将军饮马问题(2)
将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。
本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。
1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。
此时，将军只需将马拉到目的地即可。
例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。
例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。
例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。
例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。
例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。
例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。
例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。
例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题
例题：一个将军饮马，有三个酒坛，其中一个酒坛里装着毒酒，另外两个酒坛里装着普通的酒。
这三个酒坛外观相同，将军无法通过外观来判断哪个酒坛是有毒的。
在喝下一杯毒酒后，将军将会立即死亡。
现在将军有一匹马，这匹马可以闻出毒酒，如果马喝下一杯毒酒，它将会在30分钟后死亡。
将军只有30
分钟的时间来确定哪个酒坛里装着毒酒，并且不允许酒坛之间进行任何类型的测量。
解法：将军可以按照以下步骤确定毒酒所在的酒坛：
1. 为了节省时间，将将军的马分成三组，每组10匹马。
标记
这三组马为A、B、C。
2. 让A组的马尝试第一个酒坛，让B组尝试第二个酒坛，C
组尝试第三个酒坛。
3. 让所有的马者都喝下一杯酒。
4. 等待15分钟。
5. 如果A组的马中有马死亡，那么第一个酒坛是有毒的；如
果B组的马中有马死亡，那么第二个酒坛是有毒的；如果C
组的马中有马死亡，那么第三个酒坛是有毒的。
6. 如果在15分钟内没有任何马死亡，那么第一个酒坛是安全的，因此第二个酒坛是有毒的；如果A和B组的马都没有死
亡，那么第三个酒坛是有毒的。
这样，将军可以在30分钟内确定哪个酒坛里装着毒酒。
最短距离之将军饮马
B
L C
B1
1、动点所在直线为对称轴 2、异侧和最小：两点在这条直线的异侧时，才能
使这两点在同一条直线上并且与直线L有交点
A
B
L C
B1
例2变式1： 已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在 BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？ R即为所求点
R P1
一点在两条相交线的内部
最短路线
为什么有的人会经常践踏草地呢？
两点之间，线段最短
禁止践踏
将军饮马问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途 中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程 最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡 B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样 走路程最短？
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM 吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A问：这位将 军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
例3变式：已知如图 MON和 MON 内
一点A
A1
M
作法:
（1）作点A关于OM、
B
ON的对称点A1、A2
O
C
(2）连结A1和A2，交OM于B,交ON于C
点分别放在两条直线的异侧）
练习
1.在锐角AOB中有一点p,若从p点出发到达AO上任意一点后 再到达BO上任意一点,然后返回P点,使总路程最短？
2.探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两 个 定 点 A 、 B ， 在 直 线 l 上 存 在 点 P ， 使 得 PA + P B 的 值 最 小
将军饮马题型
“将军饮马”类型题一．求线段和最值（一）两定一动型例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B 最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．分析：考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.（二）一定两动型例2：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝4，P 为AD上任意一点，E为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C 关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝4.8变式：如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，△ABC的面积为20，求EF＋CF的最小值________．分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C 的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．解答：如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB 于E’’，当点E’ 与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C ＝5.（三）两定两动型例3：如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点．解答：作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’．CF ＋EF＋DE＝C’F＋EF＋D’E，当C’，F，E，D’四点共线时，CF ＋EF＋DE＝C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．变式：如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD 边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F 关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．解答：作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF 长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M ＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则Rt△E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．（二）求角度例1:P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN 周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．解答：（1）法1：如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．再分析：考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．解答：（1）法2：易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°（2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．变式：如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为________．分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE 的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置．解答：如图，∵∠BAE＝136°，∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°由对称性知，∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，∠AMN＋∠ANM＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°思考题：1.如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．2.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．P为矩形ABCD内一点，若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为________．。
