数学形态学原理及应用
数字图像处理第9章-数学形态学原理(1)..
集合代表图像中物体的形状，例如：在二进 制图像中所有黑色像素点的集合就是对这幅图像 的完整描述。在二进制图像中，当前集合指二维 整形空间的成员，集合中的每个元素都是一个二
9.2 数学形态学的基本概念和运算
在数学意义上，我们用形态学来处理一些图像, 用以描述某些区域的形状如边界曲线、骨架结构和 凸形外壳等。另外,我们也用形态学技术来进行预 测和快速处理如形态过滤，形态细化，形态修饰等。 而这些处理都是基于一些基本运算实现的。
用于描述数学形态学的语言是集合论。数 学形态学最初是建立在集合论基础上的代数系 统。它提出了一套独特的变换和概念用于描述 图像的基本特征。这些数学工具是建立在积分 几何和随机集论的基础之上。这决定了它可以 得到几何常数的测量和反映图像的体视性质。
1）提出所要描述的物体几何结构模式，即 提取物体的几何结构特征；
2）根据该模式选择相应的结构元素，结构 元素应该简单而对模式具有最强的表现力；
3）用选定的结构元对图像进行击中与否（HMT）变换， 便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。 如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的定量 描述；
4）经过形态变换后的ຫໍສະໝຸດ 像突出了我们需要的信息， 此时，就可以方便地提取信息；
1964年，法国学者J.Serra对铁矿石的岩相 进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。几乎 在同时，G.Matheron研究了多孔介质的几何结构、 渗透性及两者的关系，他们的研究成果直接导致 “数学形态学”雏形的形成。
随后，J.Serra和 G.Matheron在法国共同建立了枫 丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。在 以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善 了“数学形态学”的理论体系，此后，又研究了基 于数学形态学的图像处理系统。
图像分析与处理数学形态学
• 如果B不是对称的，X被B膨胀的结 果和X被 Bv膨胀的结果不同。
膨胀
膨胀
• 左边是被处理的图象X(二值图象，针对的是黑点)，中间 是结构元素B。
• 膨胀的方法是：
– 拿B的中心点和X上的点及X周围的点一个一个地对； – 如果B上有一个点落在X的范围内，则该点就为黑； – 右边是膨胀后的结果。
– 根据某点(当然是要处理的黑色点了)的八个相邻点的情况查表， 若表中的元素是1，则表示该点可删，否则保留。
细化
static int erasetable[256]= {
0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,0,1,1,1,1, 1,1,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0, 1,1,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,0,1,1,1,1, 1,1,0,0,1,1,0,0, 1,1,0,0,1,1,1,1, 1,1,0,0,1,1,0,0, 1,1,0,0,1,1,1,0, };
二值形态学滤除条码噪声
• 通过闭操作,将条上的划痕和瑕疵填充掉
闭
• 开和闭也是对偶运算。
– 用公式表示为
• (OPEN(X))c=CLOSE((Xc))
– X 开运算的补集等于X的补集的闭运算。
• (CLOSE(X))c =OPEN((Xc))
– X 闭运算的补集等于X的补集的开运算。
• 可以这样理解：
– 在两个小岛之间有一座小桥，把岛和桥看做是处理对 象X，则X的补集为大海。
数学形态学及其应用
数学形态学及其应用数学形态学及其应用数学形态学是一种数学方法和理论，最早由法国数学家乌戈尔·乔尔丹（Ugo Cerletti）在20世纪60年代提出。
它基于拓扑学、代数学和概率论等学科的基本原理，研究对象是图像和信号等离散数据的形状和结构，并利用数学统计的方法对它们进行分析和处理。
随着计算机技术的发展和应用需求的增加，数学形态学已经成为图像处理、模式识别和计算机视觉等领域中的重要工具。
数学形态学的基本概念包括结构元素、腐蚀、膨胀、开运算和闭运算等。
结构元素是一个小的图像或信号，用来描述和刻画对象的特征。
腐蚀和膨胀是两种基本的形态学操作，它们可以对图像或信号进行形状的变化和结构的调整。
开运算和闭运算是由腐蚀和膨胀组合而成的操作，用来改善图像的质量和特征。
在数学形态学的基础上，还发展了很多衍生的操作和算法，如基本重建、灰度形态学和形态学滤波等。
数学形态学在图像处理中的应用非常广泛。
例如，在图像分割中，可以利用数学形态学的方法提取目标的边界和内部结构；在图像增强中，可以利用形态学处理方法去除图像中的噪声和不规则部分；在模式识别中，可以利用形态学算法提取和描述对象的特征；在计算机视觉中，可以利用形态学方法实现图像的匹配和配准等等。
数学形态学的应用不仅仅局限在图像领域，它还可以应用于信号处理、文本分析、医学影像等其他领域。
以图像分割为例，数学形态学可以通过结构元素的逐步腐蚀或膨胀操作来准确地提取目标的轮廓。
首先，选择合适的结构元素，使其大小和形状适应目标的尺寸和形态特征。
然后，通过不断的腐蚀操作，可以逐渐消除目标周围的无关细节，最终得到目标的边界。
