单位圆与正余弦函数的定义
三角函数与单位圆
三角函数与单位圆在数学中，三角函数是研究角度和三角形关系的重要工具之一。
而单位圆则是三角函数中的一个重要概念，它与三角函数之间存在着密切的关系。
一、三角函数的基本定义及公式三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个角，正弦值等于对边与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个角，余弦值等于邻边与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个角，正切值等于对边与邻边长度的比值。
这些三角函数在单位圆中也有对应的定义及公式。
单位圆是以圆心为原点、半径为1的圆，在坐标系中可以表示为x^2 + y^2 = 1。
对于单位圆上的任意一点P(x, y)，可以定义其对应的角度为A，单位圆上的点与角度之间存在着一一对应的关系。
二、三角函数与单位圆的关系在单位圆中，以圆心为起点，与圆上任意一点P(x, y)连接，这条线段与圆的半径的夹角即为角A。
根据三角函数的定义，在单位圆中，可以得到以下关系：1. 正弦函数：sin(A) = y2. 余弦函数：cos(A) = x3. 正切函数：tan(A) = y/x利用这些关系，可以得到三角函数在单位圆中的图形。
正弦函数在单位圆中的图形表现为一个周期为2π的正弦波，其振幅为1。
余弦函数与正弦函数相位相差π/2，也表现为一个周期为2π的正弦波。
而正切函数在单位圆中的图形是一个以原点为渐近线的周期为π的函数。
三、三角函数在解决问题中的应用三角函数在数学中有着广泛的应用，特别是在解决与角度和三角形相关的问题时。
1. 几何问题：三角函数可以用于求解直角三角形的边长、角度等问题。
例如，已知一个角的正弦值，可以通过反正弦函数求解角度值；已知两个边长，可以利用正弦定理或余弦定理求解另外一个角度或边长。
2. 物理问题：三角函数在解决物理问题中也有广泛应用。
例如，通过正弦函数可以描述周期性的振动现象；借助于正切函数可以求解斜面上物体的滑动问题。
三角函数单位圆定义
三角函数单位圆定义单位圆是指半径为1的圆，它在数学中被广泛应用于三角函数的定义和性质的研究。
在一个笛卡尔坐标系中，单位圆的圆心位于原点(0,0)，并且半径为1。
由于半径为1，单位圆上的所有点到圆心的距离都是1。
单位圆可以用方程x^2 + y^2 = 1表示。
单位圆的定义直接导致了三角函数的定义。
三角函数是指根据一个角的大小，计算在单位圆上特定点的坐标。
在三角函数中，常见的三个函数是正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别由sin、cos和tan来表示。
首先，我们来看正弦函数sin。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的y坐标就是sinθ的值。
也就是说，sinθ可以通过角度θ在单位圆上的y坐标来求得。
例如，当θ等于0度时，单位圆上的点位于x轴上，其坐标为(1,0)，所以sin0°=0。
当θ等于30度时，单位圆上的点位于正x轴与y轴的夹角为30度的位置上，其坐标为(0.866,0.5)，所以sin30°≈0.5。
以此类推，我们可以通过单位圆上的点的坐标来求得任意角度的正弦函数值。
接下来，我们来看余弦函数cos。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的x坐标就是cosθ的值。
也就是说，cosθ可以通过角度θ在单位圆上的x坐标来求得。
例如，当θ等于0度时，单位圆上的点位于x轴上，其坐标为(1,0)，所以cos0°=1。
当θ等于60度时，单位圆上的点位于正x轴与负y轴的夹角为60度的位置上，其坐标为(0.5,-0.866)，所以cos60°≈0.5。
以此类推，我们可以通过单位圆上的点的坐标来求得任意角度的余弦函数值。
最后，我们来看正切函数tan。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的y坐标除以x坐标得到的值就是tanθ的值。
也就是说，tanθ可以通过角度θ在单位圆上的点的坐标来求得。
例如，当θ等于45度时，单位圆上的点位于正x轴与正y轴的夹角为45度的位置上，其坐标为(0.707,0.707)，所以tan45°≈1。
正余弦的知识点
正余弦函数是三角函数中最基本的两个函数之一，它们在数学和物理学中都有着广泛的应用。
正余弦函数的定义和性质是学习三角学的重要基础，本文将从基本定义出发，逐步探讨正余弦函数的知识点。
一、正余弦函数的定义正余弦函数分别记作sin和cos，它们是以单位圆为基础定义的。
单位圆是以原点为中心，半径为1的圆，它的周长约为6.28（或2π）。
在单位圆上，对于任意一个角度θ，我们可以定义该角度的正弦值和余弦值。
正弦值（sinθ）定义为角度θ对应的单位圆上的点在y轴上的坐标值，即正弦值等于对边与斜边的比值。
余弦值（cosθ）定义为角度θ对应的单位圆上的点在x轴上的坐标值，即余弦值等于邻边与斜边的比值。
通过这样的定义，我们可以得到任意角度θ的正弦值和余弦值。
二、正余弦函数的周期性正余弦函数具有周期性，即在一个周期内，函数的值会以相同的规律重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即在一个完整的周期内，函数的值会在0到2π之间循环。
这意味着正弦函数和余弦函数的值在0到2π之外的区间也会以相同的规律循环。
周期性是正余弦函数在实际应用中的重要特性，它使得我们能够预测和计算周期性现象的变化规律。
