最小生成树算法详解
最小生成树及算法
|S|=n-1, 说明是树 最后S={a1, a2, a3,… ,an-1}
B. 破圈法
算法2 步骤如下： (1) 从图G中任选一棵树T1. (2) 加上一条弦e1，T1+e1中 生成一个圈. 去掉此圈中最大权边，得到新树T2, 以T2代T1,重复(2)再检查剩余的弦，直到全部弦 检查完毕为止.
例 n个城市,各城市之间的距离如下表(距离为 ∞，表示两个城市之间没有直接到达的线路)。 从一个城市出发走遍各个城市,如何选择最优的 旅行路线.
性质 任何一棵树至少有两片树叶。 证明 设树T=(V,E),结点数为v，因T是连通的，因 此，树中每个结点vi,有deg(vi)1,且 deg(vi)=2(v-1)=2v-2. 若T中结点度数都大于2，则 deg(vi) 2v,矛盾。 若T中只有一个结点度数为1，则 deg(vi) 2(v-1)+1=2v-1 矛盾。
4 3
v5 3 v6
3.5 生成树的计数
1、一些概念 • • ① 设 G 是一个连通图。 T , T 分别是 G 的两个生成树，如果 E (T ) E (T ) ，则认为 T , T 是 G 的两个不同的生成树。 G 的 不同的生成树个数用 (G) 表示。 如：
v1 v3 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2
证明:⑴⑵ 当 n=2时, e=1, 显然 e=n-1. 假设n=k-1时命题成立，当n=k时，因G无圈、连 通，则至少有一条边(u,v),deg(u)=1，删去u，得到 连通无圈的图G1, G1的边数e1,结点数n1满足： e1=n1-1= k-2 将u,边(u,v)加到 G1中，得到T,且 e=n-1.
( K3 ) 3。 则：
② G-e: 从G中去掉边e后所得的图。
最小生成树算法过程详解(信息系统项目管理师考试)
最小生成树算法过程详解针对最小生成树算法这一知识点，相当一部分课本和相关参考书对算法过程讲解并不是特别详尽。
本文主要针对信息系统项目管理师考试，对最小生成树算法过程进行逐步解析，以更加促进对知识点的理解和掌握。
1.概念在连通的带权图的所有生成树中，权值和最小的那棵生成树（包含图中所有顶点的树）称作最小生成树（权值：在数据结构领域，权值是树或者图中两个结点路径上的值，这个值表明一种代价，如从一个结点到达另外一个结点的路径的长度、所花费的时间、付出的费用等）。
2.带权连通无向图的最小生成树算法（1）普里姆（Prim）算法设已知G=(V,E)是一个带权连通无向图，U为构造生成树过程中已被考虑在生成树上的顶点的集合，顶点V=｛0,1,2,…，n-1｝，T是构造生成树过程中已被考虑在生成树上的边的集合。
Eij为顶点i、j之间的边，且i∈U，j∈V-U。
初始时，U只包含1个出发顶点i，T为空。
从出发顶点i开始查找，连接该顶点的所有边中，如果边Eij具有最小权值,那么最小生成树应包含Eij。
把j加到U中，把Eij加到T中，然后又从i、j开始，查找除去边Eij以外的连接i、j的最小代价边，依次重复上述过程，并使T不产生回路，直到U=V为止。
这时，T即为要求的最小代价生成树的边的集合。
普里姆算法的时间复杂度为O（n²），适合于稠密图（边数远远大于顶点数的图）。
（2）克鲁斯卡尔（Kruskal）算法设T(V,ψ)为初始状态只有n个顶点而无边的森林，顶点V=｛0,1,2,…，n-1｝，Eij为顶点i、j之间的边。
初始时，T只包含n个顶点。
按边代价递增的顺序，依次选择Eij并加入T，重复上述过程，并使T不产生回路，直到所有顶点均连接为止，此时T为最小生成树。
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(elog2e），较适合于稀疏图（边数远远小于顶点数的图）。
下面，分别运用两种算法对例题进行解析。
例：下图是某地区的通信线路图，假设其中标注的数字代表通信线路的长度（单位：千米），现在要求至少要架设多长的线路，才能保持6个城市的通信联通？普里姆算法：1.选择A为出发顶点，查找连接顶点A的顶点中权值最小的边。
最小生成树的算法
最小生成树的算法王洁引言：求连通图的最小生成树是数据结构中讨论的一个重要问题．在现实生活中，经常遇到如何得到连通图的最小生成树，求最小生成树不仅是图论的基本问题之一 ,在实际工作中也有很重要的意义，,人们总想寻找最经济的方法将一个终端集合通过某种方式将其连接起来 ,比如将多个城市连为公路网络 ,要设计最短的公路路线;为了解决若干居民点供水问题 ,要设计最短的自来水管路线等.而避开这些问题的实际意义 ,抓住它们的数学本质 ,就表现为最小生成树的构造。
下面将介绍几种最小生成树的算法。
一，用“破圈法”求全部最小生成树的算法1 理论根据1.1 约化原则给定一无向连通图 G =（V ,E ）（ V 表示顶点，E 表示边），其中 V={ 1v , 2v ,3v …… n v },E= { 1e , 2e , 3e …… n e }对于 G 中的每条边 e ∈ E 都赋予权ω（i e ）>0，求生成树 T = （V ,H ），H ⊆ E ，使生成树所有边权最小，此生成树称为最小生成树．（1） 基本回路将属于生成树 T 中的边称为树枝，树枝数为n -1，不属于生成树的边称为连枝．将任一连枝加到生成树上后都会形成一条回路．把这种回路称为基本回路，记为()cf e 。
基本回路是由 T 中的树枝和一条连枝构成的回路．（2） 基本割集设无向图 G 的割集 S （割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合） ，若 S 中仅包含有T 中的一条树枝，则称此割集为基本割集，记为()S e 。
基本割集是集合中的元素只有一条是树枝，其他的为连枝．（3） 等长变换设T=(V,H),为一棵生成树，e ∈ H, 'e ∈ E, 'e ∉ H,当且仅当'e ∈()cf e ，也就是说e ∈()S e ，则'T =T ⊕{e, 'e }也是一棵生成树。
当()e ω='()e ω时，这棵生成树叫做等长变换。
解释最小生成树
解释最小生成树最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。
在实际应用中，我们常常需要找到一个最优的生成树来解决问题。
最小生成树算法可以用于寻找最短路径、最小费用最大匹配等问题。
