2014届高三理科数学长沙市一中月考试卷(四)
湖南省长沙市重点中学2014届高三第七次月考数学理试卷Word版含答案
湖南省长沙市重点中学2014届高三第七次月考数学理试题考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1、若集合{1234}A =，，，，{2478}{1,3,4,5,9}B C ==，，，，，则集合()A B C 等于（ D ）A. {2,4}B. {1,2,3,4}C. {2,4,7,8}D. {1,3,4}2、复数i z +=31，i z -=12，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（ A ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若向量(12)=，a ，(3,4)-b =，则()()⋅a b a +b 等于（ B ） A.20 B.(10,30)- C.54D.(8,24)-4、若3tan 4α=，且sin cot 0αα⋅<，则sin α等于（A ） A. 35- B. 35C. 45-D. 455、已知命题1,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使R ，.01:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使01:5sin ,:2>++∀=∈∃x x q x R x p 都有命题使，.0,:;25sin ,:2+∀=∈∃x x x q x R x p 都有命题使给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题③命题“q p ∨⌝”是真命题 ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ B ）A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③6. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（C ）A. 34A 种B. 3133A A 种 C. 2343C A 种D. 113433C C A 种7、设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 （ D ）A ．4B ．24C ．22D ． 6 8、若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ） A ．10 B ．20C ．30D ．1209、数列{}n a 满足2113,1()2n n n a a a a n N ++==-+∈，则122014111m a a a =+++的整数部分是（ ）BA. 0B. 1C. 2D. 310、在平面直角坐标系中，(){}(){}22,1,,4,0,340A x y xy B x y x y x y =+≤=≤≥-≥则()()(){}12121122,,,,,,P x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为（ ）D A ．6 B ．6π+ C ．12π+ D ．18π+二．填空题：共25分。
湖南省长沙市一中高三数学理科第四次月考试卷
湖南省长沙市一中2008届高三第四次月考数学试题(理科)命题：长沙市一中高三数学备课组时量:120分钟 满分:150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知sin10°=a ，则cos100°的值为 （C ） A ．a B ．21a - C ．-a D ．-21a -2.已知函数f(x)=2+log a x (a ＞0,且a ≠1),f - -1(x )是f(x)的反函数，若f -1(x )的图象过点（6，4），则a 等于 （B ） A.1 B.2 C.2 D.33．设双曲线2222by a x -=1（a ＞0,b ＞0）的离心率为2，且它的一条准线与抛物线y 2=4x 的准线重合，则此双曲线的方程为 （D ）A.x 2-y 2=1B.2x 2-2y 2=1C.32322y x -=1 D.2222y x -=14.圆x 2+y 2=4上到直线x +y -2=0的距离等于1的点的个数为 （A ）A.3B.2C.1D.05.已知点P （x ,y ）在不等式组A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2]6.在△ABC 中，若∠A =45°，AB =2，BC =a ,则a =2是△ABC 只有一解的 （A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.若函数y =f (x )同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；(2)图象关于直线x =3π对称；（3）在区间[-6π，3π]上是增函数，则y =f (x ) 的解析式可以是 （B ）A.y =sin(2x +6π) B. y =sin(2x -6π) C.y =cos(2x +3π) D.y =cos(2x -6π)8.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，D 是AB 的中点，动点P 满足OP =31[(2-2λ)OD +（1+2λ）OC](λ∈R),则点P 的轨迹一定过△ABC 的 （C ）A.内心B.外心C.重心D.垂心 【解析】OP =32 (1-λ)OD +31(1+2λ)OC ，因为32（1-λ）+31（1+2λ）=1，所以P 、C 、D 三点共线，点P 的轨迹一定过△ABC 的重心.9.抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则|MFMO |的最大值为 （B ）x -2≤0 y -1≤0 x +2y -2≥0 表示的平面区域上运动，则z =x -y 的取值范围是（C ）A.33 B.332 C.334 D.