北京科技大学高等数学下册试题
2010-2011学年度第二学期高等数学期中考试试题答案
北京科技大学2010——2011学年第二学期高 等 数 学A(II) 期中试卷答案一、单项选择题 （本题共45分，每小题5分）1. C2. B3. C A. 5. C 6. B 7. D 8. A 9. C二、填空题 （本题共45分，每小题5分）10. 0G ; 11. 12; 12. 222214(1)4x z y y +=+−或 2224174210x y z y −++−=; 13. 3; 14. 123()e 1sin()x y z x f f f x z x ⎛⎞−′′′−++⎜⎟−⎝⎠; 15. 4d 2d x y −; 16. π; 17. 22x y +; 18. 2(22)9i j k +−G G G 或244,,999⎛⎞−⎜⎟⎝⎠. 三、应用与证明题（共10分，每小题5分）19．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品, 两个市场需求函数分别是11182p θ=−, 2212p θ=−, 其中12,p p 分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨), 1θ和2θ分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量, 单位: 吨), 并且该企业生产这种产品的总成本函数是25C θ=+, 其中θ表示该产品在两个市场的销售量, 即12θθθ=+.(1) 如果该企业实行价格差别策略, 试确定两个市场上该产品的销售量和价格为多少才能使该企业获得最大利润?(2) 如果该企业实行价格无差别策略, 试确定两个市场上该产品的销售量及其统一价格为多少才能使该企业的总利润最大化? 并比较两种价格策略的总利润大小.解 总利润函数为2211221212(25)216105,L R C p p θθθθθθθ=−=+−+=−−++− 则112241602100L L θθθθ∂⎧=−+=⎪∂⎪⎨∂⎪=−+=⎪∂⎩ 124,5,θθ=⎧⇒⎨=⎩ 因此 110p =(万元), 27p =(万元). 由于驻点(4,5)唯一, 所以max 52L =(万元).当实行价格无差别策略时, 12p p =, 从而满足条件1218212θθ−=−, 即12260θθ−−=. 令 2212121212(,,)216105(26),F θθλθθθθλθθ=−−++−+−− 则11221241620,2100,260,F F F θλθθλθθθλ∂⎧=−++=⎪∂⎪∂⎪=−+−=⎨∂⎪⎪∂=−−=⎪∂⎩ 得125,4,2,θθλ=== 从而128p p ==, 此时max 49L =(万元).显然, 企业实行差别之价的总利润大于统一价格的总利润.20．证明: 曲面,0x a y b f z c z c −−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠的切平面经过一定点. 证明 记(,,),x a y b F x y z f z c z c −−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠, 则 11(,,),x F x y z f z c ′=− 21(,,),y F x y z f z c′=− []1221(,,)()(),()z F x y z x a f y b f z c −′′=−+−− 故切平面的方程为[]12122111()()()()()0()f X x f Y y x a f y b f Z z z c z c z c ′′′′−+−−−+−−=−−−, 即 [][]12()()()()()()()()0z c X x x a Z z f z c Y y y b Z z f ′′−−−−−+−−−−−=, 显然, 当(,,)(,,)X Y Z a b c =时, 上式左端为零. 故此切平面过点(,,)a b c .。
北京科技大学高代(下)习题解答1.doc
北京科技大学高代（下）习题解答1北京科技大学唐思铭462、设％, %是线性空间V的子空问，给出％U/是V的子空间的充分必要条件。
解：充分必要条件是％匸匕或匕匸必证明：必要性设V,UV2是V的子空间若％匸岭或％匸％不成立，则存在但少纟匕以及&2丘％但勺纟％。
因为v.uv2是u的子空间, 所以，^! + cr2 G U V2 ,因此有，（7] + （72 G V（或0+色丘匕，但是，如果a}+a2eV},由a} eV}可得，a2 e V},矛盾；而如果a}+a2^V2,由a. e V2又i可得，a} eV2,矛盾。
所以，V,cV2或匕uK充分性是显然的，证毕4.6.4、设a〕=（1, 一1,0）,设色=（一1,2,1）,求向星色，使得，span{a} ,a2,a3] = /?3解：设V；=span[a l 9a2 },易知，dim% = 2, （3X = a, + cr2 =（0,1,1）eV,,设=（0,0,1）,贝ij% = span {e ,勺} = s P an {e，0i }，e，0i，a3线性无关，所以，span [a l ,a2y ct.} = span {a} ,^,a3} = R' 4.6.5 >如果况维线性空间的子空间序列匕，i = l,2,…，满足条件，叫^岭匸…^匕匸…则存在自然数，使得，匕*严匕七=••• = %=•••证明（提示）:q =dim匕，j = 1, 2 ,…，则n x <n2 <-<n,467、若线性空间V的子空间％,岭的维数分别是人和乙，问：％+%和XU岭的所有可能维数是多少？解：％+岭所有可能维数是mr,+r2Z间的整数。
