大学物理电磁学部分练习题讲解

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大学物理电磁学部分练习题讲解

大学物理电磁学部分练习题讲解(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--大学物理电磁学部分练习题1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的（D ）（A ）带正电荷的导体，其电势一定是正值．（B ）等势面上各点的场强一定相等．（C ）场强为零处，电势也一定为零．（D ）场强相等处，电势梯度矢量一定相等．2.当一个带电导体达到静电平衡时：D （A ）表面上电荷密度较大处电势较高．（B ）表面曲率较大处电势较高．（C ）导体内部的电势比导体表面的电势高．（D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零．3. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ．该球面内、外的场强分布为（r 表示从球心引出的矢径）：（ 0 r rR 302εσ）=)(r E)(R r <， =)(r E)(R r >． 4.电量分别为q 1，q 2，q 3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为R ，则b 点处的电势U ＝)22(813210q q q R++πε5.两个点电荷，电量分别为+q 和-3q ，相距为d ，试求：（l ）在它们的连线上电场强度0=E的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？（2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U ＝ 0的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？q +q 3-x?Od E ?．解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，X 轴沿两点电荷的连线．（l ）设0=E的点的坐标为x ′，则0)'(43'42020=--=i d x qi x q Eπεπε可得 0'2'222=-+d dx x解出 d x )31(21'1+-=和 d x )13(21'2-=其中'1x 符合题意，'2x 不符合题意，舍去．（2）设坐标x 处 U ＝ 0，则)(43400x d qx q U --=πεπε0])(4[40=--=x d x xd q πε得 4/04d x x d ==-6.一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.解答：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O点处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。

大学物理电磁学例题讲解

电势差
RA
VA
VB

B A
Edr

RB RA 2 0r
dr

2 0
ln
RB RA
RB

C q 2 0 L VA VB ln RB
RA
例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为R1和R2 ，所带电荷为Q．问此电容器贮存的电场能量为多少？
-Q Q
导体球的电势 u
r
R
解介质不存在时：
， , E0 0
导体球内；E0

Q
4 0r 2
rR
导体球的电势：
在电介
质中：
E E0
r
从而可得：
Q
V R E dr R 4 0 r r 2 dr
Q
Eout 4 0 r r 2
Q
4 0
q
RA ,
,
4 0r
r RA r RA
O RB
r
VB
பைடு நூலகம்

q

4
0 q
RB ,
,
4 0r
r RB r RB
V VA VB
q
q

4 0 RA

4 0 RB
,
r RA
V

q

4
0 r

q
4 0 RB

3 0
R3 r2
• 球内 ( r < R )
q内

4 3
πr 3
E r 3 0
r+
++r+

大学物理电磁学静电场经典习题详解

大学物理电磁学静电场经典习题详解(总17页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--题：1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带e 32的上夸克和两个带e 31-下夸克构成，若将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为10?20 m ），中子内的两个下夸克之间相距?10?15 m 。

求它们之间的斥力。

题解：由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律r r 220r 2210N 78.394141e e e F ===r e r q q πεπεF 与r e 方向相同表明它们之间为斥力。

题：质量为m ，电荷为?e 的电子以圆轨道绕氢核旋转，其动能为E k 。

证明电子的旋转频率满足42k20232me E εν=其中是0ε真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学规律。

题分析：根据题意将电子作为经典粒子处理。

电子、氢核的大小约为10?15 m ，轨道半径约为10?10 m ，故电子、氢核都可视作点电荷。

点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运动的向心力，故有220241r e r v m πε=由此出发命题可证。

证：由上述分析可得电子的动能为r e mv E 202k 8121πε==电子旋转角速度为30224mr e πεω=由上述两式消去r ，得43k 20222324me E επων== 题：在氯化铯晶体中，一价氯离于Cl ?与其最邻近的八个一价格离子Cs +构成如图所示的立方晶格结构。

（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作品格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。

题分析：铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加。

为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力。

解：（l ）由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故01=F（2）除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离子与氯离子的作用合力为零，所以氯离子所受的合力2F 的值为N 1092.134920220212-⨯===ae rq q F πεπε2F 方向如图所示。

高考物理电磁学大题练习20题Word版含答案及解析

高考物理电磁学大题练习20题Word版含答案及解析方向与图示一致。

金属棒的质量为m，棒的左端与导轨相接，右端自由。

设金属棒在磁场中的电势能为0.1)当磁场的磁感应强度为B1时，金属棒在匀强磁场区域内做匀速直线运动，求金属棒的速度和通过电阻的电流强度。

2)当磁场的磁感应强度随时间变化时，金属棒受到感生电动势的作用，求金属棒的最大速度和通过电阻的最大电流强度。

答案】(1) v=B1d/2m。

I=B1d2rR/(rL+dR) (2) vmaxBmaxd/2m。

ImaxBmaxd2rR/(rL+dR)解析】详解】(1)由洛伦兹力可知，金属棒在匀强磁场区域内受到向左的洛伦兹力，大小为F=B1IL，方向向左，又因为金属棒在匀强磁场区域内做匀速直线运动，所以受到的阻力大小为F1Fr，方向向右，所以有：B1IL=Fr解得：v=B1d/2m通过电阻的电流强度为：I=B1d2rR/(rL+dR)2)当磁场的磁感应强度随时间变化时，金属棒受到感生电动势的作用，其大小为：e=BLv所以金属棒所受的合力为：F=BLv-Fr当合力最大时，金属棒的速度最大，即：BLvmaxFr=0解得：vmaxBmaxd/2m通过电阻的电流强度为：ImaxBmaxd2rR/(rL+dR)题目一：金属棒在电动机作用下的运动一根金属棒在电动机的水平恒定牵引力作用下，从静止开始向右运动，经过一段时间后以匀速向右运动。

金属棒始终与导轨相互垂直并接触良好。

问题如下：1) 在运动开始到匀速运动之间的时间内，电阻R产生的焦耳热；2) 在匀速运动时刻，流过电阻R的电流方向、大小和电动机的输出功率。

解析：1) 运动开始到匀速运动之间的时间内，金属棒受到电动机的牵引力向右运动，电阻R中会产生电流。

根据欧姆定律和焦耳定律，可以得到电阻R产生的焦耳热为：$Q=I^2Rt$，其中I为电流强度，t为时间。

因此，我们需要求出这段时间内的电流强度。

根据电动机的牵引力和电阻R的阻值，可以得到电路中的总电动势为$E=FL$，其中F为电动机的牵引力，L为金属棒的长度。

习题册_II1_电磁学+详细解答

磁感应强度、毕-萨定律1．有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆的直径和正方形的边长相等。

