专题20-平面向量的数量积及向量的应用知识点
平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
平面向量的数量积与应用知识点总结
平面向量的数量积与应用知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，涉及到许多与力学、几何等学科相关的应用。
其中，数量积是平面向量运算中的一种重要操作，具有广泛的应用价值。
本文将对平面向量的数量积以及其应用知识点进行总结。
一、平面向量的数量积数量积，又称点积或内积，是平面向量运算中的一种形式。
对于平面内的两个向量a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，它们的数量积定义为：a·b = a1*b1 + a2*b2其中，a1 和 b1 是向量 a 和 b 在同一方向上的投影长度，a2 和 b2 是它们在另一方向上的投影长度。
数量积具有以下特性：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为0的判定：如果 a·b = 0，则两个向量 a 和 b 垂直。
4. 数量积为正负的判定：如果 a·b > 0，则两个向量 a 和 b 的夹角小于 90 度；如果 a·b < 0，则两个向量 a 和 b 的夹角大于 90 度。
二、数量积的应用知识点1. 向量的模长根据数量积的定义，可以得到两个向量 a 和 b 的数量积可以表示为：a·a = ||a||^2其中，||a|| 表示向量 a 的模长，也称为向量 a 的长度。
因此，根据以上公式可以计算向量的模长。
2. 向量夹角的计算利用数量积的特性，可以计算两个向量 a 和 b 之间的夹角θ，公式如下：cosθ = (a·b) / (||a|| * ||b||)利用这个公式，可以计算任意两个向量之间的夹角。
3. 向量投影考虑一个向量 a 在另一个向量 b 上的投影，可以根据数量积得到投影的长度：proj_b(a) = (a·b) / ||b||这个投影长度表示了向量 a 在向量 b 上的投影长度，可以用于求解各种问题。
平面向量的数量积与向量积的应用的应用
平面向量的数量积与向量积的应用的应用平面向量的数量积与向量积的应用平面向量是解决平面几何问题的重要工具，其数量积与向量积是常用的运算符号。
本文将探讨平面向量的数量积与向量积的应用，并运用相应的公式进行详细计算和论证。
一、平面向量的数量积的应用平面向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算，表示了向量之间的夹角关系。
数量积的应用广泛，包括计算向量的模长、求解向量的夹角、判定向量是否垂直或平行等。
1. 求解向量的模长对于平面向量a，其模长可以通过数量积求解。
设a = (a₁, a₂)，则a的模长|a| = √(a₁² + a₂²)。
2. 求解向量的夹角对于平面向量a和b，它们的夹角θ可以通过数量积求解。
设a = (a₁, a₂)和b = (b₁, b₂)，则a与b的夹角θ的余弦值可以表示为cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)。
通过求解cosθ，我们可以进一步求解夹角θ。
3. 判定向量是否垂直或平行若两个向量a和b的数量积等于0，即a·b = 0，则a与b垂直。
若数量积不等于0，即a·b ≠ 0，则a与b不垂直。
另外，如果两个向量的数量积等于a和b的模长之积，即a·b = |a|·|b|，则a与b平行。
二、平面向量的向量积的应用平面向量的向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种运算，表示了向量之间的方向关系。
向量积的应用主要涉及到平行四边形面积、垂直判定以及向量的混合积的计算。
1. 平行四边形面积对于平面向量a和b，它们的向量积a×b的模长等于a和b所构成的平行四边形的面积。
即|a×b| = |a|·|b|·sinθ，在计算时取正值即可。
2. 垂直判定若两个向量a和b的向量积等于0，即a×b = 0，则a与b平行或共线。
若向量积不等于0，即a×b ≠ 0，则a与b垂直。
平面向量的数量积及应用
平面向量的数量积及应用复习一、知识要点： 1．向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，a ，b 垂直。
2．平面向量的数量积：定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ 叫作a 与b的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. 3．向量的数量积的性质：①设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： 0a b a b ⊥⇔•=； ②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =•==； 当a 与b 反向时，a •b ＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a bθ•=；④||||||a b a b •≤。
⑤e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量); 4．平面向量数量积的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．(1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝2a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)| a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.5．平面向量数量积的运算律：(1) a ·b ＝b ·a (交换律)． (2)λa ·b ＝λ(a b b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)( a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 6．重要结论:①向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别地()()AB AC AB AC ABACABAC+⊥-。
平面向量的数量积及其应用
突破点(一) 平面向量的数量积1．向量的夹角；21.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．2．根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．[典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12(2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且u u u r BE ＝23u u u r BC ，u u u r DF ＝16u u u r DC ，则u u u r AE ·u u u r AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. (2)取u u u r BA ，u u u r BC 为一组基底，则u u u r AE ＝u u u r BE －u u u r BA ＝23u u u r BC －u u u r BA ，u u u r AF ＝u u u r AB ＋u u u r BC ＋u u u r CF ＝－u u u r BA ＋u u u r BC ＋512u u u r BA ＝－712u u u r BA ＋u u u r BC ，∴u u u r AE ·u u u r AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 u u u r BC －u u u r BA ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712 u u u r BA ＋u u u r BC ＝712|u u u r BA |2－2518u u u r BA ·u u u r BC ＋23|u u u r BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918[易错提醒](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二) 平面向量数量积的应用 的关系1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足u u u r AB ＝2a ，u u u r AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥u u u r BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又u u u r AB ＝2a 且|u u u r AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·u u u r BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥u u u r BC ，D 正确，故选D.(2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0.∴k ＝3.[答案] (1)D (2)C[易错提醒]x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a 2＝a ·a ＝|a |2； (2)|a ±b |＝a ±b 2＝a 2±2a ·b ＋b 2.[例2] (1)(2017·衡水模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( ) A ．2 B ．6 C ．2 3 D ．12(2)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. [解析] (1)|4a －b |2＝16a 2＋b 2－8a ·b ＝16×1＋4－8×1×2×cos π3＝12.∴|4a －b |＝2 3. (2)∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°.由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.[答案] (1)C (2)233 [方法技巧] 求向量模的常用方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.