类似地，通过不断的膨胀操作，可以填补和连接目标内部的空洞，并得到目标的内部结构。
通过这种方式，数学形态学可以实现对复杂图像的准确分割，为图像识别和分析提供了可靠的基础。
总之，数学形态学是一种重要的数学方法和理论，它在图像处理、模式识别和计算机视觉等领域中具有广泛的应用和深远的意义。
数学的三种形态
数学的三种形态数学作为一门学科，具有广泛的应用和多样的形式。
在学习和应用数学的过程中，我们可以从它的三种形态中获得深刻的认识和启发。
这三种形态分别是：符号形态、几何形态和应用形态。
本文将分别介绍并探讨这三种形态，并阐述它们在数学学习和实践中的重要性。
一、符号形态符号形态是数学中最常见的形态之一，它使用符号、公式和方程式来表达数学概念和关系。
符号形态为我们提供了一种抽象和精确的表达方式，使我们能够进行精确的计算和推理。
在符号形态中，我们可以使用各种数学符号，如加减乘除符号、等号、不等号等，来表示数学关系和运算。
例如，我们可以使用方程式来表示线性关系、二次方程等。
符号形态的使用使得数学变得更加精确和规范，能够帮助我们解决各种数学问题。
二、几何形态几何形态是数学的另一种重要形态，它通过图形来表示和研究数学对象和关系。
几何形态将数学概念和图形相结合，通过几何图形的绘制、测量和推理，帮助我们理解和探索各种数学关系。
在几何形态中，我们可以使用各种几何图形和工具，如点、线、面、角等，来表示和研究数学对象和关系。
通过几何形态，我们可以直观地理解和推导各种数学定理和性质。
几何形态在解决实际问题和进行空间思维方面具有重要作用。
三、应用形态应用形态是数学与实际问题结合的形态，它将数学应用于实际问题的解决和分析。
应用形态涵盖了从物理、工程、经济等领域的实际问题到数学建模和求解的过程。
在应用形态中，我们将数学的概念、原理和方法应用于实际问题，通过建立数学模型并进行计算和分析，来解决实际问题。
应用形态要求我们将抽象的数学概念和具体的实际问题相结合，需要我们具备一定的数学和实际领域的知识。
总结数学的三种形态，即符号形态、几何形态和应用形态，各具特点和重要性。
符号形态通过符号、公式和方程式来表达数学概念和关系，提供了精确和抽象的表达方式；几何形态通过几何图形来研究和理解数学对象和关系，具有直观和直观的特点；应用形态将数学应用于实际问题的求解和分析，需要将数学与实际问题相结合。
数学形态学运算的实际应用
数学形态学运算的实际应用
数学形态学是一种图像处理技术，可以在数字图像上实现各种形态学运算，如膨胀、腐蚀、开运算、闭运算、击中、击不中等。
这些运算可以应用于许多领域，以下是数学形态学运算的一些实际应用：
1.图像分割：可以通过膨胀、腐蚀操作实现图像分割，将图像中的前景和背景分离开来。
2.物体检测：可以利用击中、击不中操作实现物体检测，即在图像中找到特定的形状或颜色。
3.边缘检测：可以通过膨胀、腐蚀操作实现边缘检测，通过比较原图像和形态学处理后的图像，可以得到图像的边缘信息。
4.形态学重构：形态学重构是一种能够从形态学运算结果中提取有用信息的技术，常用于图像分割、边缘检测、形状提取等。
5.模式识别：可以利用形态学运算进行模式识别，即通过比较不同形态学处理后图像的差异，来实现对不同模式的识别和分类。
总之，数学形态学运算可以广泛应用于图像处理、计算机视觉、医学影像等领域，具有很强的实用性和应用前景。
数学形态学原理
它的定义为
X S = {x| S+x∪x≠ }
图中X是被处理的对象，B是结构元素，对于任意一个在 阴影部分的点a，Ba击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴 影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的， 这就是为什么叫膨胀的原因。
6.2.6 由于开、闭运算是在腐蚀和膨胀运算的基础上定义的， 根据 腐蚀和膨胀运算的代数性质，我们不难得到下面的性质。
1） 对偶性 (XC○S)C = X●S ， (XC●S)C = X○S
2）扩展性（收缩性） X○S X X●S
即开运算恒使原图像缩小，而闭运算恒使原图像扩大
3） 单调性 如果X Y，
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它 具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形 态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本 的形状特性，并除去不相干的结构。
数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集 图像的信息，当探针在图像中不断移动时， 便可考察图像各 个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。
X S {x|Sx X }
X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。
换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S的
原点位置的集合。
对于任意一个在阴影部分的点a，Ba 包含于X，所以X被B 腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且 比X小，就象X被剥掉了一层似的，这就是为什么叫腐蚀的原因
二值 图像
腐蚀
膨胀
图 腐蚀与膨胀示意图
6.2.4 １．开运算
先腐蚀后膨胀称为开 对图像X及结构元素S，用符号X○S表示S对图像X作开运算