二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感应强度的大小之比21/B B 为（A ）0.90 （B ）1.00 （C ）1.11 （D ）1.222．如图，边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电量均为q 的点电荷。

此正方形以角速度ω绕过AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感应强度大小为1B ；此正方形同样以角速度ω绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度大小为2B ，则1B 与2B 间的关系为（A ）1B =2B （B ）1B =22B（C ）1B =212B （D ）1B =412B3．一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图（O 点是半径为1R 和2R 的两个圆弧的共同圆心，电流自无限远来到无限远去），则O 点的磁感应强度的大小是。

4．在xy 平面内有两根互相绝缘、分别通有电流I3和I 的长直导线，设两导线互相垂直（如图），则在xy 平面内磁感应强度为零的点的轨迹方程为。

x答案在后5．均匀带电直线AB ，电荷线密度为，绕垂直于直线的轴O 以角速度ω匀速转动（线的形状不变，O 点在AB 延长线上），求：（1）O 点的磁感应强度B ，（2）磁矩m p ，（3）若a >>b ，求B 及m p。

6．如图，半径为a ，带正电荷且线密度为λ的半圆，以角速度ω绕轴O 'O ''匀速旋转，求：（1）O 点的B，（2）旋转的带电半圆的磁矩m p。

（积分公式 201sin 2d πθθπ=⎰）7．一半径为R 的带电塑料圆盘，其中有一半径为r 的阴影部分均匀带正电荷，面密度为+σ，其余部分均匀带负电荷，面密度为-σ。

当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，R 与r 满足什么关系？8．将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D 点的磁感应强度的大小。

电磁学考试题库及答案详解

电磁学考试题库及答案详解一、单项选择题1. 真空中两个点电荷之间的相互作用力遵循（）。

A. 牛顿第三定律B. 库仑定律C. 高斯定律D. 欧姆定律答案：B解析：库仑定律描述了真空中两个点电荷之间的相互作用力，其公式为F=k*q1*q2/r^2，其中F是力，k是库仑常数，q1和q2是两个电荷的量值，r是它们之间的距离。

2. 电场强度的方向是（）。

A. 从正电荷指向负电荷B. 从负电荷指向正电荷C. 垂直于电荷分布D. 与电荷分布无关解析：电场强度的方向是从正电荷指向负电荷，这是电场的基本性质之一。

3. 电势能与电势的关系是（）。

A. 电势能等于电势的负值B. 电势能等于电势的正值C. 电势能等于电势的两倍D. 电势能与电势无关答案：A解析：电势能U与电势V的关系是U=-qV，其中q是电荷量，V是电势。

4. 电容器的电容C与板间距离d和板面积A的关系是（）。

A. C与d成正比B. C与d成反比C. C与A成正比D. C与A和d都成反比解析：电容器的电容C与板间距离d成反比，与板面积A成正比，公式为C=εA/d，其中ε是介电常数。

5. 磁场对运动电荷的作用力遵循（）。

A. 洛伦兹力定律B. 库仑定律C. 高斯定律D. 欧姆定律答案：A解析：磁场对运动电荷的作用力遵循洛伦兹力定律，其公式为F=qvBsinθ，其中F是力，q是电荷量，v是电荷的速度，B是磁场强度，θ是速度与磁场的夹角。

二、多项选择题1. 以下哪些是电磁波的特性？（）A. 传播不需要介质B. 具有波粒二象性C. 传播速度等于光速D. 只能在真空中传播答案：ABC解析：电磁波的传播不需要介质，具有波粒二象性，传播速度等于光速，但它们也可以在其他介质中传播，只是速度会因为介质的折射率而改变。

2. 以下哪些是电场线的特点？（）A. 电场线从正电荷出发，终止于负电荷B. 电场线不相交C. 电场线是闭合的D. 电场线的疏密表示电场强度的大小答案：ABD解析：电场线从正电荷出发，终止于负电荷，不相交，且电场线的疏密表示电场强度的大小。

电磁学第四版赵凯华习题解析

电磁学第四版赵凯华习题解析第一章电磁场的基本概念题1.1解析：该题主要考察对电磁场基本概念的理解。

根据定义，电场强度E是单位正电荷所受到的电力，磁场强度B是单位长度为1、电流为1的导线所受到的磁力。

因此，电场强度E与电势差V之间的关系为E=-dV/dx，磁场强度B与安培环路定律有关，即B=μ₀I/2πr。

答案：电场强度E与电势差V之间的关系为E=-dV/dx，磁场强度B与安培环路定律有关，即B=μ₀I/2πr。

题1.2解析：该题考查对电场线和磁场线的基本理解。

电场线从正电荷出发，指向负电荷；磁场线从磁南极指向磁北极。

在非均匀磁场中，电荷的运动轨迹会受到磁场的影响，当电荷的运动速度与磁场垂直时，洛伦兹力提供向心力，使电荷沿磁场线运动。

答案：电场线从正电荷出发，指向负电荷；磁场线从磁南极指向磁北极。

在非均匀磁场中，电荷的运动轨迹会受到磁场的影响，当电荷的运动速度与磁场垂直时，洛伦兹力提供向心力，使电荷沿磁场线运动。

第二章电磁场的基本方程题2.1解析：该题考查对高斯定律的理解。

根据高斯定律，闭合曲面所包围的电荷量与该曲面上的电通量成正比，即∮E·dA=Q/ε₀。

其中，E为电场强度，dA为曲面元素，Q为曲面内的电荷量，ε₀为真空电容率。

答案：根据高斯定律，闭合曲面所包围的电荷量与该曲面上的电通量成正比，即∮E·dA=Q/ε₀。

题2.2解析：该题考查对法拉第电磁感应定律的理解。

根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E与磁通量变化率ΔΦ/Δt成正比，即E=ΔΦ/Δt。

其中，E为感应电动势，ΔΦ为磁通量的变化量，Δt为时间变化量。

答案：根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E与磁通量变化率ΔΦ/Δt成正比，即E=ΔΦ/Δt。