初二数学将军饮马相关题目及解答
初二数学将军饮马相关题目及解答1. 概述数学是一门让人们大开脑洞的学科，而初二数学中的将军饮马问题就是一个让人们纠结的数学难题。
在这篇文章中，我们将深入探讨初二数学中的将军饮马相关题目，并提供解答和个人见解。
2. 将军饮马问题概述将军饮马问题是一道古代数学难题，描述了将军要带着马队过河的情境。
题目会给出一条河、若干个将军和马队，以及一定的过河规则，要求通过这些信息求解出最短的时间或者最少的过河步骤。
3. 将军饮马相关题目在初二数学中，将军饮马问题常常会涉及到以下几种类型的题目：（1）河岸有多个将军和马队，且只有一条船可供过河。
（2）河岸有多个将军和马队，且只有一艘船可供过河，但船的可承载量有限。
（3）河岸有多个将军和马队，但有多艘船可供过河。
4. 将军饮马问题的解答（1）对于第一种类型的题目，可以采用贪心算法来解决。
即每次都选择最优的将军和马队组合过河，直到所有的人和马都过河为止。
（2）对于第二种类型的题目，可以尝试使用递归或者动态规划的方法，找到最优的过河方案。
（3）对于第三种类型的题目，可以采用图论中的最短路径算法来解决，找到河的两岸之间最短的过河路径。
5. 关于将军饮马的个人见解将军饮马问题是一道很有趣的数学难题，它不仅考验着我们的数学思维和逻辑推理能力，还能锻炼我们的动手能力和解决问题的能力。
通过解决将军饮马问题，我们可以培养自己的耐心和毅力，同时也能提高我们的数学水平。
6. 总结与回顾将军饮马问题是初二数学中的一道重要难题，它涉及到贪心算法、递归、动态规划和最短路径算法等数学知识。
通过解答这一系列的问题，我们可以更加全面、深刻和灵活地理解数学知识。
解决将军饮马问题也能够锻炼我们的数学思维和解决问题的能力。
在这篇文章中，我们深入探讨了初二数学中的将军饮马相关题目，并提供了解答和个人见解。
通过对这一系列问题的研究，希望能够帮助人们更好地理解数学知识，并不断提高自己的数学水平。
将军饮马问题是一个古老而有趣的数学难题，它涉及到数学知识、逻辑推理、动手能力和问题解决能力。
专题14 将军饮马问题(解析版)
专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。
模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。
模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
初中数学最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
最值问题----将军饮马(二)
----之将军饮马（二）
什么是将军饮马？
【问题描述】： 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河 边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】： 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】：这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结 果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段 最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
因为M、N皆为动点， 所以过点C作AB的垂线， 可得最小值．
08 菱形、矩中的将军饮马。
【问题描述】：如图，在菱形ABCD中，AC为6倍根号2，BD=6，E是BC的中点，P、M 分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是____________．
【问题解析】：此处P为 折点，作点M关于AC的对 称点M'，恰好在AD上， 化折线EP+PM为EP+PM'．
本节课你的收获是什么？
【问题解析】：对称点并不一 定总是在已知图形上．
07角分线系列之点到点。
【问题描述】：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠ACB，点 F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为________．
【问题解析】：此处E 点为折点，可作点C关 于AD的对称，对称点C' 在AB上且在AB中点， 化折线段CE+EF为 C'E+EF，当C'、E、F 共线时得最小值，C'E为 CB的一半．
【问题解析】：M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的 最小值．过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7.
《轴对称》之“将军饮马”问题(二)
《轴对称》之“将军饮马”问题（二）【变式3】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后将马送入河边上的马厩，问：马厩建在何处，可使将军走的路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．首先明确各点，线的属性．点A是定点，OM，ON是定线，点B，点C是OM，ON上要找的点，是动点．第一步，显然用“化折为直”，作点A关于OM的对称点A’，连接A’C．但是点C的位置并不确定，如何保证A’C最短呢？此时问题转化为射线ON外一点A’到ON上一点C之间距离的最小值．根据“垂线段最短”，则A’C⊥ON时最短！【解答】【变式4】若将军从军营A出发去河边饮马，之后牵马在河岸散步200米，再骑回军营B，问从河边何处开始散步，可使整个行程最短？【图示】蓝色部分即为散步所走的200米．【分析】我们继续把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营A与军营B看作2个定点，把河看作一条直线．问题即转化为，如下图：在直线l上找两个点C，D，使得AC＋BD最短．本题若作点A关于l的对称点A’，连接A’C和BD，会出现两线段不共线的问题，怎么办？我们能不能把BD进行相应的平移，使得与A’C共线？完全可以，把BD沿着DC方向向左平移200米，问题即迎刃而解．或者我们可以这么想象，把河边散步的200米，挪至回到军营B前，沿着与河平行的方向向右散步200米，问题也可解决．【解答】如图，作点A关于l的对称点A’，将点B向左平移CD的长度到点B’(实际为200米)，连接A’B’，交直线l于点C，将点C向右平移CD的长度到点D，点C，点D即为所求．【变式5】将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？【图示】灰紫色部分即为长30米的浮桥．【分析】我们还是把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营与瞭望台看作间隔30米的2条直线外侧的定点．问题即转化为，如下图：在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得AC＋BD＋CD最短．由于CD长度确定，则题目转化为求AC＋BD最短，考虑在河的两侧，要使线段之和最短，则2条线段在同一直线上时即可．但这里并不共线，因此继续考虑平移．我们可以想成从军营出发先“渡河”，即沿CD方向行30米至点A’，再考虑“两点之间，线段最短”．【解答】如图，将点A沿CD方向，平移CD长度(实际30米)至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时AC＝ A’D，而A’D＋DB＝A’B，最短．【总结&反思】这次的3道题，有涉及到沿河边散步的问题，有造桥选址问题，但无外乎涉及到一个“平移”的思想方法，结合“两点之间，线段最短”解决，另外，有时还需考虑“垂线段最短”．如用口诀来总结，那就是：造桥散步怎么办，想到平移就不难。
专题07 将军饮马模型(解析版)
专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。
（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。
