2021高考数学(理)一轮复习专题突破《高考中的导数应用问题 第1课时 导数与不等式》

高考专题突破一

高考中的导数应用问题第1课时

导数与不等式

题型一

证明不等式

例1已知函数f (x )＝1－x －1

e x

，g (x )＝x －ln x .(1)证明：g (x )≥1；

(2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1

e 2.

证明

(1)由题意得g ′(x )＝x －1

x

(x >0)，

当01时，g ′(x )>0，

即g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．所以g (x )≥g (1)＝1，得证．

(2)由f (x )＝1－x －1e x ，得f ′(x )＝x －2

e

x ，

所以当02时，f ′(x )>0，即f (x )在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥f (2)＝1－1

e 2(当且仅当x ＝2时取等号)．①

又由(1)知x －ln x ≥1(当且仅当x ＝1时取等号)，②且①②等号不同时取得，所以(x －ln x )f (x )>1－1

e

2.

思维升华(1)证明f (x )>g (x )的一般方法是证明h (x )＝f (x )－g (x )>0(利用单调性)，特殊情况是证明f (x )min >g (x )max (最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．

(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f (x 1)＋g (x 1)

(2)证明：f (x )

依题意得f ′(x )＝ln x ＋1－e x ，

又f (1)＝1－e ，f ′(1)＝1－e ，故所求切线方程为y －1＋e ＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x .(2)证明

依题意，要证f (x )

即证x ln x －e x ＋1

当00，x ln x ≤0，故x ln x 1时，令g (x )＝e x ＋sin x －1－x ln x ，故g ′(x )＝e x ＋cos x －ln x －1.令h (x )＝g ′(x )＝e x ＋cos x －ln x －1，则h ′(x )＝e x －1

x －sin x ，

当x >1时，e x －1

x >e －1>1，

所以h ′(x )＝e x －1

x －sin x >0，

故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．

故h (x )>h (1)＝e ＋cos 1－1>0，即g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (1)＝e ＋sin 1－1>0，即x ln x

综上所述，f (x )

题型二

不等式恒成立或有解问题

例2(2018·大同模拟)已知函数f (x )＝

1＋ln x

x

.

(1)若函数f (x )，a a 的取值范围；

(2)如果当x ≥1时，不等式f (x )≥k

x ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．

解

(1)函数的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝1－1－ln x x 2＝－ln x

x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1.

当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以x ＝1为函数f (x )的极大值点，且是唯一极值点，所以0

2

，

故1

2

(x ＋1)(1＋ln x )

x

恒成立，

令g (x )＝(x ＋1)(1＋ln x )

x

(x ≥1)，

则g ′(x )＝x －ln x x 2

.

再令h (x )＝x －ln x (x ≥1)，则h ′(x )＝1－1

x ≥0，

所以h (x )≥h (1)＝1，所以g ′(x )>0，所以g (x )为单调增函数，所以g (x )≥g (1)＝2，故k ≤2，即实数k 的取值范围是(－∞，2]．引申探究

本例(2)中若改为：∃x 0∈[1，e]，使不等式f (x 0)≥k

x 0＋1

成立，求实数k 的取值范围．解

当x ∈[1，e]时，k ≤

(x ＋1)(1＋ln x )

x

有解，

令g (x )＝(x ＋1)(1＋ln x )

x (x ∈[1，e])，由例(2)解题知，

g (x )为单调增函数，所以g (x )max ＝g (e)＝2＋2

e ，

所以k ≤2＋2

e ，即实数k ∞，2＋2

e .

思维升华利用导数解决不等式的恒成立问题的策略

(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围．(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．跟踪训练2(2018·沈阳模拟)已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；