高等代数子空间

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子空间正交的概念
注
V1 ⊥ V2 ⇔ V1 中任意向量与 V2 的任意向量正交 ⇔ V1 中任意向量与 V2 正交 ⇔ V2 中任意向量与 V1 正交.
α ⊥ β ⇔ α ⊥ L(β). α ⊥ βi, i = 1, 2, · · · , s ⇔ α ⊥ L(β1, β2, · · · , βs). 几何空间中，直线与直线，直线与平面的正交是子空间的正 交. 平面与平面的正交不是子空间的正交不是子空间的正交， 交线上的向量不正交. V1 ⊥ V2 ⇒ V2 ⊥ V1.
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正交补子空间
V1 的正交补记为 V⊥1 . 由定义可知 dim V1 + dim V⊥1 = n.
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正交补子空间
子空间正交的概念
我们来讨论欧氏子空间中子空间的正交关系
定义 设 V1, V2 是欧氏空间 V 中两个子空间. 如果对于任意的 α ∈ V1, β ∈ V2，恒有
(α, β) = 0.
则称 V1, V2 为正交的，记为 V1 ⊥ V2. 一个向量 α，如果对于任 意的 β ∈ V1，恒有
(α, β) = 0.
显然，子空间 L(εm+1, · · · , εn) 就是 V1 的正.交. 补. . .. . . . . . . . . . . . . . . .
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正交补子空间
再来证唯一性. 设 V2, V3 都是 V1 的正交补，于是 V = V1 ⊕ V2, V = V1 ⊕ V3.
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正交补子空间
定义 子空间 V2 称为子空间 V1 的一个正交补，如果 V1 ⊥ V2，并且 V1 + V2 = V.
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正交补子空间
定义 子空间 V2 称为子空间 V1 的一个正交补，如果 V1 ⊥ V2，并且 V1 + V2 = V. 显然，如果 V2 是 V1 的正交补，那么 V1 也是 V2 的正交补.
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正交补子空间
定义 子空间 V2 称为子空间 V1 的一个正交补，如果 V1 ⊥ V2，并且 V1 + V2 = V.
显然，如果 V2 是 V1 的正交补，那么 V1 也是 V2 的正交补. 定理 n 维欧氏空间 V 的每一个子空间 V1 都有唯一的正交补.
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正交补子空间
故 α1 = 0，即 α = α2 ∈ V⊥1 . 从而与 V1 正交的向量都在 V⊥1 ， 故 V⊥1 恰好由所有与 V1 正交的向量组成.
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子空间正交的概念
注 V1 ⊥ V2 ⇔ V1 中任意向量与 V2 的任意向量正交 ⇔ V1 中任意向量与 V2 正交 ⇔ V2 中任意向量与 V1 正交.
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子空间正交的概念
注
V1 ⊥ V2 ⇔ V1 中任意向量与 V2 的任意向量正交 ⇔ V1 中任意向量与 V2 正交 ⇔ V2 中任意向量与 V1 正交.
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子空间正交的概念
注
V1 ⊥ V2 ⇔ V1 中任意向量与 V2 的任意向量正交 ⇔ V1 中任意向量与 V2 正交 ⇔ V2 中任意向量与 V1 正交.
α ⊥ β ⇔ α ⊥ L(β). α ⊥ βi, i = 1, 2, · · · , s ⇔ α ⊥ L(β1, β2, · · · , βs). 几何空间中，直线与直线，直线与平面的正交是子空间的正 交. 平面与平面的正交不是子空间的正交不是子空间的正交， 交线上的向量不正交.
子空间正交的概念
我们来讨论欧氏子空间中子空间的正交关系
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子空间正交的概念
我们来讨论欧氏子空间中子空间的正交关系 定义 设 V1, V2 是欧氏空间 V 中两个子空间. 如果对于任意的 α ∈ V1, β ∈ V2，恒有
(α, α1) = (α1 + α3, α1) = (α1, α1) + (α3, α1) = (α1, α1) = 0.