将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1如图，直线y=*+4与*轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于*轴的对称点D'，连接CD'交*轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于*轴的对称点D′，连接CD′交*轴于点P，此时PC+PD 值最小．令y=*+4中*=0，则y=4，∴点B坐标（0，4）；令y=*+4中y=0，则*+4=0，解得：*=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴CD为△BAO的中位线，∴CD ∥*轴，且CD=21AO=3， ∵点D ′和点D 关于*轴对称，∴O 为DD ′的中点，D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，∴点P 的坐标为（﹣，0）．在Rt △CDD ′中，CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析式，再求其与*轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P 在直线y=﹣*上运动，当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣*对称点C ，连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣*的交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣*对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC的方程为y=﹣54*﹣54，与直线y=﹣*联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223)2()1(-++=241；【小结】"两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=4，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（ ）A．（0，0） B．（1，）C．（，） D．（，）变式训练1-2如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=*+1与y轴交于点A，与*轴交于点D，抛物线y=*2+b*+c 与直线交于A、E两点，与*轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.拓展模型1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON 于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´，当A´、P、Q、B´四点共线时，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q"接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q"接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点关于l的对称点，转化为上述模型3解：作A点关于l的对称点A´，将点A´沿着平行于l的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，连接A´´B交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为A´´B+AB+PQ，即A´´B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E，再过点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，∴AC=22BC AB +=55，等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25，∴BE=45， 易知△ABC ∽△ENB ，∴，代入数据解得EN=8． 即BM+MN 的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．B ．C ．6D ．3【分析】符合拓展模型3的特征；作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，此时△PMN 周长最小，其值为CD 长；根据对称性连接OC 、OD ，分析条件知△OCD 是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.【解答】作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，如图，则MP=MC ，NP=ND ，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD ，∠AOP=∠AOC ，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC ，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN 周长最小，作OH ⊥CD 于H ，则CH=DH ，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，∴CD=2CH=3． 即△PMN 周长的最小值是3；故选：D ．【小结】根据对称的性质，发现△OCD 是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为*轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥*轴于点M点，点E与E′关于*轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；（2）符合"搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2•tan60°=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=*，∴P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=a*2+b*+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得a=-b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-的对称轴为*=1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴*=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-，当*=1时，y=，∴点E的坐标为(1,)，点F的坐标为(1,)．【小结】解决此类题的套路是"对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换. 变式训练2-1几何模型：条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为*轴上一动点，则当PA+PB 的值最小是点P 的横坐标是，此时PA+PB=．（2）如图3，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点，连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB+PE 的最小值是．（3）如图4，在菱形ABCD 中，AB=10，∠DAB=60°，P 是对角线AC 上一动点，E ，F 分别是线段AB 和BC 上的动点，则PE+PF 的最小值是．（4）如图5，在菱形ABCD 中，AB=6，∠B=60°，点G 是边CD 边的中点，点E ．F 分别是AG ，AD 上的两个动点，则EF+ED 的最小值是．变式训练2-2如图，矩形ABCD 中，AD=15，AB=10，E 为AB 边上一点，且DE=2AE ，连接CE 与对角线BD 交于F ；若P 、Q 分别为AB 边和BC 边上的动点，连接EP 、PQ 和QF ；则四边形EPQF 周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l 1∥l 2，l 1、l 2之间的距离为8，点P 到直线l 1的距离为6，点Q 到直线l 2的距离为4，PQ=4，在直线l 1上有一动点A ，直线l 2上有一动点B ，满足AB ⊥l 2，且PA+AB+BQ 最小，此时PA+BQ=．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系*Oy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在*轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、*轴的正半轴于点E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标． 中考真题1. 要在街道旁建奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A 、B 到它的距离之和最短？小聪以街道为*轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A 点坐标为（0，3），B 点坐标为（6，5），则A 、B 两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（﹣4，5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C．5D．4.已知抛物线y=*2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到*轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=*2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．