例如，对于斤+尸5 + 3 = 8,取线性无关的向量组a〕，…，逐，X = span{a} ,a2 ,a3,a4,a5 },贝！J,V2 = span{a3.a A,a5 }时，V} + V2的维数是5；V2= span{a4,a5y a6 }时，％ +岭的维数是6 ;V2= span{a^.a^a q }时，+ 匕的维数是7 ；V2 =span{a6,a7,a s }时,V, +V2的维数是8；V,UV2要成为子空间才有维数,此时V.G K或岭匸«,所以可能维数max{r, , r2}4.7.2、在线性空间疋中，记,硏={（旺,X2,••・,£）€/?" |x,+X2 +••• + X n =0| W2 ={（召,兀2|兀]=兀2 =•••=£}证明：R n =W X㊉怡证明（提示、）：设匕.=耳一勺+J = 1,2…,乃一1 , a“ = q+6 +…匕，贝！J，= span {&],•••, a n_x}, W2 = span {a n}由此易得，R n = W,㊉比证毕4.7.3、在线性空间7?”中,取向量0,也，…4$,记,U = span[a{ ,a2，…,Q$}V = a E R" a t a T = 0, z = 1 , 2,…，s}证明：是V的线性子空间，且R n=U㊉V 证明（提示）：这里是行向量。
2016-2017 学年第二学期高等数学AII 期末试卷(试卷+A3排版+解析)
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
13.
设由方程组
y + xyz
z+x =1
=
0
确定的隐函数
y
=
y(x)
及
z
=
z(x)，求
dy dx ,
dz dx
.
14.
设连续函数
f (x)
满足方程
f (x)
=
ˆ
3x
f
() t d t + e2x,
求
f (x).
¨(
0
3
)
(
)
15. 计算曲面积分 I = x2 − yz d y d z + y2 − zx d z d x + 2z d x d y, 其中 Σ
xOy ydx
平面上一条简单光滑的正向闭曲线，原点在其所围闭区域之外，则
=
【】
C x2 + 4y2
(A) 4π
(B) 0
(C) 2π
(D) π
6. 微分方程 xy′′ − y′ = 0 满足条件 y′(1) = 1, y(1) = 0.5 的解为
【】
(A) y = x2 + 1 44
(B) y = x2 2
1,
√ − ¨x
⩽
y
⩽
√x}，则正确的选x 项为
¨
【】
(A) f (y)g(x) d x d y = 0
(B) f (x)g(y) d x d y = 0
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
12-13数学分析AII期末(A)
试卷名称：北京科技大学 2012-2013 学年第二学期数学分析 AII 期末试卷(A) 试卷来源：试题原卷 整理人员：宗德 录入时间：2014/1/20
√ 原题 □答案 □解析 试卷现状：□
一、解答题（共 9 分，每小题 3 分） 1.设 A⊆ R2 为平面点集，������0 ∈ R2 ，试叙述������0 为 A 的内点的定义. 2.叙述极限������������������������→������ 0, ������→������0 ������ ������, ������ 与������������������������→������ 0 ������������������������→������0 ������ ������, ������ 存在性之间的关系. 3.已知函数������ ������, ������, ������ 在区域Ω上偏导数存在，P0 = ������0 , ������0 , ������0 ∈ ������ ，试写出方向导 数
， ������������ . ������������
1
������������
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5.（9 分）计算
������
������ + ������ ������������，其中������为由������ = ������ 2 与������ = ������所围成的闭曲线. 1, ������ ≤ ������ ������ ， 0, ������ > ������ ������ ，
2.（8 分）计算极限������������������������→+∞
2 1 1 ������������ ������ ������ −������ 0
北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
A 5
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n
12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，
2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
北京科技大学2004-2005学年度第2学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2004 — 2005学年度第二学期高等数学（A 卷） 试题 （时间120分钟）学院 考场 班级 学号 姓名一、填空 (每小题3分，共15分)1．设函数22y x z +=，则函数在点)1,1(处的梯度为 j i 22+ 2. 将三次积分)0(),sin ,cos (002022>⎰⎰⎰-a dz z r r f rdr d ar a θθθπ化为球面坐标系下的三次积分(函数),,(z y x f 在已知区域上连续)dr r r r r f d d aφφφθφθφθππsin )cos ,sin sin ,sin cos (22020⋅⎰⎰⎰3. 曲面12-=+z ye x x 在点(0,1,-1)处的切平面与xoy 平面的夹角为a r c =ψ4. 