不存在【解析】设抛物线方程为y 2=2px (p ＞0),则顶点及焦点坐标为O （0，0），F （2p ，0），若设点M 坐标为M （x ,y ）,则（MFMO）2=42)2(2222222ppx x pxx y px y x +++=+-+，设t =42222p px x pxx +++,则x 2+2px =x 2t +tpx +42p t =0,即（1-t ）x 2+(2p -tp )x -42p t =0,当t =1时，则x =4p ,当t ≠1时 ,(1-t )x 2+(2p -tp )x -42p t =0是关于x 的一元二次方程，且有实数解，则△=(2p -tp )2+4(1-t )·42p · t ≥0,解得t ≤34，当x =p 时等式成立.综上，当x =p 时，tma x =34，所以|MFMO |的最大值为332.10. 已知t ＞0,关于x 的方程|x |+2x t -=2,则这个方程有相异实根的个数是 （C ）A.0或2个B.0或2或4个C.0或2或3或4个D.0或1或2或3或4个 【解析】令C 1:y =|x |-2, C 2:y =-2x t -,利用数形结合知：当0＜t ＜1或t ＞2时，方程无实数根；当t =1时，方程有2个实数根；当t =2时，方程有3个实数根；当1＜t ＜2时，方程有4个实数根.选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBDACABCBC二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卷中对应题号后的横线上）11.已知直线l 1:ax +y +2a =0,直线l 2:ax -y +3a =0.若l 1⊥l 2,则a = ±1 . 【解析】若l 1⊥l 2,则a 2-1=0,a =±1. 12.已知p ＞0,q ＞0，p 、q 的等差中项为21，且x =p +p1,y =q +q1,则x +y 的最小值为 5 .【解析】∵p +q =1,∴ x +y =p +p1+q +q 1=1+p1+q 1=1+(p1+q1)(p +q )=3+pq q p +≥5,当且仅当p =q =21时等式成立.13.已知⊙O 的方程是x 2+y 2-1=0, ⊙O ′的方程是x 2+y 2-8x -8y +31=0,由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 x +y -4=0 .【解析】易得|PO |=|PO ′|，所以动点P 的轨迹是线段OO ′的垂直平分线，则动点P 的轨迹方程是x +y -4=0.14.已知数列{a n }对于任意p ,q ∈N *有a p a q =a p +q ,若a 1=21,则∑=91i i a = 512511.【解析】由题意得a n +1=a n a 1,2111==+a a a n n ,nn n a a )21()21(11==-,因此∑=91i ia =1-（21）9=512511.15.设函数f (x )的定义域为R ，若|f (x )|≤|x |对一切实数x 均成立，则称函数f (x )为Ω函数.下列函数①f 1(x )=x sin x ,②f 2(x )=1+-x x e e ,③f 3(x )=122+x x 中为Ω函数的是 ①③ （只填序号）.【解析】∵|x ||sin x |≤|x |,∴f 1(x )=x sin x 是Ω函数. ∴f 2(0)=21,∴|f (0)|≤|0|不满足，∴f 2(x )=1+-x x e e 不是Ω函数;∵当x =0时，f 3(0)=0,显然符合条件；当x ≠1时，|f 3(x )|= 122+x x ≤222x x =21|x |≤|x |,∴f 3(x )=122+x x 是Ω函数.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分） 已知不等式|x -3|＜2a x +的解集为A ，Z 为整数集.(Ⅰ)若A ≠φ，求a 的取值范围；(Ⅱ)是否存在实数a ，使A ∩Z={3},若存在，求出a 的范围；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)据题设-2a x +＜x -3＜2ax +,即欲A ≠φ，必须2-3a ＜6+a ，即a ＞-3.故所求a 的取值范围是（-3，+∞）. （6分）(Ⅱ)由A ∩Z={3}知∴-3＜a ≤-2.如存在实数a 使A ∩Z={3}，且a 的范围是（-3，2]. (12分) 17.(本小题满分12分)若m=(3sinωx ,0), n =(cosωx ,-sinωx )(ω＞0),在函数f (x )=m·(m+n)+t 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当x ∈[0,3π]时，f (x )的最大值为1.(Ⅰ)求函数f (x )的解析式； (Ⅱ) 若f (x )=-231+，x ∈[0,π]，求实数x 的值.解：由题意得m+n=(3sinωx +cos ωx ,-sinωx ) f (x )=m·（m+n ）+t =(3sinωx ,0)·(3sinωx +cosωx ,-sinωx )+t =3sinωx (3sinωx +cos ωx )+t =3sin 2ωx +3sinωx ·cosωx +t =2323-cos2ωx +23sin2ωx +t =3sin(2ωx -3π)+23+t (4分)(Ⅰ)∵对称中心到对称轴的最小距离为4π∴f (x )的最小正周期T =π ∴2ω2π=π, ∴ω=1 (6分)x ＜6+ax ＞2-3a ,(3分) 2≤2-3a ＜33＜6+a ≤4-3＜a ≤0 -3＜a ≤-2∴f (x )=3sin(2x -3π)+23+t ,当x ∈[0,3π]时，2x -3π∈[-3π,3π] ∴sin(2x -3π)∈[-23,23]∴f (x ) ∈[t ,3+t ] ∵f (x )max =1 ∴3+t =1 ∴t =-2 ∴f (x )=3sin(2x -3π)-21 (8分)(Ⅱ)由f (x )=-231+,得sin(2x -3π)=-21，由x ∈[0,π]，得-3π≤2x -3π≤35π,2x -3π=-6π或67π,所以x =12π或43π. （12分）18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ax 2+bx +1,(a ,b 为实数)，x ∈R（Ⅰ）若f (-1)=0,且函数f (x )的值域为[0，+∞],设g (x )= 试判断g (x )的奇偶性，并求出g (x )的值域；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，h (x )=f (x )+kx 2在x ∈[-2，2]上是单调函数，求实数k 的取值范围. 