高考数学函数必备教材
数学高考知识点书籍
数学高考知识点书籍随着数学高考要求的不断提高，备战数学高考成为众多高中生的重要任务。
除了课堂学习，选择一本合适的数学高考知识点书籍也是实现高分的关键。
本文将为大家介绍几本备考数学高考的经典教材和参考书，帮助大家选择适合自己的数学高考知识点书籍。
一、《数学高考必备知识点》《数学高考必备知识点》是一本由教育部编写的权威教材，涵盖了数学高考的全部知识点。
该书内容详尽全面，结构合理，适合系统地复习和加深对知识点的理解。
它以章节形式组织，每章都围绕一个主题进行讲解，包括代数、几何、概率与统计等。
每个知识点都有清晰的解释和简洁明了的例题，帮助读者掌握基本概念和解题技巧。
此外，书中还提供了大量高考真题和模拟试题，供读者进行练习和巩固。
二、《数学高考精讲》《数学高考精讲》是一本由知名教育机构编写的参考书。
该书以考点为核心，对数学高考的常见知识点进行深入解析。
每个知识点都通过简单易懂的语言进行阐述，配以充分的例题和习题，帮助读者掌握解题方法和技巧。
此外，书中还包含了一些历年高考真题和模拟试题的详细解析，供读者进行针对性练习和复习。
三、《数学高考解题技巧》《数学高考解题技巧》是一本由数学专家撰写的实用参考书。
该书以解题技巧为主线，对高考数学中需要掌握的解题方法进行详细介绍和讲解。
书中系统整理了高考常见题型的解题思路和技巧，通过实例进行详细演示，使读者能够理解和掌握解题的基本思路和步骤。
此外，书中还包含了一些高考真题及其解析，供读者进行练习和模仿。
总结：在选择数学高考知识点书籍时，我们应该根据自己的实际情况和备考需求进行选择。
如果希望全面系统地复习数学知识，可以选择《数学高考必备知识点》这样的教材；如果想加深对知识点的理解并提高解题能力，可以选择《数学高考精讲》这样的参考书；如果希望掌握解题技巧并增加解题的效率，可以选择《数学高考解题技巧》这样的辅导书。
当然，这些书籍只是备考的辅助工具，更重要的是通过不断练习和巩固所学知识，提高自己的解题能力和应试技巧。
高考数学必考知识点书籍
高考数学必考知识点书籍高考是每个学生求学生涯中的重要节点，决定了他们能否进入理想的高校进一步深造。
数学作为高考的必考科目之一，无疑是考生们最头疼的一科。
为了应对高考数学，掌握必考知识点是至关重要的。
在备考过程中，选择适合自己的数学参考书籍是一个非常重要的决策。
下面，我将推荐几本高考数学必考知识点的书籍，希望对广大考生有所帮助。
一、《高分必背30讲》这本书由教育专家编写，得益于他们多年的教学经验和对高考命题规律的研究。
在这本书中，作者精选了高考数学必考知识点，通过简洁明了的讲解和大量的例题，使学生能够迅速理解和掌握这些知识点。
此外，该书还提供了一些应试技巧和备考方法，有助于考生在考试中取得更好的成绩。
二、《数学参考书（高中）》这本书是由多位知名数学教育专家合著的，是一本权威的高中数学参考书。
该书分为基础篇和提高篇两部分，基础篇详细介绍了高中数学的基本概念和常用公式，提高篇则进一步拓展了数学的知识面，涵盖了高考必考知识点以外的内容。
这本书为学生提供了广泛的数学题目和答案，有助于学生的巩固和拓展。
三、《高考数学应试指南》这本书由一位资深数学教师撰写，紧贴高考内容，以考试的形式展现高考数学必考知识点，帮助学生全面、深入地理解和掌握知识。
该书通过归纳总结高频考点和题型，针对不同类别的题目提供了具体的解题方法和技巧。
此外，书中还包含了大量的练习题和模拟试题，供学生进行自测和模拟考试。
四、《高考数学精讲精练》这本书是经过数位高考数学命题专家审核的，以高考数学必考知识点为主线，结合了历年高考真题，对每个知识点进行了深入浅出的精讲。
在每个知识点后，还附有典型例题和解题思路，帮助学生更好地理解和掌握知识点。
该书通过讲解和练习相结合，既能提高学生的解题能力，又能加深对知识点的理解。
以上推荐的几本书籍都是在备考高考数学过程中非常有价值的参考资料。
考生可以根据自身情况选择适合自己的一本或多本进行学习。
在备考过程中，最重要的是要注重理解和掌握知识点，同时也要进行大量的练习和巩固。
函数概念的书籍
函数概念的书籍函数概念是数学中的重要概念之一，它在数学各个领域中都有广泛的应用。
在高等数学中，函数概念是一个基础概念，体现了数学思维的抽象和逻辑推理的能力。
下面，我将介绍几本关于函数概念的书籍，这些书籍在函数概念的理论和应用方面都有深入的探索，能够帮助读者全面了解函数概念的内涵和外延。
1. 《微积分学》（原书第6版）——作者：Susan Jane Colley这本书是美国一所大学的微积分课程教材，涵盖了微积分的各个方面，包括函数的定义、性质和应用等。
在函数概念的介绍和讲解上，本书详细且易懂，适合初学者阅读。
书中通过大量的例题和解题技巧，引导读者理解函数概念的基本思想和求解方法。
同时，本书还介绍了函数的图像、极限和连续等相关知识，帮助读者深入理解函数和函数概念在微积分中的作用和应用。
2. 《高等数学》（全日制普通高等学校教材·第六版）——作者：郭家达等这本教材是国内高等院校普遍使用的一本高数教材，包含了高数的全部知识点和学习内容。
在函数概念方面，本书详细介绍了函数的定义、性质、图像、极限和连续等基本概念和理论。
本书通俗易懂，适合初学者阅读，通过大量的例题和习题，帮助读者巩固和应用函数概念的知识点。
同时，本书还涉及到函数的应用，如函数的建模和微分方程等，较全面地介绍了函数概念在数学和工程等应用领域的作用和价值。
3. 《函数论导论》（原书第3版）——作者：W.A.苏赛德这本书是函数论领域的经典教材，主要介绍了函数概念在函数论中的应用和研究。
函数论是数学中的一个分支学科，研究的是函数的性质和结构。
本书详细讨论了函数的域、像、性质、分类等概念和理论，并引入了度量空间、连续性和一致连续性等高级概念和定理。
本书逻辑严密、内容丰富，对函数概念进行了深入的探讨和研究，适合对函数概念有一定了解的读者阅读。
4. 《函数分析引论》（原书第7版）——作者：Bernard R. Gelbaum、John M.H. Olmsted这本书是函数分析学的入门书籍，介绍了函数分析学中的基本概念和理论，包括函数空间、测度论、线性算子和泛函分析等内容。
数学资料推荐高三知识点
数学资料推荐高三知识点在高三数学备考阶段，熟悉并掌握各个知识点是非常重要的。
为了帮助同学们更好地备考，我在下文中推荐一些优质的数学资料，供大家参考学习。
1. 《高中数学必修一》：这本教材是高中数学的基础教材之一，涵盖了代数、函数、方程与不等式、数列等重要知识点。
同学们可以通过系统地学习本书，巩固基础知识，为高考打下坚实的基础。
2. 《高中数学必修二》：“高中数学必修二”是高中数学的另一本基础教材，主要涵盖了平面向量、解析几何、三角函数等内容。
通过学习本书，同学们可以深入理解向量和几何问题的应用。
3. 《高中数学必修三》：这本教材主要介绍了概率与统计、数学函数、导数与微分、平面解析几何等知识点。
通过系统学习本书，同学们可以掌握几何应用和微积分的相关内容。
4. 《高中数学必修四》：该教材主要涵盖了数列与数学归纳法、三角恒等变换、指数与对数等内容。
通过学习本书，同学们可以加深对这些重要知识点的理解，并掌握解决实际问题的方法。
5. 网络平台：除了传统的纸质教材，网络平台也提供了丰富多样的数学学习资源。
如“好题网”、“闪电数学”等在线平台，它们提供了大量的高质量习题和教学视频，方便同学们进行课外巩固和辅导。
6. 习题集：在备考过程中，做题是非常重要的环节。
一些经典的数学习题集，如北师大版《高中数学随堂辅导习题精粹》、人教版《高考必备习题解析与解题技巧》等，都是优秀的辅助材料，适合同学们进行针对性练习。
总之，以上推荐的数学资料是对高三数学知识点的全面覆盖和深入讲解，通过细致学习这些资料，同学们可以全面提高对数学知识的理解和应用能力。
此外，备考期间也要注重解题训练，熟练掌握各类题型的解题思路和方法。