光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xoy 的投影区域为D ，那么该曲面的面积可以用二重积分表示为d x d y Z Z Dy x ⎰⎰++2215. 设级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，且和为s ，则n n a ∞→lims a -1 二、选择 (每小题3分，共15分) 1. 已知函数22),(y x y x y x f -=-+，则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),( ( C ) （A ） y x 22-； (B) y x 22+； (C) y x +； (C) y x -2. 设常数k>0, 则级数∑∞=+-12)()1(n n n n k 是 (C ) (A) 发散； (B) 绝对收敛； (C) 条件收敛； (D) 发散与收敛与k 的取值无关3. 微分方程02'=-y xy 的通解是 ( B )(A) Cx y =； (B) 2Cx y =； (C) 3Cx y =； (D) 4Cx y = 4. 二元函数33)(3y x y x z --+=的极大值点是 ( A )(A)（1，1）； (B)（1，-1）； (C)（-1，1）； (D)（-1，-1） 5. 若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==tb y ta x sin cos ，取顺时针方向，则⎰-L xdy ydx 的值为 (C )(A) 0 ; (B) 2abπ; (C) ab π; (D) ab π-三、计算 (共70分)1．（6分）设)(x y 是04=+'+''y y y 的解，2)0(,41)0(='=y y计算dx x y AA ⎰∞→0)(lim解：特征方程21,2441002r r r -±++=⇒=< )(0)(2121+∞→→+=x e C e C x y x r x r （3分）)(0)(212211'+∞→→+=x e r C e r C x y x r x r32414)()(4)4()(lim0'00'''0=+⨯=--=--=∞+∞++∞+∞→⎰⎰x y x y dx y y dx x y AA （6分） (先求通解，定出常数，再进行积分也可以) 2．（8分）计算二次积分dy e dx x y ⎰⎰-1102解：211100110222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy edxdy e dy e dx Dyy y x y3．（6分）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分dy y x dx y L )2()1(3+++⎰的值最小. 解：344]cos )sin 2()sin 1[()(333a a dx x a x a x x a a f +-=+++=⎰ππ（4分）1,044)(2'==+-=a a a f 唯一驻点，所以 ： 所求曲线x y L sin :=使38)1(-=πf 为最小。
高等数学下考试题库(附答案)
高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。
2014-2015_2_概率统计北科大
A 卷北京科技大学2014—2015学年度第二学期 概率论与数理统计 试题答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共15分） 1. 设事件A 和B 中至少发生一个的概率为56,A 和B 中有且仅有一个发生的概率为23，那么A 和B 同时发生的概率为 .2. 从1,2,3,4中任取一个数记为X ，再从1,,X 中任取一个数记为Y ，则{}2P Y == .3. 设A n 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率,则对于任意的0ε>，lim A n n P p n ε→+∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭。
4。
设X 服从区间[]0,θ(0θ>）上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自该总体的样本，则θ的矩估计量θ= .5。
设12,,,,1,n X X X n >是来自正态总体()2,N μσ的样本，1111n i i i X X k -+==-∑σ为总体参数σ的无偏估计量，则k = ．填空题答案：1。
25 2.4 3.7.8 4。
195。
X二．选择题(每小题3分，共15分)1．若随机事件A 和B 互斥，且()()0,0P A P B >>,下述关系中正确的是 。
(A ）()()P A B P A = (B)()0P B A > （C ）()()()P AB P A P B = （D ）()0P B A =2．设随机变量X 的概率密度函数是()x ϕ，且有()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任意的实数a ,有 。
（A)()()01aF a x dx ϕ-=-⎰(B ）()()012aF a x dx ϕ-=-⎰ (C ）()()F a F a -= (D ）()()21F a F a -=-3. 设,X Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ,则{}min ,Z X Y =的分布函数是 。
高等数学下考试题库(附答案)精编版
2.函数 z exy 的全微分为 ___________________________.
