中学数学-1(斐波那契数列)
数学-斐波那契数列01
内蒙古自治区中小学教师教育技术水平（初级）试卷（试卷科目：中学数学）01第一部分：基本知识题（本部分共8个题，每题2.5分，满分20分）第1题 (单选题)根据您对教育技术及相关基础知识的理解，下例选项不正确的一项是（ C）。
(2.5分)A．教育技术就是为了促进学习，对有关的学习过程和资源进行设计、开发、利用、管理和评价的理论与实践B．教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程C．教育技术与信息技术的涵义是一样的，只是用不同的名词来表述而已D．教育信息化是指在教育教学的各个领域中，积极开发充分应用信息技术和信息资源，以促进教育现代化，培养满足社会需求人才的过程第2题 (单选题)在美国，教育技术作为一个新兴的实践和研究领域而出现始于下列选项内容的是（ A）。
(2.5分)A．视听运动B．计算机辅助教育C．程序教学法D．网络技术应用第3题 (单选题)"教师不应一味以传统集体传授教学的方式进行教学，而应使用能够让学生进行操作或进行社会活动的方式来学习"，这反映的是（ A ）的学习观。
(2.5分)A．建构主义B．人本主义C．行为主义D．认知主义第4题 (单选题)在视听教学运动背景下，对教育技术基本内涵表述不恰当的是（ C）。
(2.5分)A．在教学过程中所应用的媒体技术手段和技术方法B．在教学过程中所应用的媒体技术和系统技术C．在教学过程中所应用的媒体技术D．在教学过程中所应用的媒体开发和教学设计第5题 (单选题)关于教学方法的选择，下列选项中说法正确的是（ C ）。
(2.5分)A．教学方法的选择不涉及学习者特征方面因素B．教学方法的选择不涉及教学媒体因素的考虑C．教学方法的选择要考虑为教学目的服务D．教学方法的选择与教学目的的关联性不强第6题 (单选题)建构主义学习理论强调学习环境中的要素构成为（ C ）。
斐波那契数列及其性质
裴波纳契数列及其性质在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，裴波纳契数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用裴波纳契数列表示，而且本质上就是裴波纳契数列，可见裴波纳契数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究裴波纳契数列非常必要。
本文通过探讨裴波纳契数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与裴波纳契数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。
1. 裴波纳契数列的由来斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。
假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21345589大兔子数（对）0 1 1 2 3 5 8 13 21345589144兔子总数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21345589144233所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。
仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，人们就把它称为裴波纳契数列，而将这个数列中的每一项称为“裴波纳契数”。
2. 生活中常见的裴波纳契数列数学模型:假如我们把设为裴波纳契数列，不难发现数列是由递推关系式：，，……，所给出的一个数列。
从而，我们就可以轻而易举地算出两年，三年……以后的兔子数。
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
斐波那契数列分数
斐波那契数列分数1斐波那契数列的由来斐波那契数列是由古希腊数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci）在13世纪发现的一种数列，该数列的前两项为0和1，之后每一项都是前两项的和，因此数列的前几项如下：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...2斐波那契数列的重要性斐波那契数列在数学以及其它领域中有着广泛的应用。
首先，它是自然界中普遍存在的规律之一，例如一些植物就会按照斐波那契数列的比例来排列叶子或花瓣，这种规律也称为"黄金分割"。
其次，在计算机科学中，斐波那契数列被广泛应用于递归算法以及算法复杂度的分析等方面。
同时，在金融和股票市场中，斐波那契数列也被用于预测股价的波动模式。
因此，斐波那契数列在数学和现实生活中都有着非常重要的地位。
3斐波那契数列分数的定义斐波那契数列的每一项都可以表示为前一项与其前一项之和的形式，因此可以得到如下递推式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)根据这个递推式，我们可以很容易地推导出斐波那契数列的前N 项的数值，但是如果将每一项的分数形式表示出来，则需要用到斐波那契数列的一个特殊性质，即连分数的形式：F(n)=1/(1+F(n-1))通过上述公式，我们可以将斐波那契数列的每一项用连分数的形式表示出来。
4斐波那契数列分数的性质斐波那契数列分数具有以下重要性质：1)分母等于前项，分子等于前一项的分母加上前两项的分子。
2)连分数的收敛速度非常快，因此可以用连分数的形式来计算斐波那契数列的高精度值。
3)该数列的前N项的连分数的分子和分母都具有非常特殊的性质，例如分子和分母的最大公约数为1，以及分子减去分母后的差值也构成了斐波那契数列。
5总结斐波那契数列分数是斐波那契数列的重要应用之一，该数列具有多种重要性质和应用场景，在数学和现实生活中都有着非常广泛的应用和研究价值。
对于数学爱好者和计算机科学工作者来说，深入研究斐波那契数列分数是非常有意义的一项工作。
斐波那契数列结论
斐波那契数列结论1斐波那契数列：斐波那契数列（又译作费氏数列），又称黄金分割数列，是指满足以下公式的数列：F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2)，由此产生的递推数列。
它是在现代数学中非常引人关注的数列，历来被用于理解各种问题。
2斐波那契数列的历史：斐波那契数列是意大利数学家费马在公元1790年公布的，当时它用该数字列解决一个关于“早期出生者死后仍有死亡率升高”的统计问题。
费马在当时就发现了斐波那契数列的出现模式，并对它的运用和研究取得了重要的成果。
3斐波那契数列的性质：斐波那契数列是一个由递推公式确定的数列，它具有如下几个特性：（1）斐波那契数列以1,1开头，经过多次运算后，任一项与其前两项之和相同；（2）斐波那契数列具有前后对称的属性，也就是1,1，2,3,5,8,13,21,34，它的前半部分与后半部分对称；（3）斐波那契数列有许多和自身有关的数论定理，它的计算方法包含了数论的各种定理；（4）斐波那契数列有着很强的数学关联和规律性，它不仅能被用在数学上，而且根据其特性，可以在很多技术领域都取得一定成果。
