最小生成树算法详解

｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
｛ ｝
最小代价生成树
V1
1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开
V3
始，到顶点全部进入生成树
为止
V1
6
5
1
V2 V3
V4
V5
V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1
V3
V4
42
V6
V1
6
5
V2 5 V3 5 V4
6 V5 6
2 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3)
是 在关联生成树顶点的边中（即边的 一个顶点在生成树中，另一个顶点不在）
取权值最小者
结束
将选中的边加入生成树， 同时将该边的关联顶点加入生成树中
基本要求
从键盘（或数据文件）输入图的信息，用普里姆算法 求解给定无向连通图的最小生成树，最后输出最小生 成树中的权值和所有的边，图的存储结构自行设定。
例如 下图的输出为
最小生成树算法
------prim& Kruskal
生成树的概念
生成树
➢ 一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有 图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边 。
➢ 生成树不唯一
V2
V2
V1
V4
V6 V5
V1
V4
V3
V2
V3 生成树
V6 V5
V2
V1
V4
V3
V6 V5
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V1
V4
V3
V6 V5
1
V2 5 V3
V4
3
42
V5
V6
V1
V2 V3
36 V5 6
V4 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3) (4) (5)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛｛｛VV1V,11,V,,V4,V,V3V2V｝33,｝,V,｝V6V66,,VV44
邻接
一个顶点加入U集合（生成树中）
如何表示？
顶点k已经在U 集合中
struct { int adjvex;
closedge[i].adjvex= k
double lowcost;
}closedge[MAX_VERTEX_NU
36 4 2
V5 6 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3) (4) (5)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛｛｛VV1V,11,V,,V4,V,V3V2V｝33,｝,V,｝V6V66,,VV44
V｛V25 ,V2
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3) (4)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛｛VV,11V,,4,VVV2｝33 ｝,,VV66
｛ V｛V25 ,V4
｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
最小代价生成树
生成树的代价等于其边上的权值之和。
V1
6
5
1 V2 5 V3 5 V4
36 4 2
V1
6
5
V5 6 V6
V1
1
1
V2 V3
V4
V2 5 V3
V4
64
3
42
V5
V6
V5
V6
最小代价生成树
两种常用的构造最小生成树的方法： ➢ 普里姆算法（prim） ➢ 克鲁斯卡尔算法（ Kruskal）
V｛V25 ,V2
｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
｛ ｝
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1
V2 5 V3
V4
3
42
V5
V6
V1
V2 V3
V4
V5
V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3) (4) (5)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛｛｛VV1V,11,V,,V4,V,V3V2V｝33,｝,V,｝V6V66,,VV44
V｛V25 ,V2
｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
｛ ｝
普里姆(Prim)算法
开始 生成树中只放置一个顶点
生成树中顶点数小于n否?
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1 V3
4 V6
V1
6
5
V2 5 V3 5 V4
64
V5
V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) ｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ VV25 ｝,V4 ,
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛V,1V4,V｝3 ,V6
V｛V25
｝,V4 , V｝2, V5
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1
V2 5 V3
V4
42
V6
V1 6
V2 5 V3
V4
6 V5 6 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
v1
6
5
v2 1 v4 55
v3
3 6
42
v5 6 v6
weight：15 (v1, v3) (v3, v6) (v6, v4) (v3, v2) (v2, v5) 或者(1, 3) (3, 6) (6, 4) (3, 2) (2, 5)
普里姆算法的实现
顶点集合如何表示？
最小边如何选择？
顶点i与顶点k
普里姆(Prim)算法
假设N=(V，E)是连通网，TE是N上最小生成树中边的 集合。
算法从U={u0}(u0∈V)，TE={}开始，重复执行下述操 作：
在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)中找一条代价最小的边(u0 ,v0),将其并入集合TE，同时将v0并入U集合。
当U=V则结束，此时TE中必有n-1条边，则T=(V，{TE})为N 的最小生成树。
普里姆算法构造最小生成树的过程是从一个顶点 U={u0}作初态，不断寻找与U中顶点相邻且代价最小 的边的另一个顶点，扩充到U集合直至U=V为止。
最小代价生成树
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
V1
1
V2 5 V3
V4
3
42
V5
V6
V1
6
5
1 V2 5 V3 5 V4