(2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．平面向量的夹角问题第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步 分别求出这两个向量的模第三步 根据公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解出这两个向量夹角的余弦值 第四步 根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝22|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) D ．π(2)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.[解析] (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)∵a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－2×3×1×13＝8， a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8，∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.[易错提醒](1)向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线．(2)向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线．突破点(三) 平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.[例1] 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R.(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)， 所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1. 又0<A <π，故π3<2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②，可得b ＝3，c ＝2. [方法技巧]平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．(2)向量的模与三角函数综合：此类题型主要是利用向量模的性质|a |2＝a 2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．[例2] (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若u u u r AC ·u u u r BE ＝1, 则AB的长为________．(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若u u u r AE ·u u u r AF ＝1，则 λ的值为________． [解析] (1)设|u u u r AB |＝x ，x ＞0，则u u u r AB ·u u u r AD ＝12x .又u u u r AC ·u u u r BE ＝(u u u r AD ＋u u u r AB )·(u u u r AD －12u u u r AB )＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. (2)由题意可得u u u r AB ·u u u r AD ＝|u u u r AB |·|u u u r AD |cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2， 在菱形ABCD 中，易知u u u r AB ＝u u u r DC ，u u u r AD ＝u u u r BC ， 所以u u u r AE ＝u u u r AB ＋u u u r BE ＝u u u r AB ＋13u u u r AD ，u u u r AF ＝u u u r AD ＋u u u r DF ＝1λu u u r AB ＋u u u r AD ， u u u r AE ·u u u r AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u u u r AB ＋13 u u u r AD ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ u u u r AB ＋u u u r AD ＝4λ＋43－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ＝1，解得λ＝2.[答案](1)12 (2)2 [方法技巧]平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．[检验高考能力]一、选择题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－1解析：选A 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3. 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，u u u r AB ＝(1，－2)，u u u r AD ＝(2,1)，则u u u r AD ·u u u r AC ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：选A 由四边形ABCD 是平行四边形，知u u u r AC ＝u u u r AB ＋u u u r AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故u u u r AD ·u u u r AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( )A ．(3，－6)B ．(－3,6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋2λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，故选A.4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94 解析：选B ∵n⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0，即t m·n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B. 5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则u u u r AF ·u u u r BC 的值为( )A ．－58 解析：选B 如图所示，u u u r AF ＝u u u r AD ＋u u u r DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以u u u r AD ＝12u u u r AB ，u u u r DF ＝12u u u r AC ＋14u u u r AC ＝34u u u r AC ，所以u u u r AF ＝12u u u r AB ＋34u u u r AC .又u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ，则u u u r AF ·u u u r BC ＝12u u u r AB ＋34u u u r AC ·(u u u r AC －u u u r AB )＝12u u u r AB ·u u u r AC －12u u u r AB 2＋34u u u r AC 2－34u u u r AC ·u u u r AB ＝34u u u r AC 2－12u u u r AB 2－14u u u r AC ·u u u r AB .又|u u u r AB |＝|u u u r AC |＝1，∠BAC ＝60°，故u u u r AF ·u u u r BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. 6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足u u u r AP ＝λu u u r AB ，uuu r AQ ＝(1－λ)u u u r AC ，λ∈R ，若uuu r BQ ·uuu r CP ＝－32，则λ＝( )解析：选 A ∵uuu r BQ ＝uuu r AQ －u u u r AB ＝(1－λ)u u u r AC －u u u r AB ，uuu r CP ＝u u u r AP －u u u r AC ＝λu u u r AB －u u u r AC ，又uuu r BQ ·uuu r CP ＝－32，|u u u r AB |＝|u u u r AC |＝2，A ＝60°，u u u r AB ·u u u r AC ＝|u u u r AB |·|u u u r AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ)u u u r AC －u u u r AB ]·(λu u u r AB －u u u r AC )＝－32，即λ|u u u r AB |2＋(λ2－λ－1)u u u r AB ·u u u r AC ＋(1－λ)|u u u r AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12. 二、填空题7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.答案：828．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.答案：2π39．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则u u u u r AM ·u u u u r AN 的最大值为________． 解析：设u u u u r AN ＝λu u u r AB ＋μu u u r AD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.u u u u r AM ＝u u u r AD ＋12u u u r DC ＝12u u u r AB ＋u u u r AD .