常微分方程 §3.3 解过初值的连续性和可微性

2012-8-5 常微分方程
a x b.
思路分析：
y
min( , / 2)
D
y0
y0
p( x0 , y0 )
G
0
2012-8-5
a
x0x0
常微分方程
b
x
y 记积分曲线段S： ( x, x0 , y0 ) ( x ), x [a, b] (见下图) 显然S是xy平面上的有界闭集.
a
S : y ( x , x0 , y0 )
b
( x0 , y0 )
x
y
G
D
m in ( , / 2 )
y0
p( x0 , y0 )
0
2012-8-5
a
x0
常微分方程
b
x
第二步:证明 ( x) ( x, x0 , y0 ) 在[a,b]上有定义.
y
D
min( , / 2)
Q1: 解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 ( x0 , y0 ) 的
微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容
包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小? Q2: 解在某个无限闭区间 [a, )上有定义,讨论初值 ( x0 , y0 ) 的微小变化是否仍有解在 [a, ) 上有定义,且解在整个
L x x0
两边取平方根即得
( x ) ( x ) ( x0 ) ( x0 ) e
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,
x [ a , b ],
2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理)
方程
dy dx f ( x, y) , ( x, y) G R
2
(1)
条件: I. f ( x , y ) 在G内连续且关于 y 满足局部Lips.条件; ( II. y ( x, x , y )是(1)满足 x0 , y0 ) G 的解,定义
§3.3 解对初值的连续性和可微性定理
2012-8-5
常微分方程
考察
dy f ( x, y ) , dx y( x ) y 0 0
( x, y ) G R
2
(1)
的解 y ( x, x0 , y0 ) 对初值的一些基本性质
内容:
解对初值的连续性
解对初值和参数的连续性
( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 )
'
的解 y ( x , x 0 , y 0 ) 都在区间 [ a , b ]上存在 , 并且
( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) ,
则称初值问题 连续依赖于初值
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x [a, b]
( 3 . 1) 的解 y ( x , x 0 , y 0 ) 在点 ( x 0 , y 0 )
0 0
解可看成是关于 x, x0 , y0
( x1 , y1 )
x
( x0 , y0 )
解对初值的对称性:
y ( x , x0 , y0 )
前提 解存在唯一
y0 ( x0 , x, y )
Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?
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当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？ 常微分方程
'
( x 0 , y 0 ).
常微分方程
引理
如果函数 f ( x, y )于某域G内连续，且关于 y 满足利普
dy dx f ( x, y ) 的任
希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程
意两个解 ( x ) 及 ( x) ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 ( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e L x x .其中 x0 为所考虑
y0
y0
p( x0 , y0 )
G
0
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c a
假定 [ c , d ] [ a , b ]利用引理2及 ( x ) 的连续性可得: 常微分方程
(x) (x) ,
c x d (* )
x0 x0
b d
x
第三步:证明 ( x ) ( x ) ,

