净均衡保费与毛保费

2
完全离散纯净均衡保费厘定 （终身寿险为例）
条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险， 被保险人从保单生效起按年期初缴费。 厘定过程：
&& (1) L = v K +1 − Px aK +1
, K = 0,1,2,L Ax && ax
&& ( 2) E ( L) = 0 ⇒ Ax − Px a x = 0 ⇒ Px =
&& 利用 da x + Ax = 1, 可得： Ax − Ax2 var[ L ] = && ( da x ) 2
2
例
设 k q x = c.(0.96) k +1 , k = 0,1,2,..., 其中c = Px 和 var[ L] 0.04 , i = 5%, 计算 0.96
解：由于： Ax = ∑ v k +1 .k q x = ∑ v k +1 .c.( 0.96 ) k +1
将上式得到的纯保费记为P ( Ax )，即： P ( Ax )＝ Ax aT
L 的方差可以用来衡量亏 损的变异程度，由于 E ( L ) = 0, var( L ) = E ( L2 )，对于亏损变量有： var( v − P .aT ) = var[ v − P .
T T
1 − vT
δ
]
= var[ v T (1 +
2 Px 2 2 Ax − ( Ax ) 2 2 (3)Var ( L) = (1 + ) [ Ax − ( Ax ) ] = && d ( da x ) 2
全离散终身寿险纯保费厘定
对x岁投保的保额为1个单位的终身寿险的年 缴均衡纯保费 为Px，这种保险的保险人在 保单签发时亏损随机变 量为： && L = v K +1 − Px .a K +1 , K = 0,1,2... 其中， K是（ x）的取整余命。 && 由精算等价原理有： E[ L ] = 0, 或E[v K +1 ] − Px .E[ a K +1 ] = 0 于是， Px = Ax && ax
δ
。若 t 0为使得 l (t 0 ) = 0的时刻，则被保险人在 t 0
前死亡则会导致损失， 在 t 0 后死亡则会产生收益（ 负损失）
现在，考察亏损随机变量 L = l (T ) = vT − P .aT 根据精算原理，P 满足： E[ L] = 0 从而，Ax − P .aT = 0 或P ＝ Ax aT
1.v T
终身寿险 N年期定期寿险 N年期两全保险
1 .v T 0
1 .v T 1 .v n
N年期生存保险
0 1 .v n
aT , T ≤ n an ,T > n
aT ,T ≤ n an ,T > n
N年延期终身生存年金
0 a T − n .v n
常见险种的完全连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险
一般连续寿险纯保费
类似于确定全连续型终 身寿险的年缴纯保费 P ( Ax )的方法，我们可以 应用精算等价原理得出 其他各种全连续型寿险 的年缴 纯保费（ Net Annual Premium ）公式。一般地，保险 人在 签发保单时的亏损随机 变量可表示为： bT .vT − P .Y = Z − P .Y 其中， bT 与 vT 分别是给付函数和折现 函数， P 是全连续 年缴均衡纯保费的一般 符号， Y是连续年金现值随机变 量 Z 是给付现值随机变量。
x :n
E (Y ) = a x:n E (bT .vT ) n a x = = P (n ax ) = E (Y ) a x :n A 1 .a x + n
x :n
a x :n
全连续年缴纯保费
保险种类 亏损成分
bT .vT
P Y中的 Y
aT
aT ,T ≤ n an ,T > n
aT ,T ≤ n an ,T > n
附加保费的计量基础
以保费的百分比附加。通常与保费规模成比例的费用 项目以保费的百分比衡量，如税金、佣金。 以每份保单固定附加。签发保单的费用。 以保险金额的一定比例附加。核保费用保单的日常维 护工作 在各项费用中，引起最多关注的是所谓新契约费用或 取得成本，即保险人为了签发一份新保单所付出的成 本包括首年代理人佣金、签发保单的费用和核保费用 等。
P ( m ax ) = Ax:1 ⋅ ax + m ax:m m
例5.1
已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求
(1) P ( Ax ) (2)Var ( L)
例5.1答案
根据例4.1，已知ax = 10, Ax = 0.4， 2 Ax − ( Ax ) 2 = 0.09 所以 Ax (1) P ( Ax ) = = 0.04 ax Ax − ( Ax ) 2 0.09 (2)Var ( L) = = = 0.25 2 2 (δ ax ) 0.6
净保费
风险保费——是满足保险公司承担的风险事故赔付而收取的净保 费。针对风险类产品 储蓄保费——是满足保险公司对储蓄类产品的给付而收取的净保 费。针对储蓄类产品 附加保费——是保险公司补偿费用支出并获得一定利润的费用。 —— 分为附加费用和意外准备 附加费用——是补偿保险公司在开发、维护和管理保险产品中的 花费而收取的费用。 意外准备——是为死亡率、费用率、利率等不利偏差变动而收取 的附加保费部分。 在附加费用中，支付给代理人的佣金常常单独列出来，扣除佣金 的附加费用部分称为管理费。
第五章 净均衡保费与毛保费
第一节 保费简介
保费的构成
毛保费 （购购购购）
纯保费 （将来保单受益的精算现值）
附加费用 （与保单相关的费用的精算现值）
保费的分类
按保费缴纳的方式分：
一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费 以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费
按保险的种类分：
只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费
费用类别和细分（续）
费用类别 营业费用 细分 市场研究 精算与一般法律服务 一般会计 税金、许可证等费用 理赔费用 理赔调查及辩护费 赔付或给付、支付费用
附加费用分类
采用不同的定价方法，决定了附加保费以怎样的方式 附加，最简单的情形是附加保费不分类，直接按总保 费的一定比例附加，表现为总保费的某规定百分比。 对附加保费最简单的分类是按发生时间分为初年费用 和续年费用。 在传统定价方法中，对附加保费最典型的分类是分为 新契约费用、管理费用和收费费用三项。
P
δ
)− P
P
δ
]