所以u u u u r AM ·u u u u r AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 u u u r AB ＋u u u r AD ·(λu u u r AB ＋μu u u r AD )＝λ2u u u r AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2u u u r AB ·u u u r AD ＋μu u u r AD 2＝λ2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤u u u u r AM ·u u u u r AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，u u u u r AM ·u u u u r AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．答案：9三、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m ||n |cos π3＝1×1×12＝12，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12. 12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小； (2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且u u u r CA ·(u u u r AB －u u u r AC )＝18，求边c 的长．解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π，∴sin(A ＋B )＝sin C ，∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵u u u r CA ·(u u u r AB －u u u r AC )＝18，∴u u u r CA ·uuu r CB ＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。
高中数学知识点总结平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影
高中数学知识点总结平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影高中数学知识点总结：平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它能够用来描述空间中的位置和方向。
平面向量的数量积与向量的投影是平面向量的重要运算和应用。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量的投影，并探讨其在几何问题中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积，它是两个向量之间的一种运算。
设有两个平面向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
1. 数量积的定义数量积的定义如下：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 数量积的性质数量积具有以下性质：（1）a·b = b·a，即数量积满足交换律。
（2）a·a = |a|^2，即一个向量与自身的数量积等于它的模长的平方。
（3）a·b = 0，当且仅当a和b垂直。
3. 数量积的应用数量积在几何问题中有广泛的应用，包括求向量夹角、判断向量垂直和平行关系，以及求向量投影等。
（1）求向量夹角利用数量积的定义，可以得到以下结论：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)通过以上公式，可以求得向量a和向量b的夹角θ的余弦值，然后进一步求得夹角θ。
（2）判断向量垂直和平行关系设有两个非零向量a和b，利用数量积可以得到以下结论：（i）若a·b = 0，则向量a和向量b垂直。
（ii）若a·b = |a| * |b|，则向量a和向量b平行。
通过以上结论，可以判断两个向量之间的垂直和平行关系。
（3）求向量投影向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。
设有非零向量a和向量b，向量a在向量b上的投影表示为proj_b a，其计算公式如下：proj_b a = (a·b) / |b|通过这个公式，可以求得向量a在向量b上的投影。
高中几何知识解析向量的数量积与向量积在空间中的应用
高中几何知识解析向量的数量积与向量积在空间中的应用向量是几何学中一种常见的数学对象，它不仅可以用来表示空间中的定位和运动，还可以进行各种运算和应用。
在高中几何知识中，向量的数量积与向量积是两个重要的概念。
本文将详细解析这两个概念，并探讨它们在空间中的应用。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积或点积，表示了两个向量之间的相对方向和大小关系。
设有两个向量a（a₁, a₂, a₃）和b（b₁, b₂, b₃），它们的数量积记作a·b，计算公式如下：a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃根据计算公式，我们可以得到一些有用的性质。
首先，当两个向量垂直时，它们的数量积为0，即a·b=0。
其次，数量积还可以表示两个向量之间夹角的余弦值，具体表达式如下：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中，θ表示向量a和b之间夹角的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
在实际应用中，数量积可以用来求解向量的投影、判断向量的垂直关系等。
例如，给定一个向量a和一个单位向量u，我们可以通过计算数量积来求得a在u方向上的投影。
具体计算方法如下：projₓᵤa = (a·u) u其中，pr ojₓᵤa表示向量a在u方向上的投影。
二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，表示了两个向量之间的相对方向和大小关系。
设有两个向量a（a₁, a₂, a₃）和b（b₁, b₂, b₃），它们的向量积记作a×b，计算公式如下：a×b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)向量积的大小可以通过计算它的模长得到，具体计算公式如下：|a×b| = |a| |b| sinθ其中，θ表示向量a和b之间夹角的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
向量积在几何学和物理学中具有重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过向量积来求得两个向量所在平面的法向量。
高考数学考点专题：平面向量：平面向量的数量积及应用举例
平面向量的数量积及应用举例【考点梳理】1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 【教材改编】1．(必修4 P 104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则a·b 为( ) A ．10 3 B ．－10 3 C ．10 D ．－10[答案] D[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos 120°＝5×4×cos 120°＝20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－10.故选D.2．(必修4 P 107例6改编)设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，t )，若a ·b ＝－2，则t 的值为( )A ．－4B ．4 C.327 D ．－327 [答案] A[解析] 由a ·b ＝－2，得5×(－6)＋(－7)t ＝－2， －7t ＝28，∴t ＝－4，故选A.3．(必修4 P 108A 组T 6改编)已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] D[解析] cos θ＝a ·b |a|·|b |＝－632×6＝－32. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝5π6，故选D.4．(必修4 P 107练习T 2改编)设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6 B.10 C. 5 D ．10 [答案] D[解析] ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D.5．(必修4 P 119A 组T 10改编)已知△ABC 的三个顶点A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则最小角的余弦值为( )A.1010 B.31010C.13D.105 [答案] B[解析] 由图可知，显然C 为△ABC 的最小角，∵CA →＝(3，－3)，CB →＝(4，－2)，∴cos 〈CA →，CB →〉＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝1832·25＝31010.6．(必修4 P 105例3改编)已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] B[解析] (a ＋2b )·(a －3b )＝－18， ∴a 2－6b 2－a ·b ＝－18，∵|a |＝3，|b |＝2，∴9－24－a ·b ＝－18， ∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝36＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°.7．(必修4 P 110例2改编)△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC→＝2BD →，则AD →·BC→＝________. [答案] －83[解析] 由DC →＝2BD →得AD →＝13()AC →＋2AB →. ∴AD →·BC →＝13()AC →＋2AB →·(AC →－AB →)＝13()AC →2＋AC →·AB→－2AB →2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－12－2×22＝－83.8．