第三章电磁波的传播题3.1解析：该题考查对电磁波的基本理解。

电磁波是由振荡的电场和磁场组成的横波，其传播速度为光速c，波长λ与频率f之间的关系为c=λf。

电磁波在真空中的传播不受阻碍，但在介质中传播时，其速度会发生变化。

电磁学部分题解-大学物理第三版

εi = εL +εbcao = 0
∴ εbcao 1 5 2 = ε L = BωL = BωR2 2 2
O点电势高
《精选》P137页第22题精选》P137页第题页第22
如图，两导线电流方向相反，求直导线如图，两导线电流方向相反， CD中的动生电动势 εi CD中的动生电动势建立坐标如图
+ + + +
d
《精选》P114页第10题精选》P114页第题页第10 （1）B板不接地时，VAB = ? ）板不接地时板不接地时，（2）B板接地时， VAB = ? 板接地时， ′ 板接地时解：（1）B板不接地时）板不接地时 σ 而 EAB = 2 V = E ⋅d
AB AB
A
µ0ih B= 2πR
4、关于电荷作机械运动形成电流产生磁场或磁矩的计算《精选》P126页第30题精选》P126页第30题页第30 表面均匀带电的圆筒绕中心轴线旋转，旋转，求圆筒内部的 B 该带电圆筒绕轴线旋转，等效一个长直螺线管该带电圆筒绕轴线旋转，圆筒表面（轴线方向）圆筒表面（轴线方向）单位长度带电量圆筒以旋转，单位长度的等效电流（电流密度） ω 旋转，单位长度的等效电流（电流密度） ω j= q′ = ωRσ 2π
《精选》P134页第10题精选》P134页第10题页第10 半径为L的圆盘在均匀磁场中匀速转动，半径为L的圆盘在均匀磁场中匀速转动，则
a
ω
c o d a
b
1 Va −Vo = − BωL2 即 o 端电势高 2 Va −Vb = 0 因不切割磁力线
Va −Vc =Vao +Voc
1 1 1 2 2 = − BωL + Bω(d − L) = − Bωd(2L − d) 2 2 2

高考物理电磁学大题习题20题Word版含答案及解析

（1）求电子进入磁场时的位置坐标；
（2）若要使电子在磁场中从ab边射出，求匀强磁场的磁感应强度大小B满足的条件。
【答案】（1）（2L，0）（2） ≤B＜
【解析】
试题分析：电子在电场中做类平抛运动，分别列出竖直和水平方向的方程，即可求出电子进入磁场时的位置坐标；电子从ab边界射出，其运动轨迹的临界状态分别与ab相切和bc相切，根据几何关系求出相应半径，由洛伦兹力提供向心力即可求出强磁场的磁感应强度大小B满足的条件。
（2）线圈cd边出磁场前线圈已经做匀速直线运动，所以线圈和物块均合外力为0，可得绳子的拉力为2mg，线圈受的安培力为mg，所以线圈匀速的速度满足，从ab边刚进入磁场到cd边刚离开磁场，根据能量守恒定律可知，
5.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航天工程达到了一个新高度，极大激发了同学们探索太空的热情。某同学设计的“太空粒子探测器”的加速、偏转部分原理简化如下：如图所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为O1，外圆弧面AB，内圆弧面CD，内外圆弧面电势差大小为U。在O1点右侧有一与直线相切于O1半径为R的的圆形磁场区域，圆心为O2，圆内(及圆周上)存在垂直纸面的匀强磁场，O1、E、F为圆周的三等分点。假设太空中漂浮着质量为m，电量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB圆弧面上，并被加速电场由静止开始加速到CD圆弧面上，再由O1点进入磁场偏转，其中沿O1O2，连线方向入射的粒子经磁场偏转后恰好从E点偏出，不计粒子间的相互作用和其它星球对粒子引力的影响。求：
（2）设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动t2，由几何关系知：
，，
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t3，则：
又：，

大学物理电磁学练习题及答案

大学物理电磁学练习题及答案题目一：1. 电场和电势a) 一个均匀带电圆环上各点的电势如何？答：电场和电势是描述电荷之间相互作用的物理量。

对于一个均匀带电圆环上的各点，其电势是相同的，因为圆环上的每个点与圆心的距离相等且圆环上的电荷密度是均匀分布的。

所以，圆环上任意一点的电势与其它点是等势的。

b) 电势能和电势的关系是什么？答：电势能是电荷在电场中由于位置而具有的能量，而电势则是描述电荷因所处位置而具有的势能单位的物理量。

电势能和电势之间的关系可以用公式：电势能 = 电荷 ×电势来表示。

题目二：2. 高斯定律a) 高斯定律适用于哪些情况？答：高斯定律适用于具有球对称性、圆柱对称性和平面对称性的问题，其中球对称性是最常见和最简单的情况。

b) 高斯定律的数学表达式是什么？答：高斯定律的数学表达式是∮E·dA = ε₀q/ε，其中∮E·dA表示电场E通过闭合曲面积分得到的通量，ε₀是真空介电常数，q表示闭合曲面内的电荷总量，ε表示物质的介电常数。