= var[ v T (1 + = var( v T ).(1 +
δ
P
)] )2 )2 Ax 2 ) δa x
δ
P
= ( 2Ax − Ax2 )(1 +
δ
所以， L ) = ( 2Ax − Ax2 )(1 + var(
2
Ax − Ax2 = → 原因是利用 δa x + Ax = 1 (δa x ) 2
k =0 k =0 ∞ ∞
0.96 v = 0.444 1 − 0.96 v 1 − Ax && ax = = 11 .67 d Ax 于是， Px = = 0.038 && ax = c. 0.96 v 2 2 又由于： Ax = c. = 0.2807 2 1 − 0.96 v
Ax − Ax2 0.2807 − 0.444 2 所以： L] = var[ = = 0.2693 2 0.05 && ( da x ) ( × 11.67) 2 10.5
(2) E ( L) = 0 ⇒ Ax − P ( Ax )a x = 0 ⇒ P ( Ax ) = (3)Var ( L) = Var[v (1 +
t
Ax ax
P
δ
)−
P
δ
] = (1 +
P
δ
) 2 [ 2Ax − ( Ax ) 2 ]
2 δa x + Ax 2 2 Ax − ( Ax ) 2 = （ ）[ Ax − ( Ax ) 2 ] = δa x (δa x ) 2
h
保费公式
P ( Ax ) = Ax ax
1 1 P ( Ax： ) = Ax： ax： n n n
P ( Ax： ) = Ax： ax： n n n
P ( Ax ) = Ax ax： h
P ( Ax： ) = Ax： ax： n n h
h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
h
P ( Ax:n1 ) = Ax:n1 ax： n
总保费结构图
风险保费 净保费 储蓄保费 总保费 意外准备 附加保费 附加费用 佣金 管理费用
费用类别和细分
费用类别 投资 细分 投资分析 买入、卖出及服务成本 保险 销售费用（包括代理人佣金和广告费） 核保，包括体检费用 准备新保单及相关记录 维持费用 保费收缴 保单变更及给付选择权 和客户保持联络
x
&& A = Pax
净均衡保费的种类
完全连续净均衡保费
死亡即刻给付 连续缴费
完全离散净均衡保费
死亡年末给付 离散缴费
半连续净均衡保费
死亡即刻给付 离散缴费
完全连续年缴净均衡保费的厘定 ห้องสมุดไป่ตู้以终身人寿保险为例）
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险 人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也 连续） 厘定过程： （ ）L = l (T ) = v t − P ( Ax )at 1
一般连续寿险纯保费计算
事实上，上面公式中的 1 .v T , T ≤ h bT .vT = 1 .v T , h < T ≤ n 1 .v n , T > n a , T ≤ h T Y = aT , h < T ≤ n aT , T > h 从而， E ( bT .v T ) = bT .vT 和 Y 分别为
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付） 1 Ax , m Ax , Ax:n , m n Ax 生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付， 生存年金受益期初支付）
Ax:1 , ax , n
m
ax , ax:n ,
mn
ax
两全保险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付， 生存受益期末支付）
∫
n
0
v t .t p x .µ x + t dt + v n .n p x
1
= Ax1:n + A = A x :n E (Y ) = a x:h
x :n
E ( bT .v T ) Ax:n = h P ( A x :n ) = E (Y ) a x :h
一般连续寿险纯保费计算
我们再来考虑延期 n年的终身生存年金 (n - year deferred whole life annuity) 的年缴均衡纯保费，其 记号为 P ( n a x )。 类似上面的推导，可得 出如下结论： 0, T ≤ n bT .vT = aT − n .v n , T > n aT , T ≤ n Y = aT , T > n E (bT .vT )= n a x = A 1 .a x + n
2
各种寿险的年缴纯保费
用精算等价原理可以对 各种全离散型寿险得出 确定年缴 纯保费的公式。保险人 在保单签发时的亏损随 机变量可 一般地表示成： L = bK +1.vK +1 − PY。其中 bK +1与vK +1分别是 前面两章讲到的给付函 数与折现函数， P是当被保险人生存 时的每个保单年度初支 付的完全离散型寿险的 纯保费（ Fully Discrete Net Pr emiums )的一般记号， Y是离散年金现金随机 变量。
一般连续寿险纯保费的计算
应用精算等价原理有： E（ bT .vT − P .Y ) = 0 E[bT .vT ] 从而， P = E[Y ] 例如，对 h年限期缴费的 n年期两全保险 ( h − payment n year endowment insurance) ， 应用上面公式可以得到 相应的 年缴均衡纯保费 h P ( Ax:n ), 这里的下坐标 h表示缴费年限。
完全连续终身寿险
对任何连续支付的保费 P , 若被保险人发生死亡在 时刻 t（自保单签发 时算起），则此时保险 人的亏损现值为： l (t ) = v t − P .at 由于： at = 1 − vt
δ
P
故有 : l (t ) = (1 +
δ
)v t −
P
δ
由此可见， l (t )是 t的递减函数， l ( 0 ) = 1, 且当 t → +∞ 时， l (t ) → − P
Ax:n
第二节 净均衡保费
净均衡保费与趸缴纯保费的关系
纯保费厘定原则——平衡原则：
保险人的潜在亏损均值为零。 L=给付金现值-纯保费现值 E（L）=0 E（给付金现值）=E（纯保费现值） 净均衡保费与趸缴纯保费的关系 E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）
平衡原则
根据这一平衡公式可以算出净保费，设 保险金的现值为A，每次净保费为P，每 & 次1单位的生存年金现值为 a& ，则有