(必修4 P106练习T3改编)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________．[答案] 1[解析] 由(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－a·c－b·c＋c2≤0，又a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，得－a·c－b·c≤－1，|a＋b－c|2＝(a＋b－c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b－a·c－b·c)＝3＋2(－a·c－b·c)≤3－2＝1，故|a＋b－c|的最大值为1.9．(必修4 P108A组T3改编)已知|a|＝2，|b|＝5，|a＋b|＝7，则a·b＝________.[答案] 10[解析] ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2a·b＋52＝29＋2a·b∴29＋2a·b＝49，∴a·b＝10.10．(必修4 P113A组T4改编)平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ 2 N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为________．[答案] 5 N[解析] 根据物理中力的平衡原理有F3＋F1＋F2＝0，∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2＝12＋(2)2＋2×1×2×cos 45°＝5.∴|F3|＝ 5.11．(必修4 P119B组T1(5)改编)若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，求a＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角．[解析] ∵|e 1|＝|e 2|＝1，且夹角θ＝60°， ∴|a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22 ＝4×12＋4×1×1×cos 60°＋12＝7. ∴|a |＝7.|b |2＝(－3e 1＋2e 2)2＝9e 21－12e 1·e 2＋4e 22 ＝9×12－12×1×1×cos 60°＋4×12＝7， ∴|b |＝7.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2) ＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－6×12＋1×1×cos 60°＋2×12＝－72， ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12. 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.故a 与b 的夹角为23π.。
平面向量的数量积与应用
向量夹角计算
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定义：两个非零向量的夹角是指它们所在的直线之间的夹角，取值范围为$[0^{\circ},180^{\circ}]$
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计算公式：$\cos\theta = \frac{\overset{\longrightarrow}{u} \cdot \overset{\longrightarrow}{v}}{|\overset{\longrightarrow}{u}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{v}|}$，其中 $\overset{\longrightarrow}{u}$和$\overset{\longrightarrow}{v}$是两个非零向量，$\theta$是它们的夹角
平面向量的数量积 与应用
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目录
平面向量的数量积概念 平面向量的数量积的应用
平面向量的数量积运算
平面向量的数量积的扩展 应用
01
平面向量的数量积 概念
定义与性质
定义：平面向量的数量积是 两个向量之间的点积，表示 为a·b，等于它们的模长和 夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和 分配律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
几何意义
平面向量的数量积表示向量在 平面上的投影长度
等于两个向量在垂直方向上的 投影的乘积
表示两个向量在平面上的夹角 大小
等于两个向量在水平方向上的 投影的乘积
运算性质
交换律：a · b = b · a 分配律：(a+b) · c = a · c + b · c 数乘性质：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) 向量数量积的性质：|a · b| ≤ |a| |b|
平面向量的数量积知识点整理
平面向量的数量积知识点整理1.定义与性质：-向量的数量积定义为：设有两个向量A=(A₁,A₂)和A=(A₁,A₂)，则它们的数量积定义为A·A=A₁A₁+A₂A₂。
-数量积的结果是一个实数。
2.计算方法：-垂直坐标法：直接计算坐标相乘再相加。
-几何解释法：通过几何图形来计算，利用向量的长度和夹角的三角函数关系。
-运算律：满足交换律、分配律和结合律。
3.辅助定理：-平行四边形法则（平行四边形法则）：设有向量A、A和A，则有A·A+A·A=A·(A+A)。
-向量延长线法则：设有向量A和向量A，则有A·A=A·A。
4.性质：-零向量性质：零向量与任何向量的数量积都等于0，即A·A=A。
-等量向量性质：等量向量的数量积等于它们的模长的乘积，即A·A=∣A∣∣A∣。
-单位向量性质：单位向量与任意向量的数量积等于原向量的模长乘以单位向量的模长，即A·A=∣A∣，其中A为单位向量。
-归一型：对于任何非零向量A，总是可以找到一个单位向量A，使得A=∣A∣A。
5.夹角与正交性：- 夹角余弦定理：设有向量A和向量A，则有A·A =∣A∣∣A∣cosθ，其中θ为A与A之间的夹角。
-夹角性质：若A·A=0，则A与A垂直，称为正交向量或垂直向量。
-垂直定理：当且仅当A·A=0时，A与A垂直。
6.平面向量能否为0？-若A·A=0，则向量A与向量A相互垂直。
-反之，若向量A与向量A相互垂直，则A·A=0。
7.一些常用公式的推导：- 向量投影：设有向量A和向量A，A为向量A在向量A上的投影，则有A = (∣A∣cosθ)A，其中θ为两向量之间的夹角，A为单位向量。
- 向量投影的计算公式：向量A在向量A上的投影A的大小为∣A∣cosθ，其中A为两向量之间的夹角。
8.应用：-判断两向量是否垂直。
2020年高考数学专题复习平面向量的数量积及应用举例
第3讲平面向量的数量积及应用举例1.向量的夹角2.平面向量的数量积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c ).( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( ) A ．－32B ．0C ．32D ．3解析：选A.依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A. 已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.(2019·温州市高考模拟)已知向量a ，b 满足|b |＝4，a 在b 方向上的投影是12，则a ·b＝________.解析：a 在b 方向上的投影是12，设θ为a 与b 的夹角，则|a |·cos θ＝12，a ·b ＝|a|·|b |·cos θ＝2.答案：2(2017·高考浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析：法一：(|a ＋b |＋|a －b |)2＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋2|a ＋b |·|a －b |＝2a 2＋2b 2＋2|a＋b |·|a －b |＝10＋2|a ＋b |·|a －b |，而|a ＋b |·|a －b |≥|(a ＋b )·(a －b )|＝|a 2－b 2|＝3，所以(|a ＋b |＋|a －b |)2≥16，即|a ＋b |＋|a －b |≥4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值为4.又|a ＋b |＋|a －b |2≤（a ＋b ）2＋（a －b ）22＝a 2＋b 2＝5，所以|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.法二：由向量三角不等式得，|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )－(a －b )|＝|2b |＝4.又|a ＋b |＋|a －b |2≤（a ＋b ）2＋（a －b ）22＝a 2＋b 2＝5，所以|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.答案：4 2 5平面向量数量积的运算(1)(2017·高考浙江卷) 如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 (1) 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角.根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.(2) 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B.【答案】 (1)C (2)B在本例(2)的条件下，若D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于________.解析：法一：(通性通法)因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝23，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB2－2BD ·AB ·cos 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22－2×23×2×12＝289，即AD ＝273，同理可得AE ＝273，在△ADE 中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝289＋289－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322×273×273＝1314，所以AD →·AE →＝|AD→|·|AE →|cos ∠DAE ＝273×273×1314＝269.