数学形态学的基本原理和发展
卜
；
摘 要 ： 述 了二 值 图像 形 态 学 、 灰度 图像 形 态 学 以及 推 广 到 彩 色 图像 形 态 学 的 基 本 原 理 ， 出 了数 学 形 态 学 进 一 步 发展 趋 势 。 论 提 关键词 ： 学形态 学 向量序 膨胀 腐蚀 数
中图分类号 ： ４ ， １ Ｇ １ ２．
１ 弓言 ｌ
一
一
４彩色图像形态学
向量排序不仅仅是彩色图像形态学的问题 ， 用 Ｂ对 ， 腐蚀 ： 它在多变量数据 ，析中应用广泛 ， 疗 已经得到深入 地研究 。到 目前为止 ， 还没 有一个统一的 向量 用 对 ， ： 开 ． ｌ’ ； ｌ ， 序， 按照具体应用 的需要 ， 已经定义 厂多种 向量 用 对 ，闭 ： ： ”Ｉ 。 序 ， 致可以分为四类 ： 大 边缘序 ， 约简序， 偏序， 条 利用达四 个基本算子可以把大量的灰度图 表示将 位移到 ６Ｂ的作用就 像一 个敏 件序， 别简记 为Ｍ Ｏ ｄ￣ｌ ， ｒ ｒ ｇ Ｐ ， 分 ｒｅ ｇ Ｒ Ｏ ｅ ｎ ， ｄｉ 像形态学算法直接推广 到彩色 图像。 感 的探针 在图像 Ａ上从 上到 下、 从左到朽移 Ｏｒｅｉｇ Ｃ ｄ ｒ ， Ｏｒｅｉｇ ｎ ｄｒ 。Ｍ Ｏ ｄ ｒ ｇ是 对 向量 ｎ ｒｅｉ ｎ 综上所述 ， 为了把灰度形态学推广到彩色图 动， 使得与 曰的形状和火小类似的特征被保留 ， 的每个分量分别按标量排序 ， 然后再把排序 的 像必须完成以下三个任务 ： 选择表示彩色图像的 其它的特征被提取或抑制。 各个分量组 合在一起， 形成一个向量 。按照 Ｍ 颜色宅 间； 定义颜 色向量序 ； 确定计算上确界和 Ｏｒｅｉｇ ｄ ｒ 定义彩色图像形态学 ， ｎ 就是把灰 度图像 下确界的方法 ， 中第二步是关键也是准 点。 其 ３灰度形态学 形态学 分别应用到彩 色图像的 Ｒ、Ｇ、Ｂ二 个颜 把灰度图像看作数字化的地形地貌图， 灰度 色分量 上 ， 处 理过 的 各个 分量 图 像组 合 在 一 ５结 语 再把 值看作海拔高度， 就可以把 ＿ 二 值形态学推广到灰 起怍为形态学 处理的运算结果。这种定义方法 由于选择的濒色空间不同 ， 义的颜 色向量 定 度 图像， 具体做法是用逐点取最小灰度值代替集 非常简单 ， 由于原 图像中的像素（ ， ， ） 序不同， 但是 出现 了大量的针对特定的颜 色空间和应 合算 的交运算 ， 逐点取最夫灰度值代替集合算 经过 形态 学 运算 得到 ， 、Ｆ ， ， 组 用的彩色图像形态学定义 ， 但是还没有形成统一 子的并运算。应用于灰 度图像的形态学称 为灰 合在 一起 成 为结 果 图像 中的像素 （ 、Ｆ Ｆ 定义， 这是基于向量序研究彩色图像形态学定义
形态学的原理以及应用场景(含源码)
形态学的原理以及应用场景（含源码）转自：摘要：形态学一般指生物学中研究动物和植物结构的一个分支。
用数学形态学（也称图像代数）表示以形态为基础对图像进行分析的数学工具。
基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
形态学图像处理的基本运算有：•膨胀和腐蚀（膨胀区域填充，腐蚀分割区域）•开运算和闭运算（开运算去除噪点，闭运算填充内部孔洞）•击中与击不中•顶帽变换，黑帽变换形态学的应用：消除噪声、边界提取、区域填充、连通分量提取、凸壳、细化、粗化等；分割出独立的图像元素，或者图像中相邻的元素；求取图像中明显的极大值区域和极小值区域；求取图像梯度在讲各种形态学操作之前，先来看看结构元素：膨胀和腐蚀操作的核心内容是结构元素。
（后面的开闭运算等重要的也是结构元素的设计，一个合适的结构元素的设计可以带来很好的处理效果OpenCV里面的API介绍：Mat kernel = getStructuringElement(int shape,Size ksize，Point anchor）;一，腐蚀和膨胀腐蚀和膨胀是最基本的形态学操作，腐蚀和膨胀都是针对白色部分（高亮部分）而言的。
•膨胀就是使图像中高亮部分扩张，效果图拥有比原图更大的高亮区域（是求局部最大值的操作）•腐蚀是原图中的高亮区域被蚕食，效果图拥有比原图更小的高亮区域（是求局部最小值的操作）膨胀与腐蚀能实现多种多样的功能，主要如下：1、消除噪声2、腐蚀分割(isolate)出独立的图像元素，膨胀在图像中连接(join)相邻的元素。
3、寻找图像中的明显的极大值区域或极小值区域4、求出图像的梯度opencv中膨胀/腐蚀API:(两者相同）void dilate/erode( const Mat& src, //输入图像（任意通道的）opencv实现：Mat src1 = imread("D:/opencv练习图片/腐蚀膨胀.png");图片膨胀：图片[图片上传中...(image-e5cbf7-1637738882548-13)]1️⃣ 腐蚀操作的原理就是求局部最小值的操作，并把这个最小值赋值给参考点指定的像素。
数字图像处理实验报告实验三
代码：
I=imread('lines.png');
F=rgb2gray(I);
subplot(2,2,1);
imshow(I);
title('原始图像');
thread=130/255;
subplot(2,2,2);
imhist(F);
图5-2 添上一层（漆）
3.开运算open：
4.闭close：
5.HMT(Hit-Miss Transform:击中——击不中变换)
条件严格的模板匹配
模板由两部分组成。 ：物体， ：背景。
图5-3 击不中变换示意图
性质：
（1） 时，
（2）
6.细化/粗化
(1)细化（Thin）
