数学形态学原理及应用

方面的应用，膨胀与腐性运算对灰度图象处理的应用。 关键词：数学形态学； 基本原理； 膨胀；腐饮；应用 中图分类号：０ １ ８ ７ 文献标识码 ：Ａ
文章编号：１ ０ ０ ８ －２ １ ７ ４ （ ２ ０ ０ ５ ） ０ ２ －－ ０ ０ ６ ９ ０ ２ －
ｘ ， ｙ ） ， 那么它与Ｘ的交集非 足：如果 Ｂ的原点平移到点 （
（ １ ． Ｖ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ Ｌ ｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｆ ｕ ｘ ｉ ｎ １ ２ ３ ０ ０ ０ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； ２ ． Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｂ ａ ｓ ｉ ｃ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｌ ｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｆ ｕ ｘ ｉ ｎ １ ２ ３ ０ ０ ０ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
１ 引言
， 如图４ 所示： Ｄ （ Ｘ ）二 Ｘ Ｄ ＋ Ｂ ＝ ｛ ａ ｌ Ｂ ． Ｔ Ｘ Ｉ 空。记作 ：
数学形态学是研究数字影像形态结构特征与快速并行 处理方法的理论，是通过对目 标影像的形态变换实现结构 分析和特征提取的目的。目 前国内许多有效的图像处理系 统有的是基于数学形态学方法原理设计的， 有的是把数学 形态学算法纳人其基本软件， 并以其运算速度作为系统性
２ ０ ０ ５年 第 ２ 期
Ｎ ｏ ． ２ ． ２ ０ ０ ５
丹 东 纺 专 学报
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｄ Ａ Ｎ Ｄ Ｏ Ｎ Ｇ Ｔ Ｅ Ｘ ＩＬ Ｔ Ｅ Ｃ Ｏ Ｌ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ
１ ２ 卷 总第４ ６ 期
．１ ２ ， Ｓ ｕ ｍ Ｎ ｏ ． ４ ６
义可知， 若取ｓ （ ｘ ， Ｙ ）二 ０ ，即ｓ （ ｘ ， Ｙ ）为一大小可调 的正方形灰度平面， 则膨胀运算的实质就是以，（ ｂ ， ｙ ）为
模板， 寻找图像在结构元大小范围内所有点的灰度极大值 ， 以该极大值代替该结构元大小范围内所有点的类度值，在
图像灰度曲面上移动结构元模板，重复同样的操作，直到 图像上所有点都参与运算为止。 因此， 膨胀的结果就滤去了小于二倍结构元的波峰， 同时原图像灰度曲面在原有基础上有了一定程度的膨胀。 而腐蚀运算就相当于削去小于二倍结构元的波谷。如果用 原图减去开运算的结果，就可以提取出原图像小于结构元 的波峰；用原图减去闭运算的结果就可以提取出小于结构 元的波谷， 改变结构元的大小就可以提取不同的目 标。
数 学 形 态 学 Ａ， Ａ ｘ及 应 用
张学军‘ 张丽颖“
（ １ ．辽宁工程技术大学职业技术学院， 辽宁 率新 １ ２ ３ ０ ０ ０ ；
２ ．辽宁工程技术大学基拙科学部，辽宁 率新 １ ２ ３ ０ ０ ０ ）
摘 要： 首先介绍了 数学形态学的基本概念及应用领域。详细地阐述了 数学形态学的基本原理、基本性质和基于数学 形态学边缘检测和图像分割的方法及要点。最后给出了 基于边缘轮廓结构的形态学开、闭变换在提取噪声区域及滤掉噪声
对称集。 记作Ｂ ０ ＝ ｛ 一 ｂ ｝ ｂ ｅ Ｂ Ｊ ｏ
根据上述两个概念，可定义数学形态学中两个基本运
图４ 月 彭 胀的示意 图
算： 腐蚀 （ ｅ ｒ ｏ ｓ ｉ ｏ ｎ ）和 膨胀 （ ｄ ｉ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ） 。
定义 ３ ： 把结构元素Ｂ平移ａ 后得到，若包含于Ｘ ， 记 下这个 ａ 点， 所有满足上述条件的 ａ 点组成的集合称做 Ｘ 被Ｂ 腐蚀的结果， 也就是说，由Ｂ对 Ｘ腐蚀所产生的图像
对于开运算就是在膨胀的基础上再进行一次腐蚀，对 于闭运算就是在腐蚀的基础上再进行一次膨胀。由上述定