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3＝269.答案：269(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.1.(2019·杭州中学高三月考)若A ，B ，C 三点不共线，|AB →|＝2，|CA →|＝3|CB →|，则CA →·CB →的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，3 解析：选D.设|CB →|＝x ，则|CA →|＝3|CB →|＝3x ，由于A ，B ，C 三点不共线，能构成三角形，如图：由三角形三边的性质得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x >23x ＋2>x x ＋2>3x，解得12<x <1，由余弦定理的推论得，cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝x 2＋9x 2－46x 2＝10x 2－46x2， 所以CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos C ＝3x 2×10x 2－46x2＝5x 2－2， 由12<x <1得，－34<5x 2－2<3， 故选D.2.已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a ·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：12平面向量的夹角与模(高频考点)平面向量的夹角与模是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.主要命题角度有：(1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题；(4)求参数值或范围.角度一 求两向量的夹角(2019·绍兴一中高三期中)若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】 因为|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |， 所以|a ＋b |2＝|a －b |2，两边平方 可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2， 化简可得a ·b ＝0，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则可得cos θ＝（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b|a ＋b ||a |＝|a |22|a |2＝12，又θ∈[0，π]，故θ＝π3. 【答案】 B角度二 求向量的模(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3【解析】 法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二：由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.【答案】 A角度三 两向量垂直问题已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.求k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?【解】 由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.因为(a ＋2b )⊥(k a －b )， 所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0，k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0. 所以k ＝－7.即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．角度四 求参数值或范围已知△ABC 是正三角形，若AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．【解析】 因为AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，所以(AC →－λAB →)·AC →<0，即|AC →|2－λ|AC →|·|AB →|cos 60°<0，解得λ>2.故填(2，＋∞)．【答案】 (2，＋∞)(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a ||b |，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝；(2)求向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积运算．②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．1．(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．解析：设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析：因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.答案：712向量数量积的综合应用(2019·金华十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 【解】 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin A2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，则∠A ＝________．解析：因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2 A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m |＝1，所以2m ·n ＋|m |＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.答案：5π122．(2017·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]， 所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.平面向量中的最值范围问题(1)(2019·杭州市高三模拟)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A ．54B ．154C ．174D ．174(2)(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]【解析】 (1)以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.(2)|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4，(|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.【答案】 (1)B (2)B求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值． 1．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是__________．解析：由a ·b ＝1，|a |＝1，|b |＝2可得两向量的夹角为60°，建立平面直角坐标系，可设a ＝(1，0)，b ＝(1，3)，e ＝(cos θ，sin θ)，则|a ·e |＋|b ·e |＝|cos θ|＋|cosθ＋3sin θ|≤|cos θ|＋|cos θ|＋3|sin θ|＝3|sin θ|＋2|cos θ|≤7，所以|a ·e |＋|b ·e |的最大值为7.答案：72．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之也不成立．易错防范(1)a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . (2)a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立． [基础达标]1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2解析：选B.n ·BC →＝n ·(BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2019·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0B ． 2C ．2D ．2 2解析：选C.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|2＝|DB →＋AC →|2＝|DB →|2＋|AC →|2＋2DB →·AC →＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB →－BC →＋AC →|＝2，故选C.3．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，且a ·c >0，b ·c >0.( )A ．若a ·b <0则x >0，y >0B ．若a ·b <0则x <0，y <0C ．若a ·b >0则x <0，y <0D ．若a ·b >0则x >0，y >0解析：选A.由a ·c >0，b ·c >0，若a ·b <0， 可举a ＝(1，1)，b ＝(－2，1)，c ＝(0，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝1>0，a ·b ＝－1<0， 由c ＝x a ＋y b ，即有0＝x －2y ，1＝x ＋y ， 解得x ＝23，y ＝13，则可排除B ；若a ·b >0，可举a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(1，1)，则a ·c ＝1>0，b ·c ＝3>0，a ·b ＝2>0，由c ＝x a ＋y b ，即有1＝x ＋2y ，1＝y ，解得x ＝－1，y ＝1， 则可排除C ，D.