本文将详细介绍最小生成树的算法及其应用。
一、算法原理最小生成树的算法基于贪心策略。
在生成树中，边的权值表示为边的邻接顶点之间的权值。
边的权值之和反映了边的权值大小。
因此，我们需要寻找的边的权值之和最小的生成树就是一棵最优的生成树。
算法的基本思想是首先将图中的节点按照权值从小到大排序。
然后，从权值最小的节点开始，不断地寻找一个未访问过的节点。
当找到一个未访问过的节点时，将其加入到生成树中，并将其与原图中所有已访问过的节点建立边联系。
这样，生成树中就有了一个未访问过的节点。
接下来，我们继续寻找下一个未访问过的节点。
如果找到了一个节点，我们继续寻找与该节点相邻的节点。
如果找到了一个已访问过的节点，我们继续寻找下一个未访问过的节点。
重复以上步骤，直到所有节点都被正确地加入到生成树中。
二、应用场景最小生成树算法在实际应用中具有广泛的应用，以下列举了几个典型的应用场景：1.最短路径问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最短路径。
通过构建最小生成树，我们可以得到图中所有节点之间的最短距离。
在实际应用中，我们可以使用最小生成树算法来找到一个城市的最佳路线，或者找到一个公司的最短路径。
2.最小费用最大匹配问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最小费用最大匹配。
在最小费用最大匹配问题中，我们需要找到一个图中所有节点之间的最小费用，使得这些费用之和最大化。
最小生成树算法可以帮助我们找到一个最优的解，从而实现最小费用最大匹配。
图的最小生成树算法
图的最小生成树算法图论是计算机科学中一门非常重要的学科，在各种领域得到了广泛的应用。
其中，最小生成树算法是图论中比较重要的一种算法。
同时，最小生成树问题也是最好的优化问题之一。
本文将会深入探讨图的最小生成树算法及其应用。
一、最小生成树问题的定义最小生成树问题就是为一个具有权重的连通无向图找到一棵生成树，使得所有权值之和最小。
需要注意的是，如果该图不连通，则最小生成树并不存在。
二、最小生成树算法1. Kruskal算法Kruskal算法是一种贪心算法，能够解决最小生成树问题。
在该算法中，将图中所有边按照权重从小到大排序，并依次加入生成树中（前提是加入该边不产生环）。
当所有边都被加入生成树中时，生成树就构造完成了。
2. Prim算法Prim算法也是一种贪心算法用于解决最小生成树问题。
与Kruskal算法不同的是，需要从一个初始点开始，每次加入到该点的边中权值最小的那条边。
这个过程可以看作是将所有点分为两个集合，一个是已经被访问过的集合，一个是还没有访问过的集合，然后每次找到两个集合相连的一条权值最小的边，并把这个边所连接的点加入已经被访问过的集合中去。
三、最小生成树算法的应用最小生成树算法在实际中的应用很多，其中一个经典的应用是设计网络。
在网络中，节点之间可以用边来表示，而边的权重可以表示节点之间的通讯成本。
所以，在设计网络时，希望选择尽可能低廉的边连接节点，从而节省通讯成本。
在这种情况下，最小生成树算法可以帮助我们确定哪些边应该被使用，进而构建出网络拓扑结构。
四、总结最小生成树算法在计算机科学中是非常重要的一个算法。
本文对最小生成树问题及其两种算法进行了深入的讨论。
同时，介绍了最小生成树算法在网络拓扑结构设计中的应用。
希望本文能够帮助读者深入理解最小生成树问题及其应用。
最小生成树算法及应用
最小生成树算法及应用
二、求图的最小生成树算法小结 Prim算法和Kruskal算法 三、应用举例
例2、最优布线问题（wire.???） 学校有n台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们时 间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。
算法分析
2、套用最小生成树的经典算法求解
以机器蛇为顶点，以不受屏蔽的通信线路为边构建图，就可以直 接套用最小生成树的经典算法求解。由于几乎每两条机器蛇间都 会有一条边，因此应选用Prim算法。
设
const maxn=200 ； oo=2000000000；{ 机器蛇数的上限和无穷大} type TPoint=record {坐标} x，y：longint； end； var s，w1，w2：array[1..maxn] of TPoint； { 机器蛇的坐标和屏蔽线的坐标 } n，m，i，j，k：integer； ba：array[1..maxn] of boolean； { 机器蛇的访问标志} d：array[1..maxn] of longint； {d[i]以机器蛇i为头的最短边长} min：longint； ans：double；
题目中要求信息可以在任意两条机器蛇间传递、通讯网 络的总长度要尽可能的短，显然这是一个求图的最小生 成树问题。这道题在构造图的过程中还涉及到一点计算 几何的知识。 1、判断线段相交 两条线段AB、CD，相交的充要条件是：A、B在直线CD 的异侧且C、D在直线AB的异侧。也就是说从AC到AD的 方向与从BC到BD的方向不同，从CA到CB的方向也与从 DA到DB的方向不同。
机器蛇
最小生成树算法总结
最小生成树算法总结最小生成树是指在一个无向连通图中，找到一个子树，使得这棵子树中所有边的权值之和最小。
最小生成树可以用于最优化问题，例如道路铺设、网络布线等。
下面将介绍三种最小生成树算法：Prim算法、Kruskal算法、Boruvka算法。
1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，从一个点开始，每次添加连接到已有集合中的最小边，直到所有点都在同一个集合中。
可以用以下步骤描述Prim算法：(1) 选择一个起点，将该起点加入最小生成树的顶点集合，然后将该顶点相邻的边加入边集合中。
(2) 从边集合中找到权值最小的一条边，将该边对应的顶点加入最小生成树的顶点集合，同时将该顶点相邻的边加入边集合中。
(3) 重复上述步骤，直到所有顶点都在最小生成树的顶点集合中。
Prim算法的实现可以使用堆优化，时间复杂度为O(E + VlogV)，其中E为边数，V为顶点数。
2. Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，与Prim算法不同的是，Kruskal算法是按照边的权值从小到大依次添加，直到所有顶点都在同一个集合中。
可以用以下步骤描述Kruskal算法：(1) 将所有边按照权值从小到大排序。
(2) 依次取出排好序的边，如果该边所连接的两个顶点不在同一个集合中，就将这条边加入最小生成树的边集合中，并将这两个顶点合并到同一个集合中。
(3) 重复步骤(2)，直到所有顶点都在同一个集合中。
Kruskal算法的实现可以使用并查集，时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。
3. Boruvka算法Boruvka算法是一种基于集合的分治算法，与Prim算法和Kruskal算法不同，Boruvka算法的时间复杂度是线性的。
可以用以下步骤描述Boruvka算法：(1) 对每个顶点建立单元素集合。
(2) 对每个集合，选择与该集合相连的最小权值的边，将这些边添加到最小生成树的边集合中，并将这些集合合并到同一个集合中。
(3) 如果只剩下一个集合，算法结束。
最小生成树的两种构造方法
离散数学大作业 ---最小生成树姓名：陈强学号：辅导老师：李阳阳一、最小生成树的概念：给定一个连通图，要求构造具有最小代价的生成树时，也即使生成树各边的权值总和达到最小。
把生成树各边的权值总和定义为生成树的权，那么具有最小权值的生成树就构成了连通图的最小生成树，最小生成树可简记为MST 。
二、构造无向连通图的最小生成树的方法：1.Prim （普里姆）算法算法:假设G(V,E)是有n 个顶点的无向连通图，用T(U,TE)表示要构造的最小生成树，其中U 为顶点集合，TE 为边的集合。
（1）初始化：令V={Φ} ,TE={Φ}。
从V 中取一个顶点u0放入生成树的顶点集U 中，作为第一个顶点，此时T=（{u0}，{Φ}）；（2）从U V v V u -∈∈,的边（u,v ）中找一条代价最小的边*)*,(v u ，将其放入TE 中，并将*v 放入U 中。
（3）重复步骤（2），直至U=V 为止。
此时TE 集合中必有n -1条边，T 即为所要构造的最小生成树。
特殊处理：如果两个顶点之间没有直接相连的边，权值置为一个max 的数 自身和自身的权值置为MAX 的值代码：function [T]=Prim(i,G_dist)%Prim.m 实现了普里姆的方法生成无向连通图G 的最小生成树%T是返回的最小生成树%i为输入的为最小生成树选定的第一个顶点%G_dist是待输入的数据，是图G边（u,v）的权值矩阵[m,n]=size(G_dist);%读入无向图的顶点数目为m=nv=i;%将选定的顶点放入中间变量v中T=zeros(3,m-1);%最小生成树有（m-1）条边。
第一行存放边的起点，第二行存放边的终点，第三行存放边的权值%%%初始化最小生成树的矩阵for j=1:m-1T(1,j)=v;%将第一个顶点放入最小生成树的矩阵中if j>=vT(2,j)=j+1;T(3,j)=G_dist(v,j+1);elseT(2,j)=j;T(3,j)=G_dist(v,j);endend%%%求第k条边for k=1:(n-1)min=10000;%初始化一个最小的权值%找出最短边，并将最短变的下标记录在mid中for j=k:(n-1)if T(3,j)<minmin=T(3,j);mid=j;endende=T(:,mid);T(:,mid)=T(:,k);T(:,k)=e;%将最短的边所在的一列和第k列交换 v=T(2,k);%v中存放新找到的最短边在V-U中的顶点for j=(k+1):(n-1)%修改所存储的最小边集d=G_dist(v,T(2,j));if d<T(3,j)T(3,j)=d;T(1,j)=v;endendendDG=sparse(T(1,:),T(2,:),T(3,:),m,m);%用稀疏矩阵view(biograph(DG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'));%画图调用函数G=[10000,10,3,10000,10000,10000;10,10000,5,8,6,10000;3,5,10000,10000, 2,10000;10000,8,10000,10000,7,11;10000,6,2,7,10000,17;10000,10000,100 00,11,17,10000;];%G表示图G的各边权值，自身到自身的权值和不直接相连的顶点的权值设为10000i=1;T1=[1,2,1,3,2,2,4,4,5;3,3,2,5,5,4,5,6,6;3,5,10,2,6,8,7,11,17;0,0,0,0, 0,0,0,0,0];%T1表示图G的边的信息，第一行是边的起始点，第二行是边的终点，第三行是边的权重，第四行表示对边的选择T=T1(1:3,:);DG=sparse(T1(1,:),T1(2,:),T1(3,:),m,m);%用稀疏矩阵view(biograph(DG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'));%画图Prim(i,G);结果：图G：Prim生成的最小生成树：2.Kruskal(克鲁斯卡尔)算法算法：假设G(V,E)是有n个顶点的无向连通图。
最小生成树的经典算法
最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一个连接图中所有节点且权值之和最小的树。
有两个经典算法可以解决最小生成树问题：普里姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）。
1. 普里姆算法（Prim's Algorithm）：
普里姆算法是一种贪心算法，从一个初始节点开始，逐步选择与当前生成树相邻的边中权值最小的边，将其加入生成树，然后扩展到新加入的节点。
该算法的基本步骤如下：
1. 选择初始节点，将其标记为已访问。
2. 从已访问的节点中选择一条边，该边的权值最小且连接一个未访问的节点。
3. 将该边和相应的节点加入生成树，并标记该节点为已访问。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问。
2. 克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）：