题目三：3. 电动力学a) 什么是电感？答：电感是指电流在变化时产生的电磁感应现象所引起的抗拒电流的能力。

电感的单位是亨利(H)。

b) 电感的大小与什么因素有关？答：电感的大小与线圈的匝数、线圈的形状以及线圈中的铁芯材料的性质有关。

线圈匝数越多，电感越大；线圈形状越复杂，电感越大；线圈中的铁芯材料磁导率越大，电感越大。

题目四：4. 交流电路a) 直流电和交流电有什么区别？答：直流电是指电流方向始终保持不变的电流，而交流电是指电流方向以一定频率周期性地变化的电流。

直流电是恒定电流，交流电是变化电流。

b) 交流电流的形式有哪些？答：交流电流的形式可以是正弦波、方波、锯齿波等。

其中，正弦波是最常见和最基本的交流电流形式，用于描述交流电路中电压和电流的变化规律。

以上是关于大学物理电磁学练习题及答案的一些内容。

希望这些问题和答案能够帮助你更好地理解和学习物理电磁学的知识。

大学物理第五版(马文蔚)电磁学习题问题详解

第五章静电场5 －1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A)放置，其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B)中的( )分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为02εσ，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B).5 －2 下列说确的是( )(A)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面一定没有电荷(B)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面电荷的代数和必定为零(C)闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零(D)闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零分析与解依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B).5 －3下列说确的是( )(A) 电场强度为零的点，电势也一定为零(B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零(C) 电势为零的点，电场强度也一定为零(D) 电势在某一区域为常量，则电场强度在该区域必定为零分析与解电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D).*5 －4在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将( )(A) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p水平指向棒尖端而停止(B) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动(C) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动(D) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动分析与解电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B).5 －5精密实验表明，电子与质子电量差值的最大围不会超过±10－21e，而中子电量与零差值的最大围也不会超过±10－21e，由最极端的情况考虑，一个有8 个电子，8 个质子和8 个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力的大小.分析考虑到极限情况，假设电子与质子电量差值的最大围为2×10－21 e ，中子电量为10－21 e ，则由一个氧原子所包含的8 个电子、8 个质子和8个中子可求原子所带的最大可能净电荷.由库仑定律可以估算两个带电氧原子间的库仑力，并与万有引力作比较.解一个氧原子所带的最大可能净电荷为()e q 21max 10821-⨯⨯+=二个氧原子间的库仑力与万有引力之比为1108.2π46202max <<⨯==-Gmεq F F g e 显然即使电子、质子、中子等微观粒子带电量存在差异，其差异在±10－21e 围时，对于像天体一类电中性物体的运动，起主要作用的还是万有引力. 5 －6 1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带e 32 的上夸克和两个带e 31-的下夸克构成.若将夸克作为经典粒子处理(夸克线度约为10－20 m)，中子的两个下夸克之间相距2.60×10－15 m .求它们之间的相互作用力.解由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律()r r r r e εr q q εe e e F N 78.3π41π412202210=== F 与径向单位矢量e r 方向相同表明它们之间为斥力.5 －7 质量为m ，电荷为－e 的电子以圆轨道绕氢核旋转，其动能为E ｋ .证明电子的旋转频率满足4320232me E εk =v 其中ε0 是真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学规律.分析根据题意将电子作为经典粒子处理.电子、氢核的大小约为10－15 m ，轨道半径约为10－10 m ，故电子、氢核都可视作点电荷.点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运动的向心力，故有 2202π41r e εr m =v 由此出发命题可证.证由上述分析可得电子的动能为re εm E K 202π8121==v 电子旋转角速度为3022π4mr εe ω= 由上述两式消去r ，得432022232π4me E εωK ==v 5 －8 在氯化铯晶体中，一价氯离子Cl －与其最邻近的八个一价铯离子Cs +构成如图所示的立方晶格结构.(1) 求氯离子所受的库仑力；(2) 假设图中箭头所指处缺少一个铯离子(称作晶格缺陷)，求此时氯离子所受的库仑力.分析铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加.为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力.解 (1) 由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故F 1 ＝0.(2) 除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离子与氯离子的作用合力为零，所以氯离子所受的合力F 2 的值为N 1092.1π3π4920220212⨯===aεe r εq q F F 2 方向如图所示.5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为2204π1L r Q εE -= (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为2204π21Lr r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为r r q εe E 20d π41d '=整个带电体在点P 的电场强度 ⎰=E E d接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，⎰=LE i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是⎰⎰==Ly E αE j j E d sin d 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度⎰'=L r πεq E 202d ，利用几何关系 r ′＝r－x 统一积分变量，则()220022204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰电场强度的方向沿x 轴.(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为E r εq αE L d π4d sin 2⎰'= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，22x r r +=' 统一积分变量，则()2203/22222041π2d π41L r r εQ r x L xrQ εE L/-L/+=+=⎰当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度rελL r L Q r εE l 0220π2 /41/π21lim =+=∞→此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.5 －10 一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.分析这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第5 －3 节的例1 可以看出，所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心O 处的电场强度.解将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元θθR δS δq d sin π2d d 2⋅==，在点O 激发的电场强度为()i E 3/2220d π41d r x qx ε+=由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系θR x cos =，θR r sin =统一积分变量，有()θθθεδθθR πδR θR πεr x q x πεE d cos sin 2 d sin 2cos 41d 41d 02303/2220=⋅=+= 积分得 02/004d cos sin 2εδθθθεδE π⎰== 5 －11 水分子H 2O 中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示，假设氧原子和氢原子等效电荷中心间距为r 0 .试计算在分子的对称轴线上，距分子较远处的电场强度.分析水分子的电荷模型等效于两个电偶极子，它们的电偶极矩大小均为00er P =，而夹角为2θ.叠加后水分子的电偶极矩大小为θer P cos 20=，方向沿对称轴线，如图所示.由于点O 到场点A 的距离x ＞＞r 0 ，利用教材第5 －3 节中电偶极子在延长线上的电场强度302π41xp εE = 可求得电场的分布.也可由点电荷的电场强度叠加，求电场分布.解1 水分子的电偶极矩θer θP P cos 2cos 200==在电偶极矩延长线上30030030cos π1cos 4π412π41xθer εx θer εx p εE === 解2 在对称轴线上任取一点A ，则该点的电场强度+-+=E E E2020π42π4cos 2cos 2x εe r εθer E βE E -=-=+ 由于 θxr r x r cos 202022-+=rθr x βcos cos 0-=代入得 ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=23/20202001cos 2cos π42x θxr r x θr x εe E 测量分子的电场时，总有x ＞＞r 0 ，因此，式中()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈-+x θr x x θr x θxr r x cos 2231cos 21cos 2033/2033/20202，将上式化简并略去微小量后，得300cos π1x θe r εE = 5 －12 两条无限长平行直导线相距为r 0 ，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为λ.(1) 求两导线构成的平面上任一点的电场强度( 设该点到其中一线的垂直距离为x )；(2) 求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力.