故选A.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥AB →.所以∠A ＝90°，又因为根据条件不能得到|AB →|＝|AC →|.故选C.5．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则DE →·FC →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.以A 为坐标原点，AB →、AD →方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F (1，0)，C (2，2)，D (0，2)，设E (λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE →＝(λ，λ－2)，FC →＝(1，2)，所以DE →·FC →＝3λ－4≤2.所以DE →·FC →的最大值为2.故选B.6．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ， 且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角， 即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.7．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么|a －2b |＝________．解析：因为平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，所以a ·b ＝4·4·cos 120°＝－8，所以|a －2b |＝（a －2b ）2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－4·（－8）＋4·16＝112＝47.答案：478．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3. a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π39. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为边CD 上一个动点，CQ →＝λQD →，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点．若λ＝1，则PA →·PD →的取值范围为________．解析：当λ＝1时，Q 为CD 的中点． 设AB →＝m ，AD →＝n ，BP →＝μBQ →(0≤μ≤1)．易知BQ →＝－12m ＋n ，AP →＝AB →＋BP →＝m ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ， DP →＝AP →－AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn －n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋(μ－1)n ，所以PA →·PD →＝AP →·DP →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋（μ－1）n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μ2＋4μ(μ－1)＝5μ2－8μ＋4.根据二次函数性质可知，当μ＝45时上式取得最小值45；当μ＝0时上式取得最大值4.所以PA →·PD →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4 10．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)·(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)11．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ， 即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.12．(2019·金华市东阳二中高三月考)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知b 2－2b ＋c 2＝0，求BC →·AO →的取值范围．解：因为O 是△ABC 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心， 如图所示，延长AO 交外接圆于点D .因为AD 是⊙O 的直径，所以∠ACD ＝∠ABD ＝90°. 所以cos ∠CAD ＝ACAD ，cos ∠BAD ＝AB AD. 所以AO →·BC →＝12AD →·(AC →－AB →)＝12AD →·AC →－12AD →·AB → ＝12|AD →||AC →|·cos ∠CAD －12|AD →||AB →|· cos ∠BAD ＝12|AC →|2－12|AB →|2＝12b 2－12c 2＝12b 2－12(2b －b 2)(因为c 2＝2b －b 2) ＝b 2－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.因为c 2＝2b －b 2>0，解得0<b <2.令f (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.所以当b ＝12时，f (b )取得最小值－14.又f (0)＝0，f (2)＝2. 所以－14≤f (b )<2.即AO →·BC →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.[能力提升]1．(2019·嘉兴市高考模拟)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝ ( )A ．255B ．223C ．1D ．52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1.所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①若m ∥n ，则tan x ＝________；②若m 与n 的夹角为π3，则x ＝________．解析：m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①由m ∥n ，得22cos x ＋22sin x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，因为0<x <π，所以π4<x ＋π4<5π4，则x ＋π4＝π，x ＝34π.所以tan x ＝－1.②由m 与n 的夹角为π3，得cos π3＝22sin x －22cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π，所以－π4<x －π4<3π4，则x －π4＝π6，x ＝5π12. 答案：①－1 ②5π124．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，OP →＝λOA →＋μOB →.若λ＋3μ＝2，则|OP →|的最小值是________，此时OP →，OA →夹角的大小为________．解析：向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，即有OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝2×23×12＝23，若λ＋3μ＝2，可得λ＝2－3μ，则|OP →|＝|λOA →＋μOB →|＝λ2OA →2＋μ2OB →2＋2λμOA →·OB →＝4λ2＋12μ2＋43λμ＝4（λ＋3μ）2－43λμ ＝16－43（2－3μ）μ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－332＋12≥23， 当μ＝33，λ＝1时，|OP →|的最小值为2 3. 由OP →＝OA →＋33OB →， 可得OP →·OA →＝OA →2＋33OA →·OB →＝4＋33·23＝6， 则cos 〈OP →，OA →〉＝OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝623·2＝32， 由0°≤〈OP →，OA →〉≤180°，可得〈OP →，OA →〉＝30°.答案：2 3 30°5．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，求(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ，因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°，设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332， 设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332，所以h ＝3217， 因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上，所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217. 所以S △ABC 的最大值为12×7×⎝⎛⎭⎪⎫4＋3217＝27＋332， 所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.6. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以π4≤2θ＋π4≤5π4， 所以当2θ＋π4＝π2， 即θ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1. 所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
高中数学高考总复习----平面向量的数量积及应用知识讲解及考点梳理
（C）1200
（D）1500
例 3.若 、 、 均为单位向量，且
，
的最大值为________
【答案】
【解析】因为 、 、 均为单位向量，且
，
5
设 =（1，0）， =（0，1），
,
,
故
的最大值为
.