克鲁斯卡尔算法也是一种贪心算法，它通过按权值升序的顺序逐渐选择图中的边，如果选择某条边不形成回路，则将其加入生成树。
该算法的基本步骤如下：
1. 将图中所有边按照权值升序排列。
2. 从最小权值的边开始，依次选择每条边。
3. 如果选择某条边不形成回路，则将其加入生成树，否则舍弃该边。
4. 重复步骤2和步骤3，直到生成树中包含了所有节点。
这两种算法都能够有效地求解最小生成树问题，选择使用哪个算法通常取决于具体的问题需求、图的规模和边的数量。
在实际应用中，这两种算法都有广泛的应用。
最小生成树算法详解
最小生成树算法详解最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个经典问题，它是指在一个加权连通图中找出一棵包含所有顶点且边权值之和最小的树。
在解决实际问题中，最小生成树算法被广泛应用于网络规划、电力传输、城市道路建设等领域。
本文将详细介绍最小生成树算法的原理及常见的两种算法：Prim算法和Kruskal算法。
一、最小生成树算法原理最小生成树算法的核心思想是贪心算法。
其基本原理是从图的某个顶点开始，逐步选取当前顶点对应的边中权值最小的边，并确保选取的边不会构成环，直到所有顶点都被连接为止。
具体实现最小生成树算法的方法有多种，两种常见的算法是Prim 算法和Kruskal算法。
二、Prim算法Prim算法是一种基于顶点的贪心算法。
它从任意一个顶点开始，逐渐扩展生成树的规模，直到生成整个最小生成树。
算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合和一个空的顶点集合，将任意一个顶点加入到顶点集合中。
2. 从顶点集合中选择一个顶点，将其加入到生成树集合中。
3. 以生成树集合中的顶点为起点，寻找与之相邻的顶点中权值最小的边，并将该边与对应的顶点加入到最小生成树中。
4. 重复第3步，直到生成树中包含所有顶点。
Prim算法是一种典型的贪心算法，其时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
三、Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法。
它首先将所有边按照权值从小到大进行排序，然后从小到大依次选择边，判断选取的边是否与已选取的边构成环，若不构成环，则将该边加入到最小生成树中。
算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合。
2. 将图中的所有边按照权值进行排序。
3. 依次选择权值最小的边，判断其两个顶点是否属于同一个连通分量，若不属于，则将该边加入到最小生成树中。
4. 重复第3步，直到最小生成树中包含所有顶点。
Kruskal算法通过并查集来判断两个顶点是否属于同一个连通分量，从而避免形成环。
最小生成树算法详解
最小生成树算法详解常见的最小生成树算法包括普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。
下面将详细介绍这两种算法的原理和步骤。
普里姆算法的基本思想是从一个顶点出发，每次选择与当前生成树相连的权重最小的边，直到生成树包含所有的顶点。
具体步骤如下：1.初始化一个空的生成树和一个空的候选边集合。
2.随机选择一个起始顶点，将其加入生成树中，并将与该顶点相连的边加入候选边集合。
3.从候选边集合中选择权重最小的边，如果该边的另一个顶点不在生成树中，则将该顶点加入生成树，并将与该顶点相连的边加入候选边集合。
4.重复步骤3，直到生成树包含所有的顶点。
克鲁斯卡尔算法的基本思想是从所有边中选取权重最小的边，然后逐步扩展生成树，直到生成树包含所有的顶点。
具体步骤如下：1.初始化一个空的生成树和一个空的候选边集合。
2.将图中的所有边按权重从小到大排序，并加入候选边集合中。
3.从候选边集合中选择权重最小的边，如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则将该边加入生成树，并将其两个顶点合并到同一个连通分量中。
4.重复步骤3，直到生成树包含所有的顶点。
普里姆算法和克鲁斯卡尔算法都能够求解最小生成树，它们的主要区别在于选择候选边的方式不同。
普里姆算法每次选择与当前生成树相连的权重最小的边，而克鲁斯卡尔算法每次选择整个图中权重最小的边。
因此，普里姆算法适用于稠密图，而克鲁斯卡尔算法适用于稀疏图。
总结起来，最小生成树算法是图论中的一种重要算法，用于求解连通图中的一棵权重最小的生成树。
普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是常见的最小生成树算法，它们的主要区别在于选择候选边的方式不同。
这些算法的时间复杂度与图的边数有关，通常为O(ElogE)。
在实际应用中，可以根据具体问题选择适合的算法来求解最小生成树。
最小生成树算法详解
Kruskal算法的核心是使用并查集来维护连通性，当一条边的两个顶点属于不同的 连通分量时，将这条边加入到生成树中，同时将两个连通分量合并为一个连通分 量，直到所有的连通分量都被合并为一个连通分量，生成树构建完毕。
算法步骤
初始化
将所有的边按照权值从小到大排序，初始化并查集和生成树。
选择边
从最小的边开始，依次选择每一条边，如果这条边的两个顶点属于不同的连通分量，将这 条边加入到生成树中，并将两个连通分量合并为一个连通分量。
最小生成树算法详解
xx年xx月xx日
目 录
• 最小生成树概述 • 普里姆算法（Prim算法） • 克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法） • 最小生成树算法比较 • 最小生成树算法实践
01
最小生成树概述
定义与性质
定义
最小生成树是一个图的所有顶点连接起来形成的树，其所有 边的权重之和最小。
性质
最小生成树是一种最优树，它代表了从图中所有顶点中选择 一些顶点，使得这些顶点之间连接的边的权重之和最小。
重复选择
重复以上步骤，直到所有的边都被考虑过，生成树构建完毕。
Kruskal算法的拓展与优化
拓展
Kruskal算法适用于任何连通的带权图，不仅限于树和森林。
优化
在实现Kruskal算法时，可以通过优化查找和排序算法来提高效率。例如，使 用并查集的路径压缩和按秩合并优化来减少查找和合并操作的时间复杂度。