祝同学们在高考中取得优异成绩！。
山东高等数学函数教材推荐
山东高等数学函数教材推荐在学习高等数学的过程中，教材的选择对于学生的学习效果起到至关重要的作用。
山东地区的高等数学教材市场繁多，学生和老师也面临着众多教材选择的难题。
本文将推荐几本在山东地区备受推崇的高等数学函数教材，希望能为广大学生和教师提供一些参考。
1. 《高等数学》第三版（同济大学版）作为一本经典教材，《高等数学》（同济大学版）第三版在山东地区被广泛使用，并且备受好评。
这本教材以数学理论为基础，融入实际应用，对数学函数的概念、性质和变换等方面进行深入浅出的讲解。
该教材内容全面、结构合理，无论是理论推导还是例题演练都非常详细，有助于学生对高等数学函数的理解和掌握。
2. 《高等数学教程》（北京大学版）《高等数学教程》（北京大学版）是一本在山东地区颇具影响力的教材，其系统性和全面性备受认可。
该教材从数学函数的基础概念出发，逐步推导和阐述了高等数学函数的各个方面，包括函数的性质、导数、积分等。
教材内容通俗易懂，注重数学概念的解释和推导过程的演示，有利于学生对高等数学函数的理论基础的建立。
3. 《高等数学（下册）》（人民教育出版社版）《高等数学（下册）》（人民教育出版社版）是一本常见于山东地区的教材，其内容准确、详实，对于高等数学函数的讲解较为深入。
此教材涵盖了函数的性质、变化率、微分与导数、不定积分等内容，对数学函数的概念和应用进行了全面而系统的介绍。
另外，教材中配有大量的例题和习题，对学生掌握高等数学函数的方法和技巧非常有帮助。
值得一提的是，虽然上述教材在山东地区备受推崇，但不同学校、不同老师可能有不同的教材要求，学生在教材选择时应与学校和老师进行沟通，确保选用的教材符合学校教学要求。
总之，山东地区的高等数学函数教材选择众多，但在挑选教材时应注重教材的科学性、准确性，以及与学校教学要求的契合度。
以上推荐的几本教材在山东地区备受信赖，并且经过了长期的教学实践检验。
希望同学们能够根据自身情况做出明智的选择，提升高等数学函数的学习效果。
高考数学教辅书推荐知识点
高考数学教辅书推荐知识点数学作为高考的一门重要科目，是学生必须要掌握的一项基础学科。
而为了在高考中取得好成绩，学生通常会选择使用数学教辅书进行复习和练习。
本文将介绍几本高中数学教辅书中的一些重要知识点，帮助学生更好地备考。
1.《高中数学教学参考书》《高中数学教学参考书》是一本由教育部编写的权威教辅书。
其中包含了高中数学全部内容，并且每个章节都有详细的解析和习题，非常适合学生进行系统的学习和复习。
在《高中数学教学参考书》中，重要的知识点有很多。
例如，在函数章节中，要掌握函数的概念、特性和性质，熟练运用函数的图像、性质和计算方法。
在解析几何章节中，要熟悉平面和空间的基本概念，了解平面和空间几何图形的性质，能够应用几何知识解决问题。
2.《高中数学竞赛教程》《高中数学竞赛教程》是一本面向高中生数学竞赛的教辅书。
该书以高考数学内容为基础，结合了一些数学竞赛的题型和解题方法。
通过学习《高中数学竞赛教程》，能够提高学生解题的思维能力和应变能力，为他们在高考中取得高分提供帮助。
在《高中数学竞赛教程》中，值得注意的一些知识点包括数列、函数和不等式的应用。
数列是高中数学中一个重要的概念，学生需要了解数列的定义、性质以及常见的数列求和公式。
函数和不等式是数学竞赛中常见的题型，学生需要熟悉不等式的性质和求解方法，掌握函数的图像、特性和应用。
3.《高中数学融合练习册》《高中数学融合练习册》是一本综合性的数学教辅书。
该书以高中数学的全部知识为基础，将各个章节的题目进行了综合排列和混合组合，供学生进行练习和检验掌握程度。
在《高中数学融合练习册》中，重要的知识点有很多。
例如，在代数章节中，学生需要熟练掌握代数式的展开和因式分解，能够应用代数知识解决实际问题。
在概率统计章节中，学生需要掌握概率的基本概念和计算方法，能够进行概率的推断和统计分析。
除了上述几本教辅书，还有许多其他的数学教辅书也非常优秀，可以帮助学生系统地掌握和练习高考数学知识。
数学高考必考知识点资料书推荐
数学高考必考知识点资料书推荐数学作为一门学科，始终在我们的学习生涯中扮演着重要的角色。
尤其对于即将参加高考的学生而言，数学的高考成绩往往直接影响着他们未来的发展方向。
因此，有一本优质的数学资料册子是十分必要的。
在这篇文章中，我将向大家推荐几本数学高考必考知识点资料书。
一、《高考数学必备公式速查手册》高考数学必备公式速查手册是一本经典的数学资料书，它以速查手册的形式收录了高考数学中涉及到的各类公式、定理和计算方法，帮助学生快速掌握必考知识点。
该书将知识点以清晰的索引进行分类，便于学生查找所需的内容。
此外，书中还配备了详细的例题和解析，可以帮助学生更好地理解和应用所学知识。
二、《高考数学习题解答全书》高考数学习题解答全书是一本集合了大量高考题目的解析资料书。
该书以真题为主，按照高考数学考试的题型和知识点进行分类，并提供了详细的解题思路和方法，帮助学生熟悉考试题型和解题思路。
同时，书中还配备了大量的习题和试题，供学生进行练习和巩固知识。
三、《高考数学满分解题法》作为一本实用性很强的数学资料书，《高考数学满分解题法》主要介绍了一些高考数学解题的技巧和方法。
通过详细的解题思路和答题思维导图的展示，学生可以更好地理解解题过程和思路。
此外，该书还提供了大量的例题和解析，可以帮助学生熟悉高考试题的解题方法，提高解题能力。
四、《高考数学备考指南》《高考数学备考指南》是一本相对综合性较强的数学资料书。
该书将高考数学涉及到的各个知识点进行了系统归纳和总结，提供了详细的学习方法和备考技巧。
此外，书中还有一些考生备考经验和答题技巧的分享，可以帮助学生更好地规划自己的备考计划和提升解题能力。
以上推荐的几本数学资料书各自具有其独特的特点和优势，适用于不同类型的学生。
在选择适合自己的数学资料书时，可以根据自身的学习风格和需求进行综合考虑。
而最关键的是要根据教材内容和学校的教学大纲进行选择，确保所选的数学资料书和自己的学习进度相匹配。
2024版高考数学总复习：函数模型及其应用教师用书
第九节函数模型及其应用考试要求：1．在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．2．结合现实情景中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．一、教材概念·结论·性质重现1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)．(2)反比例函数模型：f (x )＝��(k 为常数，k ≠0)．(3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)．(4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(5)指数型函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)．(6)对数型函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)．(7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．(8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋��01．不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化各有不同值的比较存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)幂函数增长比直线增长更快．(×)(2)不存在x0，使��0<�0�<log a x0.