岩石弹塑性本构模型

.
p ij
12
对于一个介质指点，它的状态可以用外变量 i，j 内
变量
p ij
和
来完全表述。
一般的，使分f<0的状态称为弹性状态，这时介质对无
限小的外部作用的反应是弹性；使f=0的状态称为塑性
状态，这时介质对外部作用的反应是弹塑性的；而f>0
的状态是不存在的。
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硬化材料的屈服面模型
（1）等向硬化-软化模型：塑性变形发展时，屈服面做均匀 扩大（硬化）或均匀收缩（软化），如果 f * 0是初始屈服面，
f
1, 2,3
1 2
1
3
1 2
1
2
sin
c cos
0
德鲁克-普拉格（Drucker-Prager）屈服条件
德鲁克-普拉格屈服条件也是一种等向硬化-软化模型， 在做弹塑性分析时，多采用德鲁克-普拉格屈服准则， 屈服函数可表示为
1
f I1 J2 2 K 0
式中： I1是应力第一不变量，I1=1+ 2 +3
一、非线性弹性理论 构架图
二、应力空间表述 的弹塑性本构关系
1、应力-应变关系 的多值性
2、岩石屈服条件 和屈服面
3、塑性状态的加卸载准则
4、弹塑性本构方 程
引言 岩石塑性力学的特点
1、不仅静水压力可以引起岩石塑性体积的变化，而且 偏应力也可能引起塑性体积应变—剪胀；
2、岩石屈服准则不仅考虑剪切屈服，还要考虑体积应 变屈服，表现在屈服面上，岩石塑性力学的屈服面是 封闭的，且越来越多的采用双屈服面和多重屈服面；
3、岩石塑性力学不受稳定材料的限制，可考虑出现软 化阶段的所谓不稳定材料；
一、非线性弹性理论
在岩石力学中使用弹塑性理论是将岩石介质看作是一 种连续介质，严格来说，岩石介质的应力-应变关系都 是非线性的。
本构关系是关于一个物质质点的力学性质，一般认为 他是与应力和应变有关，而与应力梯度和应变梯度无 关。为了直观的描述质点的状态，引入应力空间和应 变空间两个概念。
ij
=
1+vs Es
ij
vs Es
kkij
和 ij
K
s
2 3
Gs
kk ij
2Gs sij
式中：Es是材料的割线杨氏模量；vs是割线泊松比；
Ks是割线体积模量；Gs是割线剪切模量；
用增量形式表示各向同性的弹性介质的本构关系如下：
d
ij
=
1+vt Et
d ij
vt Et
d kkij
和d ij
第III阶段（BC段）：曲线逐渐下弯，C点处达到峰值， 其对应的压应力值称为压缩强度，在这区域任何点
P处卸载，应力应变将沿PQ下降，当压应力降为零时， 应变却没有完全消失，说明岩石中存在残余应变，称 为塑性变形，如果重新加载，应力-应变将沿QR上升至 R点，岩石仅发生弹性变形，相当于把弹性极限从B点 对应的应力值提高到R点对应的应力值，这种现象称 为应变硬化。
从弹性状态开始第一次屈服的屈服条件称初始屈服条 件，他可以表示为：
f ij 0
当产生了塑性变形，屈服条件的形式发生变化，此时 的屈服条件称后继屈服条件，他可以表示为：
f
ij
,
p ij
,
0
其中，
p ij
D p ijkl kl
p
ij
d
p ij
=
p
ij
d
p ij
p
p ij
那么等向硬化-软化模型的后继屈服面可表示为
f f * ij H 0
（2）随动硬化模型：塑性变形发展时，屈服面的大小和形状
保持不变，仅是整体的在应力空间中做平动，其后继屈服面可
表示为
f
f*
ij
p ij
0
（3）混合硬化模型：对于大多数实际材料，屈服面的硬化规
律大概介于等向硬化-软化和随动硬化之间，这种模型的后继屈
K
t
2 3 Gt
d
kk
ij
2Gtdsij
式中：Et是材料的切线杨氏模量；vt是切线泊松比； Kt是切线体积模量；Gt是切线剪切模量；
二、应力空间表述的弹塑性本构 关系
1、应力-应变关系的多值性 同一应力有多个应变值与它对应，本构关系采用应力
和应变增量的关系表达。
据R.P.Miller（米勒）1965年，对28类岩石进行岩石力 学性质实验结果，将单轴压缩下应力-应变曲线（只考 虑峰前曲线，破坏之前）概括地划分成如图所示的六 种类型。
第IV阶段（CD段）：出现应力降低、应变增加的现象， 称为应变软化。
岩石单轴压缩试验表明：
（1）在塑性状态，弹塑性材料具有历史相关性或路径 相关性，这使得本构方程的表述要比非线性弹性复杂；
（2）岩石体积应变和平均压力之间不是线性的，岩石 体积应变既有静水压力作用下的压缩体积应变，又有 受剪引起的塑性体积应变。在硬化阶段，压缩体积应 变是主要的，表现为岩石的体积压缩。而在软化阶段， 岩石的塑性体积应变不断增大，岩石体积膨胀，称为 剪胀现象；
服面可表示为
f f *
ij
p ij
H 0
库伦（Coulomb）屈服条件
库伦屈服条件是一种等向硬化-软化模型，他认为当材 料某平面的剪应力达到某一特定值时，材料就进入屈 服，而这一特定值不仅与材料自身性质有关，而且与 该平面上的正应力有关，一般表示为
c n tan
主应力的表示形式为
用Cauchy方法给出的本构方程
按Cauchy方法可以这样定义弹性介质：在外力作用下， 物体内各点的应力状态和应变状态之间存在着一一对 应的关系，弹性介质的响应仅与当时的状态有关，而 与应力路径或应变路径无关，假设了应力和应变都是 瞬时发生的。
用全量形式表示各向同性的弹性介质的本构关系如下：
常温常压下岩石的典型应力-应变曲线
如图所示为一般岩石在普通室温和大气压条件下进行 的单轴压缩试验典型应力-应变曲线，曲线大致分为四 个区域：
第I阶段（OA段）：应力-应变曲线上弯，即随着 变形的增加，产生同样大小的应变所需增加的应 力越来越大； 第II阶段（AB段）：应力-应变曲线接近与直线， 它的斜率即为岩石的弹性模量E，B点对应的应力 称为弹性极限或屈服应力；
（3）岩石具有明显的Bauschinger效应。
本构关系的复杂性 塑性阶段本构关系包括三组方程： 屈服条件：塑性状态的应力条件 加-卸载准则：材料进入塑性状态后继续塑性变形或回
到弹性状态的准则，通式写成：
ij，Ha =0
本构方程：
ij=f ij 或 dij =f dij
2、岩石屈服条件和屈服面