01
图论
最小生成树算法是图论中的一个经典问题，需要使用图的数据结构来
表示和解决问题。
02
并查集
并查集是一种用于处理不相交集合的数据结构，可以高效地解决最小
生成树算法中的连通性问题。
03
最小生成树算法及其算法
最小生成树算法及其算法最小生成树(Minimum Spanning Tree，简称MST)是一种在无向图中找到一棵包含所有顶点，且边权重之和最小的树的算法。
MST应用广泛，例如在通信网络中铺设光缆、构建公路网，以及电力线路规划等方面。
常见的求解MST的算法有Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法：Prim算法采用贪心的策略，在每一步选择当前生成树与未选择的顶点中，权重最小的边，并将该边所连接的顶点加入生成树中。
Prim算法的具体步骤如下：1)初始化一个空生成树，将其中一个顶点加入生成树中。
2)在未选择的顶点中，选择权重最小的边，并将其所连接的顶点加入生成树中，同时将边加入生成树中。
3)重复上述步骤，直到所有的顶点都加入生成树中。
Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
如果使用优先队列来选取权重最小的边，时间复杂度可以优化到O(E log V)，其中E 为边数。
2. Kruskal算法：Kruskal算法也是一种贪心算法，它首先将所有边按照权重从小到大排序，然后按顺序将边加入生成树中。
在加入边的过程中，要注意不能形成环路。
Kruskal算法的具体步骤如下：1)初始化一个空生成树。
2)将所有边按照权重从小到大排序。
3)依次选择权重最小的边，将该边所连接的顶点加入生成树中。
如果加入该边会形成环路，则舍弃该边。
4)重复上述步骤，直到生成树中包含了所有的顶点。
Kruskal算法的时间复杂度为O(E log E)，其中E为边数。
由于排序边的时间复杂度较高，Kruskal算法通常使用并查集来快速判断是否形成环路，从而优化算法的效率。
无论是Prim算法还是Kruskal算法，得到的最小生成树在边数上都等于顶点数减1，且具有最小权重和。
这是由于MST的定义决定的。
总之，最小生成树算法是在图中找到一棵包含所有顶点的树，使得边的权重之和最小。
Prim算法和Kruskal算法是两种经典的求解最小生成树问题的贪心算法，它们的时间复杂度分别为O(V^2)和O(E log E)。
生成最小生成树的方法
生成最小生成树的方法
生成最小生成树的方法有以下几种：
1. Kruskal算法：该算法首先将图中的边按权值从小到大排序，然后依次考虑每条边，若加入该边不会形成环，则将该边加入最小生成树中，直到最小生成树的边数等于节点数减一为止。
2. Prim算法：该算法从任意一个节点开始，不断选择与当前
最小生成树相连的边中权值最小的边，将其加入最小生成树中，直到所有节点都被加入最小生成树为止。
3. Boruvka算法：该算法首先将图中的每个节点作为一个独立
的连通分量，并初始化一个空的最小生成树。
然后，依次遍历所有连通分量，每次选择与该连通分量相连的最小权值边，并将其加入最小生成树中。
当最小生成树中的边数等于节点数减一时，算法停止。
4. Reverse-Delete算法：该算法从图中的所有边中按权值从大
到小的顺序考虑，然后依次删除每条边，若删除该边后原图仍然是连通的，则继续删除下一条边，直到最小生成树的边数等于节点数减一为止。
这些方法都可以用来生成最小生成树，选择哪种方法取决于具体的应用场景和图的特点。
最小生成树算法
最⼩⽣成树算法最⼩⽣成树介绍：修路问题本质就是最⼩⽣成树问题，先介绍⼀下最⼩⽣成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称MST。
1）给定⼀个带权的⽆向连通图，如何选择⼀颗⽣成树，使树上所有边上权的总和为最⼩，这叫最⼩⽣成树。
2）N个顶点，⼀定有N-1条边3）包含全部顶点4）N-1条边都在图中5）求最⼩⽣成树的算法主要是Prim算法和Kruskal算法Prim算法应⽤场景---修路问题正确思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最⼩，从⽽保证总⾥程数最⼩Prim算法介绍：1）Prim算法求最⼩⽣成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有（n-1）条边包含所有n个顶点的连通⼦图，也就是所谓的极⼩连通⼦图2）Prim算法如下：（1）设G = （V，E）是连通⽹，T = （U，D）是最⼩⽣成树，V，U是顶点集合，E、D是边的集合（2）若从顶点u开始构造最⼩⽣成树，则从集合V中取出顶点u放⼊集合U中，标记顶点v的visited[u] = 1（3）若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最⼩的边，但不能构成回路，将顶点vj加⼊集合U中，将边（ui，vj）加⼊集合D中，标记visited[vj] = 1（4）重复步骤2），直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边给个例题理解⼀下：1问题描述232015年，全中国实现了户户通电。
作为⼀名电⼒建设者，⼩明正在帮助⼀带⼀路上的国家通电。
4 这⼀次，⼩明要帮助 n 个村庄通电，其中 1号村庄正好可以建⽴⼀个发电站，所发的电⾜够所有村庄使⽤。
5 现在，这 n 个村庄之间都没有电线相连，⼩明主要要做的是架设电线连接这些村庄，使得所有村庄都直接或间接的与发电站相通。
6 ⼩明测量了所有村庄的位置（坐标）和⾼度，如果要连接两个村庄，⼩明需要花费两个村庄之间的坐标距离加上⾼度差的平⽅，形式化描述为坐标为 (x_1, y_1) ⾼ 7 sqrt((x_1-x_2)(x_1-x_2)+(y_1-y_2)(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2)。
最小生成树算法详解(课堂PPT)
0 0 0 0 0 {v1,v3,v6,v4,v2,v5}
{}
21
普里姆算法求最小生成树
• 图采用邻接矩阵表示
6 v2
5 3
6 v5
v1 5
1 v4 5
v3 42
6 v6
1
2
graph. arac[][] =
3 4