【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意本题 是转换为代数运算求最值问题.
例 1．已知向量
的夹角为（
）
A．30° 【解析】∵
B．60°
C．120°
，∴ 是共线向量，
D．150°
∴
，
∴
，
∴向量 和 所成角为 ，又 与 共线且方向相反， ∴向量 和 所成角为 ，从而选项C正确.
【总结升华】 仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到 ， ，
是共线向量，从而将
和 的夹角问题进行有效的转化. 举一反三： 【变式 1】已知向量 与 的夹角为 120°， 【答案】7 【解析】
高中数学高考总复习----平面向量的数量积及应用知识讲解 及考点梳理
【考纲要求】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量
积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系.
2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际 问题. 【知识网络】
【解析】（1）由题意得， = （ + ）；
故 •（ + ）=2 • ；
故 2=3 • ；
故 cosA=
=；
（2） • =| |•| |cosA
第__3__讲___平面向量的数量积及平面向量应用举例
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． ．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向 ．能运用数量积表示两个向量的夹角， 量的垂直关系． 量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． ．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
迁移发散 2．在直角△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，求k的值． ．在直角△ 的值． 中 已知＝ ， ， ， 的值
考向三 平面向量的夹角与模的问题
1 1 【例 3】 已知 ＝ 1，a·b＝ ， (a－ b)·(a＋b)＝ . 】 已知|a|＝ ， ＝ － ＋ ＝ 2 2 的夹角； 求： (1)a 与 b 的夹角； (2)a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值． － ＋ 的夹角的余弦值． 1 1 解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ，∴|a|2－|b|2＝ ， 2 2 1 2 又∵|a|＝1，∴|b|＝ |a|2－ ＝ . 2 2 设 a 与 b 的夹角为 θ， 1 a·b 2 2 则 cos θ＝ ＝ ＝ ， |a||b| 2 2 1· 2 ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
解析： ＝ ， ，则有2a＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 解析：设b＝(x，y)，则有 ＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)， ， 解得b＝ － 解得 ＝(－5,12)，故cos〈a，b〉＝ ， 〈 ， 〉 答案： 答案：C
平面向量的数量积及其应用
解析 解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)(a-b)|=2|b|=4, ∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最 小值4.
| a b |2 | a b |2 | a b| | a b| ∵ ≤ = a 2 b 2 = 5 , 2 2
2 2 x12 y12 ,|b|= x2 y2 (2)|a|= .
平面向量的长度问题
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 . 2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |=
考点三
平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用
x1 x2 y1 y2
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)若a与b的夹角为θ,则cos θ= . 2 (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
∴|a+b|+|a-b|≤2 5 . 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a· b=0.
故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|, 得1≤x≤3.
设y=|a-b|,同理,1≤y≤3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可设x= 10 cos θ, ≤cos θ≤ , y= 10 sin θ, ≤sin θ≤ . 设α1,α2为锐角,且sin α1= ,sin α2= ,
方法 2 求向量夹角问题的方法
平面向量的数量积与应用
平面向量的数量积与应用平面向量的数量积是向量运算中的一种重要概念，可以帮助我们理解和解决许多与向量相关的问题。
本文将介绍平面向量的数量积的定义和性质，并探讨其在几何和物理中的应用。
1. 数量积的定义平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。
对于平面上任意两个向量A和B，其数量积的定义如下：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ为A与B之间的夹角。
2. 数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：(A + B)·C = A·C + B·C（3）常数乘法：(kA)·B = k(A·B)，其中k为实数（4）数量积与向量的垂直关系：A·B = 0 当且仅当A与B垂直3. 应用一：向量的夹角与正交投影通过数量积的定义，我们可以得到向量A与B之间的夹角公式：cosθ = A·B / (|A||B|)这个公式在几何中的应用非常广泛，其中一个重要的应用就是求解向量的正交投影。
给定向量A和B，向量B在A上的正交投影向量的长度可以利用数量积公式求得：projA(B) = (B·A / |A|^2) * AprojA(B)表示向量B在A上的正交投影向量。
4. 应用二：向量的工作与功率在物理学中，向量的数量积有许多重要应用，其中之一是描述力的方向与物体位移方向的关系。
当力F作用于物体上时，通过点积可以得到该力对物体作用的工作W：W = F·d其中，d表示物体位移的向量。
如果力与位移方向相同，则工作为正值；如果力与位移方向相反，则工作为负值；如果力与位移方向垂直，则工作为零。
同时，功率P也可以利用数量积表示：P = F·v其中，v表示物体的速度向量。
5. 应用三：向量的投影与图形的面积利用数量积，我们还可以求解平面上某个凸多边形的面积。
平面向量的数量积知识点及归纳总结