(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．(√) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×) 2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝0.001e x B．y＝1000ln xC．y＝x1000D．y＝1000·2xA解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增长速度越快．故选A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B. 4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.5．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_________．3解析：设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形的面积为y，则y＝x·24−4�＝2x(6－x)＝－2(x－3)22＋18，∴当x＝3时，y最大．考点1利用函数的图象刻画实际问题——基础性1．如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()B解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B.故选B. 2．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()B解析：由函数图象可判断出该容器的形状不规则，又函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.3．(多选题)(2022·北京东城区模拟)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的是()A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本BC 解析：由题图(1)可设y 关于x 的函数为y ＝kx ＋b ，k ＞0，b ＜0，k 为票价，当k ＝0时，y ＝b ，则－b 为固定成本．由题图(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则－b 变小，固定成本减小，故A 错误，B 正确；由题图(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，即k 变大，票价提高，b 不变，即－b 不变，固定成本不变，故C 正确，D 错误．4．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (单位：千克)随时间x (单位：天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．1909解析：前10天满足一次函数关系．设为y ＝kx ＋b .将点(1，10)和点(10，30)的坐标代入函数解析式得10=�+�，30=10�+�，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709.当x ＝6时，y ＝1909.1．解决这类问题一般要根据题意构建函数模型，先建立函数模型，再结合模型选图象，并结合五个幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第3题，根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证答案是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点2已知函数模型解决实际问题——综合性汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d 表示停车距离，d 1表示反应距离，d 2表示制动距离，则d ＝d 1＋d 2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．序号速度(km/h)停车距离14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d ＝av ＋b ；模型②：d ＝av 2＋bv ；模型③：d ＝av ＋��；模型④：d ＝av 2＋��(其中v 为汽车速度，a ，b 为待定系数)进行拟合．如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算120km/h 时的停车距离与实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是()A．d ＝av ＋b B．d ＝av 2＋bv C．d ＝av ＋��D．d ＝av 2＋��B 解析：若选择模型①，则60�+�=35.7，100�+�=85.4，解得a ＝1.2425，b ＝－38.85.故d ＝1.2425v －38.85.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为1.2425×120－38.85＝110.25.若选择模型②，则3600�+60�=35.7，10000�+100�=85.4，解得a ＝0.006475，b ＝0.2065.故d ＝0.006475v 2＋0.2065v .当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若选择模型③，则60�+�60=35.7，100�+�100=85.4，解得a ＝0.9996875，b ＝－1456.875.故d ＝0.9996875v －1456.875�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.9996875×120－1456.875120＝107.821875.若选择模型④，则3600�+�60=35.7，10000�+�100=85.4，解得a ＝15.9951960，b ＝379.2857143.故d ＝15.9951960v 2＋379.2857143�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为15.9951960×1202＋379.2857143120＝120.675.由实验数据可知当v ＝120时，停车距离为118m．模型②的预测值更接近118m，故模型②拟合效果最好．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．→→→1．某市家庭煤气的使用量x (单位：m 3)和煤气费f (x )(单位：元)满足关系f (x )＝�，0<�≤�，�+��−�，�>�.