5
6
123456
∞ 6 1 5∞∞ 6 ∞5∞3 ∞ 1 5∞5 6 4 5 ∞ 5 ∞∞ 2 ∞ 3 6 ∞∞ 6 ∞∞4 2 6 ∞
6
adjvex lowcost
v3 5
0
v6 2
v3 6
0
{v1,v3,v6}
{v2,v4,v5 }
4
adjvex lowcost
v3 5
0
0
v3 6
0
{v1,v3,v6,v4}
{v2,v5 }
2
adjvex lowcost
0
0
0
v2 3
0
{v1,v3,v6,v4,v2}
{v5 }
5
adjvex lowcost
(5) ｛V1 ,V3 ,V6 ,V4 ,V2 ,V5 ｝ ｛ ｝
6
最小代价生成树
V1
1
普里姆算法求最小生成树：从
V3
生成树中只有一个顶点开始，
到顶点全部进入生成树为止
V1
6
5
1
V2
V4
V3
V5
V6
步骤 (0) (1)
U
V-U
｛V1 ｝ ｛ V2 ,V3 ,V4 , V5 ,V6 ｝ ｛V1 ,V3 ｝ ｛ V2 ,V4 , V5 ,V6 ｝
最小生成树两种算法详解
最⼩⽣成树两种算法详解最⼩⽣成树众所周知, 树是⼀种特殊的图, 是由n-1条边连通n个节点的图.如果在⼀个有n个节点的⽆向图中, 选择n-1条边, 将n个点连成⼀棵树, 那么这棵树就是这个图的⼀个⽣成树.如果保证树的边权和最⼩, 那么这棵树就是图的最⼩⽣成树.为了求⼀棵树的最⼩⽣成树, 有两种算法, ⼀种是选择点加⼊树的Prim算法, 另⼀种是选择边加⼊树的Kruskal算法.Prim算法这个算法的过程和Dijkstra类似, 但有所不同.⾸先选择任意⼀点作为树的第⼀个节点0, 枚举与它相连的所有点i, 将两点之间的边权记为这个点到⽣成树的距离b[i], 选择距离最近的点加⼊⽣成树, 然后枚举与之相邻的节点j, ⽤边权a[i,j]更新b[j], 使其等于min(b[j],a[i,j]), 这样再继续加⼊当前离⽣成树最近的点, 在更新它相邻的点, 以此类推, 直到所有点全部加⼊⽣成树. 这样, 便求出了最⼩⽣成树.关于正确性我⾃⼰的思路是这样的: 如果⽤Prim算法求出了⼀棵最⼩⽣成树, 将⼀条边u换成另⼀条更⼩的v, 就得到⼀棵边权和更⼩的⽣成树. ⾸先保证树连通, 所以去掉u和v, ⽣成树被分成两个连通块是⼀模⼀样的. 在当时连接u的时候, 已经决策完的⽣成树⼀定也和v相连, 这时v连接的节点⼀定会⽐u连接的节点更早加⼊, 所以⼀开始的假设不成⽴, 算法正确.具体代码实现#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;int n,m,l,r,x,a[5005][5005]/*邻接矩阵*/,b[5005]/*点到⽣成树的最短边权*/,now/*当前加⼊的点*/,k=1/*⽣成树节点数*/,ans=0/*⽣成树总边权和*/;bool vsd[5005]={0};void update(int at){//⽤节点at更新其他点的b[]值for(int i=1;i<=n;i++) {b[i]=min(a[at][i],b[i]);}vsd[at]=true;return;}int find(){//寻找当前离⽣成树最近的点int ft=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(!vsd[i]){//不在树中if(b[i]<=b[ft]){ft=i;}}}return ft;}int main(){cin>>n>>m;memset(a,0x3f,sizeof(a));for(int i=1;i<=n;i++){a[i][i]=0;}for(int i=1;i<=m;i++){cin>>l>>r>>x;a[l][r]=min(a[l][r],x);//防⽌有两个点之间出现边权不同的⼏条边a[r][l]=min(a[r][l],x);}memset(b,0x3f,sizeof(b));update(1);while(k<n){//加⼊n-1个点后返回(第⼀个点本来就在树中, ⽆需加⼊)now=find();//加⼊最近的点nowans+=b[now];//统计答案update(now);//更新其他点k++;//统计点数}cout<<ans<<endl;return 0;}Kruskal算法这个算法和Prim相反, 它是将边记为树上的边, 最终得到⼀棵最⼩⽣成树.将所有边按边权排序, 然后将它们从⼩到⼤讨论是否加⼊⽣成树. 如果该边的两个端点属于同⼀个连通块, 这时加⼊该边就会形成环, 不符合树的定义, 所以舍弃. 如果该边两个端点不属于同⼀个连通块, 那么连接该边, 将两个端点所在连通块连成⼀个.当共加⼊n-1条边的时候, 就得到了⼀棵最⼩⽣成树.对于查找两点是否在同⼀个连通块中的⽅法, 我们可以使⽤并查集来维护点之间的连通关系.正确性简易说明Kruskal相对来说更好理解, 因为从⼩到⼤排序后, 使⽤被舍弃的边连成环是⾮法的, 使⽤排在后⾯的合法的边替换已经选择的边, 得到的答案不是最优的. 所以Kruskal算法正确.代码实现#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int n,m,fa[10005],s,e,l,k=0,ans=0;struct side{int le,ri,len;//起点, 终点, 边权}a[200005];bool cmp(side x,side y){//结构体sort规则return(x.len<y.len);}int find(int x){//并查集寻找最⽼祖先if(fa[x]==x){//⾃⼰就是当前连通块最⽼祖先return x;}fa[x]=find(fa[x]);//⾃⼰祖先的最⽼祖先return fa[x];}int main(){cin>>n>>m;memset(a,0x3f,sizeof(a));for(int i=1;i<=m;i++){cin>>s>>e>>l;a[i].le=s;//结构体存储边a[i].ri=e;a[i].len=l;}sort(a+1,a+m+1,cmp);//按边权升序排列for(int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;//初始化并查集}int i=0;while((k<n-1/*加⼊了n-1个点跳出*/)&&(i<=m/*枚举完了所有的边跳出*/)){i++;int fa1=find(a[i].le),fa2=find(a[i].ri);//两个端点的最⽼祖先if(fa1!=fa2){//不在同⼀连通块ans+=a[i].len;//记录答案fa[fa1]=fa2;//连接连通块k++;//记录边数}}cout<<ans<<endl;return 0;}之前发的是笔记, 现在发的是实战总结。