三、正余弦函数的图像正余弦函数的图像可以通过绘制函数在单位圆上的点来得到。
对于任意一个角度θ，根据正余弦函数的定义，可以计算得到该角度的正弦值和余弦值，然后将这个点绘制在坐标系中。
绘制的结果是一个波浪形的曲线，即正弦函数的图像。
该曲线在0到2π的范围内循环，具有周期性。
余弦函数的图像与正弦函数的图像非常相似，只是在水平方向上偏移了π/2的角度。
通过观察正余弦函数的图像，我们可以获得一些直观的感受，比如函数的振幅、最大值、最小值等。
四、正余弦函数的性质正余弦函数具有一些重要的性质，这些性质在求解三角方程、解析几何、波动学等领域中起着重要的作用。
1.奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
三角函数与单位圆
三角函数与单位圆引言三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
而单位圆作为三角函数的基础，具有重要的几何和代数意义。
本文将探讨三角函数与单位圆之间的关系，以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
以正弦函数为例，它是一个周期函数，可以表示为f(x) = sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
通过图形可以看出，正弦函数的图像在一个周期内呈现出波浪形状，具有对称性。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆，圆心位于坐标原点(0, 0)。
单位圆的方程可以表示为x^2 + y^2 = 1。
单位圆上的点可以表示为(x, y)，其中x和y的取值范围是[-1, 1]。
单位圆在坐标平面上呈现出完美的对称性。
三、三角函数与单位圆的关系三角函数与单位圆之间存在密切的关系。
我们可以通过单位圆来解释三角函数的定义和性质。
1. 正弦函数与单位圆正弦函数可以通过单位圆上的点的y坐标来表示。
具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标即为sin(x)。
这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而y坐标正好对应这个距离。
因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算正弦函数的值。
2. 余弦函数与单位圆余弦函数可以通过单位圆上的点的x坐标来表示。
具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么x坐标即为cos(x)。
这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而x坐标正好对应这个距离。
因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算余弦函数的值。
3. 正切函数与单位圆正切函数可以通过单位圆上的点的y坐标和x坐标的比值来表示。
具体而言，对于一个角度x（弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标除以x 坐标即为tan(x)。
这是因为正切函数定义为tan(x) = sin(x) / cos(x)，而单位圆上的点的坐标正好满足这个比值关系。
三角函数最全知识点总结
三角函数最全知识点总结三角函数是高中数学中的重要内容，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
下面将对这些三角函数的定义、性质以及常用的解题方法进行总结。
一、正弦函数（sin）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的纵坐标y即为θ的正弦值，记作sinθ。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 周期性：sin(θ+2π)=sinθ，sin(θ+π)=-sinθ。
其中π为圆周率。
3. 奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，即正弦函数关于原点对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，sinθ>0；当θ为钝角时，sinθ<0。
5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，sinθ从0增加到1，然后再从1减小到0。
二、余弦函数（cos）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的横坐标x即为θ的余弦值，记作cosθ。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 周期性：cos(θ+2π)=cosθ，cos(θ+π)=-cosθ。
3. 奇偶性：cos(-θ)=cosθ，即余弦函数关于y轴对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，cosθ>0；当θ为钝角时，cosθ<0。
5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，cosθ从1减小到0。
三、正切函数（tan）：1. 定义：正切值tanθ等于θ的正弦值除以θ的余弦值，即tanθ=sinθ/cosθ。
正切函数的定义域为实数集，值域为实数集。