4斐波那契数列的应用：斐波那契数列广泛应用于计算机和数学领域，是一种算法的基础。
它不仅被广泛应用于程序控制，多步判决等算法，而且仍在发展着新的应用，如生物学，多媒体等。
斐波那契数列同样是研究图论的重要素材，而在图的最短路径问题，网络流量分析，判断图的联通性，求解图的最大完全子图，检测图的完全性等问题上，都可以利用斐波那契数列的性质来获得解决方案。
在实际工程中，斐波那契数列也有着重要的应用，它可以用来产生比例等级及索引，如在影视制作中作为比例等级，在报纸版面排，布局设计、调剂，以及建筑等工程设计中都能利用它来调整，提高效率，更有利于减少错误。
此外，斐波那契数列也可以被用于统计分析，可以用来计算概率等数据，研究复杂性系统中的模式及规律，从而推测未来发展趋势。
斐波那契数列高中结论
斐波那契数列高中结论斐波那契数列是指由0和1开始，之后的每一项都等于前面两项之和的数列，即0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……。
其特点是数列中任意一项都等于前两项之和。
该数列在数学和自然中都有广泛的应用。
一、斐波那契数列定义及性质1. 定义：斐波那契数列是指由0和1开始，之后的每一项都等于前面两项之和的数列。
2. 性质：（1）任意项都等于其前两项之和；（2）从第三项开始，相邻两项的比值越来越接近黄金分割数0.618；（3）每个数出现的次数是相邻两个数出现次数之和；（4）任意一项的平方减去前一项与后一项的乘积等于1。
二、斐波那契数列的应用1. 黄金分割线斐波那契数列中相邻两个数的比值逐渐趋近于黄金分割数0.618，因此斐波那契数列被广泛应用于黄金分割线的研究和应用。
黄金分割线是一条在黄金分割数上划分出的线段，具有很好的美学效果，因此被应用于建筑设计、艺术、文化等领域。
2. 自然规律斐波那契数列在自然界中也有着广泛的应用。
例如：（1）植物的叶子排列方式往往满足斐波那契数列；（2）海螺的排列方式也满足斐波那契数列；（3）蜜蜂筑巢的规律也与斐波那契数列有关。
3. 艺术创作斐波那契数列美学上的特点被广泛应用于艺术创作中。
例如，黄金矩形、黄金比例等都是以斐波那契数列中的数列规律为基础进行创作的。
4. 金融领域斐波那契数列被广泛应用于金融领域中。
例如，斐波那契回归线是一种基于斐波那契数列的技术指标，常常被用于预测股市走势等。
三、斐波那契数列的推导过程斐波那契数列的推导过程如下：（1）设斐波那契数列的第n项为F(n)；（2）根据定义，F(0) = 0, F(1) = 1;（3）由于每一项都是前两项之和，因此有 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n≥2；（4）通过递推可以得到斐波那契数列的任意一项。
四、斐波那契数列的数学证明斐波那契数列的数学证明可以采用数学归纳法。
假设n=k时斐波那契数列的前两项为F(k-1),F(k)。
fibonacci 数列
fibonacci 数列斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，是指从0和1开始，之后每一项都是前两项之和的数列。
它的前几项是：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233，依此类推。
斐波那契数列在数学和自然界中都有广泛的应用，如兔子繁殖、植物的花瓣排列、贝壳的螺旋等，而且在计算机科学中也经常被用到。
在计算机编程中，斐波那契数列可以用递归算法或循环算法来实现。
递归算法的实现方式简单，但受到递归深度的限制，当数列项数较大时容易出现栈溢出等问题。
循环算法则不会受到这种限制，但要注意在处理较大的数时会出现浮点数截断等问题，因此应使用大数类等方法来解决。
斐波那契数列在计算机科学中有许多应用，例如：矩阵快速幂算法、动态规划、算法、剪枝算法等等。
其中，矩阵快速幂算法是利用斐波那契数列的一种算法，可以快速地求出任意项的值。
动态规划和算法中也经常用到斐波那契数列，例如：爬楼梯问题、最大子序和问题等。
爬楼梯问题是一道经典的动态规划问题，它的题意是：有n层楼梯，每次可以爬1层或者2层，问有多少种不同的爬楼方式。
这个问题的解可以用斐波那契数列来求解，具体方法是：当n=1时，只有1种爬楼方式；当n=2时，有2种爬楼方式；当n>2时，可以分为两种情况，一种是第一步爬1层，此时剩余的楼梯有n-1层，可以用f（n-1）中的方法求解；另一种是第一步爬2层，此时剩余的楼梯有n-2层，可以用f（n-2）中的方法求解。
因此，爬楼梯问题的解为f（n）=f（n-1）+f（n-2）。
最大子序和问题是指在一个数组中找到一个连续的子序列，使这个子序列的和最大。
这个问题的解是用动态规划算法来求解，需要利用到斐波那契数列的递推表达式。
最大子序和问题可以看作是在一列数字中找到一段连续的数字，使它们的和最大。
具体方法是：假设已经求得前i-1个数的最大子序和为f（i-1），则前i个数的最大子序和分为两种情况，一种是包含第i个数（即前i-1个数的最大子序和为正数），另一种是不包含第i个数（即前i-1个数的最大子序和为负数或为0）。
斐波那契数列
斐波那契数列（一）斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多〃斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。
（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8………………………翠雀花13………………………金盏草21………………………紫宛34，55，84……………雏菊（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位臵，则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位臵到达下一个正对的位臵称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。
斐波那契数列
斐波那契数列斐波那契数列00求助编辑百科名片斐波纳契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
目录斐波那契数列的定义奇妙的属性在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列斐波那契数列的整除性与素数生成性斐波那契数列的个位数：一个60步的循环斐波那契数与植物花瓣斐波那契―卢卡斯数列与广义斐波那契数列斐波那契―卢卡斯数列斐波那契―卢卡斯数列之间的广泛联系黄金特征与孪生斐波那契―卢卡斯数列广义斐波那契数列斐波那契数列与黄金比相关的数学问题1.排列组合2.数列中相邻两项的前项比后项的极限斐波那契数列别名斐波那契数列公式的推导编程中的斐波那契数列PB语言程序C语言程序C#语言程序Java语言程序JavaScript语言程序Pascal语言程序PL/SQL程序Python程序数列与矩阵斐波那契数列的前若干项斐波那契弧线斐波那契数列的应用影视作品中的斐波那契数列斐波那契螺旋斐波那契数列的定义斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多?斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,dfsdf，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列通项公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波那契数列递归
