专题20-平面向量的数量积及向量的应用知识点

…
| a | x12 y12 ， 或 | AB || AB | (x3 x4 )2 ( y3 y4 )2 （其中 A, B 两点的坐标分别为 (x3, y3 ), (x4 , y4 ) ）
（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建wk.baidu.com平面直 角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.
A．
B．
C．
D．
4．已知向量 a=(1,2)，b=(1,1)，且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 满足
,
A．λ<−
B．λ>−
C．λ>− 且 λ≠0
D．λ<− 且 λ≠−5
5．如图,在边长为 3 的正方形
中 与 交于点
则
.
6．(2016 年高考新课标Ⅲ卷) 已知向量 BA (1 , 3 ) , BC ( 3 , 1), 则 ABC
22
22
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
7．（2017 年高考天津卷）在△ABC 中，∠A 60 ， AB 3， AC 2 ．若 BD 2DC ， AE AC AB( R) ，且 AD AE 4 ，则 的值为___________．
8．（2017 年高考山东卷）已知 e1, e2 是互相垂直的单位向量，若 3e1 e2 与 e1 e2 的夹角为 60 ，则实数
三、平面向量的应用 1．向量在平面几何中常见的应用
已知 a (x1, y1), b (x2 , y2 ) .
{
（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：
a∥b a b x1 y2 x2 y1 0(b 0)
（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂 直的条件：
的值是___________． 9．（2016 年高考新课标Ⅰ卷）设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=___________．
2．向量在物理中常见的应用
（1）向量与力、速度、加速度及位移 （2）向量与功、动量
\
1．已知向量 a, b 的夹角为,且,则 等于
A．
B．
C．
D．
2．已知向量 a ， b 的夹角为 2π ，且 a 2 ， b 4 ，则 2a b 在 a 方向上的投影为 3
A．2
B．4
C．6
D．8
3．若向量 a, b 满足 | a || b | 1,且 a (a b) 1 ,则向量 与 的夹角为 2
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到 a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与 b 在 a 方向上的投 影 | b | cos 的乘积.
2．平面向量数量积的运算律
已知向量 a, b, c 和实数 ,则
?
①交换律： a b ba ；
②数乘结合律： (a) b (a b) = a (b) ；
考点 20 平面向量的数量积及向量的应用
一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念
已知两个非零向量 a, b ，我们把数量| a || b | cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b ,即 a b | a || b | cos ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角.
③分配律： (a b) c = a c b c .
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量 a (x1, y1), b (x2 , y2 ) ， 是 a 与 b 的夹角.
（1）数量积： a b | a || b | cos x1x2 y1 y2 .
（2）模：| a | a a x12 y12 .
【注】零向量与任一向量的数量积为 0. （2）投影的概念
/
设非零向量 a 与 b 的夹角是 θ，则| a | cos ( | b | cos )叫做向量 a 在 b 方向上( b 在 a 方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量 a 与 b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 a 在 b 方向上的投 影的情形，其中 OB1 | a | cos ，它的意义是，向量 a 在向量 b 方向上的投影长是向量 OB1 的长度.
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0 （其中 a, b 为非零向量）
（3）求夹角问题，若向量 a 与 b 的夹角为 ，利用夹角公式：
cos a b
x1x2 y1 y2
（其中 a, b 为非零向量）
| a || b |
x12 y12 x22 y22
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：
？
（3）夹角： cos a b
x1x2 y1 y2
.
| a || b |
x12 y12 x22 y22
（4）垂直与平行： a b a b 0 x1x2 y1 y2 0 ；a∥b⇔a·b=±|a||b|.
【注】当 a 与 b 同向时, a b | a || b | ；当 a 与 b 反向时, a b | a || b | . （5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔| x1x2 y1y2 | x12 y12 x22 y22 .