最小生成树的两种算法
最小生成树的两种算法包括：
1. Prim算法：
Prim算法是一种选择点加入树的算法。
首先选择任意一点作为树的第一个节点，然后枚举与它相连的所有点，将两点之间的边权记为这个点到生成树的距离，选择距离最近的点加入生成树，然后枚举与之相邻的节点，用边权更新该节点的距离，使距离等于两个节点之间的边的权重和。
再继续加入当前离生成树最近的点，在更新它相邻的点，以此类推，直到所有点全部加入生成树。
这样就求出了最小生成树。
2. Kruskal算法：
Kruskal算法也称为“加边法”。
首先把图中的所有边按代价从小到大排序，把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林，按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点应该属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。
重复以上步骤，直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。
这样就可以得到最小生成树。
以上信息仅供参考，可以咨询计算机专业人士或者查看专业书籍，
以获取更准确更全面的内容。
最小生成树算法详解
Prim算法
总结词
详细描述
时间复杂度
适用场景
Kruskal算法
01
02
03
04
03
Prim算法详解
01
Prim算法是一种求解最小生成树问题的贪心算法，通过不断添加边来构成最小生成树。
算法原理
02
Prim算法的基本思想是从一个点开始，逐步扩展最小生成树的边集合，直到覆盖所有的顶点。
03
在每一轮迭代中，Prim算法选择当前生成树到未被覆盖的顶点中距离最短的边，并将其对应的顶点加入到生成树中。
O(ElogE)，其中E为边集合的长度。
空间复杂度
O(V)，其中V为顶点集合的长度。
时间复杂度与空间复杂度
04
Kruskal算法详解
Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法，其核心思想是按边权值从小到大选择边，并保证选择的边不构成环。
Kruskal算法的基本步骤是将原始图G的所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择每条边，如果这条边连接的两个顶点在已选择的边的集合中没有公共的顶点，则将这条边加入到最小生成树中。
Prim算法应用案例
在一个连接了若干个顶点的无向图中，每个边都有一个与之相关联的权重，我们的目标是按照边的权重重小到大的顺序选择若干条边，使得选择的边的集合构成了一个连通图，并且总权重最小。
问题描述
例如，在物流运输中，如果每个节点代表一个仓库或中转站，边代表运输路径，那么Kruskal算法可以帮助我们找到用最少的运输成本将所有节点连接起来的最小生成树。
定义：最小生成树是一种用于图形数据结构的算法，它寻找一棵包含图中所有顶点的树，使得树的边的权值和最小。
特点
1
应用场景
图论算法--最小生成树
生成树的权值之和为 39。
A, D, F, 无 B, E, C,
G
算法时间复杂度：O (N2)。 【例 02】最优布线问题(wire) 【问题描述】
学校有 n 台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被 连接是指它们间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接 费用往往是不同的。
率先选择了边 AD。这样我们的图就变成了左图
第 6 页 共 12 页
南京外国语学校 史钋镭
在剩下的变中寻找。我们找到了 CE。这里边的权重也 是5
依次类推我们找到了 6,7,7，即 DF，AB，BE。
下面继续选择，BC 或者 EF 尽管现在长度为 8 的边是 最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于 BC 可以通过 CE,EB 来连接，类似的 EF 可以通过 EB,BA,AD,DF 来接连）。所以不需要选择他们。类似 的 BD 也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示 了）。最后就剩下 EG 和 FG 了。当然我们选择了 EG。
二、最小生成树用来解决什么问题？
就是用来解决如何用最小的“代价”用 N-1 条边连接 N 个点的问题。
【例 01】城市公交网建设问题 【问题描述】
有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为 在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市 都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得 工程的总造价最少？ 【输入格式】
}
int cmp(const point &a,const point &b){
//sort()自定义的比较函数
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｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
｛ ｝
最小代价生成树
V1
1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开
V3
始，到顶点全部进入生成树
为止
V1
6
5
1
V2 V3
V4
V5
V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛V,1V4,V｝3 ,V6
V｛V25
｝,V4 , V｝2, V5
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1