即 α1 = 0. 由此得知 α ∈ V3，即 V2 ⊆ V3. 同理可证 V3 ⊆ V2. 因此 V2 = V3，唯一性得. 证. .. . . . . . . . . . . . . .
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正交补子空间
故 α1 = 0，即 α = α2 ∈ V⊥1 . 从而与 V1 正交的向量都在 V⊥1 ， 故 V⊥1 恰好由所有与 V1 正交的向量组成. 由分解式
V = V1 ⊕ V⊥1 可知，V 中任一向量 α 都可以唯一地分解成
α = α1 + α2,
其中 α1 ∈ V1, α2 ∈ V⊥1 . 我们称 α1 为向量 α 在子空间 V1 上 的内射影.
证 若 α ∈ V⊥1 ，则 α 与 V1 中的每一个向量都正交. 反过来，若 α 与 V1 正交，则 ∀β ∈ V1，则 α ⊥ β，由于
V = V1 ⊕ V⊥1 ,
设 α = α1 + α2，其中 α1 ∈ V1, α2 ∈ V⊥1 ，从而
(α1, α1) = (α − α2, α1) = (α, α1) − (α2, α1) = 0 − 0 = 0.
V1 ⊥ V2 ⇒ V2 ⊥ V1. V 的维数无限制.
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子空间正交的性质
定理 如果子空间 V1, V2, · · · , Vs 两两正交，那么和 V1 + V2 + · · · + Vs 是直和.
则称 α 与子空间 V1 正交，记为 α ∈ V1.
因为只有零向量与它自身正交，所以由 V1 ⊥ V2 可知 V1 ∩ V2 =
{0}；由 α ⊥ V1, α ∈ V1 可知 α = 0.
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α ⊥ β ⇔ α ⊥ L(β). α ⊥ βi, i = 1, 2, · · · , s ⇔ α ⊥ L(β1, β2, · · · , βs). 几何空间中，直线与直线，直线与平面的正交是子空间的正 交. 平面与平面的正交不是子空间的正交不是子空间的正交， 交线上的向量不正交.
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由定理的证明还不难得到 推论 V⊥1 恰由所有与 V1 正交的向量组成.
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正交补子空间
V1 的正交补记为 V⊥1 . 由定义可知 dim V1 + dim V⊥1 = n.
由定理的证明还不难得到 推论 V⊥1 恰由所有与 V1 正交的向量组成.
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正交补子空间
定义 子空间 V2 称为子空间 V1 的一个正交补，如果 V1 ⊥ V2，并且 V1 + V2 = V.
显然，如果 V2 是 V1 的正交补，那么 V1 也是 V2 的正交补. 定理 n 维欧氏空间 V 的每一个子空间 V1 都有唯一的正交补.
令 α ∈ V2，由第二式即有
α = α1 + α3,
其中 α1 ∈ V1，α3 ∈ V3. 因为 α ⊥ α1 所以
(α, α1) = (α1 + α3, α1) = (α1, α1) + (α3, α1) = (α1, α1) = 0.
即 α1 = 0. 由此得知 α ∈ V3，即 V2 ⊆ V3.
(α, β) = 0. 则称 V1, V2 为正交的，记为 V1 ⊥ V2. 一个向量 α，如果对于任 意的 β ∈ V1，恒有
(α, β) = 0. 则称 α 与子空间 V1 正交，记为 α ∈ V1.
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α ⊥ β ⇔ α ⊥ L(β). α ⊥ βi, i = 1, 2, · · · , s ⇔ α ⊥ L(β1, β2, · · · , βs).
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子空间正交的概念
注
V1 ⊥ V2 ⇔ V1 中任意向量与 V2 的任意向量正交 ⇔ V1 中任意向量与 V2 正交 ⇔ V2 中任意向量与 V1 正交.