十字相乘法典型例题
十字相乘法 典型例题
例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ；(2)2265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ；(2)3832-+x x ． 例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ；(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； (3)120)8(22)8(222++++a a a a ． 例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ． 例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ,求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++(2)2384a a -+ (3)2576x x +-(4)261110y y --(5)2252310a b ab +- (6)222231710a b abxy x y -+ (7)22712x xy y -+(8)42718x x +-(9)22483m mn n ++ (10)53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-,那么p 即是 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ,则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b ),则a ,b 的值分别为() A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果即是(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后,有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ；②1232-+x x ；③652-+x x ；④9542--x x ；⑤823152+-x x ；⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________,b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a m n a ．12．当k ＝______时,多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6,3617=xy ,则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式： (1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --；(6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ；(3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2,xy ＝a ＋4,2633=+y x ,求a 的值．。
十字相乘法练习题及答案
十字相乘法练习题及答案十字相乘法是一种数学技巧，通常用于分解多项式，尤其是二次多项式。
这种方法也被称为“叉乘法”。
下面，我们将提供一些练习题以及相应的答案，以帮助学生掌握这一技能。
练习题1：将二次多项式 \(3x^2 - 6x + 2\) 分解为两个一次多项式的乘积。
答案1：首先找到两个数，它们的乘积等于 \(3 \times 2 = 6\)，并且它们的和等于 -6。
这两个数是 -3 和 -2。
因此，\(3x^2 - 6x + 2\) 可以分解为 \((3x - 2)(x - 1)\)。
练习题2：将 \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) 分解为两个因式。
答案2：首先找到两个数，它们的乘积等于 \(1 \times 6 = 6\)，并且它们的和等于 -6。
这两个数是 -3 和 -2。
因此，\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) 可以分解为 \((x - 3)(x^2 - 3x + 2)\)。
接下来，我们需要分解\(x^2 - 3x + 2\)。
找到两个数，它们的乘积等于 \(1 \times 2 =2\)，并且它们的和等于 -3。
这两个数是 -1 和 -2。
因此，\(x^2 -3x + 2\) 可以分解为 \((x - 1)(x - 2)\)。
最终，原多项式分解为\((x - 3)(x - 1)(x - 2)\)。
练习题3：将 \(4x^3 - 13x^2 + 2x + 15\) 分解为因式。
答案3：首先找到两个数，它们的乘积等于 \(4 \times 15 = 60\)，并且它们的和等于 -13。
这样的数对不存在整数解，因此我们可能需要考虑使用有理数。
通过尝试，我们发现 \(-3\) 和 \(-5\) 满足条件。
因此，\(4x^3 - 13x^2 + 2x + 15\) 可以分解为 \((4x^2 - 3x - 5)(x -1)\)。
进一步分解 \(4x^2 - 3x - 5\)，我们找到 \(x = 1\) 和 \(x = -\frac{5}{4}\) 作为它的根。
十字相乘法练习题及答案
十字相乘法练习题及答案十字相乘法是一种简便而有效的乘法计算方法，可以帮助我们快速解决复杂的乘法运算。
在这篇文章中，我将为大家提供一些十字相乘法的练习题及答案，希望能够帮助大家更好地掌握这一方法。
1. 练习题一：计算下列乘法运算：(1) 23 × 45(2) 67 × 89(3) 123 × 456(4) 789 × 321答案：(1) 23 × 45 = 1035(2) 67 × 89 = 5963(3) 123 × 456 = 56088(4) 789 × 321 = 2532692. 练习题二：计算下列乘法运算：(1) 12 × 34(2) 56 × 78(3) 90 × 12(4) 34 × 56答案：(1) 12 × 34 = 408(2) 56 × 78 = 4368(3) 90 × 12 = 1080(4) 34 × 56 = 19043. 练习题三：计算下列乘法运算：(1) 1234 × 5678(2) 9876 × 5432(3) 2468 × 1357(4) 8642 × 9753答案：(1) 1234 × 5678 = 7013952(2) 9876 × 5432 = 53623872(3) 2468 × 1357 = 3348776(4) 8642 × 9753 = 84338126通过以上的练习题，我们可以看到十字相乘法的计算步骤是相对简单的。