斐波那契数列递归1斐波那契数列斐波那契数列又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*），称为斐波纳契数列，也叫黄金分割数列。
2递归法斐波那契数列可用递归的方法来实现，即：```F(n)=F(n-1)+F(n-2)F(1)=1F(2)=1```基本思想就是用函数自身来定义，函数调用自身来解决问题；它利用递归（此时一般会被记为类似于循环），然后依次求解每一个节点的值，先求解较小的节点，由较小的节点构成较大的结点，最后到达F(n)的值。
3代码实现基于Python的实现：```def Fibonacci(n):if n<0:print("输入有误")elif n==1:return1elif n==2:return1else:return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2)```可以看出，Fibonacci函数通过判断n是几来分别返回1和0，如果n不是1抑或2，就返回Fibonaccin-1加上Fibonacci（n-2）的和即为第n位的值，以此类推，实现的整个算法。
4其他实现方式虽然使用递归的方式可以实现斐波那契数列，但也可以使用其他方法，通过把上次计算结果存储在一个数组里，每一次计算时只需要取出上一次存储的结果即可。
实现如下：```def Fibonacci(n):list=[0,1]for i in range(n-1):list.append(list[-1]+list[-2])return list[-1]```根据这种实现方式，每计算出第n位数值即存入列表中，在求第n+1位值时，只要前取出列表中最后两位数值相加便可，这样就节省了递归实现方式中每次重复求F(n-1)和F(n-2)的耗时。
斐波拉契数列通项公式
斐波拉契数列通项公式斐波那契数列，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱先来说说啥是斐波那契数列。
它就是从 0 和 1 开始，后面每一项都是前两项之和。
就像 0、1、1、2、3、5、8、13、21 等等，一直这么加下去。
那它的通项公式呢，是：$F(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 +\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n]$ 。
这公式看起来有点复杂哈，但别急，咱慢慢捋一捋。
我还记得有一次，我给学生们讲斐波那契数列通项公式的时候，那场面可热闹了。
有个小男生，瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式到底咋来的呀？感觉像个魔法咒语！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”我先在黑板上画了个简单的图表，把斐波那契数列的前几项都列了出来，然后引导他们观察数字之间的关系。
孩子们七嘴八舌地讨论着，有的说相邻两项的差好像有规律，有的说每隔几项的和好像也有特点。
看着他们积极思考的样子，我心里特别欣慰。
然后，我们从最基本的递推关系入手，通过一系列的代数运算和巧妙的变形，一点点地朝着通项公式靠近。
当我们最终推导出那个公式的时候，教室里响起了一阵欢呼声。
那个最先提问的小男生兴奋地跳了起来：“原来如此，这也没那么难嘛！”其实啊，斐波那契数列在生活中也有不少有趣的应用。
比如说，植物的生长就常常遵循着斐波那契数列的规律。
像向日葵的种子排列，菠萝表面的凸起，都能看到斐波那契数列的影子。
还有啊，在计算机编程里，斐波那契数列也是个常见的练习题。
通过编写代码来生成斐波那契数列，可以锻炼编程的逻辑思维和算法能力。
总之，斐波那契数列通项公式虽然看起来复杂，但只要我们深入研究，就能发现其中的奥秘和乐趣。
希望大家都能对这个神奇的数列感兴趣，去探索更多数学的奇妙之处！。
斐波那契数列的公式
斐波那契数列的公式一、前言斐波那契数列，是指这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以递归的方式定义，即第n个数是由前两个数相加而得到的。
二、斐波那契数列的公式斐波那契数列，以数学语言来阐述，便是：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）这个公式，看似简单，实则蕴含着数学的精华。
斐波那契数列最初的两个数字是0和1，后面的数字则是它前两个数字之和。
例如，前10个斐波那契数列数字分别是：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34。
斐波那契数列中，我们可以发现一些非常有用的规律。
例如，在斐波那契数列中，任意两个相邻的数字之间，都保持着一个固定比例——约等于1.618。
这个比例常常被称为斐波那契比例或者黄金比例。
斐波那契比例在自然规律中有着广泛的应用，例如植物的布局、蜂窝的结构等等。
三、斐波那契数列的应用斐波那契数列虽然以简单自然的规律存在着，但却被广泛应用在众多领域。
1. 金融领域：斐波那契数列中的黄金比例被广泛应用在金融业，尤其是股票、期货等领域中的技术性分析。
2. 计算机算法：斐波那契数列与黄金比例的特点被用于计算机算法的设计。
3. 生物学：生物学家发现斐波那契数列在数种生物中都有着普遍存在的规律，并成为了相关领域的研究重点。
从花朵的形态、骨骼的结构，到DNA的序列等等，斐波那契数列都可以在生物学研究中找到应用。
四、总结斐波那契数列，作为数学中的一个经典题目，一方面具有自己的数学价值，另一方面也在各种领域中产生了广泛应用。
而斐波那契数列的公式，简单、清晰，也是我们思考数学问题时的一个良好起点。
我们可以在这个公式上深造，关注其中的规律，并将其应用于实际问题中。
斐波那契数列(fibonacci sequence),从1,1开始,后面每一项等于前面两项之和。输出
斐波那契数列(fibonacci sequence)斐波那契数列是一个非常有趣和有用的数学概念，它在自然界、艺术、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍斐波那契数列的定义、性质、算法和应用，希望能给你带来一些启发和乐趣。
定义斐波那契数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在1202年的著作《计算之书》中提出的，他以兔子繁殖为例子，发现了一个数列，即每个月的兔子对数等于前两个月的兔子对数之和。
这个数列就被称为斐波那契数列，或者兔子数列，又或者黄金分割数列。
斐波那契数列的前几项如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...可以看出，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