去掉满足匹配条件的点。
图5-4 细化示意图
se = strel('ball',5,5);
I2 = imerode(I,se);
imshow(I), title('Original')
figure, imshow(I2), title('Eroded')
Matlab用imopen函数实现图像开运算。用法为:
imopen(I,se);
I为图像源，se为结构元素
构造一个中心具有菱形结构的结构元素，R为跟中心点的距离
SE = strel('rectangle',MN)
构造一个矩形的结构元素,MN可写在[3 4]，表示3行4列
SE = strel('square',W)
构造一个正方形的矩阵。
第9章数学形态学原理
* 利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连 续，断点少。
14
数学形态学的核心运算是击中与否变换（HM T），在定义了HMT及其基本运算膨胀（Dilation） 和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植一 些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出 统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形 态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分重 要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的 关键。
21
形态运算的质量取决于所选取的结构元和形 态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定， 而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。 这些约束条件称为图像定量分析的原则。
22
9.2.1 数学形态学定量分析原则 9.2.2 数学形态学的基本定义及
基本算法
23
集合论是数学形态学的基础，在这里首先对 集合论的一些基本概念作一总结性的概括介绍。 对于形态处理的讨论,将从两个最基本的模加处 理和模减处理开始。它们是以后大多数形态处理 的基础。
24
1. 基本的定义
1）集合 具有某种性质的确定的有区别的事物的全
体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常 用大写字母 A, B, C, … 表示，空集用 表示。
25
设 E 为一自由空间，(E) 是由集合空
间 E 所构成的幂集，集合 X , B (E) ，则
集合 X 和 B 之间的关系只能有以下3 种形式：
4
随后，J. Serra和 G. Matheron在法国共同建立了枫 丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。在 以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善 了数学形态学的理论体系，此后，又研究了基于数 学形态学的图像处理系统。
数学形态学
数字图像处理中的形态学（摘自某文献，因为贴图的数目有限制，后面的公式图片没有能够上，电脑重装后文档已经找不到了，囧）一引言数学形态学是一门建立在集论基础上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具。
数学形态学的历史可回溯到19世纪。
1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。
1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。
数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。
目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。
数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。
该文将主要对数学形态学的基本理论及其在图像处理中的应用进行综述。
二数学形态学的定义和分类数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具。
它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构。
数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。
它们在二值图像中和灰度图像中各有特点。
基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。
（1）二值形态学数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程。
其形态算子的实质是表达物体或形状的集合与结构元素间的相互作用，结构元素的形状就决定了这种运算所提取的信号的形状信息。
形态学图像处理是在图像中移动一个结构元素，然后将结构元素与下面的二值图像进行交、并等集合运算。
基本的形态运算是腐蚀和膨胀。
形态学分析的原理与应用
形态学分析的原理与应用1. 引言形态学分析是一种基于结构和形状的图像处理技术，它通过分析物体的形态特征来识别和描述物体。
形态学分析在计算机视觉、图像处理、模式识别等领域具有广泛的应用。