2
2
3.曲面 z 2x 4 y 在点 2,1,4 处的切平面方程为 _____________________________________.
三 .计算题（ 5 分 6）
1.设 a i 2 j k ,b 2 j 3k ，求 a b.
C.
3
2
y 的定义域为（
D.
2
）.
A. x, y 0 x2 y2 1
B. x, y 0 x 2 y2 1
C. x, y 0 x 2 y 2 2
D. x, y 0 x 2 y2 2
4.点 P 1, 2,1 到平面 x 2 y 2z 5 0 的距离为（
）.
A.3
B.4
C.5
2
2
5.函数 z 2xy 3x 2 y 的极大值为（
3、 л
4
5、 y
x2
ce 2 ,cx
1
1
y
三、计算题
、 0， +
7、 C
8、 A
9、 B
2、解：因为 x=t,y=t 2,z=t 3, 所以 x t =1,y t =2t,z t =3t 2，
7
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
所以 x t | t=1 =1, y t | t=1 =2, z t | t=1 =3
与平面 3x 2y 6z 0之间的夹角为 ____________ 。
2
12
2、（ 0.98） 2.03 的近似值为 ________,sin100 的近似值为 ___________。
大学高等数学下考试试题库（附答案）
大学高等数学下考试试题库（附答案）一.选择题（3分?10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<="" y="">C.(){}21,22≤+<="">y x D (){2<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（）.A.0=?b aB.0 =?b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则4,1πyz ＝（）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n pn收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分?5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求z x z 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z 3.计算σd y x D+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分?2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点??31,1，求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin . 2.12,12+=??+-=??z yy z z x x z . 3.?=?πππρρρ?202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分?10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<="" p="" x="" y="">≤+≤20,22πy x y x D.()?<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）.A.3B.4C.5D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=??2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<r< p="">D.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分?5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线??-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分?6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ?2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分?2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=??-=?? . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=??+-=??. 4.-3223323πa . 四.应用题 1.316.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1、二阶行列式 2 -3 的值为（）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为2 2y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2A D 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（） A 、-2，-1 B 、2，1C 、-2，1D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1 321___________。
2020-2021某大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷合集1(含答案)
7.极限 lim xy =( ).
x + y ( x, y)→(0,0) 2
2
(A)0 (B) 1 2
(C)1 (D)不存在.
三、计算下列各题.(共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
内
线
专业班级：
订
装
院系：
第5页 共 2 页
1. xdydz + ydzdx + zdxdy，其中 是柱面 x2 + y2 = 1及 平面 z=0，z=1 所围区域的整个边界曲面的外侧.