2. 周期性：tan(θ+π)=tanθ。
3. 奇偶性：tan(-θ)=-tanθ，即正切函数关于原点对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，tanθ>0；当θ为钝角时，tanθ<0。
四、反三角函数：1. 反正弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[-π/2，π/2]。
记作arcsin x或sin⁻¹x。
2. 反余弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
单位圆与正余弦函数的定义
单位圆与正余弦函数的定义SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数1.4.2单位圆与周期性主备人：刘红岩一、 教学目标1、 理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念2、 通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一二、 教学重、难点1、 正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；2、 利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法三、情感态度与价值观1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；2、通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
四、教学过程尝试回忆1、1弧度的角；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x 轴上的角的集合。
2、特别注意：角度与弧度不要混用。
如090,k k Z π+∈，应写成0018090,k k Z ⋅+∈或,2k k Z ππ+∈3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，由直角中的边之比定义，推广到直角坐标系中的坐标定义。
O A P 图1问题引入如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h 0，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示），则（1）过了30秒后，你离地面的高度为多少？（2）过了45秒呢？过了t 秒呢？ 【设计意图】从学生感兴趣的实际问题出发，发现问题，解决问题。
探究新知1、单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。
单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。
单位圆可根据需要移到其它地方。
北师大版高中数学必修4单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
课内练习
已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限。
复习小结
1.任意角的正弦、余弦函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆
交于点P(u，v)，则sin v,cos u
2.三角函数都是以角为自变量,以单位 圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.
任意角的正弦函数、余 弦函数的定义
复习引入
锐角的正弦、余弦函数的定义：
斜边
对边
邻边
对边
邻边
sin _斜__边__;cos _斜__边__;
引入新知下面我们在Fra bibliotek角坐标系中，利用单位圆来进 一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数
当点P(u,v) 就是 的终边与单位圆的交点时,
锐角三角函数会有什么结果？
得。
正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
最小正周期在图象上的意义 ：
最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
例题讲解
例1、求 5 的正弦、余弦。
3
y
易知
5
3
的终边与单位圆
的交点为 P(1 , 3 )
22
α M x(1,0)
O
x
P (1, 3) 22
sin 3
2 cos 1
sin 3 13, cos 2 13
13
13
变式1、设角
中 a 0 ，则 sin
的 终53 边。过点P(4a,
3a)
,其
变式2.若角 的终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
则a ____6____。
5
确定下列各三角函值的符号： ⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π;
4知识讲解_正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式_提高
2
cos，cos
2
sin
(4)
sin
2
cos，cos
2
sin
(5) sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos (k Z)
要点诠释：