解：（Ⅰ）∵f (-1)=0, ∴a -b +1=0,又x ∈R,f (x ) ≥0恒成立，∴∴f (x )=x 2+2x +1=(x +1)2, ∴g (x )=∵f (0)=1≠0, ∴f (x )不是奇函数，∵f (-1)=0,f (1)=4;f (-1) ≠f (1),f (x )不是偶函数.综上知：f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. （5分） 当x ≥0时，g (x )=(x +1)2≥1,当x ＜0时，g (x )=-(x +1)2≤0，所以g (x )的值域为（-∞，0）∪[1,+∞] (7分)（Ⅱ）h (x )=f (x )+kx 2=(1+k )x 2+2x +1,当1+k =0，即k =-1时，则h (x )=2x +1，满足条件（8分） 当1+k ≠0,即k ≠-1时，则h (x )=(1+k )x 2+2x +1=(1+k )(x +k +11)2+kk+1 要使h (x )=f (x )+kx 2在x ∈[-2,2]上是单调函数，则-k+11≥2或-k+11≤-2，解得，-1＜k ≤-21或-23≤k ＜-1 （11分） 综上，实数k 的取值范围是k ∈[-23,-21]. (12分) 19.(本小题满分13分)一水渠的横截面积如图所示，它的横截面边界AOB 是抛物线的一段，已知渠宽AB 为2 m ，渠深OC 为1.5 m ，水面EF 距AB 为0.5 m.f (x ) (x ≥0)-f (x ) (x ＜0) . a ＞0 Δ=b 2-4a ≤0 , ∴b 2-4(b -1)≤0,b =2,a =1 (2分)(x +1)2 (x ≥0) -(x +1)2 (x ＜0) (3分)（Ⅰ）求水面EF 的宽度；（Ⅱ）如果把此水渠改造为横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？ 解：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，则A （-1，1.5）,B (1,1.5),C (0,1.5). 设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),由点A （-1，1.5）代入方程，得到1=2p ×1.5,即p =31,所以抛物线方程为x 2=32y ,由点E 的纵坐标为1，得到点E 横坐标为-36，所以截面图中水面宽度为362m. （5分）（Ⅱ）如图所示，设抛物线上一点M （t ,23t 2）,(t ＞0),因为改造后水渠只准挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土.由x 2=32y ,即y =23x 2求导得y ′=3x ,所以过点M 的切线斜率为3t ，切线方程为y -23t 2=3t (x -t ),令y =0,则x 1=2t ,令y =23,则x 2=2t +t21,所以截面面积为S =21（2x 1+2x 2）×23=23(t+t21)≥223,当且仅当t =22等号成立.所以截面梯形的下底边长为22m 时，才能使所挖的土最少. （13分）20.(本小题满分13分) 设椭圆C 1：2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，P 为椭圆C 1上任意一点，且1PF ·2PF 最大值的取值范围是[c 2,3c 2],其中c =22ba -.（Ⅰ）求椭圆C 1的离心率e 的取值范围；（Ⅱ）设双曲线C 2以椭圆C 1的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线C 2在第一象限上任意一点，当椭圆C 1的离心率e 取得最小值时，试问是否在常数λ(λ＞0),使得∠BAF 1=λ∠BF 1A 恒成立？若存在，求入λ的值，若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）设P (x ,y ),又F 1（-c ,0）, F 2(c ,0)∴1PF =（-c -x ,-y ）,2PF =(c -x ,-y ), ∴1PF ·2PF =x 2+y 2-c 2又2222b y a x +=1得y 2=b 2-222a xb,0≤x 2≤a 2∴1PF ·2PF =(1-22ab)x 2+b 2-c 2=22ac x 2+b 2-c 2,x 2∈[0,a 2]. 当x 2=a 2时，|1PF ·2PF |max =b 2,c 2≤b 2≤3c 2,c 2≤a 2-c 2≤3c 241≤22ac ≤21,即41≤e 2≤21,∴21≤e ≤22. (6分)（Ⅱ）当e =21时，a =2c ,b =3c , ∴C 2:22223c y c x -=1,A (2c ,0)设B （x 0,y 0）,(x 0,y 0＞0),则223220c y c x-=1.当AB ⊥x 轴时，x 0=2c ,y 0=3c ,则tan ∠BF 1A =cc 33=1, ∴∠BF 1A =4π,故∠BAF 1=2π=2∠BF 1A .猜想λ=2，∠BAF 1=λ∠BF 1A 总成立. 当x 0≠2c 时，tan ∠BAF 1=cx y 200--,tan ∠BF 1A =cx y +00,∴tan2∠BF 1A =20000121)(12tan 1tan 2c x y c x y A BF ABF +-+=∠-∠.又)(3)1(3220220220c x cx c y -=-=,∴tan2∠BF 1A =cx y c x c x c x y 2)(3)()(2000000--=--++=tan ∠BAF 1又2∠BF 1A 与∠BAF 1同在（0，2π）∪(2π,π)内，∴2∠BF 1A =∠BAF 1故存在λ=2,使∠BAF 1=λ∠BF 1A 恒成立. (13分) 21.