L
y = 2x − x2 上由点 (0, 0) 到点 (2, 0) 的一段弧。
解：令 P = x2 − y ， Q = −x − sin y2 ， P = −1， Q = −1 ，……2 分
y
x
(x2 − y)dx − (x + sin y2 )dy = − (−1 − (−1))dxdy = 0 ，……4 分
7、设
f
(x) 是以 2
为周期的连续函数，且
f (x)
=
a0 2
+
(an
n=1
cos nx + bn
sin nx) ，则
an
=
1
−
f
(x) cos nxdx ， bn
=
1
−
f
(x)sin nxdx 。
8、过 (1, 2,3), (4, 0,5) 两点的直线方程是 x −1 = y − 2 = z − 3 。 3 −2 2
（10 分）
解：令 P = x,Q = y, R = z ，……2 分
原式= 3dxdydz ……6 分 V
因V 的体积为 27 ……8 分 所以原式= 81 ……10 分
北京科技大学大一高等数学上册试卷及答案
北京科技大学大一高等数学上册试卷及答案一、单选题1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）. A 、()()+∞--,01,2 B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞-【答案】B2、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C x xdx 211tan 【答案】C3、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C x xdx 211tan 【答案】C4、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）. A 、C e x +sin B 、C x e x +cos sinC 、C x e x +sin sinD 、C x e x +-)1(sin sin【答案】D5、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a 022（ ）. A 、2a B 、22a π C 、241a 0 D 、241a π 【答案】D6、x x dx e e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++【答案】A7、定积分ba dx ⎰()ab <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯【答案】D8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）.A 、⎰104dx x πB 、⎰10ydy π C 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π 【答案】A9、曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x =【答案】A10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=*B 、x e y 73=*C 、x xe y 272=*D 、x e y 272=* 【答案】D11、=--→211)1sin(limx x x （ ）. A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、21 【答案】C12、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx =B 、)2(sin 2cos x d xdx =C 、)5(x d dx --=D 、22)()(dx x d =【答案】C二、填空题1、=⎰-113cos xdx x ；【答案】02、30y y y '''+-=是_______阶微分方程.【答案】二阶3、=⎰-113cos xdx x ；【答案】04、=⎰-113cos xdx x ；【答案】05、不定积分ln x xdx =⎰______________________. 【答案】2211ln 24x x x c -+ 三、解答题(难度：中等)1、求下列积分 (每小题5分, 共15分)（1） 12sin x dx x ⎛⎫+⎪⎝⎭⎰. （3） ln(1)x x dx +⎰. （2） 120x e dx ⎰【答案】（1）原式=lim 2cos x x C -+（2）原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰ =22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰ =221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++ （3）原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰ 2、作出函数323y x x =-的图像.3、求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '.【答案】11x y x y '=+-4、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ； 【答案】31 ；5、求 x x y arccos 12-= 的导数； 【答案】1arccos 12---x x x；6、求不定积分①()()13dx x x ++⎰ ②()0a > ③x xe dx -⎰【答案】 ①11ln ||23x C x +++ ②ln |x C + ③()1x e x C --++ 7、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积. 【答案】29 ； 8、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)（1） 2x y x =+, 求(0)y '. （2） cos x y e =, 求dy . （3） 设x y xy e +=, 求dy dx . 【答案】（1）221','(0)(2)2y y x ==+ （2）cos sin x dy xe dx =-（3）两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+ 'x y x y e y xy y y x e x xy++--⇒==--。
北京科技大学《高等数学》2007-2008学年第一学期期末试卷A卷