已知某家庭2021年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费1月份4m 34元2月份25m 314元3月份35m 319元若4月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元A 解析：根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝4，0<�≤5，4−5，�>5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，该企业考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份2018201920202021…投资成本x 35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得1=3�+�，2=5�+�，解得�=12，�=−12，所以y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)，得1=��3，2=��5，解得�=24，�=2，所以y ＝24·(2)x＝2�−32当x ＝9时，y ＝29−32＝8，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)，得1=log �3+�，2=log �5+�，解得�=2，�=−1，所以y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系．(2)令log 2(x －1)＞6，则x ＞65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．考点3构造函数模型解决实际问题——应用性考向1二次函数、分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50�−115，3≤�≤6，�∈�，−3�2+68�−115，6＜�≤20，�∈�.(2)对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，显然当x＝6时，y max＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3�−＋8113，6＜x≤20，x∈Z，当x＝11时，y max＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(1)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年B解析：若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B.(2)基本再生数R 0与世代间隔T 是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒感染初始阶段，可以用指数模型I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B 解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28−16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t .设在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38�＋�1＝2e 0.38t ，所以e 0.38�1＝2，所以0.38t 1＝ln 2，所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8(天)．故选B.(1)要先学会合理选择模型．与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．1．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损D解析：设买入股票时的价格为m (m >0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m ×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m <m ，所以该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D.2．某汽车销售公司在A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元C解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·�−＋110×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．3．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e-8b＝12a.故e-8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，则t＝24，所以再经过16min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．课时质量评价(十四)A组全考点巩固练1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x(分钟)的函数图象为()D解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.2．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用()A．300天B．400天C．600天D．800天B 解析：使用n 天的平均耗资为3202�+2�+48元，当且仅当320000�＝2n 时取得最小值，此时n ＝400.3．(2023·济南月考)某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)，河水污染质量指数m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝��+�0−e −���(m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年C 解析：由题意可知，m (t )＝�0e−180�＝0.1m 0，则e −180�＝0.1，即－180t ＝ln 0.1≈－2.30，所以t ≈184，则要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是184天，即半年．故选C.4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元D解析：设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p－20)＝－p 3－150p 2＋11700p －166000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0；当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0.故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23000.5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)8解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%×1−≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.6．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x ，在理想情况下，对折次数n 有下列关系：n ≤23·log 2��(注：lg 2≈0.3)．根据以上信息，一张长为21cm，厚度为0.05mm 的纸最多能对折________次．