无、真假、 和定向定位。典型的边缘检测方法有 Ｌ Ｏ Ｇ ， 用 Ｆ ａ ｃ ｅ ｔ 模型检测边缘， Ｃ ａ ｎ ｎ ｙ 的最佳边缘检测器， 统计滤波 检测以 及随断层扫描技术兴起的三维边缘检测等。 对于二值图像，设 Ｂ为一个单连通结构元，Ｂ的边缘 ａ Ｂ 就是经典的边缘集，因Ｂ 为单连通集合， 则为连通封闭 曲线，由二值形态学变换可得： ａ Ｂ 二 Ｘ 一 Ｘ （ Ｄ Ｎ ４（ 四 连通） ａ Ｂ 二 Ｘ 一 Ｘ ＯＮ ａ（ 八连通） 则开变换Ｘ・ Ｂ 二（ Ｘ ｏａ Ｂ ）④Ｂ 闭变换 Ｘ・ Ｂ 二（ Ｘ （ Ｄ ａ Ｂ ）ＯＢ 基于边缘轮廓结构的形态学，开、闭变换的第一运算 起了提取噪声区域的作用， 而第二个使用 Ｂ的运算则将该 区域内的噪声全部滤掉。 （ ２ ）图像分割 图象分割就是指把图象分成各具特征的区域并提取出 感兴趣目 标的技术和过程。这里的特征可以是灰度、颜色 和纹理等，目 标可以对应单个区域，也可以对应多个区域。 对灰度图象的分割常基于象素的２ 个性质：不连续性 和相似性。区域内部的象素一般具有灰度相似性，而在区 域之间的边界上一般具有灰度不连续性。所以分割算法可 以据此分为利用区域间灰度不连续性的基于边界的算法和 利用区域内灰度相似性的基于区域的算法。另外根据分割
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｈ ａ ｖ ｅ ｒ ｅ ｃ ｏ ｍ ｍ ｅ ｎ ｄ ｅ ｄ ａ ｔ ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｐ ｔ ａ ｎ ｄ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， ｈ ａ ｖ ｅ ｉ ｎ － ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ， ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ａ ｎ ｄ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ， ｍ ａ ｉ ｎ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｅ ｄ ｇ ｅ Ｄ ｅ ｔ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍ ｏ ｒ － ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， ｈ ａ ｖ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｄ Ｏ ｐ ｅ ｎ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ｃ ｌ ｏ ｓ ｉ ｎ ｇ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｏ ｕ ｔ ｌ ｉ ｎ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｏ ＃ ｅ ｄ ｇ ｅ ｉ ｎ ｄ ｒ ａ ｗ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ 一 ａ ｒ ｅ ａ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ， ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｄ ｉ ｌ ａ ｔ ｉ ｎ ｏ ａ ｎ ｄ Ｅ ｒ ｏ ｓ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｇ ｒ ｅ ｙ ｌ ｅ ｖ ｅ ｌ ｉ ｍ ａ ｇ ｅ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ． Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ： Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ； ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ； Ｄ ｉ ｌ ａ ｔ ｉ ｎ ｏ ； Ｅ ｒ ｏ ｓ ｉ ｏ ｎ ； ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