北京科技大学 2007--2008 学年 第 一 学期高等数学 试卷 （A ）院(系) 班级 学号 姓名试卷卷面成绩占课程考核 成绩 70%平时 成 课程考 绩占 30% 核成绩题号 一二 三四小计得分 五阅卷校对得 分1 + 2x − 3=x − 22．设 f ′(x 0 ) 存在，求 lim 0 0 = ．3．设 e − x 是函数 f (x ) 的一个原函数，则∫x 2 f (ln x )dx = C +4． 设 f (x ) 连续，且 f (x ) = x + 2 (x )dx ，则 f (x ) =5．设向量（2 a + 5b ) ⊥ (a − b ), 2(a +3b ) ⊥ (a − 5b ) ，则 a 与 b 之间的夹角为二、单项选择题（每小题 3 分， 共 15 分）x 2 sin 1x > 06．设 f (x ) = x 在 x = 0 处可导, 则ax + b x ≤ 0（A ） a=1, b=0; (B) a=0,b 为任意常数； (C) a=0, b=0 ;一、填空题（每小题 3 分， 共 15 分）自 觉 遵 守 考 试 规 则， 诚 信 考 试， 绝 不 作 弊f (x + ∆x ) − f (x − 2∆x )装 订 线 内 不 得 答 题(D) a=1, b 为任意常数得 分1．计算 limx →4】．【 ．∆x →02∆x7． 设设 f (x ) = 3x 3 + x 2 | x | ，则使 f (n ) 0() 存在的最高阶导数 n 为 【 】． （A ） 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3π8．积分(x 4 + sin x ) sin 2xdx =2【 】(A) 3/4 (B) 0 (C) 4/3 (D) 19．下列不等式正确的有（A ） sin xdx < sin x 2 dx ， （C ）π e sin xdx >π e x 2dx ，10．设 z = x y ， 则 dz =【（B ） cos xdx < cos x 2dx ，（D ） sin 2xdx <sin 2 3xdx【】(A ) (C )x y (ln xdx + dy ) y x (ln xdx + dy )(B ) (D )x y (ln xdy + dx )x y (dy + ydx )三、 计算题 （每小题 9 分， 共 63 分）11． xl() = e −x dx ，求 a 的值。
北京科技大学高等数学下册试题
高等数学试题一、填空题1.设sin z xyz 1,-=则z yz x cos z xy∂=∂-. 2.设L 为圆周22xy 4+=，则对弧长曲线积分22L x +y +5dS =12π⎰. 3.交换积分次序()222y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ⎰⎰⎰⎰.4.方程2x y"4y'4ye -++=的一个特解是2x x e -212. 二、选择题 1.函数()2222x y 0f x,y 0x y 0+≠=+=⎩在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0C.两个偏导数都存在，但不为0D.全微分存在2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥；2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C .A.12xdv 4xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰B.12ydv 4ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12zdv 4zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D.12xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222x dydz x y z ∑++⎰⎰等于C . A. 0B.22y z 1+≤⎰⎰C.43πD.22x z 1+≤-⎰⎰ 4.下列微分方程中，通解为()2x 12ye c cos x c sin x =+的方程是B . A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+=C.y"2y'5y 0-+=D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2De dxdy y ⎰⎰.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 四、设y u yf 2x,x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝，f 具有二阶连续偏导数，求 2211222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x∂''''''=+--∂∂. 五、设()fx 是一个连续函数，证明：（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰，其中22u x y =+. 证明：（1）()()()()222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y(yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x yf x y xdx ydy ++=+++∂+'=+∂∂+∂+'=+=∂∂∴++ （2） ()()22u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭=++=++⎰⎰ 六、求：由曲面2222z0,z x y 1,x y 4==+=+=所围空间立体Ω的体积.解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰七、计算曲面积分2∑⎰⎰，其中∑为下半球面z =.是一个全微分。
北科大2011-2012学年度第二学期高等数学期中考试试题答案
北京科技大学2011——2012学年第二学期高 等 数 学AII 期中试卷答案一、填空题（本题共36分，每小题4分）1. 361a π; 2. 3)3,12(=-A k j i 38-+， 3.z y d f y x d f du 21'+'=dz f z y dy f y x f z dx f y 22122111'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+'= ; 4. ⎰-x d f x 02)()(21ζζζ; 5. 61; 6. 40; 7.⎪⎭⎫ ⎝⎛'''r r f z r r f y rr f x )(,)(,)(; 8.π; 9.40x y z +-=. 二、选择题（本题共36分，每小题4分）10. C; 11. B; 12. A; 13. D; 14. A; 15. B; 16. D; 17. C; 18. D三、解答题(本题共2小题,每题9分，满分18分)19.在x x x u =)2,(两边对x 求偏导数，有12(,2)2(,2)1u x x u x x ''+=， 两边再对x 求偏导数，则()11122122(,2)2(,2)2(,2)2(,2)0u x x u x x u x x u x x ''''''''+++=，又因为),(y x u 具有二阶连续偏导数，且22220u u x y∂∂-=∂∂，所以 (*)0451211=''+''u u ， -----------5分 再在21)2,(x x x u ='两边x 求偏导数，有x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''， 故由(*)式有 x x x u x x x u x x u 35)2,(,34)2,()2,(122211=''-=''=''. ----------9分 20. 