这五组公式都是将任意角的正弦、余弦值转化为求锐角的正、余弦值．
2．公式记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”．
①角一定要写成： k (k Z) 的形式，则 k 为奇数时，函数名改变，k 为偶数时，函数名不 2
sin
3a
3
，
2a 2
cos a 1 。 2a 2
若 a＜0，则 为第三象限角，r=－2a，所以 sin 3a 3 ， cos a 1 。
2a 2
2a 2
【总结升华】 三角函数值的大小与点 P 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意
3
把函数 y 3x 的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三 4
【变式 2】已知角 的终边落在 y=|2x|上，求 cos 值。
【答案】 5 或 5
5
5
【解析】 y=|2x|， y 2x
取点 P（1，2）， P' (1, 2)
r | OP || OP' | 5
cos x 1 5 或 5
r 55
5
类型二：三角函数的符号
例 2．（1）若 sin ＜0，cos ＞0，则 是第几象限角？ （2）若 sin2 ＞0，且 cos ＜0，试确定 终边所在象限？
1
②周期函数的定义中“对定义域内的任意一个 x”的“任意一个 x”的含义是指定义域内的所有的 x
值，即如果有一个 x0 ，使 f (x0 T ) f (x0 ) ，那么 T 就不是函数 f (x) 的周期．
三角函数正弦与余弦的定义
三角函数正弦与余弦的定义三角函数是数学中研究角与边之间关系的重要工具，其中正弦和余弦是最常见的两个三角函数。
它们既有几何意义，又有代数定义，对于描述周期性现象和解决各种实际问题都非常重要。
一、正弦函数的定义正弦函数（sine function）是一个周期函数，通常用sin(x)表示。
它的定义基于单位圆上的点的纵坐标。
我们先来回顾一下单位圆的概念。
单位圆是半径为1的圆，圆心位于原点(0,0)。
对于单位圆上的任意一点P(x,y)，点P与圆心O之间的线段OP被称为半径，而角度θ则是线段OP与正半轴之间的夹角。
正弦函数的定义是通过角度θ与单位圆上的点的纵坐标y的对应关系来确定。
具体地，对于角度θ，其对应的正弦值sin(θ)等于单位圆上点P的纵坐标y。
即：sin(θ) = y这里θ可以是任意实数，正弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
二、余弦函数的定义余弦函数（cosine function）也是一个周期函数，通常用cos(x)表示。
类似于正弦函数，余弦函数的定义基于单位圆上的点的横坐标。
对于单位圆上的任意一点P(x,y)，点P与圆心O之间的线段OP被称为半径，而角度θ则是线段OP与正半轴之间的夹角。
余弦函数的定义是通过角度θ与单位圆上的点的横坐标x的对应关系来确定。
具体地，对于角度θ，其对应的余弦值cos(θ)等于单位圆上点P的横坐标x。
即：cos(θ) = x同样地，θ可以是任意实数，余弦函数的定义域也是整个实数集，值域也是[-1, 1]。
三、正弦和余弦函数的性质正弦和余弦函数具有一些重要的性质，这些性质在解决各种实际问题和进行数学计算时非常有用。
1. 周期性：正弦和余弦函数都是周期函数，周期分别为2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)和cos(x+2π) = cos(x)成立。
2. 奇偶性：正弦和余弦函数具有不同的奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
§4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
P(u,v)
M α O
x
(1,0)
x
(1,0)
y
M α O
y
x
(1,0)
α OM
x
P(u,v)
(1,0) P(u,v)
思考：由三角函数的定义，如何求任意角α 的正弦、
余弦值？
提示：求任意角α的正弦、余弦值分两步，第一步
求出角α的终边与单位圆的交点P，第二步写出点P
的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值.
2.确定下列三角函数值的符号:
(1) cos 250 .
13 (2)sin( ）. 4
（1）因为250°是第三象限角,所以cos250°<0. 解:
13π 3π 3π n()= si n(- 4π + )= si n , （2）因为 si 4 4 4 3 13 而 是第二象限角, 所以sin( ) 0. 4 4
回顾本节课的收获
1.理解正弦函数、余弦函数的定义.
2.知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知
道它的最小正周期为 2π.
一个人即使已登上顶峰， 也需要自强不息.
——罗素·贝壳
探究点1
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
思考：在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的
单位圆，对于任意角 ，使角 的顶点与原点重
合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交
于唯一的点P(u,v),正弦函数、余弦函数又该如
何表示呢？
如图所示，点P的纵坐标v叫作α 的正弦函数， 记作v=sinα ，
y
4
M O
π 4
4
，即为所求作的角.