65.如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是*轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）A．B．C． D．6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（）A．B．C．5 D．7.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．8.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．9.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）A．B．C．D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（*＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在*轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．13.如图，已知抛物线y=*2+b*+c与直线y=*+3交于A，B两点，交*轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．15.如图，抛物线y=a*2+b*+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥*轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在*轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN 和的最小值．16.如图，直线y=5*+5交*轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=a*2+4*+c的图象交*轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥*轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=a*2+4*+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在*轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线y=（*﹣2）（*+a）（a＞0）与*轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在*轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在*轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18.如图，对称轴为直线*=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与*轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（*1，y1），P2（*2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（*，y）P的坐标公式：*=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=*（*≥0）的图象OL与*轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、*轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=k*+b（k、b为常数）分别与*轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣*2+2*+1与y轴交于点C．（1）求直线y=k*+b的函数解析式；（2）若点P（*，y）是抛物线y=﹣*2+2*+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于*的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣*2+2*+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿*轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。
将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4. 垂线段最短 .基本模型1.已知：如图，定点A、 B 分布在定直线l 两侧；要求：在直线l 上找一点 P，使 PA+PB的值最小解：连接AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求 ,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l 上任取异于点P 的一点 P′，连接 AP′、 BP′，在△ ABP’中， AP′+BP′>AB，即 AP′+BP′>AP+BP∴ P 为直线 AB与直线 l 的交点时， PA+PB最小 .2.已知：如图，定点 A 和定点 B 在定直线l 的同侧要求：在直线l 上找一点 P，使得 PA+PB值最小（或△ ABP的周长最小）解：作点 A关于直线l 的对称点A′，连接 A′B 交 l 于 P，点 P 即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l 为线段 AA′的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA′，要使 PA+PB最小，则需 PA′+PB值最小，从而转化为模型 1.3.已知：如图，定点A、 B 分布在定直线l 的同侧（ A、B 两点到 l 的距离不相等）要求：在直线l 上找一点P，使︱ PA-PB︱的值最大解：连接 BA并延长，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求；理由：此时︱ PA-PB︱ =AB，在 l 上任取异于点 P 的一点 P′，连接 AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱ P′A-P′B︱<AB，即︱ P′A-P′B︱ <︱PA-PB︱4.已知：如图，定点 A、 B分布在定直线 l 的两侧（ A、B 两点到 l 的距离不相等）要求：在直线 l 上找一点 P，使︱ PA-PB︱的值最大解：作点 B 关于直线 l的对称点 B′，连接 B′A 并延长交于点 P，点 P 即为所求；理由：根据对称的性质知l 为线段 BB′的中垂线，由中垂线的性质得： PB=PB′，要使︱ PA-PB︱最大，则需︱ PA-PB′︱值最大，从而转化为模型 3.典型例题 1-1如图，直线y= x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点A和点 B，点 C、 D 分别为线段AB、OB的中点，点 P 为 OA上一动点，当 PC+PD最小时，点P 的坐标为 _________，此时 PC+PD的最小值为 _________.【分析】符合基本模型 2 的特征，作点 D 关于 x 轴的对称点D' ，连接CD'交x 轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线， OP为△ CDD'的中位线，易求 OP长，从而求出 P 点坐标； PC+PD的最小值即 CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接 CD，作点 D 关于 x 轴的对称点D′，连接CD′交 x 轴于点 P，此时 PC+PD值最小．令y= x+4 中 x=0，则 y=4，∴点 B 坐标（ 0， 4）；令 y= x+4 中 y=0，则 x+4=0，解得： x=﹣6，∴点 A 的坐标为（﹣ 6， 0）．∵点 C、 D 分别为线段AB、 OB 的中点，∴ CD为△ BAO的中位线，∴CD∥ x 轴，且 CD=12 AO=3，∵点 D′和点 D 关于 x 轴对称，∴ O为 DD′的中点，D′（ 0， -1 ），∴ OP为△ CDD′的中位线，∴OP=12 CD=32，∴点 P 的坐标为（﹣，0）．在Rt△ CDD′中，CD′ =CD 2 D D 2=3242=5，即PC+PD的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点 P 坐标；若题型变化， C、 D不是 AB 和 OB中点时，则先求直线 CD′的解析式，再求其与 x 轴的交点 P 的坐标 .典型例题 1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（ 0， 1），点 B的坐标为（，﹣ 2），点 P 在直线 y=﹣ x 上运动，当 |PA﹣ PB| 最大时点 P 的坐标为 _________， |PA ﹣ PB|的最大值是 _________.