设椭圆上任意点的坐标为),,(z y x ，令 22222(,,,,)()(1)F x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++- -----3分由2222022020010x y z F x x F y y F z F z x y F x y z λμλμλμλμ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪⎪=++-=⎩得两点11222⎛-+-+- ⎝，11222⎛----+ ⎝， ------6分 由题意所求最值一定存在，且一定在此两点取得，故所求最长距离与最短距离分别为359+和35-9. -----9分四、证明题(本题共2小题,每题5分，满分10分) 21. dr r r f dr r r f d d t F t t 200222020)(4sin )()(⎰⎰⎰⎰==πϕϕθππ, -----3分πππ54)0(54)(4lim )(lim 5202050='==⎰++→→f t drr r f t t F t t t --------5分 22. 因为()0)()(2≥-y f x f ， --------- 2分 所以在b y a b x a D ≤≤≤≤,:上，有dxdy y f y f x f x f d y f x f D D ))()()(2)(())()((022⎰⎰⎰⎰+-=-≤σ，即有 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-≤ba b a b a b a b a b a b a ba dx x f dx x f ab dy y f dx dy y f dx x f dy dx x f 2)(2)()(2)()()(2)(0222 ⎰⎰-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a dx x f a b dx x f )()()(22 ----------5分。
北京科技大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷A卷
北京科技大学 2006 --2007 学年第二学期高等数学 试卷 （A ）院(系) 班级 学号 姓名试卷卷面成绩占课程考核成绩80 % 平时成绩 占 20 %课程考核 成绩 题号 一二 三 四 五 六 七 小计 得分阅卷审核一、填空题（15 分）1．曲面z =+ y 2 在点(2,1, 3) 的切平面方程为2．交换积分次序 dx ∫0ln x f (x , y )dy =3．设l 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 与平面 x + y + z = 0 的交线，则(x 2 + y 2 + z 2 )dl = 4．级数x 2n −1 的收敛半径是5．求微分方程 y "+ y '− 2y = 0 的通解 y =二、单选题（15 分）1．设u = f (x + y , xz ) 有二阶连续偏导数，则= （ ）（ A ） f '2+ (x + z )f 12'' + xzf '2'2 （B ） x f 12''+ xzf '2'2（ C ） f '2 + xf 12''+ xzf '2'2 （D ） x zf '2'2得 分得 分自 觉 遵 守 考 试 规 则， 诚 信 考 试， 绝 不 作 弊装 订 线 内 不 得 答 题2． 若 f (x , y )dxdy = ∫d θcos θf (r cos θ, r sin θ)rdr ， 其中a > 0 为常数， 则积分区域 D 是D 2（ ）（ A ） x 2 + y 2 ≤ a 2 （B ） x 2 + y 2 ≤ a 2 , x > 0 （ C ） x 2 + y 2 ≤ ax （D ） x 2 + y 2 ≤ ay3． 设∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1， ∑1 为上半球面 z = ， D xy 为曲面 ∑ 在 xoy 平面上的投影区域，则下列等式成立的是（ ） （ A ） ∫ zdS = 2∫ zdS （B ）∫ zdS = 0 ∑ ∑1 ∑（ C ） ∫ z 2 dS = 2∫ z 2dxdy （D ）∫ z 2dS = 2∫ z 2dxdy ∑ ∑1 ∑ D xy4．设幂级数a n (x − 1)n 在 x = 2 处条件收敛，则该级数在x = 处是（ ）（ A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （ C ） 发散 （D ）敛散性不一定5． 设线性无关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是二阶非齐次线性方程 y "+ p (x )y '+ q (x )y = f (x ) 的解， c 1 , c 2 为任意常数，则该方程的通解是（ ）（ A ） c 1y 1 + c 2 y 2 + y 3 （B ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (c 1 + c 2 )y 3 （ C ） c 1y 1 + c 2 y 2 − (1 − c 1 − c 2 )y 3 （D ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (1 − c 1 − c 2 )y 31．（8 分） 设u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy + 3x − 2y − 6z ， 求点 P 0 (1,1,1) 处从点 P 0 到点 P 1 (3, 0, − 1) 方 向的方向导数P 0 和在点 P 0 处的梯度 gradu (1,1,1)2．（8 分）计算 I = x 2 + y 2 − 4 dxdy , 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 9D3．（8 分） 计算∫∫ (x2+ y 2 )dv ， 其中Ω 是由曲线绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2， z = 8 所围成的区域。
高等数学(下册)期末试卷及答案11
二高等数学C2（下） A 卷数理系 相关专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 填空题（每空3分，共30分）1.微分方程450y y y ''-'-=的通解为__ ___。
2 已知两点(0,1,2)A 和(1,0,3)B -，则与向量AB uu u r同向的单位向量0a u u r =__ ___ 3.平面4x y z -=的法向量为n r=__ __4. 222232u x y z xy x z =-+++-在点（1，1，2）处的梯度为__ ___.5.. 极限(,)(00limx y →，）=__ ___.6. 二重积分3cos sin Dx y dxdy =⎰⎰__________,其中区域D 是由圆周2225x y +=所围成的闭区域。
7.幂级数1nn x n∞=∑的收敛域为_________。