8解析：由题知n ≤23log 24200＝23log 24+log 21000+log ＝232+3log 210+log 2因为log 210＝1lg 2≈10.3，0<log 22120<1，所以n ≤8＋23log 22120，n 的最大值为8.B 组新高考培优练7．(2022·聊城一模)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm 3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%.当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm 3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为()(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)A．5B．7C．8D．9C 解析：设该污染物排放前过滤的次数为n (n ∈N *)，由题意1.2×0.8n≥6，两边取以10为底的对数可得lg≥lg 6，即n lg2＋lg 3，所以n ≥lg 2+lg 31−3lg 2.因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以lg 2+lg 31−3lg 2≈0.3+0.4771−3×0.3＝7.77，所以n ≥7.77，又n ∈N *，所以n min ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．故选C.8．(多选题)(2022·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，则下列结论正确的是()A．当x >1时，甲走在最前面B．当x >1时，乙走在最前面C．当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲CD 解析：甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A 不正确；当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B 不正确．根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，所以C 正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确．9．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，有多部数学著作，其中《益古演段》主要研究平面图形问题，求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是________步、________步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)．2060解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．10．(2023·泰安模拟)某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y (单位：微克)随着时间x (单位：时)变化的函数关系式近似为y＝≤�≤6，12−�6＜�≤12．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：(1)设服用1粒，经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克，可得0≤�≤6，2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果．(2)设经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克．若0≤x ≤6，药物浓度2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.若6＜x ≤12，药物浓度(12－x �−6x 2－20x ＋100≥0，所以6＜x ≤12；若12＜x ≤18，药物浓度12－(x －6)≥4，解得x ≤14，所以12＜x ≤14.综上，x 14，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时．。
第五章 一元函数的导数及其应用(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第五章一元函数的导数及其应用（公式、定理、结论图表）一.导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f x x y x ∆-∆+='=='→∆)()(lim)(|00000二.导数的几何意义函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。
注意两种情况：1.曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。
相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-2.曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。
三.常见函数的导数公式:①'0C =；②'1()n n x nx -=；③'(sin )cos x x =；④'(cos )sin x x =-；⑤'()ln x x a a a =；⑥x x e e =')(；⑦'1(log )ln a x x a =；⑧xx 1)(ln '=。
四.导数的四则运算和复合函数的求导法则：（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(2))()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f （3）2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（4）'⋅'='x u u f x u f ))((五.导数的应用：1.利用导数判断函数单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数；②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍是递增（或递减）的。
第二章 一元二次函数 、 方程和不等式(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背(新教材)