【分析】符合基本模型 4 的特征，作 A 关于直线y=﹣ x 对称点 C，连接 BC，可得直线 BC的方程；求得 BC与直线 y=﹣ x 的交点 P 的坐标；此时 |PA ﹣ PB|=|PC ﹣ PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作 A 关于直线y=﹣ x 对称点 C，易得 C 的坐标为（﹣ 1， 0）；连接 BC，可得直线BC 的方程为 y=﹣54 x﹣54，与直线 y= ﹣ x联立解得交点坐标P 为（ 4，﹣ 4）；此时 |PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC取得最大值，最大值BC= (231)2( 2)2= 241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型 2 和 4，需作一次对称点，连线得交点 .变式训练 1-1已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（ 5， 0），OB=4 ，点 P是对角线OB上的一个动点，D（ 0，1），当 CP+DP最短时，点 P 的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（，） D ．（，）变式训练 1-2如图，菱形ABCD中，对角线AC和 BD交于点 O， AC=2，BD=2 ,E 为 AB的中点， P 为对角线 AC上一动点，则 PE+PB的最小值为 __________.变式训练 1-3如图，已知直线y= x+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y= x2+bx+c 与直线交于A、E 两点，与 x 轴交于 B、 C两点，且 B 点坐标为（ 1， 0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使 |AM﹣ MC|的值最大，求出点 M的坐标 .拓展模型1.已知：如图， A 为锐角∠ MON外一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使AP+PQ的值最小 .解：过点 A 作 AQ⊥ ON于点 Q， AQ与 OM相交于点 P，此时， AP+PQ最小；理由： AP+PQ≧ AQ，当且仅当A、 P、 Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ ON时， AQ最小 .2.已知：如图， A 为锐角∠ MON内一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使AP+PQ的值最小 .解：作点 A 关于 OM的对称点A′，过点A′作 AQ⊥ ON于点 Q， A′ Q交 OM于点 P，此时 AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′ P，要使 AP+PQ最小，只需 A′ P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图， A 为锐角∠ MON内一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使△ APQ的周长最小解：分别作 A 点关于直线 OM的对称点 A1, 关于 ON的对称点 A2，连接 A 1A2交 OM于点 P，交 ON于点 Q，点P 和点 Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段 A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=AP， AQ=AQ，△ APQ的周12长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当 A1、 P、 Q、 A2四点共线时，其值最小 .4.已知：如图， A、 B 为锐角∠ MON内两个定点；要求：在OM上找一点 P，在 ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点 A 关于直线OM的对称点A′，作点 B 关于直线ON的对称点B′，连接 A′B′交 OM于 P，交 ON于 Q，则点 P、点 Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和 A′B′的长度之和；理由： AB 长为定值，由基本模型将PA转化为 PA′,将QB转化为 QB′，当 A′、 P、Q、 B′四点共线时，PA′+PQ+ QB′的值最小，即PA+PQ+ QB 的值最小 .5. 搭桥模型已知：如图，直线m∥ n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线 AB 不与 m垂直）要求：在 m、n 之间求作垂线段PQ，使得 AP+PQ+BQ最小 .分析： PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、 Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点 A 沿着平行于PQ的方向，向下平移至点 A′，使得AA′ =PQ，连接 A′ B 交直线 n 于点Q，过点 Q作 PQ⊥n，交直线m于点 P，线段 PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小 .理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′ =PA，当 B、 Q、 A′三点共线时，QA′ +BQ最小，即AP+BQ最小， PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小 .6.已知：如图，定点A、 B 分布于直线l 两侧，长度为a(a为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P 在 Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析： PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使 P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点 A 沿着平行于l 的方向，向右移至A′，使AA′=PQ=a,连接 A′B 交直线 l 于点 Q，在 l 上截取PQ=a（ P 在 Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A′B+PQ，即 A′B+a理由：易知四边形APQA′为平行四边形，则PA=QA′，当 A′、 Q、 B 三点共线时， QA′+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小 .7.已知：如图，定点A、 B 分布于直线l 的同侧，长度a(a 为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P 在 Q左边）要求：确定PQ的位置，使得四边形 APQB周长最小分析： AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A 点关于 l 的对称点，转化为上述模型3解：作 A 点关于 l 的对称点A′，将点 A′沿着平行于l的方向，向右移至A′′，使 A′A′′=PQ=a，连接 A′B交 l 于 Q，在 l 上截取 QP=a（ P 在 Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为A′B+AB+PQ，即 A′′B+AB+a典型例题 2-1如图，在矩形 ABCD中，AB=10，BC=5，若点 M、N 分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．【分析】符合拓展模型 2 的特征，作点 B 关于 AC的对称点E，再过点 E 作 AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点 B 关于 AC的对称点E，再过点 E 作 EN⊥ AB 于 N，则 BM+MN=EM+MN，其最小值即EN长；∵ AB=10， BC=5，∴ AC=AB2BC2=55，等面积法求得AC边上的高为10 5=25，∴BE=45，5 5易知△ ABC∽△ ENB，∴，代入数据解得EN=8．即BM+MN的最小值为 8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解 .典型例题 2-2如图，∠ AOB=60°，点 P 是∠ AOB内的定点且 OP=，点M、N分别是射线 OA、OB上异于点O的动点，则△ PMN周长的最小值是（）A．B．C．6D．3【分析】符合拓展模型 3 的特征；作P 点分别关于OA、OB的对称点C、 D，连接 CD分别交OA、 OB 于M、 N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.【解答】作 P 点分别关于OA、 OB的对称点C、 D，连接 CD分别交 OA、 OB于 M、 N，如图，则MP=MC，NP=ND， OP=OD=OC= ，∠ BOP=∠ BOD，∠ AOP=∠ AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠ BOP+∠ BOD+∠AOP+∠ AOC=2∠AOB=120°，∴此时△ PMN周长最小，作 OH⊥CD于 H，则 CH=DH，∵∠ OCH=30°，∴ OH= OC=，CH= OH= ，∴ CD=2CH=3．