8.函数(,,)f x y z x y z =++在点(1,1,1)的方向导数____ _,其中方向角分别60度，45度,60度.9. 将yoz 坐标面上的抛物线22y z =绕Z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为_____ __. 10．函数23z x y =，则全微分dz =______ _二、选择题：（每小题3分，共15分）1．平面1:250x y z π++-=与平面2:220x y z π-++=的夹角为（ ）)A 6π )B 1arccos 6 )C 4π )D 3π课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:2．方程222z x y =++所表示的二次曲面是（ ）)A 圆锥面)B 旋转抛物面 )C 球面 )D 柱面3．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是（ ）)A arctan x y Ce = ； )B x y e C =+ ； )C Cx y e = ； )D ln y Cx = .4. 点(0,0)是函数z xy =的（ ）)A 极值点 )B 驻点 )C 最大值点 )D 不连续点5.更换积分次序：12200dy x y dx =⎰（ ）)A 122dx x y dy ⎰)B 12203x y dy ⎰)C 211223x dx x y dy -⎰⎰)D 2112203x dx x y dy +⎰⎰三． 计算题（共55分）1 （8分）求微分方程cot 2sin y y x x x '-=满足初始条件22|4x y ππ==的特解。
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高等数学试题
一、填空题
1.设sin z xyz 1,-=则z yz x cos z xy
∂=∂-. 2.设L 为圆周22x
y 4+=，则对弧长曲线积分22L x +y +5dS =12
π⎰. 3.交换积分次序()222y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ⎰⎰⎰⎰.
4.方程2x y"4y'4y
e -++=的一个特解是2x x e -2
12
. 二、选择题 1.函数()2222x y 0f x,y 0x y 0
+≠=+=⎩在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0
C.两个偏导数都存在，但不为0
D.全微分存在
2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥；
2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C .
A.12xdv 4xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
B.12
ydv 4ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
C.12zdv 4zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
D.12
xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222
x dydz x y z ∑++⎰⎰等于C . A. 0
B.
22y z 1+≤⎰⎰
C.43π
D.22x z 1
+≤-⎰⎰ 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y
e c cos x c sin x =+的方程是B . A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+=
C.y"2y'5y 0-+=
D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2D
e dxdy y ⎰⎰.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 四、设y u y
f 2x,x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝
，f 具有二阶连续偏导数，求 22
11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x
∂''''''=+--∂∂. 五、设()f
x 是一个连续函数，证明：（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
⎰，其中22u x y =+. 证明：（1）
()()()(
)
222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y
(yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y
f x y xdx ydy ++=+++∂+'=+∂∂+∂+'=+=∂∂∴++ （2） ()()22
u x y 222200
2222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2
+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭=++=++⎰⎰ 六、求：由曲面2222z
0,z x y 1,x y 4==+=+=所围空间立体Ω的体积.
解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ
====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
七、计算曲面积分2∑⎰⎰，其中∑为下半球面z =.
是一个全微分。
解：补充曲面∑‘
：z=0并取其下侧。
xy
222210002D 2
xdydz (z 1)dxdy xdydz (z 1)dxdy (2z 3)dxdydz 1022zdxdydz 22d d 3xdydz (z 1)dxdy dxdy πππθρρππ∑
∑'∑+∑ΩΩ'∑=++++=-+=--=--=-++=-=-∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2
7xdydz (z 1)dxdy 3π∑∑=++=-⎰⎰ 八、设()f x 二阶可微，且()1
f 03=，()f 01'=-，确定()f x 使积分
()()()2L 212x 3x
012**'*''01000101*1312yf x 3yf x y dx f x x x dy 222P Q 112f (x)3f (x)f (x)3x y x 22f (x)2f (x)3f (x)3x 12301,3y C e C e y a x a y a y 0
02a 3a x 3a 3x 1
12a ,a 39
1y λλλλ-⎛⎫⎛⎫''+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∂∂'''=→++=--∂∂'''--=+--=→=-==+=+→=→=---=+=-==-⎰x 3x 121212x 3x 2x 39
12f (x)C e C e x 39
21f (0)C C 93
11f (0)C 3C 33
1112f (x)e e x 123639
--+=+-+=++='=-+-=-=+-+()()()2L 1312yf x 3yf x y dx f x x x dy 222⎛⎫⎛⎫''+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰与路径无关.。