分析 (1) 在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加.(2) 由F ＝q E ，单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度乘以单位长度导线所带电量，即：F ＝λE .应该注意：式中的电场强度E 是另一根带电导线激发的电场强度，电荷自身建立的电场不会对自身电荷产生作用力.解 (1) 设点P 在导线构成的平面上，E ＋、E －分别表示正、负带电导线在P 点的电场强度，则有()i i E E E x r x r ελx r x ελ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+-00000π211π2 (2) 设F ＋、F －分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有 i E F 00π2r ελλ==-+iEF2π2rελλ-=-=+-显然有F＋＝F－，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引.5 －13如图为电四极子，电四极子是由两个大小相等、方向相反的电偶极子组成.试求在两个电偶极子延长线上距中心为z的一点P的电场强度(假设z＞＞d).分析根据点电荷电场的叠加求P点的电场强度.解由点电荷电场公式，得()()kkkE222π41π412π41dzqεdzqεzqε++-+=考虑到z＞＞d，简化上式得()()kkkE42222222226π4...321...32112π4/11/1112π4zqdεqzdzdzdzdzzεqzdzdzzεq=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=通常将Q＝2qd2称作电四极矩，代入得P 点的电场强度kE43π41zQε=5 －14设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即⎰⋅=SS d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面无电荷，由高斯定理∑⎰==⋅01d 0q εS S E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而⎰⎰'⋅-=⋅=S S S E S E Φd d 解1 由于闭合曲面无电荷分布，根据高斯定理，有⎰⎰'⋅-=⋅=S S S E S E Φd d 依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，E R πR E 22πcos π=⋅⋅-=Φ解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=r θθR e S d d sin d 2=E RθθERθθERSS2ππ2222πdsindsinddsinsind===⋅=⎰⎰⎰⎰SEΦ5 －15边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz和Ozx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点.现将立方体置于电场强度()12E kx E+E=i+j(k，E1，E2为常数)的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量.解如图所示，由题意E与Oxy面平行，所以任何相对Oxy面平行的立方体表面，电场强度的通量为零，即0==DEFGOABCΦΦ.而()[]()2221ABGFd aEdSEkxE=⋅++=⋅=⎰⎰jjiSEΦ考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有22aEABGFCDEO-=-=ΦΦ同理()[]()2121AOEFd aEdSEE-=-⋅+=⋅=⎰⎰ijiSEΦ()[]()()2121BCDGd akaEdSEkaEΦ+=⋅++=⋅=⎰⎰ijiSE因此，整个立方体表面的电场强度通量3ka==∑ΦΦ5 －16 地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为1m V 120-⋅，方向指向地面.试求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示).分析考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面的净电荷.解在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径E R R ≈(E R 为地球平均半径).由高斯定理 ∑⎰=-=⋅q εR E E 021π4d S E 地球表面电荷面密度∑--⨯-=-≈=2902cm 1006.1π4/E εR q σE单位面积额外电子数25cm 1063.6/-⨯=-=e σn5 －17 设在半径为R 的球体，其电荷为球对称分布，电荷体密度为()()R r ρkr ρ>=≤≤= 0R r 0k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.分析通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有2S π4d r E ⋅=⋅⎰S E 根据高斯定理⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E ，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为r r ρq ''⋅=d π4d 2，每个带电球壳在壳激发的电场0d =E ，而在球壳外激发的电场r r εq e E 20π4d d = 由电场叠加可解得带电球体外的电场分布()()()()R r r r R r>=≤≤=⎰⎰ d R r 0 d 00E E E E解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E 得球体(0≤r ≤R ) ()400202πd π41π4r εk r r kr εr r E r ==⎰ ()r εkr r e E 024= 球体外(r ＞R )()400202πd π41π4r εk r r kr εr r E R ==⎰()r εkR r eE 024= 解2 将带电球分割成球壳，球壳带电r r r k V ρq '''==d π4d d 2由上述分析，球体(0≤r ≤R )()r r rεkr r r r r k εr e e E 0222004d π4π41=''⋅'=⎰ 球体外(r ＞R )()r r Rr εkR r r r πr k πεr e e E 20222004d 441=''⋅'=⎰ 5 －18 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为σ，在平板中部有一半径为r 的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度.分析用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度σ′＝－σ)的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和. 解由教材中第5 －4 节例4 可知，在无限大带电平面附近n εσe E 012= n e 为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场n r x x εσe E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=220212 它们的合电场强度为 n r x x εσe E E E 220212+=+=在圆孔中心处x ＝0，则 E ＝0在距离圆孔较远时x ＞＞r ，则n n εσx r εσe e E 02202/112≈+= 上述结果表明，在x ＞＞r 时，带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计. 5 －19 在电荷体密度为ρ 的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O ′的矢量用a 表示(如图所示).试证明球形空腔中任一点的电场强度为a E 03ερ=分析本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但可用补偿法求解.挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为ρ 的均匀带电球和一个电荷体密度为－ρ、球心在O ′的带电小球体(半径等于空腔球体的半径).大小球体在空腔P 点产生的电场强度分别为E 1 、E 2 ，则P 点的电场强度 E ＝E 1 ＋E 2 .证带电球体部一点的电场强度为r E 03ερ= 所以 r E 013ερ=，2023r E ερ-= ()210213r r E E E -=+=ερ 根据几何关系a r r =-21，上式可改写为a E 03ερ= 5 －20 一个外半径分别为R 1 和R 2 的均匀带电球壳，总电荷为Q 1 ，球壳外同心罩一个半径为R 3 的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？试分析.分析以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而24d r πE ⋅=⎰S E .在确定高斯面的电荷∑q 后，利用高斯定理∑⎰=0/d εq S E 即可求出电场强度的分布.解取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析∑=⋅02/π4εq r Er ＜R 1 ，该高斯面无电荷，0=∑q ，故01=ER 1 ＜r ＜R 2 ，高斯面电荷()31323131R R R r Q q --=∑ 故 ()()23132031312π4rR R εR r Q E --= R 2 ＜r ＜R 3 ，高斯面电荷为Q 1 ，故 2013π4rεQ E = r ＞R 3 ，高斯面电荷为Q 1 ＋Q 2 ，故20214π4rεQ Q E +=电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r ＝R 3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量0230234π4ΔεσR εQ E E E ==-= 这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变.5 －21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 ＞R 1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R 1 ，(2) R 1 ＜r ＜R 2 ，(3) r ＞R 2 .分析电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且⎰⋅=rL E d π2S E ，求出不同半径高斯面的电荷∑q .即可解得各区域电场的分布.解作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理∑=⋅0/π2εq rL Er ＜R 1 ，0=∑q01=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变R 1 ＜r ＜R 2 ，L λq =∑rελE 02π2=r ＞R 2，0=∑q03=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变00π2π2ΔεσrL εL λr ελE ===这与5 －20 题分析讨论的结果一致.5 －22 如图所示，有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 ＝Q 3 ＝Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1 、Q 3 的情况下，将Q 2从点O 移到无穷远处外力所作的功.分析由库仑力的定义，根据Q 1 、Q 3 所受合力为零可求得Q 2 .外力作功W ′应等于电场力作功W 的负值，即W ′＝－W .