统计学第九章 双因素和多因素方差分析

2 （ y ijk − y ij•） ∑∑∑ i =1 j =1 k =1 a b n
2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：df =abn-1
T
A因素处理间自由度：df =a-1
A
B因素处理间自由度：df =b-1
B
交互作用自由度：df =(a-1)(b-1)
AB
处理内自由度：dfe=ab(n-1) df =df +df +df +dfe
a b i=1 j =1
n
2
SSe= ∑∑∑yijk
i=1 j =1 k =1
a
b
2
1 a b 2 − ∑∑yij• = SST − SSA − SSB − SSAB n i=1 j=1
（五）各项均方的计算
MS
T
SS T SS T = = df T abn − 1
MS
A
SS A SS A = = a -1 df A
x9
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 33.5** 30.5** 29.75** 22** 19** 11.5 2.75 2.5
x8
31** 28** 27.25** 19.5** 16.5** 9 0.25
x7
30.75** 27.75** 27** 19.25** 16.25** 8.75
A因素误差平方和
SSA = bn∑(yi•• − y••• )
i=1
a
2
B因素误差平方和 SSB = an∑(y• j• − y••• )
b j=1
2
AB交互作用误差平方和
SSAB = n∑∑(yij• − yi•• − y• j• + y••• )
a b i=1 j =1 2
随机误差项平方和
SSe =
Tukey提供的方法进ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因素间是否存在交互作用的 提供的方法进行因素间是否存在交互作用的 判断 P171
用不同原料与不同温度发酵的酒精产量
原 料 种 类 (A) 1 41 49 温 度（B）
30℃
35℃
40℃
23
25
11
13
25
24
6
22
26
18
2
47
59
50
40
43
38
33
36
8
22
14
18
3
35
3、检验统计量的计算 、
检验时， 因素 因素、 因素的检验统计量均以 因素的检验统计量均以MSe做分母 在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以 检验时 做分母
FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 分布的上尾检验， 用F分布的上尾检验，拒绝域为 分布的上尾检验 拒绝域为F>Fα
（三）交互作用的判断
第一节 双因素方差分析概述
一、双因素试验汇中的几个基本概念
1、主效应（main effect）：各实验因素相对独立的 效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变， 如包装方式对果汁销售量的影响。 2、互作效应（interaction）：两个或多个实验因素的 相互作用而产生的效应。
3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方 差分析(Two-factor without replication)：两个因素 对试验结果的影响是相互独立的，分别判断两个 因素对试验数据的影响。 4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方 差分析 (Two-factor with replication)：如果两个因 素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还 会对结果产生一种新的影响。
y ijk = µ + α i + β j + (αβ )i j + ε i jk，其中 i = 1,2， a; j = 1,2，b; k = 1,2， n; ... ... ...
2、提出假设
H 01： α i = 0, H A1： α i ≠ 0 H 02： β i = 0, H A2： β i ≠ 0 H 03：（ αβ ） = 0， H A3：（ αβ ） ≠ 0，其中 i = 1,2， a; j = 1,2， b ..., ..., ij ij
x6
22** 19** 18.25** 10.5 7.5
x5
14.5* 11.5 10.75 3
x4
11.5 8.5 7.75
x3
3.75 0.75
x2
3
二、双因素交叉分组试验设计的描述
（一）双因素试验的数据描述 （二）观测值的描述 （三）平方和与自由度的分解 （四）平方和的简便计算公式 （五）各项均方的计算
（一）试验数据的描述
B1 y111 y112 ┆ y11n y211 因素A i=1.， 2,3…，a A2 y212 ┆ y21n ┆ 因素B j=1.，2,3…，b B2 … y121 … y122 ┆ y12n y221 y222 ┆ y22n ┆ … … Bb y1b1 y1b2 ┆ y1bn y2b1 y2b2 ┆ y2bn ┆ y2.. 和
各处理间进行多重比较
在固定效应模型中，若各F 在固定效应模型中，若各F统计量有达到显著或极显著 水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较， 水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需 要的条件组合。例如在上例中，我们已经发现原料， 要的条件组合。例如在上例中，我们已经发现原料，温度以 及它们的交互作用都对酒精的产量有影响， 及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进一 步找出最优的条件组合以用于生产。 步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比较 了。 如果有交互作用存在，则一般需要把所有ab ab个水平组 如果有交互作用存在，则一般需要把所有ab个水平组 合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同， 合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同， 最 常用Duncan Duncan法 常用Duncan法。
第九章 双因素和多因素方差分析
学习目标
掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、 无重复观察值）资料的方差分析方法。 熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来 源期望均方构成。 了解：缺失数据的估计原理及方差分析方 法。
讲授内容
第一节 双因素方差分析概述 第二节 不同实验类型的双因素方差分析 第三节 多因素试验的方差分析 第四节 缺失数据的估计 第五节 数据变换
1、观测值的描述
y ijk = µ + α i + β j + ε i j，其中i = 1,2，a; j = 1,2，b; ... ...
∑α
i =1
a
i
= 0； β j = 0；ε i j为相互独立且服从正态 分布N 0，σ 2 的随机变量 ∑
j=1
b
(
)
2、提出假设
H 01： α i = 0 , H A1 ： α i ≠ 0 H 02 ： β i = 0 , H A2 ： β i ≠ 0
4、均方期望
E(MSe ) = σ
bn a 2 E ( MS A ) = σ ＋ ∑αi a − 1 i =1
2
a n 2 (αβ )ij E(MS AB ) = σ ＋ ∑ （a − 1)(b − 1) i =1 2
2
an a 2 E(MSB ) = σ 2＋ ∑β j b −1 i=1
（二）无重复无交互作用实验的双因素方 差分析
33.5 30.5 29.75 22 19 11.5 2.75 2.5
x8
31 28 27.25 19.5 16.5 9 0.25
x7
30.75 27.75 27 19.25 16.25 8.75
x6
22 19 18.25 10.5 7.5
x5
14.5 11.5 10.75 3
x4
11.5 8.5 7.75
T A B AB
（四）平方和的简便计算方式
SST = ∑∑∑ yijk − C
2 i =1 j =1 k =1
b
a
b
n
1 ∑yi•• 2 − C SSA = bn i=1
a
SSB = 1 ∑y•j• − C an j=1
2
SSAB = n∑∑(yij• − yi•• − y• j• + y••• )
3、检验统计量的计算
计算平方和(SS) AB交互作用误差平方和 a b 2 SSAB = n∑∑(yij• − yi•• − y• j• + y••• ) i=1 j =1 随机误差项平方和
SSe =
2 （ y ijk − y ij•） ∑∑∑ i =1 j =1 k =1 a b n
检验时， 因素 因素、 因素和互作效应的检验统计 在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计 检验时 量 均 以 MSe 做 分 母 ： FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe 分布的上尾检验， 用F分布的上尾检验，拒绝域为 分布的上尾检验 拒绝域为F>Fα
多重比较
把各处理平均数从大到小排列(记为 把各处理平均数从大到小排列 记为x1～x9)： 记为 ： 49, 46, 45.25, 37.5, 34.5, 27, 18.25, 18, 15.5，求出各对差值， ，求出各对差值， 列成下表： 列成下表： x9
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
发酵实验方差分析表
变差来源 原料A A 温度B AB 误差 总和 平方和 1554.18 3150.50 808.82 1656.50 7170.00 自由度 2 2 4 27 35 均方 777.09 1575.25 202.21 61.35 F 12.67** 25.68** 3.30*