用数学符号表示，就是：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)其中，F(n)表示第n项的值。
性质斐波那契数列有许多有趣和重要的性质，下面列举一些常见的：奇偶性：斐波那契数列中，从第三项开始，每三项中有两个奇数和一个偶数。
也就是说，F(n)是奇数当且仅当n是3的倍数或者比3的倍数大1。
相邻项之比：斐波那契数列中，相邻两项之比会逐渐接近一个常数值，这个常数值就是黄金分割比φ≈1.618。
也就是说，当n趋向于无穷大时，F(n+1)/F(n)趋向于φ。
前n项之和：斐波那契数列中，前n项之和等于第n+2项减去1。
也就是说，F(0)+F(1)+...+F(n) = F(n+2)-1。
奇偶项之和：斐波那契数列中，所有奇数项之和等于最后一个奇数项的下一项减去1；所有偶数项之和等于最后一个偶数项的下一项减去2。
也就是说，如果F(m)是最后一个奇数项，则F(1)+F(3)+...+F(m) = F(m+1)-1；如果F(m)是最后一个偶数项，则F(0)+F(2)+...+F(m) = F(m+1)-2。
初中教学数列斐波那契
初中教学数列斐波那契《斐波那契数列》主题探究教学设计方案一、概述本主题为人教课标必修5第二章——《数列》中关于有阅读与思考的内容．本主题是在已有数列基本知识的基础上，探索斐波那契数列的发展历史、实际生活中的斐波那契数列，以及斐波那契数列的一些特性．斐波那契数列与实际生活联系比较紧密，有着广泛的应用，而且本身也有许多特殊的性质．使学生体会数学的科学价值、应用价值，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识．二、教学目标分析1．进一步巩固数列的相关知识，加深对数列的认识，能在具体问题情境中，发现数列的关五、教学资源与工具设计1．人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5；2．网络课件；3．斐波那契数列计算器；4．网络型多媒体教室．六、教学过程本主题共需1个课时．具体安排如下：（一）问题引入由学生计算，教师给予相应的指导．如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？提示：每月底兔子对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……，50个月后是12586269025 对．这就是著名的斐波那契数列．或许大自然懂得数学，树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列、鹦鹉螺的螺旋线……都遵循这个数列．你能写出以后的项吗？设计意图：通过斐波那契的兔子问题引入，让学生通过计算、思考，对斐波那契数列有感性认识．（二）数列知识1．数列的起源人们对数列的研究主要源于生产、生活的需要，以及出于对自然数的喜爱．数是刻画静态物体下的量，一系列的数刻画物体的变化情况，这些按一定顺序排列着的一列数称为数列（sequence of number）．数列是刻画离散过程的重要数学模型，在生活中经常遇到的存款利息、细胞分裂等问题都与数列有关．在古希腊，对毕氏学派而言，万物都是数．他们将数用小石子排列成各种形状，可以排成三角形的小石子数称为三角形数，可以排成正方形的小石子数称为正方形数．三角形数：正方形数：五边形数：每种多边形数均是一个数列．设计意图：让学生对于数列的起源有所了解，便于理解研究数列的意义．2．数列的相关知识让学生快速梳理数列的基本知识：（1）数列的一般形式：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,321n a a a a ，简记为}{na ． （2）数列的表示方法：（1）列表法；（2）图象法；（3）通项公式法．（3）数列的分类：项数有限无限：⎩⎨⎧无穷数列有穷数列项数的随序号的变化情况：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧摆动数列常数列递减数列递增数列 （4）数列通项公式：)(n f an =；主要方法： ①观察数列的特点，寻找项数与对应序号的关系．②化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）．③逐差全加（对于后一项与前一项差中含有未知数的数列）．例如：数列}{n a 中，n a a a n n 2,111=-=-，求na ． ④逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）．例如：数列}{n a ，12,111-=÷=-n na a a n n ，求na ． ⑤正负相间：利用n )1(-或1)1(--n ． ⑥（隔项有零：利用]1)1[(21+-n 或]1)1[(211+--n ．（5）数列求和的主要方法①利用等差或等比的求和公式．②利用通项列项求和．③错项相减法：适用于通项为等比和等差通项之积形式的数列求和．④倒序相加法：例如等差数列求和公式的推导．⑤配对法：适合某些正负相间型的数列． 学生思考：若我们分别以nn n P T S ,,来代表下图的正方形数、三角形数及五边形数，你能发现求出通项公式吗？三者的关系呢？（可以借助图形特点）教师给予适当的指导．提示：由上图我们不难看出：2n Sn =． 而2)1(+=n n Tn ． n n nn每个正方形数都可以看成两个三角形数的和1-+=n n n T T S ．观察五角形数可以知道n1)(32)-(3741)13(]}1)1(3[{)13(11+++⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅=+++-+=++=-+n n ••••••••n n P n p P n n n 即2)13(22)1(3)23(23)23(11-=-+=-=-=-=∑∑==n n n n n •••n T n•••k k P n n k n k n设计意图：让学生回顾数列的基本知识，便于将知识系统化，能更好的从整体上把握，灵活应用数列解决相应问题．3．数列与函数的关系让学生回顾．数列可以看成是定义域为正整数集*N （或它的有限子集）的函数．当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式．由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数．数列具有函数的一般性质，可以借助数形结合的思想研究问题，但研究的侧重点有所不同，函数侧重研究单调性、最值、奇偶性等，数列侧重研究下标子数列或两个数列的合成的性质等．设计意图：回顾函数与数列的关系，进一步加深认识研究数列的角度和意义．4．特殊数列让学生填写下列表格：设计意图：对比中学中重要的两个特殊数列：等差数列和等比数列的性质，加深对这两种数列的理解和应用，通过系统比较能更好的理解．（三）斐波那契教师适当的加以介绍，可以在让学生利用互联网收集相关资料．中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比萨市的一个商人家庭．因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学．成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛．斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究．他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展．他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料．回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202年，或叫《算盘书》）．《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家．继《算经》之后，他又完成了《几何实习》（1220年）和《四艺经》（1225年）两部著作．《算经》在当时的影响是相当巨大的．这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作．在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”．斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌．他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本15章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏．在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明．书中记载的一个有趣的问题：理想中的兔子繁殖问题，兔子每个月对数就构成了著名的斐波那契数列．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数}{F：1，1，2，3，5，8，13，21，n34，...命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用．1963年美国还创刊《斐波那契季刊》来专门研究数列．设计意图：了解斐波那契的历史，提高学习数学的兴趣，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神．（四）斐波那契数列特性小组探究，归纳总结结论，可以参照提示，对于能力较强的小组可以进一步探究其它性质．教师对于各小组的探究过程加以评价．斐波那契数列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13，21， 34， 55， 89， 144， 233， ……1．通项公式观察斐波那契数列项数之间有什么关系？提示：从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用n F 表示第n 项，则有)3(21≥+=--n ••F F F n n n ．通过递推关系式⎩⎨⎧≥+==--)3(2,1121n ••F F •••••••••n F n n n ，我们可以一步一个脚印地算出任意项，不过，当n 很大时，推算是很费事的．我们必须找到更为科学的计算方法．你能否寻找到通项公式，借助网络资源，能否给予证明？提示：1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n S 25125151，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式．可以利用归纳法证明．网络资源：求斐波那契数列的通项公式．2．项间关系根据下列问题分组探究，写下探究的结果．有能力的学生可以继续研究其他性质．提供斐波那契数列计算器的网页．斐波那契数列有许多奇妙的性质，下面一起研究部分性质：（1）问题：观察相邻两项之间有什么关系？ 相邻两项互素，（1,+n n F F ） （2）1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ， 144 ， …第3项、第6项、第9项、第12项、……的数字，有什么共同特点？提示：能够被 2 整除．第4项、第8项、第12项，能够被 3 整除． 第 5项、第 10 项、……的数字，能够被 5 整除．你还能发现哪些类似的规律？（3）23211+=++⋅⋅⋅+++n n F F F F F如果你把前五加起来再加 1，结果会等于第七项；如果把前六项加起来，再加 1，就会得出第八项．那么前 n 项加起来再加 1，会不会等于第 n + 2 项呢？提示：1 + 1 +2 +3 + 5 + 1 = 131 + 1 +2 +3 + 5 + 8 + 1 = 21由于每一项都是其前两项的和，所以 23211+=++⋅⋅⋅+++n n F F F F F（4）如果我们分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？1 +2 + 5 = 81 +2 + 5 + 13 = 211 + 1 + 3 + 8 = 131 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34提示：我们可以得到下列的结果：n n F F F F 21231=+⋅⋅⋅++-122421+=+⋅⋅⋅+++n n F F F F你是否能给出证明？ （5）不可思议的是，如果我们把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项．22 + 32 = 4 + 9 = 1332 + 52 = 9 + 25 = 3482 + 132 = 64 + 169 = 233试试看其它的情形．12212++=+n n n F F F 是不是都成立呢？（6）更不可思议的是，你能想象到吗，斐波那契数列与杨辉三角居然有联系？提示：3．黄金分割动手做一下：把斐波那契数列中从第二项开始的每一项除以前一项， 得到一个新的数列，并画出图象，分析新数列的特点．提示：1，2，1.5，1.67，1.6，1.63，1.615，1.619，1.618， .....下图中横轴为 n 的值，纵轴为n n F F 1+的取值：n n F F 1+看起来好像会趋近某个定值，大约为1.61……．这为人所知作为金黄比率, 并且因此11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1 1 12 8 13 5斐波那奇的序列并且称金黄序列，开普勒发现斐波那契数列的黄金比率．4．探究其它特性利用斐波那契数列计算器和互联网，每小组探究斐波那契数列的其它性质，然后利用网络搜索所得到的性质，是否已经被发现。
高中数学必修5《斐波那契数列》PPT (1)
斐波那契数列与数学
● 后来的数学家发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … • 第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字，能够
被 2 整除。 • 第 4、第 8、第 12 项的数字，能够被 3
由此可观察到:
5 0.666666667 8
lim Fn 0.61803398 9 F n
n1
8 0.615384615 13 13 0.619047619 21
此数也就是黃金比
......
