×１０有２位有效数字。 ４、利用公式（３．３）求下列各近似值的误差限，其中ｘ，ｘ；，ｘ，ｘ；均为第３题所给
的数。
（１）ｘ＋ｘ２＋ｘ：
ｅ（ｘ＋ｘ写＋ｘ）＝＞
［解］
Ｅ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ；）
３＋ｔｘ１０＝１．０５×１０３
（２）ｘｘｘ；
(完整版)数值分析第五版答案
令
则 在 上为奇函数
又 的最高次项系数为1，且为3次多项式。
与0的偏差最小。
从而有
16。 ，在 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解：
若
且 ，则
则法方程组为
解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
18。 ，在 上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
解：
按勒让德多项式 展开
则
从而 的三次最佳平方逼近多项式为
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
故 在 内至少有三个互异零点，
依此类推， 在 内至少有一个零点。
记为 使
又
其中 依赖于
分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，即
在小区间 上
16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
从而
21．若 是三次样条函数，证明：
若 ，式中 为插值节点，且 ，则
证明：
从而有
第三章函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
其中
当 时，
当 时，
确定下列求积公式中的特定参数使其代数精度尽量高并指明所构造出的求积公式所具求解求积公式的代数精度时应根据代数精度的定义即求积公式对于次数不超过项式均能准确地成立但对于m1次多项式就不准确成立进行验证性求解
第一章绪论
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： , , , ,
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12）之欧侯瑞魂创作1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超出最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析第五版-李庆扬--课后习题答案
数值分析第五版-李庆扬--课后习题答案第一章绪论1．设某0,某的相对误差为，求ln某的误差。
e某某某某某解：近似值某某的相对误差为=er某某某某1e某而ln 某的误差为eln某某ln某某ln某某某进而有(ln某某)2．设某的相对误差为2%，求某n的相对误差。
解：设f(某)某n，则函数的条件数为Cp|某n某n1|n,Cp|n某f'(某)|f(某)又f'(某)n某n1又r((某某)n)Cpr(某某)且er(某某)为2r((某某)n)0.02n3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个某某某单位，试指出它们是几位有效数字：某11.1021,某20.031,某3385.6,某某某456.430,某571.0.某解：某11.1021是五位有效数字；某某20.031是二位有效数字；某某3385.6是四位有效数字；某某456.430是五位有效数字；某某571.0.是二位有效数字。
某某某某某某某某4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)某1,(2)某1.某2某4某2某3,(3)某2/某4某某某某其中某1均为第3题所给的数。
,某2,某3,某4解：121某(某2)10321某(某3)10121某(某4)10321某(某5)1012(某1某)104某某某(1)(某1某2某4)某某某(某1)(某2)(某4)1114331010102221.05103某某某(2)(某1某2某3)某某某某某某某某某某1某2(某3)某2某3(某1)某1某3(某2)1111.10210.0311010.031385.61041.1021385.61032220.215某某(3)(某2/某4)某某某某某2(某4)某4(某2)某某24110.03110356.4301032256.43056.4301055计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？4解：球体体积为VR33则何种函数的条件数为RV'R4R2Cp34VR33r(V某)Cpr(R某)3r(R某)又r(V某)121故度量半径R时允许的相对误差限为r(R某)10.3331783（n=1,2,…）6．设Y028，按递推公式YnYn1100计算到Y100。