下面，让我们来总结一下十字相乘法的步骤：步骤一：将两个乘数分别写在十字相乘法的两侧，乘数的个位数在右侧，十位数在左侧。
步骤二：从右侧开始，将右侧乘数的个位数与左侧乘数的各位数相乘，将结果写在右侧。
十字相乘法练习题及答案
十字相乘法练习题及答案一、选择题1. 下列哪个表达式是正确使用十字相乘法的结果？A. (x+2)(x+3)=x^2+5x+6B. (x-1)(x+1)=x^2-1C. (x-1)(x-2)=x^2-3x+2D. (x+1)(x-1)=x^2-12. 以下哪个多项式不能使用十字相乘法分解？A. x^2-4x+3B. x^2+4x+4C. x^2-6x+8D. x^2+x+13. 多项式x^3-3x^2+4x-12使用十字相乘法分解，正确的分解结果是什么？A. (x-3)(x^2+1)(x-4)B. (x-1)(x^2-2x+12)C. (x-3)(x-4)(x+1)D. (x-3)(x-4)(x+4)二、填空题1. 利用十字相乘法分解x^2+7x+10，正确的分解结果应为______。
2. 多项式x^2-10x+25使用十字相乘法分解后，得到的两个一次项的乘积为______。
3. 如果多项式x^3-6x^2+11x-6可以分解为(x-1)(x-a)(x-b)，那么a 和b的值分别是______。
三、解答题1. 给定多项式x^3-9x^2+23x-15，使用十字相乘法分解，并说明分解过程。
2. 证明：使用十字相乘法分解的多项式x^2+(p+q)x+pq，其分解结果为(x+p)(x+q)。
3. 已知多项式x^3-6x^2+11x-6可以分解为三个一次项的乘积，求出这三个一次项，并验证分解的正确性。
四、应用题1. 某工厂生产的产品数量与时间的关系可以用多项式P(t)=t^3-15t^2+54t-36来表示。
如果需要将这个多项式分解为三个一次项的乘积，以便更好地理解生产数量的变化，请写出分解后的表达式。
2. 一个数学竞赛题目要求证明：对于任意正整数n，多项式x^n+x+1不能被分解为实数系数的一次项的乘积。
请尝试使用十字相乘法来说明这一点。
答案：一、选择题1. D2. D3. C二、填空题1. (x+2)(x+5)2. 253. 2, 3三、解答题1. x^3-9x^2+23x-15=(x-3)(x^2-6x+5)=(x-3)(x-1)(x-5)2. 证明略3. x-3, x-2, x+2四、应用题1. P(t)=(t-3)(t-1)(t-4)2. 证明略。
十字相乘法公式例题
十字相乘法公式例题1. 分解因式x^2+3x + 2- 解析：对于二次三项式ax^2+bx + c（这里a = 1，b=3，c = 2），用十字相乘法。
将x^2的系数1分解为1×1，常数项2分解为1×2，十字相乘1×2+1×1 = 3（正好等于一次项系数）。
- 所以x^2+3x + 2=(x + 1)(x+2)。
2. 分解因式x^2-5x+6- 解析：a = 1，b=-5，c = 6。
将x^2的系数1分解为1×1，常数项6分解为(-2)×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×(-2)= - 5。
- 所以x^2-5x + 6=(x - 2)(x-3)。
3. 分解因式x^2+x - 6- 解析：a = 1，b = 1，c=-6。
把x^2的系数1分解为1×1，常数项-6分解为2×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×2=-1。
- 所以x^2+x - 6=(x + 3)(x-2)。
4. 分解因式x^2-3x - 10- 解析：a = 1，b=-3，c=-10。
x^2的系数1分解为1×1，常数项-10分解为(-5)×2，十字相乘1×2+1×(-5)=-3。
- 所以x^2-3x - 10=(x - 5)(x + 2)。
5. 分解因式2x^2+5x+3- 解析：a = 2，b = 5，c = 3。
将2x^2的系数2分解为2×1，常数项3分解为3×1，十字相乘2×1+1×3 = 5。
- 所以2x^2+5x+3=(2x + 3)(x + 1)。
6. 分解因式3x^2-7x+2- 解析：a = 3，b=-7，c = 2。
把3x^2的系数3分解为3×1，常数项2分解为(-2)×(-1)，十字相乘3×(-1)+1×(-2)=-7。
十字相乘法-典型例题(汇编)
十字相乘法典型例题例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ；(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4)261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7)22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10)53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mna ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ；(3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --；(6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --；(2)9)2(22--x x ；(3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．。
十字相乘法例题20道及解答思路
十字相乘法例题20道及解答思路20道例题1.x²-8x+15=0；2.6x²-5x-25=0；3.a2-7a+6=0；4.8x2+6x-35=0；5.18x2-21x+5=0；6.20-9y-20y2=0；7.2x2+3x+1=0；8.2y2+y-6=0；9.6x2-13x+6=0；10.3a2-7a-6=0；11.6x2-11x+3=0；12.4m2+8m+3=0；13.10x2-21x+2=0；14.8m2-22m+15=0；15.4n2+4n-15=0；16.6a2+a-35=0；17.5x2-8x-13=0；18.4x2+15x+9=0；19.15x2+x-2=0；20.6y2+19y+10=0。