第二章一元二次函数、方程和不等式（公式、定理、结论图表）1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．4．等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .5．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n＞0(n∈N，n≥2)．6．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．7.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S24.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．8．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．9．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．10．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．11．三个“二次”的关系|b提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则>0，＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 12．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式思考1：x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．13．(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c若ax 2＋bx ＋c ≤k 恒成立⇔y max ≤k 若ax 2＋bx ＋c ≥k 恒成立⇔y min ≥k14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．<解题方法与技巧>1．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.典例1：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.典例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以1(a－c)2(b－d)2，得1(a－c)2＜1(b－d)2.又e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.3.对基本不等式的理解2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正典例3：给出下面四个推导过程：①∵a、b为正实数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－ 2.其中正确的推导为()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[解]①∵a、b为正实数，∴ba、ab为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的．③由xy＜0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]4.利用基本不等式比较大小1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.典例4：(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2ab B.ba＋a b ≥2C.a2＋b2ab ≥2ab D.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[解](1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋.]5.利用基本不等式证明不等式1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．典例5：已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c>9.[思路点拨]看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.6.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；典例6：(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12(1－2x )的最大值．[思路点拨](1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解](1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－－4x 3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵0<x<12，∴1－2x>0，∴y＝14×2x(1－2x)≤14×＝14×14＝116∴当且仅当2x＝1－2xx＝14时，y max＝116.7.利用基本不等式求条件最值1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．f(x)＝ax(b－ax)型．典例7：已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．[解]∵x＞0，y＞0，8x＋1 y＝1，∴x＋2yx＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，＋1y＝1，＝16yx，＝12，＝3时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.8.利用基本不等式解决实际问题1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．时，可用函数的单调性求解典例8：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．x ＋3y ＝18，x ＝3y ，＝4.5，＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．9.不等式恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)转化法求参数范围已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，则(1)y≥k恒成立⇒y min≥k即m≥k；(2)y≤k恒成立⇒y max≤k即n≤k.典例9：已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.。
高考数学知识点教辅推荐
高考数学知识点教辅推荐在高考备考过程中，数学往往是一门让很多学生感到头疼和困惑的科目。
数学知识点多、题目形式多样，需要学生掌握扎实的基础知识和解题技巧。
为了帮助学生更有效地备考数学，提高成绩，以下是一些高质量的数学教辅书籍的推荐。
一、基础知识教辅1. 《高中数学基础知识点全解析》：这本教辅书对高中数学的基础知识点进行了全面、深入的解析，包括代数、几何、函数、概率等多个方面。
书中不仅详细介绍了每个知识点的定义、性质和定理，还结合大量例题和习题，帮助学生理解和掌握知识点，并进行巩固练习。
2. 《高中数学思维导图》：这本书通过思维导图的形式，将高中数学中的各个知识点进行分类整理和梳理，帮助学生建立知识框架和思维模式。
通过思维导图的学习方法，学生可以更清晰地理解数学知识的逻辑关系和联系，提高解题的思维能力。
二、解题方法与技巧教辅1. 《高考数学解题技巧与方法》：这本书列举了高考数学中常见的解题方法和技巧，并结合不同题型进行解析和说明。
书中通过详细的步骤和演算过程，让学生了解解题的思路和方法，在考试中能够迅速准确地解决问题。
2. 《提高高考数学解题能力》：这本教辅书从题型分析、解题思路和实例训练等方面入手，帮助学生提高解题能力。
书中针对不同难度的数学题，提供了解题的具体方法和技巧，同时还包括了一些拓展阅读和思考题，帮助学生培养自主学习和思考的能力。