求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为l E d 02⎰∞=Q W其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度. (2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有()0202V Q V V Q W =-=∞其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1 由题意Q 1 所受的合力为零()02π4π420312021=+d εQ Q d εQ Q 解得 Q Q Q 414132-=-=由点电荷电场的叠加，Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为()2/322031π2yd εQ E E E yy y +=+=将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为()d εQ y y d εQ Q Q W y 022/322002π8d π241d =+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅-='⎰⎰∞∞l E 解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 412-=，并由电势的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势dεQd εQ d εQ V 003010π2π4π4=+=将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功dεQ V Q W 0202π8=-=' 比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多. 5 －23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为r rελe E 0π2=为电荷线密度.(1)求在r ＝r 1 和r ＝r 2 两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r →∞处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明.解 (1) 由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有12012ln π2d 21r rελU r r =⋅=⎰r E (2) 不能.严格地讲，电场强度r e rελE 0π2=只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，r →∞处的电势应与直线上的电势相等. 5 －24 水分子的电偶极矩p 的大小为6.20 ×10－30 C · m.求在下述情况下，距离分子为r ＝5.00 ×10－9 m 处的电势.(1) 0θ=︒；(2) 45θ=︒；(3) 90θ=︒，θ 为r 与p 之间的夹角. 解由点电荷电势的叠加2000P π4cos π4π4rεθp r εq r εq V V V =-+=+=-+-+ (1) 若o0=θ V 1023.2π4320P -⨯==rεpV (2) 若o45=θ V 1058.1π445cos 320oP -⨯==rεp V (3) 若o90=θ 0π490cos 20oP ==rεp V 5 －25 一个球形雨滴半径为0.40 mm ，带有电量1.6 pC ，它表面的电势有多大？两个这样的雨滴相遇后合并为一个较大的雨滴，这个雨滴表面的电势又是多大？分析取无穷远处为零电势参考点，半径为R 带电量为q 的带电球形雨滴表面电势为RqεV 0π41=当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后，半径增大为R 32，代入上式后可以求出两雨滴相遇合并后，雨滴表面的电势.解根据已知条件球形雨滴半径R 1 ＝0.40 mm ，带有电量q 1 ＝1.6 pC ，可以求得带电球形雨滴表面电势V 36π411101==R q εV当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后，雨滴半径1322R R =，带有电量q 2 ＝2q 1 ，雨滴表面电势V 5722π4113102==R q εV5 －26 电荷面密度分别为＋σ和－σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图(a)放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x 变化的关系曲线.分析由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由“无限大”均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.解由“无限大” 均匀带电平板的电场强度i 02εσ±，叠加求得电场强度的分布，()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<--<=a x a x a εσa x2 00i E 电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功()a x a x εσV x <<--=⋅=⎰ d 0l E ()a x a εσV -<=⋅+⋅=⎰⎰- d d 0a-axl E l E ()a x a εσV >-=⋅+⋅=⎰⎰ d d 0a-axl E l E 电势变化曲线如图(b)所示.5 －27 两个同心球面的半径分别为R 1 和R 2 ，各自带有电荷Q 1 和Q 2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？分析通常可采用两种方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由⎰∞⋅=pp V lE d 可求得电势分布.(2) 利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为rεQV 0π4=在球面电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势RεQV 0π4=其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布. 解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布()()()22021321201211π4π40R r r εQ Q R r R r εQ R r r r >+=<<=<=e E e E E 由电势⎰∞⋅=rV l E d 可求得各区域的电势分布.当r ≤R 1 时，有20210120212113211π4π4π411π40d d d 2211R εQ R εQ RεQ Q R R εQ V R R R R r+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰∞lE l E l E当R 1 ≤r ≤R 2 时，有202012021201322π4π4π411π4d d 22R εQ r εQ R εQ Q R r εQ V R R r+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅+⋅=⎰⎰∞lE l E当r ≥R 2 时，有rεQ Q V r02133π4d +=⋅=⎰∞l E(2) 两个球面间的电势差⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=⎰210121211π4d 21R R εQ U R R l E 解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面，即r ≤R 1 ，则2021011π4π4R εQ R εQ V +=若该点位于两个球面之间，即R 1 ≤r ≤R 2 ，则202012π4π4R εQ r εQ V +=若该点位于两个球面之外，即r ≥R 2 ，则rεQ Q V 0213π4+=(2) 两个球面间的电势差()2011012112π4π42R εQ R εQ V V U R r -=-==5 －28 一半径为R 的无限长带电细棒，其部的电荷均匀分布，电荷的体密度为ρ.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线.分析无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理⎰⎰=⋅V V εd 1d 0S E 可求得电场分布E (r )，再根据电势差的定义()l E d ⋅=-⎰bab a r V V并取棒表面为零电势(V b ＝0)，即可得空间任意点a 的电势.解取高度为l 、半径为r 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理当r ≤R 时02/ππ2ερl r rl E =⋅得 ()02εr ρr E = 当r ≥R 时02/ππ2ερl R rl E =⋅得 ()rεR ρr E 022=取棒表面为零电势，空间电势的分布有当r ≤R 时()()22004d 2r R ερr εr ρr V Rr-==⎰当r ≥R 时()rRεR ρr r εR ρr V Rrln 2d 20202==⎰如图所示是电势V 随空间位置r 的分布曲线.5 －29 一圆盘半径R ＝3.00 ×10－2 m.圆盘均匀带电，电荷面密度σ＝2.00×10－5 C ·m －2 .(1) 求轴线上的电势分布；(2) 根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布；(3) 计算离盘心30.0 cm 处的电势和电场强度.分析将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用带电细环轴线上一点的电势公式，将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分相加，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布. 解 (1) 带电圆环激发的电势220d π2π41d x r rr σεV +=由电势叠加，轴线上任一点P 的电势的()x x Rεσxr r r εσV R-+=+=⎰22222d 2 (1)(2) 轴线上任一点的电场强度为i i E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=22012d d x R xεσx V (2) 电场强度方向沿x 轴方向.(3) 将场点至盘心的距离x ＝30.0 cm 分别代入式(1)和式(2)，得V 1691=V -1m V 5607⋅=E当x ＞＞R 时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为C 1065.5π82-⨯==σR q .依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有V 1695π40==xεqV 1-20m V 5649π4⋅==xεq E 由此可见，当x ＞＞R 时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理，E 和V 的误差分别不超过0.3％和0.8％，这已足以满足一般的测量精度.5 －30 两个很长的共轴圆柱面(R 1 ＝3.0×10－2 m ，R 2 ＝0.10 m)，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450 Ｖ.求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2) r ＝0.05 m 处的电场强度.解 (1) 由习题5 －21 的结果，可得两圆柱面之间的电场强度为rελE 0π2=根据电势差的定义有120212ln π2d 21R R ελU R R =⋅=⎰l E 解得 1812120m C 101.2ln/π2--⋅⨯==R R U ελ (2) 解得两圆柱面之间r ＝0.05m 处的电场强度10m V 7475π2-⋅==rελE 5 －31 轻原子核(如氢及其同位素氘、氚的原子核)结合成为较重原子核的。