1 x
P
2 2 (2)由于 ，点 P在第四象限，所以 点 P坐 标为（ ， ） . 4 2 2
单位圆与任意角的正余弦函数定义
【探究4】 正弦、余弦函数值在各象限的符号
上 正 弦 右 余 弦
【知识梳理】
正弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余弦函数在各象限的符号
三角函数
象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin α cos α
+
+
—
—
+
—
—
+
【应用】 特殊角的正、余弦函数值
若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？
sin y y y
r1
cos x x x
r1
【探究2】 单位圆与锐角正、余弦函数的关系
y
1 P(u,v)
sin v v
1
O
x
cos u u
1
【探究3】 单位圆与任意角正、余弦函数的定义
任给角
终边OP
点P
y
P
v
uO
x
v sin
解： sin 0
cos -1
y
-1
O
x
【作业】 求特殊角的正、余弦函数值(课本第16页表格）
0 2 5 7 4 3 5 11 2
6 4 32 36
6 32 3 6
sin
cos
思维导图
锐角的正、 余弦函数
r O
P(x,y)
任意角的正、 余弦函数
v sin
u cos
上正弦 右余弦
A
α
C
【探究1】用坐标来表示锐角的正弦函数和余弦函数
角α的正弦、余弦分别等于什么？
sin y
r
cos x
单位圆内三角函数的三个定义
单位圆内三角函数的三个定义三角函数是高中数学中的重要内容，学生们都要熟练掌握。
而单位圆内三角函数是三角函数的一种扩展形式，可以更好地帮助学生理解三角函数的定义和性质。
本文将详细介绍单位圆内三角函数的三个定义，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
一、正弦函数定义正弦函数是指将角度表示成弧度制时，在单位圆上从原点开始到与终点P垂直的线段PN的长度。
即sinθ = PN，其中θ表示角度。
在单位圆上，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
正弦函数反映了角度变化时在y轴上对应点所对应的值的变化，因此，正弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1,1]。
二、余弦函数定义余弦函数是指将角度表示成弧度制时，在单位圆上从原点开始到点P 的横坐标。
即cosθ= PX，其中θ表示角度。
在单位圆上，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
余弦函数反映了角度变化时在x轴上对应点所对应的值的变化，因此，余弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1,1]。
三、正切函数定义正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，其形式神似，但是正切函数则是另外一种定义方式。
正切函数定义为正切θ = sinθ / cosθ，其中θ表示角度。
在单位圆上，正切θ等于直线y=sinθ与直线x=cosθ交点的斜率。
因此，正切函数的定义域为实数集合R，值域为R。
不同于正弦和余弦函数的是，正切函数有一些性质不同寻常的特点。
当θ的值为90度或270度时，余弦函数为0，而由于正切函数为sinθ / cosθ，因此此时定义不成立，值变成无限大或无限小。
因此，我们需要在使用正切函数的时候格外小心。
综上所述，单位圆内三角函数的三个定义分别是：正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们可以帮助我们更深入地理解三角函数的定义和性质，特别是对于正弦函数和余弦函数这两个最基本的三角函数，我们在学习中应该注重其几何意义，结合具体题目来巩固掌握。
同时，在使用正切函数时也要注意其一些特殊的性质，避免因为定义不成立而导致错误的结果。
单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义课件
利用单位圆上的点坐标，可以求解 三角方程，例如sinθ = 1/2对应的 角度θ。
04
正弦函数余弦函数 在任意角中的应用
正弦函数在任意角中的应用
定义
正弦函数是单位圆上点的纵坐标 ，表示与x轴的夹角。
性质
正弦函数具有周期性、对称性和 有界性等性质。
应用
在三角函数、解析几何、微积分 等领域有广泛应用。
三角函数定义
利用单位圆的性质，我们可以定义任意角的正弦函数和余弦函数。在单位圆上 ，正弦函数定义为y/r，余弦函数定义为x/r。
三角函数图像
利用单位圆，我们可以绘制出正弦函数和余弦函数的图像。在单位圆上，正弦 函数和余弦函数的值分别等于从原点到点P的y和x坐标的长度。
02
任意角的正弦函数 与余弦函数的定义
单位圆与任意角的正 弦函数余弦函数的定 义课件
目录
CONTENTS
• 单位圆的定义与性质 • 任意角的正弦函数与余弦函数的
定义 • 单位圆与正弦函数余弦函数的关
系 • 正弦函数余弦函数在任意角中的
应用
01
单位圆的定义与性 质
单位圆的定义
单位圆
在平面直角坐标系中，以原点为 圆心，以1为半径的圆。
邻边与斜边的比值。
在单位圆中，余弦函数表示为x 坐标与半径的比值，即
cosθ=x/r，其中θ为锐角，r为 半径。
余弦函数的周期也为360度，即 cos(θ+360)=cosθ。
正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数和余弦函数具有对称性，即 sin(-θ)=-sinθ和cos(-θ)=cosθ。
正弦函数和余弦函数具有有界性，即 它们的取值范围都在[-1,1]之间。
正弦函数的值域
三角函数定义公式
三角函数定义公式1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π。
在单位圆中，正弦函数的值等于对应角度的弧度值的纵坐标。
