方差、极差、标准差

我们通常用S 2表示一组数据的方差，用￣X 表示一组数 据的平均数，用x1、x2、…、 xn 表示各个数据． 问题2中方差的计算式就是
S
2=
1 5
(x1
x)2
(x2
x)2
(x3
x)2
(x4
源自文库
x)2
(x5
x)2
计算一组数据x1、x2、…、 xn 的方差的步骤是：
1、求平均数￣X ；2、代入公式求方差S 2。
测试次数 1
2
3
4
小明 13 14 13 12
小兵 10 13 16 14
体育项目测试成绩折线图
5 平均 13 13 12 13
18
16
14
12
10
小明
8
小兵
6
4
2
0
1
2
3
4
5
探索思考
从表和图中可以看到，小兵的测试成
绩与平均值的偏差较大，而小明的较小．那么如何加
以说明呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加
通常，如果一组数据与其平均值的离 散程度较小，我们就说它比较稳定。
思考：什么样的数 能反映一组数据与其平均值的
离散程度？
小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下 表所示。表20.2.2
测试次数 1
2
3
4
5
小明
13
14
13
12
13
小兵
10
13
16
14
12
仔细观察
小明和小兵的体育项目测试成绩
1
0
1
0
2 0.4
小 每次测试成绩 10 13 16 14 12 65 13
兵 每次成绩—平均成绩 -3 0 3 -1 1
0
0
9 0 （每次测试成绩-平均成绩）2 9 1 1
20
4
归纳小结
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最 后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值 的情况．这个结果通常称为方差。
1
小 每次测试成绩 9 明 （每次测试成绩-
平均成绩）2
小 每次测试成绩 11 兵 （每次测试成绩-
平均成绩）2
23 4 5 6 7 14 13 缺席 13 缺席 16
10 13 14 12 16 15
求和
交流讨论 考虑实际情况，如果一共进行 了7次测试，小明因故缺席两次，怎样比较 谁的成绩更稳定?
小 每次测试成绩 13 14 13 12 13 65
明 每次成绩—平均成绩 0 1 0 -1 0
0
0 1 （每次测试成绩-平均成绩）2
01
0
2
小 每次测试成绩 10 13 16 14 12 65
兵 每次成绩—平均成绩 -3 0 3 1 -1 0
9 0 （每次测试成绩-平均成绩）2
91
1
20
交流讨论 考虑实际情况，如果一共进行 了7次测试，小明因故缺席两次，怎样比较 谁的成绩更稳定?
极 差
方 差 与 标 准 差
前面几节课我们学会了去分析或描述 一组数据。那么我们当时是如何来描述 和分析一组数据的呢？
我们可以选用这些数据的代表： 平均数、中位数、众数。
情景引人
问题1 : 表20.2.1显示的是上海2001年2月 下旬和2002年同期的每日最高气温， 如何对这两段时间的气温进行比较呢?
（2）小明家中，年纪最大的长辈的年龄是78岁，年纪 最小的孩子的年龄是9岁，求小明家中所有成员年龄的 极差。
思考:哪个城市 四季分明?
问题2
请同学们比较下列两组数据，你觉得哪一组数 据比较稳定？
A组：0、10、55、、5、5、5、5、5、5； B组：4、6、5、3、7、2、8、1、9、5。
学习新知
极差＝最大值－最小值
在生活中，我们常常会和极差打交道．班级 里个子最高的学生比个子最矮的学生高多少？家庭中 年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少？这些都是 求极差的例子．
例1.（口答）求下列各题的极差。 （1）某班个子最高的学生身高为1.70米，个子最矮的 学生的身高为1.38米，求该班所有学生身高的极差。
吗？在下表中写出你的计算结果。
表20.2.3
1 2 3 4 5 求和
小 每次测试成绩 13 14 13 12 13 明 每次测试成绩
—平均成绩
小 每次测试成绩 10 13 16 14 12 兵 每次测试成绩
—平均成绩
探索思考
从表和图中可以看到，小兵的测试成
绩与平均值的偏差较大，而小明的较小．那么如何加
123 4 5 6 7
小 每次测试成绩 9 14 13 缺席 13 缺席 16
明 （每次测试成绩- 16 1 0 \ 0 \ 9
平均成绩）2
小 每次测试成绩 11 10 13 14 12 16 15
兵 （每次测试成绩-
平均成绩）2
490
1 19
4
求和 平均
65 13 26 5.2 91 13 28 4
通过计算，依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均
值的波动情况吗？
交流讨论 请你提出一个可行的方案，在表 20.2.4的红色格子中写上新的计算方案，并将计算 结果填入表中。 表20.2.4
1 2 3 4 5 求和
小 每次测试成绩 13 14 13 12 13 65
明 每次成绩—平均成绩 0 1 0 -1 0
表 20.2.1 上海每日最高气温统计表 （单位：℃）
2001年 2002年
这段时间的 平均气温
最高气温 最低气温 变化范围
将观察结果添入表格
思 考 ： 什么样的指标可以反
映一组数据变化范围的大小？
我们可以用一组数据中的最大值减去最小 值所得的差来反映这组数据的变化范围。用这
种方法得到的差称为极差（range）．
0
（每次测试成绩-平均成绩）2
小 每次测试成绩 10 13 16 14 12 65
兵 每次成绩—平均成绩 -3 0 3 -1 1
0
（每次测试成绩-平均成绩）2
探索思考 请你提出一个可行的方案，在表 20.2.4的红色格子中写上新的计算方案，并将计算 结果填入表中。 表20.2.4
1 2 3 4 5 求和
结论:小兵的成绩稳定。
探索思考 请你提出一个可行的方案，在表 20.2.4的红色格子中写上新的计算方案，并将计算 结果填入表中。 表20.2.4
1 2 3 4 5 求和 平均
小 每次测试成绩 13 14 13 12 13 65 13
明 每次成绩—平均成绩 0 1 0 -1 0
0
0
0 （每次测试成绩-平均成绩）2
以说明呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加
吗？在下表中写出你的计算结果。
表20.2.3
1 2 3 4 5 求和
小 每次测试成绩 13 14 13 12 13 65
明 每次测试成绩
—平均成绩
01
0 -1 0 0
小 每次测试成绩 10 13 16 14 12 65 兵 每次测试成绩
—平均成绩 -3 0 3 1 -1 0