本文将介绍形态学分析的原理和应用，并重点介绍形态学分析在目标检测、图像分割和形态学滤波等方面的应用。
2. 形态学分析的原理形态学分析的原理基于数学形态学的概念，数学形态学是对图像进行形状和结构上的处理和分析的数学方法。
形态学操作主要包括腐蚀（Erosion）、膨胀（Dilation）、开运算（Opening）和闭运算（Closing）等。
这些操作通过结构元素（Structuring Element）在图像上滑动并修改像素值，从而改变图像的形态特征。
形态学分析的基本原理如下：2.1 腐蚀腐蚀操作是通过结构元素的比较运算将像素腐蚀掉，使得图像中的细小或独立的物体逐渐消失。
腐蚀操作可以用于去除噪声、分离连通物体等。
2.2 膨胀膨胀操作是通过结构元素的比较运算将像素膨胀，使得图像中的物体逐渐增大。
膨胀操作可以用于填充空洞、连接物体等。
2.3 开运算开运算是先进行腐蚀操作，再进行膨胀操作。
开运算能够去除图像中的小型干扰，并保留主要的结构特征。
2.4 闭运算闭运算是先进行膨胀操作，再进行腐蚀操作。
闭运算能够填充图像中的孔洞，并保持主要物体的形状。
3. 形态学分析的应用形态学分析在图像处理中有广泛的应用，下面将针对目标检测、图像分割和形态学滤波三个方面进行介绍。
3.1 目标检测形态学分析可以用于目标检测，通过对图像进行膨胀操作，使得目标物体连通并增大。
之后，再进行腐蚀操作，去除噪声以及与目标物体不相连的部分。
最后，通过对图像进行矩形包围盒（Bounding Box）的提取，可以获得目标物体的位置和大小信息。
3.2 图像分割形态学分析可以用于图像分割，通过对图像进行开运算和闭运算操作，可以分割出物体和背景。
开运算可以进行图像的去噪和细化，闭运算可以填充图像中的空洞。
数学形态学的应用几种原理
数学形态学的应用几种原理1. 数学形态学介绍数学形态学是一种数学理论和方法，它广泛应用于图像处理、模式识别、信号处理、计算机视觉等领域。
数学形态学主要关注图像和信号的几何结构及其形状变化，通过对几何形态学性质进行数学建模和分析，在图像处理和特征提取等方面具有广泛的应用价值。
2. 数学形态学的基本原理数学形态学的基本原理主要包括膨胀和腐蚀两个操作，以及它们的组合运算。
下面分别介绍这几种基本原理的应用。
2.1 膨胀操作•膨胀操作是一种图像形态学操作，它可以增大图像的区域和边界。
•膨胀操作可以应用于边缘检测、形态特征提取等方面，通过增大目标区域的形态特征，使得图像中的目标更加明显。
2.2 腐蚀操作•腐蚀操作是一种图像形态学操作，它可以减小图像的区域和边界。
•腐蚀操作可以应用于噪音去除、边缘检测等方面，通过减小目标区域的形态特征，使得图像中的目标更加清晰。
2.3 开运算•开运算是一种腐蚀操作后再进行膨胀操作的组合运算。
•开运算可以应用于去除图像中的小噪点、提取连通区域等方面，通过先腐蚀去除小的干扰区域，再膨胀找回目标区域。
2.4 闭运算•闭运算是一种膨胀操作后再进行腐蚀操作的组合运算。
•闭运算可以应用于填充孔洞、平滑边缘等方面，通过先膨胀填充孔洞，再腐蚀平滑边缘。
3. 数学形态学应用案例3.1 图像分割•数学形态学可以应用于图像分割任务。
•利用膨胀和腐蚀操作的组合，可以通过寻找目标区域的边界，将图像分割为多个连通区域。
3.2 边缘检测•数学形态学可以应用于图像边缘检测。
•利用膨胀和腐蚀操作的组合，可以凸显图像中的边缘结构，从而实现边缘检测的目的。
3.3 特征提取•数学形态学可以应用于图像特征提取。
•利用开运算和闭运算的组合，可以去除图像中的噪音，并提取目标区域的形态特征。
4. 总结数学形态学作为一种重要的图像处理方法，在图像分割、边缘检测和特征提取等方面具有广泛的应用。
通过膨胀和腐蚀操作的组合运算，数学形态学能够提取图像和信号的几何结构和形态特征，为图像处理和模式识别提供了有效的数学工具。
数学形态学下的多尺度灰度图像增强应用分析
数学形态学在图像处理方面的基本原理是将图像当做一个集合，以某种形状的结构因子与图像加以求补、移位、交、并的集合运算，不同的集合运算形成了不同形态的数学运算结果[1-2]。
数学形态学在图像处理中可以分为二值数学形态学和灰度数学形态学，二值数学形态学处理图像的原理是数学集合的交与并的运算，而灰度数学形态学主要关注极大值与极小值的运算。
1灰度数学形态学在图像运算中的腐蚀与膨胀假设原灰度图像为f （x ，y ），结构元素为b （x ，y ），其中整数集合为Z ，另设（x ，y ）为Z ×Z 中的元素，则f （x ，y ），b （x ，y ）分别为图像及结构元素位于（x ，y ）的灰度值。
定义1结构元素b （x ，y ）对原灰度图像f （x ，y ）的形态学腐蚀用f ⊗b 表示为f ⊗b （a ，b ）=min{f （a +x ，b +y ）-b （x ，y ）|（a +x ，b +y ）∈D f ，（x ，y ）∈D b }（1）式中：D f 与D b 分别表示f （x ，y ），b （x ，y ）的定义域。
所谓腐蚀，即腐蚀变换，指的是在结构元素确定的邻域块中选取图像值和结构元素值进行减运算得到的最小值。
定义2将结构元素b （x ，y ）对原灰度图像f （x ，y ）的数学形态学膨胀描述用f ☉b 表示为f ☉b （a ，b ）=max{f （a-x ，b -y ）+b （x ，y ）|（a-x ，b-y ）∈D f ，（x ，y ）∈D b 式中：D f 与D b 分别表示f （x ，y ），b （x ，y ）的定义域。
根据腐蚀的含义，腐蚀变换是在结构元素确定的邻域块中选取图像值和结构元素值进行减运算得到的最大值。