正弦函数的定义公式为：sin(θ) = 边长对θ / 斜边长度2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数也是一个周期函数，它的周期也是2π。
在单位圆中，余弦函数的值等于对应角度的弧度值的横坐标。
余弦函数的定义公式为：cos(θ) = 边长邻θ / 斜边长度3. 正切函数（tangent function）：正切函数是一个奇函数，也是一个周期函数，其周期是π。
在单位圆中，正切函数的值等于对应角度的弧度值的纵坐标除以横坐标。
正切函数的定义公式为：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)4. 余切函数（cotangent function）：余切函数是正切函数的倒数，即cot(θ) = 1 / tan(θ)。
5. 正割函数（secant function）：正割函数是余弦函数的倒数，即sec(θ) = 1 / cos(θ)。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数是正弦函数的倒数，即csc(θ) = 1 / sin(θ)。
三角函数在数学的各个领域中都有广泛的应用，尤其在解决与三角形和周期性问题相关的数学和物理问题时，三角函数是不可或缺的工具。
通过三角函数的定义公式，我们可以计算任意角度的正弦、余弦和正切值，从而解决各种实际问题。
同时，三角函数还具有许多重要的性质和关系，例如三角函数的和差公式、倍角公式、半角公式等，这些公式可以简化三角函数的计算，加快解题的速度。
在三角函数的定义公式的基础上，使用这些性质和公式，我们可以推导出更复杂的三角函数表达式，并解决更加复杂的问题。
综上所述，三角函数作为数学中重要的一类函数，通过其定义公式及相关性质，我们可以计算和解决与三角形和周期性问题相关的各种实际问题。
熟练掌握三角函数的定义公式，将有助于我们在数学和物理等领域中的应用。
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
角，所以cos(-40°)＞0,所以sin 160°+cos(-40°)＞0. ③210°为第三象限的角，sin 210°＜0,260°为第三象限的角，
所以cos 260°＜0,所以sin 210°·cos 260°＞0.
(2)角α的终边经过点P(m,4)，且cos α= －3，则m=_______.
5
(3)角α满足sin α>0,cos α<0,则α在第______象限.
【解析】(1) r 3 2 12 2，sin y 1 , r2
所以α的最小正值为 . 答案：
6
. 6
(2)r= m2 因16， 为cosα=
再 见！
感谢指导！
5a 5
答案： 3或 3
55
课堂总 1、任意角三角函结数的定义：
若已知角α终边与单位圆交于点P(u，v)，则：
sin v cos u
2、解题方法总结
（1）已知交点P的坐标，直接用定义 （2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义
3、正弦、余弦函数值的正负规律 正弦上正下负，余弦右正左负。
2
a2 ( 1所)2以 1，
2
a 3. 2
(2)因为点P(－2,－4)在角α的终边上，故u1=－2，
v1=－4，可知r= OP =－22 －42 2 5.
所以sin α= v1 －4 α= u1 －2 － 5 .
r 25 5
【变式训练】已知角α的终边经过点P(2，-3)，则cos α的值
【题型示范】
类型一 任意角的正弦函数、余弦函数
正弦余弦转换
正弦余弦转换正弦余弦在数学中是两个重要的三角函数，它们在各个领域中都有广泛的应用。
正弦余弦函数的定义是以单位圆为基础的，通过定义在单位圆上的点的坐标来表示。
在本文中，我们将探讨正弦余弦函数的定义、性质以及应用。
一、正弦函数的定义与性质1. 正弦函数的定义：正弦函数可以用单位圆上的一个点的纵坐标来表示，即sinθ=y，其中θ为该点与单位圆的半径在x轴正半轴之间的夹角。
2. 正弦函数的性质：a. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ。
b. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ。
c. 取值范围：正弦函数的值域为[-1, 1]。
二、余弦函数的定义与性质1. 余弦函数的定义：余弦函数可以用单位圆上的一个点的横坐标来表示，即cosθ=x，其中θ为该点与单位圆的半径在x轴正半轴之间的夹角。
2. 余弦函数的性质：a. 周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(θ+2π)=cosθ。
b. 偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-θ)=cosθ。
c. 取值范围：余弦函数的值域为[-1, 1]。
三、正弦余弦函数的应用1. 几何应用：正弦余弦函数在几何学中有广泛的应用。
例如，可以利用正弦函数求解三角形的边长和角度，通过余弦函数求解三角形的边长和角度。
2. 物理应用：正弦余弦函数在物理学中也有重要的应用。
例如，正弦函数可以用来描述波的振幅、频率和相位，而余弦函数可以用来描述振动的物体的位置和速度。
3. 工程应用：正弦余弦函数在工程学中也有广泛的应用。
例如，在电路分析中，正弦函数可以用来描述交流电的电压和电流。
在机械工程中，正弦函数可以用来描述物体的周期性运动。
4. 统计应用：正弦余弦函数在统计学中也有一些应用。
例如，在时间序列分析中，可以使用正弦函数来拟合和预测某些时间序列数据。
总结：正弦余弦函数是数学中重要的三角函数，它们的性质和应用广泛存在于各个领域中。
无论是在几何学、物理学、工程学还是统计学中，正弦余弦函数都扮演着重要的角色。
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精心整理
O A P 图1
1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数
