第十九章四边形知识点总结与典型例题

第十九章四边形知识点总结与典型例题

一、平行四边形的性质

1、平行四边形的定义：

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2、平行四边形的性质（包括边、角、对角线三方面） ：

边：①平行四边形的两组对边分别平行；

②平行四边形的两组对边分别相等； 角：③平行四边形的两组对角分别相等；

对角线：⑤平行四边形的对角线互相平分.

【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.

3、多边形的对角线：

⑴从n 边形的一个顶点可以引 3-n 条对角线；

⑵n 边形共有 2

)3(-n n 条对角线. 4、正多边形：各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形.

5、多边形的内角和与外角和：

⑴多边形的内角和等于ο180)2(⨯-n ；

⑵多边形的外角和等于o 360.

※典型例题：

1：多边形的内角和与外角和

1、若多边形的每个内角都为150°，则从一个顶点引的对角线有（ ）

A.7条

B.8条

C.9条

D.10条

2、如果一个四边形内角之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中（ ）

A.有两个钝角

B.有两个直角

C.只有一个直角

D.只有一个锐角

3、一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是边形（ ）

A.7

B.6

C.5

D.4

4、若等角n 边形的一个外角不大于40°，则它是边形（ ）

A.n=8

B.n=9

C.n ＞9

D.n ≥9

2：平行四边形的性质

5、如图,平行四边形ABCD 中,AE⊥BD ,CF⊥BD ,垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF.

A B D O C

6、如图，在平行四边形中，，为垂足，如果，那么的度数是( ) A. B. C. D.

7、如图，在正五边形ABCDE 中，连结AC ，AD ，则∠CAD 的度数是 . 二、平行四边形的判定

1、平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面）：

边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.

2、三角形中位线： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

3、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

4、平行线间的距离：

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平

行线间的距离。两条平行线间的距离处处相等。

※典型例题：

3：平行四边形的判定

1．如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ．求证：

四边形AECF 是平行四边形．

2、如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知点E 、F 分别为AO 、

OC 的中点，•证明:四边形BFDE 是平行四边形．

A B D O C

4：三角形中位线定理

1、如图，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的

延长线上，且∠CDF=∠A. 求证：四边形DECF是平行四边形.

三、矩形的性质

1、矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2、矩形的性质：

①矩形具有平行四边形的所有性质；

②矩形的四个角都是直角；

③矩形的对角线相等；

④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点.

※典型例题：

5：矩形的性质

1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )

A. 对角相等

B. 对边相等

C. 对角线相等

D. 对角线互相

平分

2、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K，分别作矩形两边的平

行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S

1与矩形QCNK的面积S

2

的大小关系是S

1（） S

2

（填“＞”或“=”或“＜”）

四、矩形的判定

1、矩形的判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

③有三个角是直角的四边形是矩形.

2、证明一个四边形是矩形的步骤：

方法一：先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等；

方法二：若一个四边形中的直角较多，则可证三个角为直角.

3、直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

※典型例题：

6矩形的判定

1、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形.

2、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，点M 、

N 分别为AD 、BC 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．

7：直角三角形斜边中线定理

3、如图，已知BD 、CE 分别是△ABC 的AC 、BC 边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：GF ⊥DE ．

五、菱形的性质

1、菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2、菱形的性质：

①菱形具有平行四边形的所有性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线交点.

3、菱形的面积公式：菱形的两条对角线的长分别为b a ，，则ab S 2

1 菱形 8:菱形的性质

1、如图，已知菱形ABCD 的边长为4cm ，∠BAD=120°，

对角线AC 、BD 相交于点O ，试求这个菱形的两条对角

线AC 与BD 的长．