灰度图像的腐蚀与膨胀变换对比，见图1。
选取3×3的结构元素，对原灰度图像分别进行腐蚀和膨胀运算，从图1-b 能够明显得到腐蚀变换加深了图像整体暗度的结论，同时使图像的边缘更加细腻；从图1-c 能够得到膨胀变换对图像处理结果与腐蚀变换相反的结论[3-4]。
数学形态学在信号处理方面的应用研究
数学形态学在信号处理方面的应用研究数学形态学是一种基于拓扑学和几何学的数学分支，它在信号处理方面有着广泛的应用。
数学形态学可以用来描述信号的形状、结构和特征，从而实现信号的分析、处理和识别。
在信号处理中，数学形态学主要应用于图像处理、语音识别、生物医学信号处理等领域。
其中，图像处理是数学形态学应用最为广泛的领域之一。
数学形态学可以用来提取图像中的形状、纹理、边缘等特征，从而实现图像的分割、识别和分类。
例如，在医学图像处理中，数学形态学可以用来分割出肿瘤、血管等结构，从而实现病变的诊断和治疗。
数学形态学在语音识别中也有着重要的应用。
语音信号可以看作是一种波形信号，数学形态学可以用来提取语音信号中的共振峰、谐波等特征，从而实现语音的识别和转换。
例如，在语音合成中，数学形态学可以用来生成自然流畅的语音。
生物医学信号处理是数学形态学应用的另一个重要领域。
生物医学信号包括心电信号、脑电信号、肌电信号等，这些信号具有复杂的形态和结构。
数学形态学可以用来提取生物医学信号中的特征，从而实现疾病的诊断和治疗。
例如，在心电信号处理中，数学形态学可以用来检测心脏病变和心律失常。
数学形态学在信号处理方面的应用研究具有重要的意义。
它可以帮
助我们更好地理解信号的形态和结构，从而实现信号的分析、处理和识别。
随着科技的不断发展，数学形态学在信号处理中的应用前景将会越来越广阔。
数学形态学在高压输电线路故障定位中的应用
通 滤 波 器 同样 也 有 以 Ｉ 不 ，为 此 需 要 寻 找 １ 快 速 种
￣
（ｉ ｔｎ是 最基本 的形 态变换 。 ｄｌ ｉ ） ａｏ 腐蚀 变换是 １ 种
收缩过程 ， 膨胀 变换是 １ 种扩 张过 程 。
， 、
测 量精度高 在 对故障信 的处 理办面 ， 的方法 传统
一
为结 构元 素 的长度 ，其 取值 与信 号 采样率 、
般是低通滤波 ， 各种低 通滤波 算法虽然可 以较 好地
脉 冲噪 声宽 度及 白噪 声特性 有关 。腐 蚀 （ｒｓ ｎ 和 ｅｏｉ ）脉 冲噪 方 Ｉ 显得 兀 力 ： 日前
为 电力信 号一般 为一 维信 号 ， ｎ是一维 多 设 ）
值 信号 ，（ 为结 构元素 ．／ ） 于 ，的腐 蚀 和膨 胀 ｇｎ ） ．（ 关 １ｎ ｚ ）
分 别定 义为：
信 息处理Ｈ １长 ， ￣￣ 雌以满足 高 输 电线路 几点 护 １
的要求 。本义采 ，行 波法测距 ， Ｌ ｝ Ｊ 其可靠性 和精 度在
态学 变换 ．尤腐 蚀后 膨 胀称 为 开运 算 （ｐｎｎ ）先 ｏｅｉｇ ，
膨 胀后 腐蚀是 闭运算 （ｌ ｉｇ 。 种 运算 的结果通 ｃ ｓ ） 这２ ｏｎ
１ 数 学 形态 学 一 波 及 其 基本 原 理 小
数学形 态学 在考 察信号 时 ， 要设 汁 １ 种收集 信号
收 稿 日期 ：０ ０ ０ ２ ２ １－ ９ ０
科 技 综 述
Ｋ Ｉ ＯＮ Ｕ ＥＪ Ｚ Ｇ ＳＨ
数学形 态学在 高压输 电线 路故 障定位 中的应 用
袁兆强 ， 利荣 ， 廖 廖 玄 ， 李 飞 ， 周 鑫
数学形态学
数学形态学
数学形态学是一门新兴的数学学科，它以数学的结构与几何来研究复杂的物体的外观、形状以及数学关系。
它是归纳性的、正则的、抽象的，但它也具有实际意义。
形态学可以用来分析表面形状、描述空间结构、并分析几何现象。
数学形态学主要由几何、拓扑、计算、图理论等组成。
几何可以用来刻画物体的几何结构，拓扑不区分空间结构、计算可以用来处理复杂的外形，而图理论则可以指导定义不同物体之间的相互关系，并且可以用来处理复杂的空间结构。
数学形态学可以研究许多不同的几何现象，比如点、线、面、体等，可以研究几何实体的结构与形状，以及不同几何实体之间的相互作用。
它可以用来研究可视化的几何结构，以及空间和位置空间的定义、分类及计算等方面。
此外，数学形态学还可以用来处理图形，例如地图、框架和图像等。
地图可以分析表面形状、连接和空间结构，框架可以处理复杂的路径系统，图像处理可以用来分析物体的形状、结构和空间关系等。
此外，数学形态学还可以用来处理几何分析，例如几何定义、变换、插值、参数化等等。
它可以用来描述不同几何实体之间的相互关系，以及物体与空间之间的变换关系。
数学形态学有着广泛的应用，比如在工业设计中，可以用来分析物体的形状、结构和外观等，也可以用来分析产品的结构和性能等；在建筑设计中，可以用来分析建筑的空间结构、形状、几何现象和材
料等。
此外，它还可以用来研究数学模型、机器人技术、三维渲染和CAD等方面。
综上所述，数学形态学是一门研究数学结构与几何的新兴学科。
它可以用来分析物体的几何结构、可视化几何结构、几何分析等，并且可以应用于工业设计、建筑设计、机器人技术和三维渲染等方面。
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收稿 日 期： ２ ０ ０ ５ －０ １ －０ ８ 作者简介：张学军 （ １ ９ ６ ５ －） ， 男， 辽宁阜新人， 辽宁工程技术大学职业技术学院副院长、副教授。
６ ９
万方数据
张学军 张丽颖： 数学形态学原理及应用
Ａ ， ＯＢ ＝ （ Ａ ①Ｂ ） ｒ 和Ａ ， Ｏ Ｂ 二（ Ａ Ｏ Ｂ ） ｒ 性质表明对图像 Ａ进行腐蚀和膨胀运算结果只取决于 Ａ与Ｂ 的结果， Ａ・ Ｂ ；即
开运算使图像缩小，闭运算使图像增大。