平面向量的数量积知识点及归纳总结知识点精讲一、平面向量的数量积(1) 已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a 与b 的夹角．记作,a b ，并规定,a b []0,π∈.如果a 与b 的夹角是2π，就称a 与b 垂直，记为a b ⊥.(2) |a || b |cos ,a b 叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a b ⋅,即a b ⋅＝| a || b |cos ,a b . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a b ⋅=0. 两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a b ⋅＝±| a || b |. 二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度| a |与b 在a 方向上的射影| b |cos θ的乘积．即a b ⋅＝| a || b |cos θ.( b 在a 方向上的射影| b |cos θa b a⋅=;a 在b 方向上的射影| a |cos θa b b⋅=).三．平面向量数量积的重要性质 性质1 ||cos e a a e a θ⋅=⋅=. 性质2 .a b a b 0⊥⇔⋅=性质3 当a 与b 同向时||||a b a b ⋅=；当当a 与b 反向时-||||a b a b ⋅=.22||a a a a ⋅==或||a 性质4 cos ().||||a ba 0b 0a b 且θ⋅=≠≠性质5 ||||||.a b a b ⋅≤注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题. 四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b=b a ⋅⋅（交换律）；（2）()=()(a b a b a b λλλλ⋅⋅=⋅为实数）； （3）(+)=a b c a c b c ⋅⋅+⋅（分配律）。
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设非零向量 a 与 b 的夹角是 θ，则| a | cos ( | b | cos )叫做向量 a 在 b 方向上( b 在 a 方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量 a 与 b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 a 在 b 方向上的投 影的情形，其中 OB1 | a | cos ，它的意义是，向量 a 在向量 b 方向上的投影长是向量 OB1 的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到 a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与 b 在 a 方向上的投 影 | b | cos 的乘积.
2．平面向量数量积的运算律
已知向量 a, b, c 和实数 ,则
?
①交换律： a b ba ；
②数乘结合律： (a) b (a b) = a (b) ；
③分配律： (a b) c = a c b c .
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量 a (x1, y1), b (x2 , y2 ) ， 是 a 与 b 的夹角.
（1）数量积： a b | a || b | cos x1x2 y1 y2 .
（2）模：| a | a a x12 y12 .
？
（3）夹角： cos a b
x1x2 y1 y2
.
| a || b |
x12 y12 x22 y22
（4）垂直与平行： a b a b 0 x1x2 y1 y2 0 ；a∥b⇔a·b=±|a||b|.
【注】当 a 与 b 同向时, a b | a || b | ；当 a 与 b 反向时, a b | a || b | . （5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔| x1x2 y1y2 | x12 y12 x22 y22 .
A．
B．
C．
D．
4．已知向量 a=(1,2)，b=(1,1)，且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 满足
,
A．λ<−
B．λ>−
C．λ>− 且 λ≠0
D．λ<− 且 λ≠−5
5．如图,在边长为 3 的正方形
中 与 交于点
则
.
6．(2016 年高考新课标Ⅲ卷) 已知向量 BA (1 , 3 ) , BC ( 3 , 1), 则 ABC
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0 （其中 a, b 为非零向量）
（3）求夹角问题，若向量 a 与 b 的夹角为 ，利用夹角公式：
cos a b
x1x2 y1 y2
（其中 a, b 为非零向量）
| a || b |
x12 y12 x22 y22
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：
三、平面向量的应用 1．向量在平面几何中常见的应用
已知 a (x1, y1), b (x2 , y2 ) .
{
（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：
a∥b a b x1 y2 x2 y1 0(b 0)
（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂 直的条件：
的值是___________． 9．（2016 年高考新课标Ⅰ卷）设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=___________．
22
22
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
7．（2017 年高考天津卷）在△ABC 中，∠A 60 ， AB 3， AC 2 ．若 BD 2DC ， AE AC AB( R) ，且 AD AE 4 ，则 的值为___________．
8．（2017 年高考山东卷）已知 e1, e2 是互相垂直的单位向量，若 3e1 e2 与 e1 e2 的夹角为 60 ，则实数
2．向量在物理中常见的应用
（1）向量与力、速度、加速度及位移 （2）向量与功、动量
\
1．已知向量 a, b 的夹角为,且,则 等于
A．
B．
C．
D．
2．已知向量 a ， b 的夹角为 2π ，且 a 2 ， b 4 ，则 2a b 在 a 方向上的投影为 3
A．2
B．4
C．6
D．8
3．若向量 a, b 满足 | a || b | 1,且 a (a b) 1 , a | x12 y12 ， 或 | AB || AB | (x3 x4 )2 ( y3 y4 )2 （其中 A, B 两点的坐标分别为 (x3, y3 ), (x4 , y4 ) ）
（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直 角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.
考点 20 平面向量的数量积及向量的应用
一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念
已知两个非零向量 a, b ，我们把数量| a || b | cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b ,即 a b | a || b | cos ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角.