V2 5 V3
V4
42
V6
V1 6
V2 5 V3
V4
6 V5 6 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
最小生成树算法
------prim& Kruskal
生成树的概念
生成树
➢ 一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有 图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边 。
➢ 生成树不唯一
V2
V2
V1
V4
V6 V5
V1
V4
V3
V2
V3 生成树
V6 V5
V2
V1
V4
V3
V6 V5
V1
V4
V3
V6 V5
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1 V3
4 V6
V1
6
5
V2 5 V3 5 V4
64
V5
V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) ｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ VV25 ｝,V4 ,
v1
6
5
v2 1 v4 55
v3
3 6
42
v5 6 v6
weight：15 (v1, v3) (v3, v6) (v6, v4) (v3, v2) (v2, v5) 或者(1, 3) (3, 6) (6, 4) (3, 2) (2, 5)
普里姆算法的实现
顶点集合如何表示？
最小边如何选择？
顶点i与顶点k
普里姆算法构造最小生成树的过程是从一个顶点 U={u0}作初态，不断寻找与U中顶点相邻且代价最小 的边的另一个顶点，扩充到U集合直至U=V为止。
最小代价生成树
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
V1
1
V2 5 V3
V4
3
42
V5
V6
V1
6
5
1 V2 5 V3 5 V4
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1
V3
V4
42
V6
V1
6
5
V2 5 V3 5 V4
6 V5 6
2 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3)
是 在关联生成树顶点的边中（即边的 一个顶点在生成树中，另一个顶点不在）
取权值最小者
结束
将选中的边加入生成树， 同时将该边的关联顶点加入生成树中
基本要求
从键盘（或数据文件）输入图的信息，用普里姆算法 求解给定无向连通图的最小生成树，最后输出最小生 成树中的权值和所有的边，图的存储结构自行设定。
例如 下图的输出为
最小代价生成树
生成树的代价等于其边上的权值之和。
V1
6
5
1 V2 5 V3 5 V4
36 4 2
V1
6
5
V5 6 V6
V1
1
1
V2 V3
V4
V2 5 V3
V4
64
3
42
V5
V6
V5
V6
最小代价生成树
两种常用的构造最小生成树的方法： ➢ 普里姆算法（prim） ➢ 克鲁斯卡尔算法（ Kruskal）
, ,
V5 V5
(2) (3) (4) (5)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛｛｛VV1V,11,V,,V4,V,V3V2V｝33,｝,V,｝V6V66,,VV44
V｛V25 ,V2
｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
｛ ｝
普里姆(Prim)算法
开始 生成树中只放置一个顶点
生成树中顶点数小于n否?
36 4 2
V5 6 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3) (4) (5)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛｛｛VV1V,11,V,,V4,V,V3V2V｝33,｝,V,｝V6V66,,VV44
V｛V25 ,V2
普里姆(Prim)算法
假设N=(V，E)是连通网，TE是N上最小生成树中边的 集合。
算法从U={u0}(u0∈V)，TE={}开始，重复执行下述操 作：
在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)中找一条代价最小的边(u0 ,v0),将其并入集合TE，同时将v0并入U集合。
当U=V则结束，此时TE中必有n-1条边，则T=(V，{TE})为N 的最小生成树。
V｛V25 ,V2
｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
｛ ｝
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1
V2 5 V3
V4
3
42
V5
V6
V1
V2 V3
V4
V5
V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3) (4)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛｛VV,11V,,4,VVV2｝33 ｝,,VV66
｛ V｛V25 ,V4
｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
邻接
一个顶点加入U集合（生成树中）
如何表示？
顶点k已经在U 集合中
struct { int adjvex;
closedge[i].adjvex= k
double lowcost;
}closedge[MAX_VERTEX_NU
1
V2 5 V3
V4
3
42
V5
V6
V1
V2 V3
36 V5 6
V4 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3) (4) (5)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛｛｛VV1V,11,V,,V4,V,V3V2V｝33,｝,V,｝V6V66,,VV44