４ 基于数学形态学边缘检测和图像分割
过程中处理策略的不同，分割算法又可分为并行算法和串 行算法。在并行算法中， 所有判断和决定都可独立地和同 时地做出； 而在串行算法中早期处理的结果可被其后的处
理过程所利用。
设ｆ （ ｘ ， ｙ ）为灰度函数，ｓ （ ｉ ， ｊ ）为结构元素，ｆ
（ ｘ ， ｙ ） ｅ Ｒ ， 其中ｘ ， ｙ ｅ Ｚ ２ ， Ｄ ， 和Ｄ ． 分 别 为ｆ （ ｘ ， ｙ ）和
ｅ （ ｉ ， ｊ ）的定义域， 则 ｆ （ ｘ ， ｙ ）关于 ｓ （ ｉ ， ｊ ）的灰度形
态学膨胀、腐蚀为 ：
（ １ ）图像边缘检测 边缘就是指周围灰度强度有反差变化的那些像素的集 合， 是图像分割所依赖的重要基础， 也是纹理分析和图像
版社 ，１ ９ ９ ８ ．
［ ４ ］唐常青． 数学形态学方法及其应用 〔 Ｍ］ ． 北京：科 学出 版社，１ ９ ９ ０ ．
Ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ａ ｎ ｄ Ａ ｐ ｐ ｉ ｌ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍｏ ｒ ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｚ Ｈ Ａ Ｎ Ｇ Ｘ ｕ ｅ 一 ｊ ｕ ｎ Ｚ Ｈ Ａ Ｎ Ｇ Ｌ ｉ 一 ｙ ｉ ｎ ｇ
对于开运算就是在膨胀的基础上再进行一次腐蚀，对 于闭运算就是在腐蚀的基础上再进行一次膨胀。由上述定
无、真假、 和定向定位。典型的边缘检测方法有 Ｌ Ｏ Ｇ ， 用 Ｆ ａ ｃ ｅ ｔ 模型检测边缘， Ｃ ａ ｎ ｎ ｙ 的最佳边缘检测器， 统计滤波 检测以 及随断层扫描技术兴起的三维边缘检测等。 对于二值图像，设 Ｂ为一个单连通结构元，Ｂ的边缘 ａ Ｂ 就是经典的边缘集，因Ｂ 为单连通集合， 则为连通封闭 曲线，由二值形态学变换可得： ａ Ｂ 二 Ｘ 一 Ｘ （ Ｄ Ｎ ４（ 四 连通） ａ Ｂ 二 Ｘ 一 Ｘ ＯＮ ａ（ 八连通） 则开变换Ｘ・ Ｂ 二（ Ｘ ｏａ Ｂ ）④Ｂ 闭变换 Ｘ・ Ｂ 二（ Ｘ （ Ｄ ａ Ｂ ）ＯＢ 基于边缘轮廓结构的形态学，开、闭变换的第一运算 起了提取噪声区域的作用， 而第二个使用 Ｂ的运算则将该 区域内的噪声全部滤掉。 （ ２ ）图像分割 图象分割就是指把图象分成各具特征的区域并提取出 感兴趣目 标的技术和过程。这里的特征可以是灰度、颜色 和纹理等，目 标可以对应单个区域，也可以对应多个区域。 对灰度图象的分割常基于象素的２ 个性质：不连续性 和相似性。区域内部的象素一般具有灰度相似性，而在区 域之间的边界上一般具有灰度不连续性。所以分割算法可 以据此分为利用区域间灰度不连续性的基于边界的算法和 利用区域内灰度相似性的基于区域的算法。另外根据分割
参考文献
［ １ ］阮秋琦． 数字图 像处理学 【 Ｍ ］ ． 北京：电子工业出
版社 ，２ ０ ０ １ ．
［ ２ ］章毓晋． 图象处理和分析 【 Ｍ］ ． 北京：清华大学出
版社， ２ ０ ０ ０ ． ［ ３ 」陈述彭等． 遥感信息机理研究 〔 Ｍ］ ． 北京： 科学出
数 学 形 态 学 Ａ， Ａ ｘ及 应 用
张学军‘ 张丽颖“
（ １ ．辽宁工程技术大学职业技术学院， 辽宁 率新 １ ２ ３ ０ ０ ０ ；
２ ．辽宁工程技术大学基拙科学部，辽宁 率新 １ ２ ３ ０ ０ ０ ）
摘 要： 首先介绍了 数学形态学的基本概念及应用领域。详细地阐述了 数学形态学的基本原理、基本性质和基于数学 形态学边缘检测和图像分割的方法及要点。最后给出了 基于边缘轮廓结构的形态学开、闭变换在提取噪声区域及滤掉噪声
能的重要标志之一。 图３ 腐蚀的示意图 ２ 数学形态学基本原理
定义 １ ： 设图 像Ｂ 及 ａ （ ｘ ． ， ｙ ｏ ） ， 将Ｂ 平移 ａ 表示 Ｂ
沿矢量 ａ 平移了一段距离后的结果，称为 Ｂ的平移。记作
Ｂ ｏ ＝｛ ｂ ＋ ａ ｌ ｂ ． ｒ Ｂ １ ． 定义 ２ ：图像 Ｂ对于图像原点的反射结果 ，称为 Ｂ的
在定义腐蚀和膨胀运算的基础上，可定义数学形态学
另外两个常用运算： 开运算 （ ｏ ｐ ｅ ｎ ｉ ｎ ｇ ）和闭运算 （ ｃ ｌ ｏ ｓ －
ｉ ｎ ｇ ） 。
Ｅ中的点 （ ｘ ， ｙ ）满足： 如果 Ｂ的原点平移到点 （ ｘ ， ｙ ） ，
那么 Ｂ将 完 全包 含 于 Ｘ 中。记 作 ：Ｅ （ Ｘ） 二Ｘ Ｏ Ｂ ＝
定义５ ： 先腐蚀后膨胀称为开运算，即： Ｏ Ｐ Ｅ Ｎ ． （ Ｘ ） ＝ Ｘ ｏ Ｂ 二 Ｄ （ Ｅ （ Ｘ ） ） ； 开运算可用来删除图像中的小分支。 定义６ ： 先膨胀后腐蚀称为闭， 即： Ｃ Ｌ Ｏ Ｓ Ｅ （ Ｘ ） ＝ Ｘ ・ Ｂ 二 Ｅ （ Ｄ （ Ｘ ） ） ；闭运算可填补小空穴。
识别的重要基础。理想的边缘检测应当正确解决边缘的有
ｆ ｐｓ （ ｉ ， ｊ ） ＝ ｍ ａ ｘ ｛ ｆ （ ｘ 一 ｉ ， ｙ 一 １ ） ＋ ｓ （ ｉ ， ｊ ） ｝ ｆ ｅ ｓ （ ｉ ， ｊ ）二 ｍ ａ ｘ ； ｆ （ ｘ ＋ ｉ ， ｙ ＋ ｊ ）一 ｓ （ Ｉ ， Ｉ ） ｝