832040 0.618033989
1346296 ......
另一說法
大自然中的斐波那契数列
十秒钟加数
●再来一次！
时间到
• 答案是 6710。
1
「十秒钟加数」的秘密
2
3
● 数学家又发现：连续 10 个斐波那契数之和，必定等于第 7 个数的 11 倍！
5
8
13
• 所以右式的答案是：
21
21 11 = 231
34 55
+ 89
??
「十秒钟加数」的秘密
● 又例如：
• 右式的答案是： 610 11 = 6710
斐波那契数列与楼梯的问题
● 有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只 ● 能跨一级或两级，要登到十级有几种走 ● 法？(可以用文字也可以用算式)
1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89 ??
十秒种加数
● 请用十秒，计出左边一条加数的答案。源自时间到• 答案是 231。
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 + 2584 ????
斐波那契数列递推式
斐波那契数列递推式斐波那契数列是数学中非常有名的数列之一，以其独特的递推关系式和极为简单的模式著称。
斐波那契数列的递推式是非常重要的，在数学和计算机科学领域都有着广泛的应用和研究。
本文主要围绕斐波那契数列的递推式进行探讨。
1. 斐波那契数列的定义和特点首先，我们来了解一下斐波那契数列的定义和特点。
斐波那契数列是指以下数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、…… ，这个数列的第一项和第二项都是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列以其独特的递推关系式和简洁的模式而著称。
这个数列中每个数字都是前两个数字之和，因此可以通过递归式或迭代式来计算每个数字。
2. 递归式和迭代式斐波那契数列有两种计算方法：递归式和迭代式。
递归式是通过函数调用自身来计算某个数列项。
我们可以定义一个计算第n项的函数，该函数需要分别计算前两项，然后将前两项相加得到第三项，再将第二项和第三项相加得到第四项，以此类推直到计算出第n项。
这个递归式的代码如下：``` def fibonacci_recursive(n): if n <= 2: return 1 else: returnfibonacci_recursive(n-1) + fibonacci_recursive(n-2)```递归算法的最大缺点就是计算效率低下，因为每一个数都会重复计算很多次。
迭代式是利用循环来计算数列中的每一项。
我们可以定义一个循环来计算每个数，循环内部使用前两项的和来计算下一个数的值。
这个迭代式的代码如下：``` def fibonacci_iterative(n): a, b = 1, 1for i in range(n-1): a, b = b, a+breturn a ```迭代算法的执行速度比递归算法快得多，因为迭代式仅仅需要根据前面两项的和计算当前项的值。
3. 斐波那契数列递推式的推导斐波那契数列的递推式是非常有趣的一个数学问题。
斐波那契数列隔项关系
斐波那契数列隔项关系在数学的历史长河中，斐波那契数列无疑是一个令人着迷的课题。
它不仅在自然界的多个现象中有所体现，如松果的鳞片排列、菠萝的表皮花纹，还在计算机科学、金融分析等领域有着广泛的应用。
斐波那契数列的每一项都是其前两项之和，这一基本定义背后隐藏着许多深刻的数学性质。
本文旨在深入探究斐波那契数列的隔项关系，即数列中相隔一项或多项的数字之间的内在联系。
一、斐波那契数列简介斐波那契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列，是一个简单的数列，从0和1开始，后面的每一项都是前两项的和。
具体表示为：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n ≥ 2，n ∈ N*）。
这个数列的前几个数是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...。
随着数列项数的增加，相邻两项的比值逐渐趋近于黄金分割数（φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618）。
二、斐波那契数列的隔项关系斐波那契数列的隔项关系主要体现在以下几个方面：1. 隔项相加的性质观察斐波那契数列，我们可以发现一种有趣的隔项相加现象。
即对于数列中的任意一项F(n)，它与前n项中每隔一项的数（即F(n-2)、F(n-4)、F(n-6)...）相加，其和总是等于下一项F(n+1)与前n项中剩余项（即F(n-1)、F(n-3)、F(n-5)...）相加的和。
数学表达式为：F(n) + F(n-2) + F(n-4) + ... = F(n+1) + F(n-1) + F(n-3) + ...这一性质可以通过数学归纳法证明。
假设对于某个正整数k，上述性质对F(2k)成立，即F(2k) + F(2k-2) + ... + F(2) = F(2k+1) + F(2k-1) + ... + F(1)。
考虑F(2k+2)时，有F(2k+2) = F(2k+1) + F(2k)。
中学数学-1(斐波那契数列)
内蒙古自治区中小学教师教育技术水平（初级）试卷（试卷科目：中学数学）第一部分：基本知识题（本部分共8个题，每题2.5分，满分20分）第1题 (单选题)教育技术的本质特征是（ C ）。
(2.5分)A．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的教学实践B．本题答案中所给出的其它3个选项都不对C．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的理论和实践D．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的理论研究第2题 (单选题)关于教学评价中收集数据的工具与方法，下列说法中不正确的是（ D ）。
(2.5分) A．形成性练习是教学评价中经常使用的方法B．结构化观察是教学评价中经常使用的方法C．总结性测验是教学评价中经常使用的方法D．在教学评价中无需使用态度量表第3题 (单选题)课程结束时进行期末考试，考试依据课程标准来确定试题范围，采用纸笔测验试卷评分的方式。