三、真题与模拟试题教辅1. 《高考数学真题详解》：这本教辅书精选了多年高考数学真题，并详细解析了每道题的解题思路和方法。
通过学习真题的解析，学生可以了解高考数学真题的出题规律和考点分布，做到知己知彼，在考试中能够针对性地备考。
2. 《高考数学模拟试题精选》：这本教辅书提供了大量的高考数学模拟试题，并提供了详细的答案和解析。
模拟试题的难度和形式与真实考试接近，学生可以通过反复练习，提高解题速度和准确度，熟悉考试环境，增强信心。
总结起来，高考数学的备考需要学生有扎实的基础知识和良好的解题技巧。
新高考地区数学教材
新高考地区数学教材
《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》、必修一到五、选修一到四。
1、《高中数学必修1》，即《普通高中课程标准实验教科书·数学必修1·A 版》的简称）是2007年人民教育出版社出版的图书，作者是人民教育出版社课题材料研究所、中学数学课程教材研究开发中心。
该书是高中数学学习阶段顺序必修的第一本教学辅助资料。
2、《高中数学A版必修2》，是2007年9月由人民教育出版社出版的图书，作者是王申怀。
该书主要内容是认识空间图形，通过对空间几何体的整体把握，培养和发展空间想象能力。
3、《高中数学必修3》，是新课标高中数学必修系列的第3本书籍，分为
A、B两版，由人民教育出版社出版发行。
本书主要内容是对算法，统计，概率知识的讲解与总结。
4、《高中数学必修4》，是2007年人民教育出版社出版图书，新课标教材，必修系列中第4本，普通高中课程标准实验教科书数学必修4 A版。
5、《高中数学必修5》，是2006年人民教育出版社出版的图书。
本册教科书包括“解三角形”、“数列”、“不等式”等三章内容。
高考用到的的高等数学教材
高考用到的的高等数学教材高考用到的高等数学教材高考是每个学生都经历的一场重要考试，而高等数学作为其中的一科，其所用到的教材也是备受关注的。
下面将介绍一些在高考中常用的高等数学教材，帮助同学们更好地复习和备考。
一、教材一：高等数学（上/下册）高等数学的上下册是高中数学的延伸，是高考高等数学的基础教材之一。
该教材内容全面，涵盖了微积分、数学分析、函数、极限等内容。
它系统地介绍了高等数学的基本概念、定理和方法，并通过大量的例题和习题进行训练与巩固。
教材以理论与实践相结合的方式呈现，理论部分详细讲解了各个概念的定义与性质，而实践部分则提供了实际问题的解决方法。
这样的设置有助于学生更好地理解和应用高等数学的知识。
教材采用了清晰的排版和合理的布局，每一章节都有明确的目标和重点，方便学生有针对性地进行学习和复习。
同时，教材还配有课后习题和答案，可以帮助学生检验自己的学习效果，加强对知识点的理解和掌握。
二、教材二：高等数学（复习版）高等数学的复习版是针对高考而编写的教材，它主要从高考的角度出发，结合历年高考真题，突出重点和难点，对高等数学的各个知识点进行深入浅出的讲解。
教材通过大量的例题和习题，帮助学生巩固和应用所学知识，同时还提供了高考真题的详细解析，让学生对高考题型有更加清晰的认识。
教材在内容和形式上都有一定的创新，采用了图表、实例等方式加深学生对概念和理论的理解。
同时，教材还注重培养学生的解题思维和方法，通过解题技巧和策略的讲解，提高学生的解题能力和应试能力。
三、教材三：高等数学竞赛教材高等数学竞赛教材是为参加高等数学竞赛的学生编写的教材，它的内容更加深入和拓展，涉及到高等数学的更高级和更复杂的知识点。
教材不仅包括了基础知识的讲解和例题的训练，还通过一些挑战性的问题和综合性的例题，培养学生的数学思维和创新能力。
同时，教材还提供了一些数学竞赛的经典题目和解析，帮助学生更好地理解和掌握高等数学的知识。
教材的编排也十分合理，循序渐进地引导学生，设置了许多习题和测试，供学生自测和评估。
高等数学最好的函数教材
高等数学最好的函数教材高等数学是大学本科阶段的基础数学课程之一，函数是高等数学的核心概念之一。
选择一本好的教材对于学习高等数学函数部分至关重要。
本文将介绍几本高等数学函数教材，并分析它们的特点和优缺点，以确定最好的函数教材。
第一本教材是《高等数学函数论》。
这本书通过系统地介绍函数的概念、性质和主要定理，深入剖析函数的重要性和应用。
它的理论阐述通俗易懂，条理清晰，适合初学者阅读。
此外，教材引入了大量的例题和习题，帮助学生巩固所学知识。
然而，这本书在实例和应用方面相对较少，可能会让学生对函数的应用和实际问题的理解方面有所欠缺。
第二本教材是《高等数学函数与分析几何》。
这本教材全面介绍了函数的理论和应用。
教材具有很高的严谨性和深度，适合对函数有一定了解的学生深入学习。
书中的例题和习题数量适中，能够帮助学生加深对函数的理解和掌握。
此外，教材还注重函数与分析几何的结合，增加了几何图像的解析和理论推导，提升了学生的抽象思维能力。
然而，这本书的篇幅较长，对于时间紧张或入门者来说可能较为困难，容易使学生失去信心。
第三本教材是《高等数学函数与极限》。
这本教材以函数与极限为主题，着重介绍了函数的极限理论和运算方法。
教材逻辑清晰，推导过程详细，适合希望深入理解函数极限的学生。
教材中的习题分级设计，从基础题到拓展题，有助于学生逐步提升解题能力。
此外，教材还包含了大量的实例和应用，能够帮助学生将理论知识与实际问题相结合。
然而，这本书在一些细节方面可能不够详细，对于一些重要概念的解释可能较为简略。
综上所述，以上三本教材都有各自的特点和优缺点。
《高等数学函数论》对于初学者而言比较适合，但在应用方面可能有所欠缺。
《高等数学函数与分析几何》对于有一定基础的学生来说是一本很好的教材，但篇幅较长可能不适合时间紧张的学习者。
《高等数学函数与极限》则全面介绍了函数与极限的理论和应用，对于希望深入理解函数极限的学生是一本不错的选择。
总体来说，《高等数学函数与极限》可能是最好的函数教材，但也需要根据个人的情况和学习需求进行选择。
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4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质， 掌握指数函数的概念、图象和性质。
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函 数的概念、图象和性质。 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解 决某些简单的实际问题
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D， y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1) ，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数 不存在反函数．于是决定本题选D．
说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关 系是这里解决问题的关键
分析： 处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数， 看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．
(a1,a2不同时为0)的函数的值域
常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二 次方程根的分布来求解.
⑤单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集 上的单调性求出函数的值域.
⑥换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值 域容易求出的另一类函数