（ １ ． Ｖ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ Ｌ ｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｆ ｕ ｘ ｉ ｎ １ ２ ３ ０ ０ ０ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； ２ ． Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｂ ａ ｓ ｉ ｃ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｌ ｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｆ ｕ ｘ ｉ ｎ １ ２ ３ ０ ０ ０ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
１ 引言
， 如图４ 所示： Ｄ （ Ｘ ）二 Ｘ Ｄ ＋ Ｂ ＝ ｛ ａ ｌ Ｂ ． Ｔ Ｘ Ｉ 空。记作 ：
数学形态学是研究数字影像形态结构特征与快速并行 处理方法的理论，是通过对目 标影像的形态变换实现结构 分析和特征提取的目的。目 前国内许多有效的图像处理系 统有的是基于数学形态学方法原理设计的， 有的是把数学 形态学算法纳人其基本软件， 并以其运算速度作为系统性
｛ ａ ｌ ＢＣ Ｘ ｝ ， 如图３ 所示： 定义４ ； 膨胀可看作是腐蚀的对偶运算，即把结构元素 Ｂ 平移ａ 后得到Ｂ ｎ ， 若Ｂ 。 击中Ｘ ， 记下这个 ａ 点， 所有满
足上述条件的 ａ 点组成的集合称做 Ｘ被 Ｂ膨胀的结果。也 就是说，由Ｂ 对Ｘ膨胀所产生的 图像 Ｄ中的点 （ ｘ ， ｙ ）满
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｈ ａ ｖ ｅ ｒ ｅ ｃ ｏ ｍ ｍ ｅ ｎ ｄ ｅ ｄ ａ ｔ ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｐ ｔ ａ ｎ ｄ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， ｈ ａ ｖ ｅ ｉ ｎ － ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ， ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ａ ｎ ｄ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ， ｍ ａ ｉ ｎ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｅ ｄ ｇ ｅ Ｄ ｅ ｔ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍ ｏ ｒ － ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， ｈ ａ ｖ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｄ Ｏ ｐ ｅ ｎ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ｃ ｌ ｏ ｓ ｉ ｎ ｇ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｏ ｕ ｔ ｌ ｉ ｎ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｏ ＃ ｅ ｄ ｇ ｅ ｉ ｎ ｄ ｒ ａ ｗ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ 一 ａ ｒ ｅ ａ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ， ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｄ ｉ ｌ ａ ｔ ｉ ｎ ｏ ａ ｎ ｄ Ｅ ｒ ｏ ｓ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｇ ｒ ｅ ｙ ｌ ｅ ｖ ｅ ｌ ｉ ｍ ａ ｇ ｅ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ． Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ： Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ； ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ； Ｄ ｉ ｌ ａ ｔ ｉ ｎ ｏ ； Ｅ ｒ ｏ ｓ ｉ ｏ ｎ ； ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
对称集。 记作Ｂ ０ ＝ ｛ 一 ｂ ｝ ｂ ｅ Ｂ Ｊ ｏ
根据上述两个概念，可定义数学形态学中两个基本运
图４ 月 彭 胀的示意 图
算： 腐蚀 （ ｅ ｒ ｏ ｓ ｉ ｏ ｎ ）和 膨胀 （ ｄ ｉ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ） 。
定义 ３ ： 把结构元素Ｂ平移ａ 后得到，若包含于Ｘ ， 记 下这个 ａ 点， 所有满足上述条件的 ａ 点组成的集合称做 Ｘ 被Ｂ 腐蚀的结果， 也就是说，由Ｂ对 Ｘ腐蚀所产生的图像
义可知， 若取ｓ （ ｘ ， Ｙ ）二 ０ ，即ｓ （ ｘ ， Ｙ ）为一大小可调 的正方形灰度平面， 则膨胀运算的实质就是以，（ ｂ ， ｙ ）为
模板， 寻找图像在结构元大小范围内所有点的灰度极大值 ， 以该极大值代替该结构元大小范围内所有点的类度值，在