一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题

一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题
(一)一元二次方程的一般形式：()002
≠=++a c bx ax
其中c b a ,,为常数，x 为未知数。

根的判别式：ac b 42
-=∆ 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系： 0<∆时，方程①无实根；
0=∆时，方程①有且只有一个实根，或者说方程①有两个相等的实根；a
b x 2-
= 0>∆时，方程①有两个不相等的实根。

a
ac
b b x 2422,1-±-=
（二）二次函数的一般形式：形如()a b ac a b a y a c bx ax y 442x 022
2
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+==≠++= 其中c b a ,,为常数，x 为自变量。

顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--a b ac a b P 44,22，其中直线a b
x 2-=为对称轴，
1、（1）0<a 时，函数c bx ax y ++=2
的图象开口向下，函数c bx ax y ++=2
在a
b
x 2-
=取到最大值，即a
b a
c y 442
max -=，对任意a b ac y R x 44,2-≤∈.
（2）0>a 时，函数c bx ax y ++=2
的图象开口向上，函数c bx ax y ++=2
在a
b
x 2-
=取到最小值，即a
b a
c y 442
min
-=，对任意a b ac y R x 44,2-≥∈.
2、二次函数()02
≠++=a c bx ax y 与x 轴交点个数的判断：
0<∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点；
0=∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相切，有且只有一个交点； 0>∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点。

3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a 的正负）、对称轴、∆.
（三）一元二次不等式的概念：形如()002
≠≠++a c bx ax 其中连接c bx ax ++2
与0的
不等号可以是
><≥≤,，，或≠.
（四）三个两次之间的关系
一元二次方程、一元二次不等式、二次函数
基本步骤：化正-----计算--------求根--------写解集（大于取两边，小于取中间）
【典型例题】
【类型一】一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的解法
【方法一】求根公式法
步骤：①计算∆；②若0<∆，则方程无实根；若0≥∆，利用求根公式
a
ac
b b x 2422,1-±-=
. 【例1】求解下列方程.
（1）0442
=-+x x （2）0122
=-+x x
【练习】解下列方程.
（1）03522=-+x x （2）862
=-x x
【方法二】十字相乘法
利用十字相乘法求解方程()002
≠=++a c bx ax 的前提条件是：0≥∆，也就是保证方程
()002≠=++a c bx ax 必须有实根.
十字分解依据：对于方程()002
≠=++a c bx ax 而言，c b a ,,均为整数。

当0>ac 时，将
ac 分解为两个约数之和为b ；当0<ac 时，将ac 分解为两个约数之差为b 或b -.
【例2】求解下列方程
（1）0862
=+-x x （2）01522
=--x x
【练习】解下列方程
（1）2082
=-x x （2）02522
=++x x
【类型二】二次函数最值的求法 【方法一】公式法
①0<a 时，函数c bx ax y ++=2
在a
b
x 2-=取到最大值，即a b ac y 442max -=，对任意
a
b a
c y R x 44,2
-≤∈.
②0>a 时，函数c bx ax y ++=2
在a
b
x 2-=取到最小值，即a b ac y 442min -=，对任意
a
b a
c y R x 44,2
-≥∈.
【方法二】配方法
2
22222222⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=a b c a b x a b x a c x a b x a c bx ax y
a b ac a b x a 44222
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+= 【例3】求下列函数的最值
（1）842
+--=x x y （2）5
322
+-=x x y
【类型三】一元二次不等式的解法
【例4】解下列不等式
（1）02732
<+-x x ； （2）0262
≤+--x x
【练习】（1）不等式x x 4142
<+的解集是 . （2）不等式()()7212>+-x x 的解集是 . （3）不等式()09>-x x 的解集是 .
【类型四】分式不等式的解法
解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组）：（有分母就要考虑分母不等于零，有根式就考虑大于等于零）
()(),00)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ()()(),000)()
(≠≥⋅⇔≥x g x g x f x g x f 且 ()(),00)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ()()(),000)
()
(≠≤⋅⇔≤x g x g x f x g x f 且 【例5】解下列不等式 （1）11<x ； （2）0232>+-x
x ； （3）21≥-x x ； （4）0391
2<--x
x
1.解下列方程
（1）862
-=+x x （2）021152
=++x x
（3）02732
=+-x x （4）062
=--x x
2.不等式0161632≥+-x x 的解集是 .
3.不等式
11
21≤--x x
的解集是 . 4.不等式0752
<-+-x x 的解集是 . 5.不等式01442
≤++x x 的解集是 . 6.解下列不等式或方程
（1）01522
=--x x ； （2）01662
=++x x ；
（3）08232
≥+--x x ； （4）0542
≥+-x x ； （5）31
≥-x x ； （6）52
≤x ；
7.已知集合{
}
01662
≤--=x x x A ，集合{
}
11422
++-==x x y y B ，则下列式子中正确的是 （ ）
A
C⊄
.A
D.B
.B
B⊆
A
A=
.A
B
B
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