(本小题满分13分) 已知数列{a n }中，a 1=0,a n +1=na -21,(n ∈N *).(Ⅰ)求证：数列{11-n a }为等差数列；(Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n ,证明S n ＜n -ln(n +1); (Ⅲ)设b n =a n (109)n,证明：对任意的正整数n 、m 均有|b n -b m |＜53.解：（Ⅰ）因为111121211111-+-=--=--=-+n n n nn a a a a a ， 即.111111-=---+n n a a 所以数列{11-n a }为等差数列. (2分)（Ⅱ）由（1）知：11111-=-a a n +（n -1）×(-1)=-n所以a n =1-n1 (3分)设f (x )=x -ln(x +1) (x ＞0),则f ′(x )=1-11+x ＞0∴f (x )在（0，+∞）为递增函数，且f (x )在[0，+∞]上连续. ∴f (x )＞f (0)=0, ∴当x ＞0时，x ＞ln(x +1)成立. 所以ln(1+n1)＜n1,1-n1＜1-ln(1+n1)所以a n =1-n1＜1-ln(n +1)+ln n所以S n ＜(1-ln2+ln1)+(1-ln3+ln2)+…+[1-ln(n +1)+ln n ]即S n ＜n -ln(n +1) (8分) (Ⅲ)因为b n =nn 1-×(109)n, 当1+n n b b =nn 1-×nn 1+×910=221nn -×910,当1+n n b b =221nn -×910＞1，n ＞10,即n ≥4 当1+n n b b =221n n-×910＜1，n ＜10,即n ≤3.所以b 1＜b 2＜b 3＜b 4＞b 5＞b 6＞…又因为n ≥2时，b n ＞0，并且b 1=0,所以0≤b n ≤b 4 对任意的正整数n 、m ，均有|b n -b m |的最大值为 b 4-b 1=43×(109)4-0=4000019683＜4000024000=53所以对任意的正整数n 、m ,均有|b n -b m |＜53(13分)。
[理数答案]炎德英才大联考2014长沙一中高三7次月考
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湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三上学期月考数学试题(四)(解析版)
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学第Ⅰ本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则1z的值为A ．1B．2C ．12D2．设全集U R =，{A x y ==，{}2,x B y y x R ==∈，则()U A B =ðA ．{}x x <B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x >3．已知向量a ，b满足7a b += ，3a = ，4b = ，则a b -=A ．5B ．3C ．2D ．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如30723=+，633=+，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是A ．14B ．13C ．29D ．385．若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点，则实数a 的取值范围是A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c<<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．b a c<<7．已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=A ．6-B ．32-C ．6D ．48．已知函数()()32sin 4x f x x x x π=-+的零点分别为1x ，2x ，…，n x ，*n N ∈），则22212n x x x +++= A ．12B ．14C ．0D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-+≈≤≤，()220.9545P μσξμσ-+≈≤≤，()330.9973P μσξμσ-+≈≤≤）A ．()100E X =B ．()10D X =C ．()900.84135P X ≈≥D ．()()12090P X P X =≤≥10．下列说法正确的是A ．若不等式220ax x c ++<的解集为{}12x x x <->或，则2a c +=B ．若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x -<C ．在△ABC 中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1--11．已知函数()()sin 4f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，08πϕ<<）的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再将所得图象向右平移6π个单位长度，可得函数()g x 的图象，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的解析式为()12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()g x 的解析式为()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．函数()f x 图象的一条对称轴是3x π=-D ．