解题思路先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同）。
因式分解方法1.提出公因式：如果多项式的每一项都有一个公因式，你可以把它提出来，把多项式变成两个因子的乘积。
2.应用公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
如，和的平方、差的平方。
3.分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）。
4.十字相乘法（经常使用）：对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）。
5.配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
6.拆、添项法：可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
十字相乘法-典型例题说课讲解
十字相乘法-典型例题十字相乘法典型例题例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7)22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10)53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．。
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十字相乘法典型例题
6 y 2
．
3 ．
；
一、典型例题
例 1 把下列各式分解因式：
(1) x
2
2 x 15 ； (2) x 2
5xy 例 2 把下列各式分解因式：
(1) 2 x 2
5 x 3； (2) 3x
2
8 x 例 3 把下列各式分解因式：
(1) x 4
10 x 2
9
(2) 7 (x y )
3
5( x y ) 2
2( x y ) ；
(3) (a
2
8a )
2
22(a
2
8a ) 120 ．
例 4 分解因式： ( x
2
2 x 3)( x
2
2x 24) 90 ．
4 ，求 a 值和这个多项式的其他因式．
把下列各式分解因式：
例 5 分解因式 6 x
4
5 x
3
38 x
2
5 x
6 ．
例 6 分解因式 x
2
2 x y y
2
5x 5 y 6 ．
例 7 分解因式： ca ( c － a )＋ bc (b －c )＋ab (a － b ) ．
例 8、 已知 x
4
6 x 2
x 12 有一个因式是 x
2
ax 试一试：
2
(1) 2 x
2
15x 7 (2) 3a
2
8a 4 (3) 5 x
2
7 x 6 (4)
6 y
2
11 y 10
(5) 5a 2
b
2
23ab 10
(6) 3a 2b 2
17abxy 10 x 2 y
2
(7)
x
2
7 x y 12 y
2
(8) x
4
7 x
2
18
(9) 4 m
2
8mn 3n
2
(10)
5 x
5
15 x 3
y 20xy
2
课后练习 一、选择题 1.
如果 x 2
px q (x a )( x b) ，那么 p 等于
( )
A ．ab
B ． a ＋ b
C ．－ ab
D ．－ ( a ＋ b )
2
2. 如果 x
(a b ) x 5b x
x 30 ，则 b 为
( )
A ．5
B ．－ 6
C ．－ 5
D ． 6
2
2
3. 多项式 x
3x a 可分解为 (x －5)( x －
b )，则 a ， b 的值分别为 ( )
A ．10 和－ 2
B ．－ 10 和 2
C ． 10 和 2
D ．－ 10 和 － 2 4．不能用十字相乘法分解的是
( )
A ． x
2
x 2
B ． 3 x
2
10 x
2
3x C ． 4 x
2
x 2
D ． 5 x
2
6 x y 8 y
2
5.
分解结果等于 (x ＋y － 4)(2 x ＋ 2y －5) 的多项式是 ( )
A ． 2( x
y )
2
13(x y ) 20 B ． (2 x 2 y) 2
13(x y) 20
C. 2( x
y
) 2
13(x y ) 20 D. 2( x
y)
2
9( x y) 20
6.
将下述多项式分解后，有相同因式 x － 1 的多项式有
( )
① x
7 x 6 ；
② 3x
2
2 x 1 ；
③ x
2
5 x
6 ；
④ 4 x
5x 9 ； ⑤
15x 2
23x 8 ；
⑥ x
4
11x
2
12
A ．2 个
B ． 3 个
C ． 4 个
D ．5 个
二、填空题
7.
x
2
3x 10
．
8.
m
2
5m 6 (m ＋ a )(m ＋b )． a ＝ ，
b ＝ ．
9.
2 x
5x 3 (x － 3)(
) ．
10 ． x
2
2 y
2
(x － y )(
) ．
11 ． a
2
n
a ( ) m
(
)2
．
12 ．当 k ＝
时，多项式 3 x 2
7 x k 有一个因式为 (
) ．
13 ．若 x － y ＝ 6， xy 17
，则代数式 36
x 3
y 2 x 2 y
2
xy 3
的值为
．
三、解答题
14 ．把下列各式分解因式：
2
2
4
3
3
(1)
x
4
7 x
2
6
； (2)
x
4
5x
2
36
；
(3) 4 x
4
65x 2 y 2
16 y ；
(4)
a
6
7a 3b
3
8b
6
； (5)
6a
4
5a
3
4a
2
；
(6) 4a
6
37a 4
b 2
9 a 2
b 4
．
15 ．把下列各式分解因式：
(1) ( x
2
3)
2
4 x 2
；
2
(2)
x ( x
2)
2
9 ；
(3) (3 x
2
2 x 1)
2
(2 x
2
3 x 3) 2
；
(4)
( x 2
x )
2
17( x
2
x ) 60
； (5)
( x
2
2x)
2
7( x
2
2x) 8
；
(6) (2a
b )
2
14(2 a b ) 48 ．
16 ．已知 x ＋ y ＝ 2， xy ＝ a ＋ 4， x
y
26 ，求 a 的值．
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