( x0 , y0 ) R
( x ) ( x ) ( x0 ) ( x0 ) e
L x x0
L x x0
( ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) )e
( y 0 y 0 ( x0 ) ( x0 ) )e
于是
d dx
(V ( x ) e
2 Lx
)0
因对 x 0 [ a , b ]有
V ( x ) V ( x0 )e
2 L ( x x0 )
,
x0 x b
对 a x x 0 类似可证 ， 因此
V ( x ) V ( x0 )e
2 L x x0
,
x [ a , b ],
区间 [a, ) 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性
问题,将在第六章中讨论.
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一
解对初值的连续性
1.解对初值的连续依赖性 定义 设初值问题
dy f ( x, y ) , dx y ( x0 ) y0 ( 3 . 1)
的解 y ( x , x 0 , y 0 ) 在区间 [ a , b ]上存在 ,
2
(1)
f ( x , y ) 在G内连续且关于 y 满足局部Lips.条件;
y ( x , x0 , y0 ), ( x0 , y0 ) G ,作为x , x0 , y0的函数
在它的存在范围内是连续的.
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常微分方程
证明 对 ( x 0 , y 0 ) G , ( 3 . 1) 过 ( x 0 , y 0 )的饱和解
2012-8-5 常微分方程 2 ( ( x ) ( x )) ( f ( x , ( x )) f ( x , ( x ))
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V ( x) 2( ( x) ( x))( f ( x, ( x)) f ( x, ( x))
'
2 ( ( x ) ( x )) L ( ( x ) ( x )) 2 LV ( x )
0 0
区间为[a,b]. 结论: 对 0 , ( , a, b) 0使得当
( x0 x0 ) ( y0 y0 )
2 2 2
时,方程(1)过点 ( x0 , y0 ) 的解 y ( x, x0 , y0 ) 在[a,b]上也有 定义,且 ( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) ,
a xb
在不等式(*)中将区间[c,d] 换成[a,b]即得. 由于 ( x ) 连续 1 L (b a ) 对 1 e , 2 , 当 x x 0 2时 , ( x ) ( x 0 ) 1 2 2 2 2 R : ( x x 0 ) ( y y 0 ) , 0 min{ 1 , 2 }
证明 由 ( 3 . 1) 满足 y ( x 0 ) y 0的解存在区间内任取一
y 1 ( x1 , x 0 , y 0 ),
值 x1 ,
则由解的唯一性知,
,
( 3 . 1) 过点 ( x1 , y 1 ) 与过点 ( x 0 , y 0 )的解是同一条积分曲线
即此解也可写成: 且显然有:
y ( x , x 0 , y 0 ) 定义于 ( x 0 , y 0 ) x ( x 0 , y 0 ) 上 ,
令V {( x , x 0 , y 0 ) | ( x 0 , y 0 ) x ( x 0 , y 0 ), ( x 0 , y 0 ) G },
解对初值的可微性
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y ( x, x0 , y0 )

图例分析(见右)
dy f ( x, y ) , dx y( x ) y 0 0 ( x, y ) G R
2
y
( x0 , y0 )
G
初值问题的解不单依赖于自变量x , dy y ( x, x , y ) x 同时也依赖于初值 ( )0 0 的三元函数 y (xx,x0y, y0, yy) .y e x x 0 0 例: d 初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动. 满足 y0 ( x,yx(0x 0y)0 ) y 0 0 ………… ,
第一步:找区域D,使 S D ,且 f ( x , y ) 在D上满足Lips.条件.
由已知条件,对 ( x , y ) S ,存在以它为中心的圆 C i G ,使 f ( x , y ) 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 L i.根据有限
覆盖定理,存在N,当G C i 时,有 S
如果对 0 , ( , a , b ) 0 , 使得对于满足
( x0 x0 ) ( y0 y0 )
2 2
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2
的一切 ( x 0 , y 0 ),
常微分方程
初值问题
dy f ( x, y ) , dx y ( x0 ) y0 ( 3 . 1)
x x 2时
( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 )
取 min{ 1 , 2 }, 则只要

2
,
x, x [a, b]
( x x ) ( x 0 x 0 ) ( y 0 y 0 ) , 就有
2 2 2 2
( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 )
0
区间内的某一值。
证明 设 ( x), ( x)在区间[a, b]上均有定义, 令 2 V ( x ) ( ( x ) ( x )) , x [ a , b ] 则 ' V ( x ) 2 ( ( x ) ( x )) ( ' ( x ) ' ( x ))
i 1 N
G G
Ci
对
0
,记
y
d ( G , S ), m in , / 2 L m ax L1 , , L N
G
G
则以 为半径的圆,当其圆心从S的 左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D 2012-8-5 常微分方程
下证 y ( x , x 0 , y 0 ) 在 V 内连续 ,
对 ( x, x0 , y0 ) V , [ a , b ], 使 y ( x , x 0 , y 0 ) 在 [ a , b ]上有定义 , 其中 x , x 0 [ a , b ]
对 0 , 1 0 , 使当
因此关系式 点 ( x , y ) 均成立 。
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y ( x , x1 , y 1 ),
y 0 ( x 0 , x1 , y 1 ),
,
由于点 ( x1 , y 1 ) 是积分曲线上任一点
y 0 ( x 0 , x , y ) 对该积分曲线上任意
常微分方程
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:
( x0 x0 ) ( y0 y0 ) 1 ,时
2 2 2
( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 )
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2
,
x [a, b]
而 y ( x , x 0 , y 0 ) 在 x [ a , b ]连续 ,
故 2 0 , 使当
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L (b a )
( 1 ) e
L (b a )
2 1e
常微分方程
L (b a )

根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:
3 定理2 方程 条件: 结论:
dy dx
(解对初值的连续性定理)
f ( x, y) , ( x, y) G R