数值分析第五版答案_1
数值分析第五版答案第一章绪论1．设x0,x的相对误差为，求lnx的误差。
e*x*x x*x*1e* 而lnx的误差为e lnx*lnx*lnx x**解：近似值x的相对误差为=er*进而有(lnx*)2．设x的相对误差为2%，求x的相对误差。
解：设f(x)xn，那么函数的条件数为Cp|nxf’(x)| f(x)又f’(x)nxn1x nxn 1|n , Cp|n又r((x*)n)Cp r(x*)且er(x*)为2r((x*)n)0.02n3．以下各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指*****出它们是几位有效数字：x17 1.0. 1.1021,x20.031, x3385.6, x456.430,x5 *解：x1 1.1021是五位有效数字；*x20.031是二位有效数字；*x3385.6是四位有效数字；*x456.430是五位有效数字；*x57 1.0.是二位有效数字。
*****4．利用公式(2.3)求以下各近似值的误差限：(1) x1x2x4,(2) x1. x2x3,(3) x2/x4****其中x1均为第3题所给的数。
,x2,x3,x4***解：121*(x2)10 321*(x3)10 1 21*(x4)10 321*(x5)10 12(x1*)10 4***(1)(x1x2x4)***(x1)(x2)(x4)111433*********1.0510 3***(2)(x1x2x3)*********x1x2(x3)x2x3(x1)x1x3(x2)1110.0311010.031385.6104 1.1021385.610 32220.215**(3)(x2/x4)****x2(x4)x4(x2)x*24110.03110356.43010 356.43056.43010 54R3 3 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为V那么何种函数的条件数为R V’R4R2Cp 3 V R33r(V*)Cp r(R*)3r(R*)又r(V*) 1故度量半径R时允许的相对误差限为r(R*)6．设Y028，按递推公式Yn Yn1110.33 3 〔n=1,2,…〕计算到Y10027.982〔5位有效数字〕，试问计算Y100将有多大误差？解：Yn Yn1Y100Y99Y99Y98Y98Y97……Y1Y0依次代入后，有Y100Y0100即Y100Y027.982, Y100Y027.9821*(Y100)(Y0)(27.982)10 3 21Y100的误差限为103。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
清华大学第五版《数值分析》课后答案
第1章绪论内容提要#〜误差度量1数值分析研究两类误差：舍入误差和截断误差，由于计算机字长的有限性，对相关数据进行存储表示时便产生舍入误差，计算机必须在有限的时间内得到运行结果，于是无穷的运算过程必须截断为有限过程，由此产生截断误差，2，误差的度量分式有：绝对误差（限）、相对误差（限〗和有效数字，设？是真值工的一个近似，绝对误差为一:！相对误差为& ，绝对误差限〉和相对误X X差限6^ 〉分别是〉 |和^(：^ ^|的上限，3^对于非零近似值^的如下规格化标准形式X^ ^ 10^ X0#！1X2'&X&,&!' ？X I ^0 〈1. 1〉如果存在尽可能大的&,使得〉| & ^乂10"-"，则称？有"位有效数字.进而当&^》时，称X，是有效数.4，有效数字和相对误差的关系定理1. 1 如果形如式〈1. V的有&位有效数字，则定理1.2如果形如式〈1. 0的:^的相对误差满足^|《"二" X化1-"则纟^至少有&位有效数字，二、浮点数系统对于5+ ^ + 2位的浮点数系0表示二进制阶码数值的二进制位数〃表示尾数的二进制位数，其他两位表示阶码和尾数的符号〉，机器数绝对值的范围是2-21〜22'-、实数表示的相对舍入误差限是2-'.当数据的绝对值大于22'-1时，计算机非正常停机，称之为上溢，当非零数据的绝对值小于2-2'，用机器零表示，精度损失，称之为下溢，、误差传播如果在运算过程中舍入误差能够得到控制，或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果则纟称该算法是数值稳定的，函数值绝对误差传播公式如下^/(^" 丫） ## /(；：)〉 1 2〉^(/(^" ^-^：》#亡""；二…、^ 〉(丄门）！.^^")〉#| /'(？) |〈1.4〉、数值稳定性不同的教材对数值方法稳定性的定义有所不同，有的要求随计算过程的深入误差不增长，有的则要求误差增长速度不能太快^只要不影响产生具有有效数字的近似值即认为是稳定的，读者应注意教材中的定义.随着学习的深入，会针对各种具体算法给出稳定性的确切定义，^ 2 ^典型例题与解题技巧【例1】求!&的近似值，使其绝对误差限精确到1乂1。