大学物理下电磁感应习题册讲解

螺绕环的自感电动势为
0 N 2 a 2 I 0 dI L L cos t dt 2R
2．如图5-9所示直角三角形金属PQS框放在均匀磁场
B 中，B 平行于边PQ，PQ边长为b，PQ边与QS边夹
角为，当金属框绕PQ边以角速度转动时，求（1）回路的总感应电动势；（2）各边的感应电动势。答案：（1） 0 S P 1 0 （2）PQ边： PS边： 2 1 Bb2 tan 2 2 QS边： 3 1 Bb2 tan2 2
所以 BACB
Ibv d a a (ln ) 2 a d d a
解2：用法拉第电磁感应定律求解
任意时刻B点距载流导线d+vt A b x I tan B a r (d vt ) 2 r I b x B C d Bxdr I b (r d vt )dr a d+vt 2 r a r d vt a I b d (r d vt )dr d vt 2 r a Ib Ib d vt a (d vt ) ln 2 2 a d vt d Ibv d a a (ln ) dt t 0 2a d d a 方向顺时针
d d d i B S n b 2 B cos t dt dt dt i n b2 B n b2 B sin t i sin t R R
2R

B

b
A
图 5-12
n b 2 B i sin t R R
垂直。假定有一个面积为A（很小）的小铜环固定在该转动线圈的圆心上，环面与磁场垂直，如图所示，求在小铜环内产生的感应电动势（忽略小铜环对圆形线圈的感应）。 2 2 答案： 0 n b BA cos 2t

大学物理习题电磁学习题解答(很全)

1.6 1019 (0.529 1010）2
5.141011伏 / 米或牛顿/ 库仑
5. 两个点电荷，q1 ＝＋8.0微库仑，q2= - 16.0微库仑（1微库仑＝10－6库仑），相距20厘米。求离它们都是20厘米处的电场强度E。
解：依题意，作如图所示：
E1

q1
4 0r12
1.6301019 (库仑）
4. 根据经典理论，在正常状态下，氢原子绕核作圆周运动，其轨道半径为5.29 10-11米。已知质子电荷为e＝1.60 10－19库，求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。
解：电子所在处的原子核（即质子）的电场由：
E

q
4 0r 2
9.0 109
1.17 10 29 (m / s2 )
6. 铁原子核里两质子间相距4.0 10-15米，每个质子带电 e=1.60 10-19库，（1）求它们之间的库仑力；（2）比较这力与每个质子所受重力的大小。
解：（1）它们之间的库仑力大小为：
F

e2
4 0r2

9.0
109

(1.61019 )2 (4.091015 )2
解：（1）从上题中得知： α粒子受的万有引力可以忽略，它受的库仑力为：
F
（42q）1q02rα2粒子9.0的1加09速度(7为9 ：1.6
1019 ) (2 1.6 (6.9 1015 )2
1019
)
2

7.84 102 ( N )
a
F m

7.84 10 2 6.68 10 27
解：设油滴带电量为q，有电场力格重力平衡条件：qE＝mg
得：

大学物理(电磁学部分)试题库及答案解析

大学物理（电磁学部分）试题库及答案解析一、选择题1.库仑定律的适用范围是()A 真空中两个带电球体间的相互作用； ()B 真空中任意带电体间的相互作用； ()C 真空中两个正点电荷间的相互作用； ()D 真空中两个带电体的大小远小于它们之间的距离。

〔 D 〕2.在等量同种点电荷连线的中垂线上有A 、B 两点,如图所示，下列结论正确的是()A A B E E ，方向相同；()B A E 不可能等于B E ,但方向相同；()C A E 和B E 大小可能相等，方向相同；()D A E 和B E 大小可能相等，方向不相同。

〔 C 〕4.下列哪一种说法正确()A 电荷在电场中某点受到的电场力很大,该点的电场强度一定很大；()B 在某一点电荷附近的任一点,若没放试验电荷,则这点的电场强度为零；()C 若把质量为m 的点电荷q 放在一电场中,由静止状态释放,电荷一定沿电场线运动；()D 电场线上任意一点的切线方向,代表点电荷q 在该点获得加速度的方向。

〔 D 〕5.带电粒子在电场中运动时()A 速度总沿着电场线的切线，加速度不一定沿电场线切线；()B 加速度总沿着电场线的切线，速度不一定沿电场线切线；()C 速度和加速度都沿着电场线的切线；()D 速度和加速度都不一定沿着电场线的切线。