⑦数形结合法:利用函数所表示的几何意义或函数 图象,借助于几何方法求出函数值域.
说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关 系是这里解决问题的关键
分析： 处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数， 看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．
从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意 值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有 惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象 ，用数形结合法作判断，这是常用方法，
说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关 系是这里解决问题的关键
分析： 处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数， 看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．
从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意 值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有 惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象 ，用数形结合法作判断，这是常用方法，
§2 函数的值域
函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量 x的值对应的y值的集合。
〖方法小结〗
1、求函数值域的常用方法有：
①配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值
域问题,要注意f(x)的取值范围对值域的影响.
②真分式法:分式函数f(x)=
ax＋b cx＋d
形函数的值域，
如f(x)=
{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含
元素的个数是．（
）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
㈡小结确定函数三要素的基本类型与常用方法
§1 函数的定义域
1、函数的定义域是指自变量的取值范围。
2、求函数的定义域的主要依据是： ①分式的分母不为0； ②偶次方根的被开方数非负； ③对数的真数大于0； ④指数、对数函数的底数大于0且不等于1； ⑤指数为0或负数时，底数不为0； ⑥实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外， 还应考虑有实际意义。
㈠深化对函数概念的认识
例1．下列函数中，不存在反函数的是 （ ）
A y x2 1 (x 1) C y sin x ( x )
23
B y 3x 4 (x 0) x
y { D
x1 ( x0) x4 (x1)
分析： 处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数， 看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D， y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1) ，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数 不存在反函数．于是决定本题选D．
说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关 系是这里解决问题的关键
பைடு நூலகம்
例2．已知函数f(x)，x∈F， 那么 集合
⑧不等式法:利用基本不等式求函数值域,但要注 意其使用的条件“一正、二定、三相等”。
3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得 到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。
4、已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义 域时，可令g(x) ∈D解得x的范围C，即为 f[g(x)]的定义域； 已知 f[g(x)]的定义域为D，求f(x)定义域时， 可先由x∈D，求出g(x) 的范围C，即为f(x) 定义域。
高三数学第一轮复习
函数
讲说人：肖云
一、考试内容查看
映射、函数、函数的单调性、函数 的奇偶性；反函数、互为反函数的 函数图象间的关系；指数概念的扩 充、有理指数幂的运算性质、指数 函数；对数、对数的运算性质、对
数函数 . 函数的应用举例。
二、考试要求
1．了解映射的概念，理解函数的概念(三要素）。
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简 单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简 化函数图象的绘制过程。
从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意 值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有 惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象 ，用数形结合法作判断，这是常用方法，
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D， y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1) ，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数 不存在反函数．于是决定本题选D．
2x＋1 2x＋3
转化为f(x)=1－
5 x＋3
求值域;
③反函数法:分式函数f(x)= 均可使用反函数法.
ax＋b cx＋d
形函数的值域，
④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0, 通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.
形如y=
a1x2+b1x+c2 a2x2+b2x+c2
从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意 值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有 惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象 ，用数形结合法作判断，这是常用方法，
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D， y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1) ，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数 不存在反函数．于是决定本题选D．