就这一评价（考试）的类型，以下选项中不准确的一项是（ B ）。
(2.5分) A．它是一种定量评价B．它是诊断性评价C．它是总结性评价D．它是一种绝对评价第4题 (单选题)将认知领域的教学目标分为了解（识记）、理解、运用、分析、综合、评价六个层次的美国心理学家是（ C ）。
(2.5分)A．加涅B．布鲁纳C．布卢姆D．奥苏贝尔第5题 (单选题)"知识积累的关键因素是刺激、反应以及两者之间的联系"，持这一观点的学习理论流派是（ D ）。
(2.5分)A．建构主义B．认知主义C．人本主义D．行为主义第6题 (单选题)根据您对教育技术及相关基础知识的理解，下例选项不正确的一项是（ B ）。
(2.5分)A．教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程B．教育技术与信息技术的涵义是一样的，只是用不同的名词来表述而已C．教育信息化是指在教育教学的各个领域中，积极开发充分应用信息技术和信息资源，以促进教育现代化，培养满足社会需求人才的过程D．教育技术就是为了促进学习，对有关的学习过程和资源进行设计、开发、利用、管理和评价的理论与实践第7题 (单选题)以"教"为中心的教学结构突出强调的是（ B ）。
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内蒙古自治区中小学教师教育技术水平（初级）试卷（试卷科目：中学数学）第一部分：基本知识题（本部分共8个题，每题2.5分，满分20分）第1题 (单选题)教育技术的本质特征是（ C ）。
(2.5分)A．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的教学实践B．本题答案中所给出的其它3个选项都不对C．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的理论和实践D．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的理论研究第2题 (单选题)关于教学评价中收集数据的工具与方法，下列说法中不正确的是（ D ）。
(2.5分) A．形成性练习是教学评价中经常使用的方法B．结构化观察是教学评价中经常使用的方法C．总结性测验是教学评价中经常使用的方法D．在教学评价中无需使用态度量表第3题 (单选题)课程结束时进行期末考试，考试依据课程标准来确定试题范围，采用纸笔测验试卷评分的方式。
就这一评价（考试）的类型，以下选项中不准确的一项是（ B ）。
(2.5分) A．它是一种定量评价B．它是诊断性评价C．它是总结性评价D．它是一种绝对评价第4题 (单选题)将认知领域的教学目标分为了解（识记）、理解、运用、分析、综合、评价六个层次的美国心理学家是（ C ）。
(2.5分)A．加涅B．布鲁纳C．布卢姆D．奥苏贝尔第5题 (单选题)"知识积累的关键因素是刺激、反应以及两者之间的联系"，持这一观点的学习理论流派是（ D ）。
(2.5分)A．建构主义B．认知主义C．人本主义D．行为主义第6题 (单选题)根据您对教育技术及相关基础知识的理解，下例选项不正确的一项是（ B ）。
(2.5分)A．教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程B．教育技术与信息技术的涵义是一样的，只是用不同的名词来表述而已C．教育信息化是指在教育教学的各个领域中，积极开发充分应用信息技术和信息资源，以促进教育现代化，培养满足社会需求人才的过程D．教育技术就是为了促进学习，对有关的学习过程和资源进行设计、开发、利用、管理和评价的理论与实践第7题 (单选题)以"教"为中心的教学结构突出强调的是（ B ）。
(2.5分)A．学生的"学"B．教师的"主导"作用C．"学教并重"D．自主学习设计第8题 (单选题)为绝对评价而进行的测验一般被称为"标准参照测验"，由于它以教学大纲规定的教学目标为依据来制定评价"基准"，所以这种测验的成绩往往形成（ A ）。
(2.5分) A．本题所给的其他选项都不对B．均匀分布C．双峰分布D．标准正态分布第二部分：案例题（包括教案设计、资源准备、教学实施和教学评价）【说明】本主题为人教课标必修5第二章——“数列”中关于阅读与思考的内容的“斐波那契数列”，教学时间为1课时。
本试卷结合具体的教学案例考查教师的教育技术应用能力，其具体教学内容、教学对象、教学环境和教学要求如下：【教学内容】斐波那契数列【教学对象】初中三年级学生【教学环境】多媒体网络教室【教学要求】遵循国家课程标准，在先进教育理念指导下，基于给定的教学环境，恰当利用教育技术，进行教案设计、资源准备、实施教学并进行评价。
教案设计（本部分共5个题，每题4分，满分20分）在进行“斐波那契数列”一课的教案设计时，应进行学习者和教学环境分析、确定教学目标与教学内容、设计教学活动并选择合适的教学策略。
下面是一份教案，请结合教案回答其中相应的问题。
一、教学内容概述本主题是在已有数列基本知识的基础上，探索斐波那契数列的发展历史、实际生活中的斐波那契数列，以及斐波那契数列的一些特性。
斐波那契数列与实际生活联系比较紧密，有着广泛的应用，而且本身也有许多特殊的性质。
使学生体会数学的科学价值、应用价值，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识。
二、教学目标分析第9题 (单选题)对于"斐波那契数列的发展历史"的知识内容，在知识与技能维度需要达到的教学目标是（ A ）。
(4 分)A．了解斐波那契数列发展历史B．评价斐波那契数列发展历史的应用价值C．领悟斐波那契数列发展历史的社会意义D．通过斐波那契数列发展历史的学习，体会数学的科学价值三、学习者特征分析学生已经掌握数列、等差、等比数列的知识。
能在具体的情境问题中，发现数列中特殊的关系（等差或等比关系），能用相关知识解决相应的问题。
部分学生有一定的自主学习能力和协作学习能力。
但应用意识，因此需要一定的指导。
第10题 (单选题)为顺利完成探究任务，学生必须具备的计算机能力是（ D ）。
(4 分) A．能熟练运用程序开发知识进行编程，解决相关问题B．能熟练运用数据库的相关知识解决问题C．能熟练开发专题网站，展示小组作品D．能够通过网络搜索相关资源，并能获取并简单加工处理相关资源,制作成PPT演示文稿四、教学策略选择与设计主要采用网络探究、小组协作的方式，复习数列相关知识，然后逐步探究斐波那契数列的历史、应用和特征。