即△ PMN周长的最小值是3；故选： D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为 120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题 2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点 O为原点， OC所在的直线为x 轴，建立直角坐标系， AB 交 y 轴于点 D， AD=2， OC=6，∠ A=60°，线段 EF 所在的直线为 OD的垂直平分线，点 P 为线段 EF 上的动点， PM⊥ x 轴于点 M点，点 E 与 E′关于 x 轴对称，连接 BP、 E′ M．（1）请直接写出点 A 坐标为，点B坐标为；（2）当 BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P 的坐标 .【分析】（ 1）解直角三角形求出OD， BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型” 的特征；首先证明四边形 OPME′是平行四边形，可得 OP=EM，PM是定值， PB+ME′=OP+PB的值最小时， BP+PM+ME′的长度最小，此时 P 点为直线OB与EF 的交点，结合OB的解析式可得P 点坐标；【解答】（ 1）在 Rt △ ADO中，∵∠ A=60°， AD=2，∴ OD=2?tan60 ° =2，∴ A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，DB=6 2=4 B 42（2）如图，连接 OP．∵ EF 垂直平分线段 OD，PM⊥ OC，∴∠ PEO=∠ EOM=∠ PMO=90°，∴四边形 OMPE是矩形，∴ PM=OE= ，∵ OE=OE′，∴ PM=OE′， PM∥OE′，∴四边形 OPME′是平行四边形 ,∴OP=EM，∵ PM是定值，∴ PB+ME′ =OP+PB的值最小时， BP+PM+ME′的长度最小，∴当 O、 P、 B 共线时， BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴ P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题 2-4如图所示，在平面直角坐标系中， Rt △ AOB的顶点坐标分别为A（﹣ 2， 0），O（ 0， 0）， B（ 0，4），把△ AOB绕点 O按顺时针方向旋转 90°，得到△ COD．（1）求 C、 D 两点的坐标；（2）求经过 A、 B、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上取两点E、 F（点 E 在点 F的上方），且 EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出 E、F 两点的坐标．【分析】符合拓展模型7 的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、 F 点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F 坐标 .【解答】（ 1）由旋转的性质可知：OC=OA=2， OD=OB=4,∴ C点的坐标是（ 0， 2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得16a+4b+c=0c=4解得 a=-，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-2；（3）只需 AF+CE最短，抛物线y=-2的对称轴为x=1，将点 A 向上平移至A1（﹣ 2， 1），则 AF=A1E，作 A1关于对称轴x=1 的对称点A2（ 4， 1），连接 A2C，A2C与对称轴交于点E，E 为所求，可求得A2C 的解析式为 y=-，当x=1时，y=，∴点E的坐标为(1,) ，点 F 的坐标为 (1,) ．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练 2-1几何模型：条件：如图1， A， B 是直线 l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P，使 PA+PB的值最小．方法：作点 A 关于直线l 的对称点A’，连接 A’ B 交 l 于点 P，即为所求 . （不必证明）模型应用：（ 1）如图 2，已知平面直角坐标系中两定点A（ 0，﹣ 1）和 B（ 2，﹣ 1）， P 为 x 轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P 的横坐标是，此时PA+PB=．（2）如图 3，正方形 ABCD的边长为 4， E 为 AB的中点， P 是 AC上一动点，连接 BD，由正方形对称性可知， B 与 D 关于直线 AC对称．连接 ED交 AC于 P，则 PB+PE的最小值是．（ 3）如图 4，在菱形ABCD中， AB=10，∠ DAB=60°， P 是对角线AC上一动点， E， F 分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（ 4）如图 5，在菱形ABCD中， AB=6，∠ B=60°，点AG， AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是G是边．CD边的中点，点E． F 分别是变式训练 2-2如图，矩形 ABCD中， AD=15， AB=10， E 为 AB边上一点，且DE=2AE，连接 CE与对角线 BD交于 F；若 P、 Q分别为 AB 边和BC边上的动点，连接 EP、 PQ和 QF；则四边形 EPQF周长的最小值是 ___________.变式训练 2-3如图，已知直线 l∥ l， l 、l2之间的距离为8，点 P 到直线 l的1211距离为 6，点 Q到直线 l 2的距离为 4， PQ=4 ，在直线 l 1上有一动点 A，直线l 2上有一动点B，满足AB⊥l 2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练 2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC的边 OA在 y 轴的正半轴上，OC在x 轴的正半轴上，OA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD⊥ BC，交 OA于点 D．将∠ DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E和 F．（1）求经过A、 B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、 Q两点的坐标．中考真题1. 要在街道旁建奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B 到它的距离之和最短？小聪以街道为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系， A 点坐标为（0，3）， B 点坐标为（ 6， 5），则 A、 B 两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形 ABOC的顶点 A 的坐标为（﹣ 4， 5）， D是 OB的中点， E 是 OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点 E 的坐标是（）A．（ 0，）B．（ 0，）C．（ 0， 2）D．（ 0，）3. 如图，在矩形ABCD中， AB=5， AD=3，动点P 满足S△PAB=1 S 矩形ABCD，则点P 到A、 B 两点距3离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C． 5D．4. 已知抛物线y=x2+1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（， 3）， P 是抛物线y=x2+1 上一个动点，则△ PMF周长的最小值是（）A．3B．4C． 5D．65.如图，点 A（ a，3），B（b，1）都在双曲线 y= 上，点 C，D，分别是 x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）A．B．C． D ．6.如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=3， BC=4，D、E 分别是 AB、BC边上的动点，则 AE+DE的最小值为（）A．B．C．5D．7. 如图， Rt△ ABC中，∠BAC=90°， AB=3， AC=6，点D， E 分别是边BC， AC 上的动点，则 DA+DE的最小值为．8.如图，等腰△ ABC的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC上，且 BF=3FC，EG是腰 AC的垂直平分线，若点 D 在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．9. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ ABC=120°， M 是上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（BC边的一个三等分点，）P 是对角线ACA．B．C．D．10.如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=6， BC=8， AD平分∠ CAB交 BC于 D 点， E， F 分别是 AD， AC上的动点，则 CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=（ x＞0）的图象与边长是 6 的正方形 OABC的两边 AB，BC分别相交于 M，N 两点．△ OMN的面积为10．若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN的最小值是（）A． 6B． 10C．2D．212. 如图，△ ABC中， AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB翻折得到△ ABD，则四边形 ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、 DB 上的任意点，则PE+PF的最小值是．13. 如图，已知抛物线y= x2+bx+c 与直线 y= x+3 交于 A，B 两点，交x 轴于 C、 D 两点，连接 AC、 BC，已知 A（ 0，3）， C（﹣ 3， 0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使 |MB﹣ MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点 P 作 PQ⊥ PA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14. 如图，在四边形ABCD中，∠ B=∠ C=90°， AB＞ CD， AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ ADC的平分线 DE，交 BC于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（ 1）的条件下，①证明： AE⊥ DE；②若 CD=2， AB=4，点 M，N 分别是 AE， AB 上的动点，求B M+MN的最小值．15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c （ a≠ 0）经过点A（﹣ 1， 0），B（ 3， 0）， C（ 0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接 AC、 BC，N 为抛物线上的点且在第四象限，当（3）在（ 2）问的条件下，过点 C 作直线 l ∥ x 轴，动点S△NBC=S△ABC时，求 N点的坐标；P（ m，3）在直线 l 上，动点 Q（ m，0）在 x 轴上，连接 PM、PQ、NQ，当 m为何值时， PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．16. 如图，直线 y=5x+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点C，过 A， C 两点的二次函数2y=ax +4x+c的图象交 x 轴于另一点 B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接 BC，点 N是线段 BC上的动点，作 ND⊥ x 轴交二次函数的图象于点D，求线段 ND 长度的最大值；（3）若点 H为二次函数 y=ax2+4x+c 图象的顶点，点M（ 4，m）是该二次函数图象上一点，在 x 轴、 y 轴上分别找点F， E，使四边形 HEFM的周长最小，求出点 F，E 的坐标．17. 如图 1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A， B 两点，与 y轴交于点C．（1）若抛物线过点 T（ 1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与△ ABC相似？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由．（3）如图 2，在（ 1）的条件下，点 P 的坐标为（﹣ 1，1），点 Q（6， t ）是抛物线上的点，在 x 轴上，从左至右有M、N 两点，且 MN=2，问 MN在 x 轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18. 如图，对称轴为直线x=2 的抛物线经过A（﹣ 1， 0）， C（ 0， 5）两点，与x 轴另一交点为 B．已知 M（ 0， 1）， E（a， 0）， F（a+1， 0）， P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当 a=1 时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△ PCM是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19. 探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），可通过构造直角三角形利用图1 得到结论：P1P2= 他还利用图 2 证明了线段 P1P2的中点 P（ x，y）P 的坐标公式：x=， y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（ 2）①已知点M（ 2，﹣ 1）， N（﹣ 3， 5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（ 2，2），B（﹣ 2，0），C（ 3，﹣ 1）， D为顶点的平行四边形顶点D 的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（ 2， n）在函数y=x（ x≥ 0）的图象OLx 轴正半轴夹角的平与E、 F，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图分线上，请在OL、 x 轴上分别找出点方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线 y=kx+b （ k、 b 为常数）分别与 x 轴、 y 轴交于点 A（﹣ 4，0）、B（ 0，3），抛物线 y=﹣ x2+2x+1 与 y 轴交于点 C．（1）求直线y=kx+b 的函数解析式；（2）若点 P（ x， y）是抛物线y=﹣ x2+2x+1 上的任意一点，设点P 到直线 AB 的距离为d，求 d 关于 x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标；（3）若点 E 在抛物线 y= ﹣ x2 +2x+1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中， OA=6，以 OA为边长作等边三角形 ABC，使得 BC∥ OA，且点B、C 落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点 P 从点 B 出发，沿折线 BAC的方向以每秒 2 个单位的速度运动，同时另一动点 Q从 O点出发，沿 x 轴的负半轴方向以每秒 1 个单位的速度运动，当点 P 运动到 A 点时， P、 Q都同时停止运动，在 P、Q的运动过程中，是否存在时间 t ，使得 PQ⊥ AB，若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由；（3）在 BC边上取两点 E、 F，使 BE=EF=1个单位，试在 AB 边上找一点 G，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得四边形 EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色： 1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题将军饮马问题是一个经典的数学谜题，题目如下：【题目】有一座1000级的楼梯，上面站着一位将军和他的马。
将军说：“我每次可以上1级、2级或者3级楼梯，而我的马每次只能上2级或者3级楼梯。
我们两个必须同时到达楼顶。
问，将军和马分别需要多少次才能到达楼顶，并且楼梯的哪些级别才能让他们同时到达楼顶？”【解答】假设将军上x次楼梯，马上y次楼梯。
1. 如果将军上1级楼梯，则马上y次楼梯，剩下的楼梯有999-x-2y级，将剩余楼梯由马上。
2. 如果将军上2级楼梯，则马上y次楼梯，剩下的楼梯有998-x-2y级，将剩余楼梯由马上。
3. 如果将军上3级楼梯，则马上y次楼梯，剩下的楼梯有997-x-2y级，将剩余楼梯由马上。
根据题意，将军和马必须同时到达楼顶，所以剩余的楼梯必须是2的倍数。
而剩余楼梯有999-x-2y、998-x-2y、997-x-2y三种情况，这些数分别除以2后的余数只能是0、1或者2。
又考虑到将军和马上楼梯的次数必须是整数，所以只需考虑将军和马都上奇数次楼梯的情况。