参考文献
［ １ ］阮秋琦． 数字图 像处理学 【 Ｍ ］ ． 北京：电子工业出
版社 ，２ ０ ０ １ ．
［ ２ ］章毓晋． 图象处理和分析 【 Ｍ］ ． 北京：清华大学出
版社， ２ ０ ０ ０ ． ［ ３ 」陈述彭等． 遥感信息机理研究 〔 Ｍ］ ． 北京： 科学出
Baidu Nhomakorabea
在定义腐蚀和膨胀运算的基础上，可定义数学形态学
另外两个常用运算： 开运算 （ ｏ ｐ ｅ ｎ ｉ ｎ ｇ ）和闭运算 （ ｃ ｌ ｏ ｓ －
ｉ ｎ ｇ ） 。
Ｅ中的点 （ ｘ ， ｙ ）满足： 如果 Ｂ的原点平移到点 （ ｘ ， ｙ ） ，
那么 Ｂ将 完 全包 含 于 Ｘ 中。记 作 ：Ｅ （ Ｘ） 二Ｘ Ｏ Ｂ ＝
３ 数学形态学基本性质 性质 １ ： 腐蚀、膨胀运算具有平移不变性，即：
收稿 日 期： ２ ０ ０ ５ －０ １ －０ ８ 作者简介：张学军 （ １ ９ ６ ５ －） ， 男， 辽宁阜新人， 辽宁工程技术大学职业技术学院副院长、副教授。
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万方数据
张学军 张丽颖： 数学形态学原理及应用
Ａ ， ＯＢ ＝ （ Ａ ①Ｂ ） ｒ 和Ａ ， Ｏ Ｂ 二（ Ａ Ｏ Ｂ ） ｒ 性质表明对图像 Ａ进行腐蚀和膨胀运算结果只取决于 Ａ与Ｂ 的结果， 与Ａ的位置无关。 性质２ ： 对开运算和闭运算，有： Ａ ｏ Ｂ ＣＡ ＣＡ・ Ｂ ；即
｛ ａ ｌ ＢＣ Ｘ ｝ ， 如图３ 所示： 定义４ ； 膨胀可看作是腐蚀的对偶运算，即把结构元素 Ｂ 平移ａ 后得到Ｂ ｎ ， 若Ｂ 。 击中Ｘ ， 记下这个 ａ 点， 所有满
足上述条件的 ａ 点组成的集合称做 Ｘ被 Ｂ膨胀的结果。也 就是说，由Ｂ 对Ｘ膨胀所产生的 图像 Ｄ中的点 （ ｘ ， ｙ ）满
（ ｘ ， ｙ ） ｅ Ｒ ， 其中ｘ ， ｙ ｅ Ｚ ２ ， Ｄ ， 和Ｄ ． 分 别 为ｆ （ ｘ ， ｙ ）和
ｅ （ ｉ ， ｊ ）的定义域， 则 ｆ （ ｘ ， ｙ ）关于 ｓ （ ｉ ， ｊ ）的灰度形
态学膨胀、腐蚀为 ：
（ １ ）图像边缘检测 边缘就是指周围灰度强度有反差变化的那些像素的集 合， 是图像分割所依赖的重要基础， 也是纹理分析和图像
开运算使图像缩小，闭运算使图像增大。
４ 基于数学形态学边缘检测和图像分割
过程中处理策略的不同，分割算法又可分为并行算法和串 行算法。在并行算法中， 所有判断和决定都可独立地和同 时地做出； 而在串行算法中早期处理的结果可被其后的处
理过程所利用。
设ｆ （ ｘ ， ｙ ）为灰度函数，ｓ （ ｉ ， ｊ ）为结构元素，ｆ
识别的重要基础。理想的边缘检测应当正确解决边缘的有
ｆ ｐｓ （ ｉ ， ｊ ） ＝ ｍ ａ ｘ ｛ ｆ （ ｘ 一 ｉ ， ｙ 一 １ ） ＋ ｓ （ ｉ ， ｊ ） ｝ ｆ ｅ ｓ （ ｉ ， ｊ ）二 ｍ ａ ｘ ； ｆ （ ｘ ＋ ｉ ， ｙ ＋ ｊ ）一 ｓ （ Ｉ ， Ｉ ） ｝
版社 ，１ ９ ９ ８ ．
［ ４ ］唐常青． 数学形态学方法及其应用 〔 Ｍ］ ． 北京：科 学出 版社，１ ９ ９ ０ ．
Ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ａ ｎ ｄ Ａ ｐ ｐ ｉ ｌ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍｏ ｒ ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｚ Ｈ Ａ Ｎ Ｇ Ｘ ｕ ｅ 一 ｊ ｕ ｎ Ｚ Ｈ Ａ Ｎ Ｇ Ｌ ｉ 一 ｙ ｉ ｎ ｇ
能的重要标志之一。 图３ 腐蚀的示意图 ２ 数学形态学基本原理
定义 １ ： 设图 像Ｂ 及 ａ （ ｘ ． ， ｙ ｏ ） ， 将Ｂ 平移 ａ 表示 Ｂ
沿矢量 ａ 平移了一段距离后的结果，称为 Ｂ的平移。记作
Ｂ ｏ ＝｛ ｂ ＋ ａ ｌ ｂ ． ｒ Ｂ １ ． 定义 ２ ：图像 Ｂ对于图像原点的反射结果 ，称为 Ｂ的
定义５ ： 先腐蚀后膨胀称为开运算，即： Ｏ Ｐ Ｅ Ｎ ． （ Ｘ ） ＝ Ｘ ｏ Ｂ 二 Ｄ （ Ｅ （ Ｘ ） ） ； 开运算可用来删除图像中的小分支。 定义６ ： 先膨胀后腐蚀称为闭， 即： Ｃ Ｌ Ｏ Ｓ Ｅ （ Ｘ ） ＝ Ｘ ・ Ｂ 二 Ｅ （ Ｄ （ Ｘ ） ） ；闭运算可填补小空穴。