1.4.2单位圆与周期性
主备人：刘红岩
一、教学目标
1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念
2、通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一
二、 教学重、难点
1、正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；
2、利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法
三、情感态度与价值观
1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；
2、通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
四、教学过程
尝试回忆
1、1弧度的角；
2、角度制与弧度制的互化；
3、弧长公式及扇形面积公式；
4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x 轴上的角的集合。
2、特别注意：角度与弧度不要混用。
如090,k k Z π+∈，应写成0018090,k k Z ⋅+∈或2k k Z π
π+∈
3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？
由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，由直角中的边之比定义，推广到直角坐标系中的坐标定义。
问题引入
如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h 0，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示），则（1）过了30秒后，你离地面的高度为多少？
（2）过了45秒呢？过了t 秒呢？ 【设计意图】从学生感兴趣的实际问题出发，发现问题，解决问题。
探究新知
1、单位圆
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。
单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。
单位圆可根据需要移到其它地方。
2、任意角的正、余弦函数定义 在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原
点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v 叫作角
α的正弦函数，记作v=sin α;点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cos
α. 通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y 表
示函数值， 因此定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值
域为[-1，1]。
【设计意图】升华概念，加深对概念的理解。
3、三角函数值的符号
思考：以小组为单位讨论当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦函数值、余
象限
第一象限第二象限第三象限第四象限
三角
函数
【设计意图】使学生掌握根据定义，三角函数值的符号仅与点P的纵、横坐标的符号有关。
sinα在一、二象限为正，三、四象限为负；cosα在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。
练习1、求的正弦函数值和余弦函数值.
【设计意图】通过例1和练习1，使学生加深对三角函数概念的理解。
总结提升：若角α的终边经过点P(x，y),则角α的正弦函数值、余弦函数值分别为：
【设计意图】加深认识：已经角终边的一个点P，利用三角函数的定义求其三角函数，需要确定三个量：角的终边上点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.
例2：已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦函数值、余弦函数值.
练习2:已知角α的终边经过点P(-1,2)，求角α的正弦函数值、余弦函数值.
变式1：已知角α的终边过点P(3a,4a)(a≠0)，求sinα的值．
变式2：已知角α的终边落在直线y＝-2x上，求cosα的值．
【设计意图】通过例2和练习使学生掌握一下方法：
1．已知角α的终边在直线上，求α的三角函数值，常用的解题方法有以下两种:(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝.
2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．例3：确定下列各式的符号．
(1)cos250°；(2)sin(－π/4)
练习3：判断下面各式的符号：sin2·cos3
【思路探究】由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号；进一步确定各式符号．
【设计意图】使学生掌握一下规律：1．判断三角函数值的符号关键是看角α的终边所在的象限位置，若角α的终边位置难以判断应先利用α＝2kπ＋β(k∈Z)进行转化．
2．判断三角函数值的符号的步骤：
(1)先观察角α所在终边所在象限；(2)判断角α各个三角函数值的符号；(3)给出最后的结论．
高考链接：（2011江西，14）
,552sin -
=θ已知角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角终边上一点，且则y=.
【设计意图】通过高考真题，让学生了解本节课在高考中的考察方向，把握重点。
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业：课本16页练习：2、3、4、5.。