假设将军上奇数次楼梯x=2n+1，马上奇数次楼梯y=2m+1，代入上述条件，有：1. 剩下楼梯为999-(2n+1)-2(2m+1)=998-(2n+2m)-4=2(499-n-m)-4，是2的倍数；2. 剩下楼梯为998-(2n+1)-2(2m+1)=997-(2n+2m)-4=2(498-n-m)-3，不是2的倍数；3. 剩下楼梯为997-(2n+1)-2(2m+1)=996-(2n+2m)-4=2(498-n-m)-2，是2的倍数。
所以，将军和马必须同时走的是第3种情况，即将军和马都上奇数次楼梯。
最终答案是将军和马各上398次楼梯，并且将军和马会同时站在2、4、6、...、996、998共有499级楼梯上。
将军饮马例题
将军饮马例题
【原创实用版】
目录
1.题目概述
2.将军饮马问题的定义和解决方法
3.将军饮马问题的实际应用
4.总结
正文
一、题目概述
“将军饮马”问题是一道经典的数学题目，主要涉及到几何学中的直线与圆的关系。
题目描述如下：在平面上有一个圆和一条直线，直线与圆相交于两个点，问如何通过移动直线，使得直线与圆的交点分别到达圆的直径的两个端点。
二、将军饮马问题的定义和解决方法
1.定义：在平面上，已知一个圆和一条直线，直线与圆相交于两个点 A、B，如何通过移动直线，使得直线与圆的交点分别到达圆的直径的两个端点。
2.解决方法：通过解析几何的知识，我们可以知道，要使直线与圆的交点分别到达圆的直径的两个端点，需要满足两个条件：直线与圆的交点 A、B 在直径上，且直线与直径的夹角相等。
因此，我们可以通过以下步骤解决这个问题：
（1）求出圆的直径，并找到直径的两个端点 C、D；
（2）求出直线与直径的夹角θ；
（3）以点 C 为圆心，以 CD 为半径作一个圆，与已知圆相交于点 E、F；
（4）连接 AF、BE，AF 与 BE 的交点即为直线移动后的位置。
三、将军饮马问题的实际应用
“将军饮马”问题在实际生活中有很多应用，比如在机械设计中，通过改变传动轴的角度，使得两个齿轮能够正确啮合；在电路设计中，通过调整电阻、电容的值，使得电路能够正常工作等。
四、总结
“将军饮马”问题是一道经典的数学题目，通过解析几何的知识，我们可以找到解决这个问题的方法。
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(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，
BD=2 ,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的
最小值为__________.
变式训练1-3
如图，已知直线y= x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大 ，从而转化为模型3.
典型例题1-1
【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC= ，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，
如图，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.
【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为 △CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.
《将军饮马问题》教案 (2)
《将军饮马问题》教案一、问题背景：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
”诗中隐含着一个有趣的数学问题。
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？B·营地A·山峰河流这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了二、引用“饮马问题”：将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题：如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B·镇A·镇L三、教学方法的探究：当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。
“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。
二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。
设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计：甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。
如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。
连接A′C与BC，探究：BALC C′A′B′（1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。
（2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。
（3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。
【解题策略】最值系列之将军饮马（二）
【解题策略】最值系列之将军饮马（⼆）上⼀篇【解题策略】最值系列之将军饮马（⼀）我们了解了常见的“将军饮马”问题，本篇继续介绍两种其他类型的将军饮马~说明：上⼀讲【解题策略】最值系列之将军饮马（⼀）更新有误，在今天另⼀篇推⽂修正。
01将军过桥已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？【分析】考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最⼩值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以⾸先通过平移，使AM与NB连在⼀起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A'位置．问题化为求A'N+NB最⼩值，显然，当共线时，值最⼩，并得出桥应建的位置．通过⼏何变换将若⼲段原本彼此分离线段组合到⼀起，是解决问题的关键~将军过双桥已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？【分析】考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最⼩，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到⼀起．AP平移⾄A'Q，NB平移⾄MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最⼩值，再依次确定P、N位置．去除定量，组合变量02将军遛马【问题介绍】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝⽔，并沿着河岸⾛⼀段路，再返回军营，问怎么⾛路程最短？【模型简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最⼩？【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最⼩即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．构造点A关于MN的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M位置，可得路线．⼀个例⼦如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q 为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最⼩，则点P的坐标为________．【分析】考虑PQ、AE为定值，故只要AP+QE最⼩即可，如图，将AP平移⾄A'Q，考虑A'Q+QE最⼩值．作点A'关于x轴的对称点A''，连接A''E，与x轴交点即为Q点，左移2个单位即得P点．挖掘定量如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对⾓线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最⼩值．FH=1．连接BH，则BH=CE问题转化为BH+AF最⼩值． 参考将军遛马的作法，作出图形，得出AF+BH=A'H+B'H=A'B'=5．。
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. 将军饮马问题
类型一、基本模式
类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）
2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上
的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．
【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．
3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?
4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小。