〔 B 〕7．在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是A.通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的B.封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的C.由高斯定理求得的场强仅由面内电荷所激发的D.由高斯定理求得的场强是空间所有电荷共同激发的〔 D 〕9、下面说法正确的是(A)等势面上各点场强的大小一定相等；(B)在电势高处，电势能也一定高；(C)场强大处，电势一定高；(D)场强的方向总是从电势高处指向低处〔 D 〕10、已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零，则可肯定：（A ）高斯面上各点场强均为零。

（B ）穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。

大学物理第14章电磁感应题解

长的长方形狭条的磁通量为dxdxdidxdtdt143如附图所示把一半径为的半圆形导线置于磁感应强度为的均匀磁场中当导线以速率v水平向右平动时求导线中感应电动势opbrv半圆方向由v点电势高
第 14 章
电磁感应
14-1 如附图所示，一根无限长平行直导线载有电流 I ，一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动，则线圈中感应电流方向如何？答：当以 v 运动远离直导线，通过线圈的磁通量减少，由楞次定律，感应电流所产生的电场将反抗这种变化，故感应电流为顺时针。
解：建立如图示直角坐标系，任意时刻B点与长直导线之间的距离为r。任意时刻矩形ABCD中的磁通量为：

r b r
μ0 I μ Ia r b adx 0 ln 2 πx 2π r
所以，矩形形线圈ABCD内的感应电动势的大小为：

d d dr dt dr dt

r d
μ0 I vab 2πd d b
2 R μ I μ I2 Wm dWm 02 4 r 2 2 πrdr 0 0 8π R 16 π 上述结果仅为单位长度载流导线内所具有的磁场能量，它是总磁场能量的一部分，总能量还应包括导线外磁场所储存的磁能。
R ×
×
O
I×
×
B
F
I ×
×
×
v
此时
I=

×
R

Blv R
M
x
B 2l 2 v MN 所受安培力为 F BIl R
由牛二定律
dv B 2l 2 v F ma m dt R
2 2 t B l dv v0 v 0 mR dt v B 2l 2 ln t v0 mR v

大学物理专业《电磁学》静电场部分例题分析

E

2 0
Q
A
d

Q 2 0 S
F A QE Q
Q 2 0 S

Q
2
Q
B
2 0 S
E
同理
FB
Q
2
2 0 S
1 2
0

Q
0S
2
（2）
W e W 2 W1
0E V
2
We
1 Q d 2 0S
例15 如图所示，无限长均匀带电细直线，其带电线密度为。在距离无限长带电直线为 d 处有一带电荷为 q ，长为 L 的细线。求带电细线所受的电场力大小和方向 1 高斯定理 E dS qi
E
x
2 0
(
1 x
2
1
1 x R
2 2 0
)

2 0
(1
讨论
1 R
)
2 0
x
2
x R 0
E

2 0
q
2
无限大均匀带电平面的电场强度（点电荷电场强度）
R0 x
2
x R 0 E
(1 R0 x
2 1 2
4π 0 x
1 1 2
2
)

2

例9 一平板空气电容器的两极板都是半径为 r 的圆形导体板，在充电时，板间电场强度的变化率为 dE dt ，若略去边缘效应，则两极板间的位移电流为( ) （A）
（D）
P 3 0
例8 如图所示，有一半径为 R 的均匀电介质球，沿直径方向被均匀极化，极化强度 P 为恒量，那么该介质球体 en 内的电场强度为（）解答：如图所示

大学物理习题电磁学习题解答

E
B
t
E
B t
E E
E
E
解：任取一电场线作闭合回路，可求出离轴线为r
处的感生电场E的大小为：
i
E

E感
1
2r

dl Edl

S
B t

dS

2rE

S
B t

dS
（1）当r<R，
S
B t

dS

S
B t

dB
d
dB
P.
Bab Bcd 2Bab
而 o Ii oi ab
B

1 2
oi
c
与P点到平板的距离无关。
i
i
dB
... .
dl
....
dl
.
. B oi B0 B 0i
•
×
0 0i 0
×
a
B
b
25
例9. 求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径

dB cos
Idl r Idl

r
动画
cos R
r
B

o 4
I cos dl r2
2R

0
4
(

x2
o IR R2
)3/
2
dl
B

2(

x2
o IR2 R2 )3
/
2
方向沿 x 轴正向！
10
讨论
B

0IR2 2(x2 R2)3/ 2

大学物理第八章电磁感应部分的习题及答案

第八章电磁感应一、简答题1、简述电磁感应定律答：当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，不论这种变化是什么原因引起的，回路中都会建立起感应电动势，且此感应电动势等于磁通量对时间变化率的负值，即dtd i φε-=。

2、简述动生电动势和感生电动势答：由于回路所围面积的变化或面积取向变化而引起的感应电动势称为动生电动势。

由于磁感强度变化而引起的感应电动势称为感生电动势。

3、简述自感和互感答：某回路的自感在数值上等于回路中的电流为一个单位时，穿过此回路所围成面积的磁通量，即LI LI =Φ=Φ。

两个线圈的互感M M 值在数值上等于其中一个线圈中的电流为一单位时，穿过另一个线圈所围成面积的磁通量，即212121MI MI ==φφ或。

4、简述感应电场与静电场的区别？答：感生电场和静电场的区别5、写出麦克斯韦电磁场方程的积分形式。

答：⎰⎰==⋅svqdv ds D ρdS tB l E sL⋅∂∂-=⋅⎰⎰d0d =⋅⎰S S B dS t D j l H s l ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰d6、简述产生动生电动势物理本质答：在磁场中导体作切割磁力线运动时，其自由电子受洛仑滋力的作用，从而在导体两端产生电势差7、简述何谓楞次定律答：闭合的导线回路中所出现的感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁感应的原因（反抗相对运动、磁场变化或线圈变形等）.这个规律就叫做楞次定律。

二、选择题1、有一圆形线圈在均匀磁场中做下列几种运动，那种情况在线圈中会产生感应电流 ( D )A 、线圈平面法线沿磁场方向平移B 、线圈平面法线沿垂直于磁场方向平移C 、线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行D 、线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直2、对于位移电流，下列四种说法中哪一种说法是正确的 ( A ) A 、位移电流的实质是变化的电场 B 、位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷 C 、位移电流服从传导电流遵循的所有规律 D 、位移电流的磁效应不服从安培环路定理3、下列概念正确的是 ( B )。

大学物理电磁学部分练习题讲解