教师做好指导、协调工作，对于学生探究结论给予相应评价。
五、教学资源与工具设计1．人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5；2．相关网络资源；3．斐波那契数列计算器；4．网络型多媒体教室。
第11题 (单选题)根据教学策略设计，为很好地完成本次教学活动，教学中对网络环境的基本要求是（ B ）。
(4 分)A．仅教师机要求连互联网B．教师机和学生机都要求连互联网C．仅学生机要求连互联网D．教师机和学生机都不需要连通网络六、教学过程（一）问题引入由学生计算，教师给予相应的指导。
如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子。
假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？提示：每月底兔子对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……，50个月后是12586269025 对。
这就是著名的斐波那契数列。
或许大自然懂得数学，树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列、鹦鹉螺的螺旋线……都遵循这个数列。
你能写出以后的项吗？设计意图：通过斐波那契的兔子问题引入，让学生通过计算、思考，对斐波那契数列有感性认识。
（二）数列知识①复习数列的起源②复习数列的相关知识让学生快速梳理数列的基本知识：✧数列的一般形式：，简记为。
✧数列的表示方法：（1）列表法；（2）图像法；（3）通项公式法。
✧数列的分类：项数有限无限：项数的随序号的变化情况：✧数列通项公式：；主要方法：✓观察数列的特点，寻找项数与对应序号的关系。
✓化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
✓逐差全加（对于后一项与前一项差中含有未知数的数列）。
例如：数列中，，求。
✓逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。
例如：数列，，求。
✓正负相间：利用或。
✓隔项有零：利用或。
✧数列求和的主要方法✓利用等差或等比的求和公式。
✓利用通项列项求和。
✓错项相减法：适用于通项为等比和等差通项之积形式的数列求和。
✓倒序相加法：例如等差数列求和公式的推导。
✓配对法：适合某些正负相间型的数列。
设计意图：让学生回顾数列的基本知识，便于将知识系统化，能更好的从整体上把握，灵活应用数列解决相应问题。
第12题 (单选题)在教学导入阶段，让学生回顾数列的基本知识的主要目的是（ B ）。
(4 分) A．检查学生对数列知识的掌握情况，便于评价学生的学习结果B．建立新旧知识之间的联系，找出探究"斐波那契数列"知识内容的方法C．为尝试应用创新教学模式D．教学的导入阶段必须复习旧知识③让学生回顾数列与函数的关系④特殊数列设计意图：对比中学中重要的两个特殊数列-----等差数列和等比数列的性质，加深对这两种数列的理解和应用，通过系统比较能更好地理解。
（三）斐波那契数列教师将学生分成小组，并指导适当分工，布置探究任务。
教师适当地加以介绍，可以让学生利用互联网收集斐波那契数列相关资料，并进行整理讨论。
设计意图：了解斐波那契的历史，提高学习数学的兴趣，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。
（四）斐波那契数列特性小组探究、归纳总结结论，参照提示，对于能力较强的小组可以进一步探究其它性质。
教师对各小组的探究过程加以评价。
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……①通项公式观察斐波那契数列项数之间有什么关系？提示：从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用表示第n项，则有。
通过递推关系式，我们可以一步一个脚印地算出任意项，不过，当n 很大时，推算是很费事的，我们必须找到更为科学的计算方法。
你能否寻找到通项公式，借助网络资源，能否给予证明？提示：1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式。
可以利用归纳法证明。
网络资源：求斐波那契数列的通项公式．②项间关系学生根据下列问题分组探究并写下探究的结果，有能力的学生可以继续探究其他性质。
同时教师提供斐波那契数列计算器的网页。
斐波那契数列有许多奇妙的性质，下面一起研究部分性质：问题：观察相邻两项之间有什么关系？相邻两项互素，（）✧ 1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，89 ，144 ，…第3项、第6项、第9项、第12项、……的数字，有什么共同特点？提示：能够被2 整除．第4项、第8项、第12项，能够被3 整除．第5项、第10 项、……的数字，能够被5 整除．你还能发现哪些类似的规律？✧如果你把前五加起来再加1，结果会等于第七项；如果把前六项加起来，再加1，就会得出第八项．那么前n 项加起来再加1，会不会等于第n + 2 项呢？提示：1 + 1 +2 +3 + 5 + 1 = 131 + 1 +2 +3 + 5 + 8 + 1 = 21由于每一项都是其前两项的和，所以✧如果我们分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？1 +2 + 5 = 81 +2 + 5 + 13 = 211 + 1 + 3 + 8 = 131 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34提示：我们可以得到下列的结果：你能否给出证明？✧不可思议的是，如果我们把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项。
22 + 32 = 4 + 9 = 1332 + 52 = 9 + 25 = 3482 + 132 = 64 + 169 = 233试试看其它的情形．是不是都成立呢？✧更不可思议的是，你能想象到吗，斐波那契数列与杨辉三角居然有联系？提示：动手做一下：把斐波那契数列中从第二项开始的每一项除以前一项，得到一个新的数列，并画出图像，分析新数列的特点。