椭圆的中点弦问题

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练习3:中心在原点,一个焦点为F（0，5 2 ） 的椭圆被直线 y=3x-2所截得弦的中点
1 y 横坐标是 ,求椭圆方程。 2
A o x
B
练习4：已知椭圆x2+4y2=16,过椭圆的右 焦点F2的直线l交椭圆于A，B，求弦 AB的中点M的轨迹方程.
y
B
o
M
A x
故所求直线的方程为x+2y-4=0
法二：设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵P 为弦 AB 的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 2 2 2 ∴x2 ＋ 4 y ＝ 16 ， x ＋ 4 y 1 1 2 2＝16. 2 2 2 两式相减，得(x2 － x ) ＋ 4( y － y 1 2 1 2)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. y1－y2 －x1＋x2 1 ∴kAB＝ ＝ ＝－ ， 2 x1－x2 4y1＋y2 1 ∴所求直线方程为 y－1＝－ (x－2)， 2 即 x＋2y－4＝0.
椭圆弦的中点问题
（1）韦达定理解决；
（2）点差法（设而不解）
x y 1 的弦被点P（4,2） 练习1：如果椭圆被 36 9 平分,求这弦所在直线方程。 x+2y-8=0
2
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x y 练习2 ：已知椭圆 1 斜率为1 16 4
的直线l交椭圆于A,B,求弦AB的中点M的 轨迹方程.
Hale Waihona Puke Baidu
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把它代入椭圆方程整理得:
(4k 1) x 8(2k k ) x 4(2k 1) 16 0
2 2 2 2
设直线与椭圆的交点为:A (x1 , y1)、B (x2 , y2) ∴
8(2k k ) x1 x2 4 2 4k 1 1 解得：k AB 2
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椭圆的中点弦
椭圆与直线的位置关系及判断方法
相 离：△<0 相 切： △=0 相 交： △>0
直线与椭圆相离
直线与椭圆相切 直线与椭圆相交
x y 例1. 过椭圆 1内一点 M (2,1) 引一 16 4 条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在直
线的方程．
y
2
2
B
o
M
A x
例题讲解
解:依题意,所求直线斜率存在, 设它的方程为y-1=k(x-2)