函数()g x 在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知三棱锥P -ABC 内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，8PA =，AB ⊥AC ，4AB AC ==，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P -ABC 表面上运动，且4PQ =，已知在弧度制下锐角α，β满足：4cos 5α=，cos 5β=，则下列结论正确的是A ．过点D 作球的截面，截面的面积最小为4πB ．过点D 作球的截面，截面的面积最大为24πC ．点Q 的轨迹长为44αβ+D ．点Q 的轨迹长为48αβ+第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为．14．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的一动点，则PF PA +的最小值为．15．若1nx ⎫-⎪⎭的展开式中第4项是常数项，则7n除以9的余数为．16．已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,2,x x f x x x f x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点为i x （1i =，2，3，…，n ）．若116nii x==∑，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）半径为R 的圆内接△ABC，AB =，∠ACB 为锐角．（1）求∠ACB 的大小；（2若∠ACB 的平分线交AB 于点D ，2CD =，2AD DB =，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21n n +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图①，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，224CD AB EF ===，M 为DF 的中点．现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体．在图②中，图①图②（1）证明：EF ⊥MC ；（2）求平面MAB 与平面DAB 夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知函数()2ln x xf x =+．（1）讨论函数()y f x x =-零点的个数；（2）是否存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立．21．（本小题满分12分）某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为13，上两级的概率为23，设他上到第n 级的概率为n P ．（1）求他上到第10级的概率10P （结果用指数形式表示）；（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X 的分布列和数学期望．22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且123,24OP PF PF =⋅=（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标和△MAB 面积的最大值；若不存在，说明理由．大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BDDCCBAAACADABDABD2．D【解析】易知{}02A x x =≤≤，{}0B y y =>，∴{}02U A x x x =<>或ð，故(){}2U A B x x => ð．故选D ．3．D【解析】由条件a b a b +=+ 知a ，b同向共线，所以1a b a b -=-= ，故选D ．4．C【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l 的概率为182982369C p C ===，故选C ．5．C【解析】由题意()2'1f x x ax =-+在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，∴1a x x =+，1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1023a <≤，又当2a =时，()()2'10f xx =-≥，()f x 单调，不符合，∴2a ≠，∴1023a <<，故选C ．6．B 【解析】∵2333332log 3log log log 23c a===>=，∴c a>，又23442log 4log 3c ===<44ln 3log log 3ln 4b ===，∴c b <，∴a c b <<．故选B ．7．A【解析】由条件知cos cos 0αβ≠，sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ⇒+=，两边同除以cos cos αβ得：tan tan 2tan tan αβαβ+=，∴3tan tan 2αβ=，从而()tan tan tan 61tan tan αβαβαβ++==--，故选A ．8．A【解析】由()()210sin 04f x x x x x π⎡⎤=⇒-⋅+=⎢⎥⎣⎦，0x =为其中一个零点，令()()21sin 4g x x x x π=-+，∵()00g ≠，∴令()()2140sin x g x x xπ+=⇒=，∵()1sin 1x π-≤≤∴2141x x +≤，∴214x x +≤，∴2102x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，∴12x =±，所以()f x ）共有三个零点12-，0，12，∴2221212n x x x +++= ，故选A ．9．AC【解析】∵随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，正态曲线关于直线100X =对称，且()100E X =，()210100D X ==，从而A 正确，B 错误，根据题意可得，()901100.6827P X ≈≤≤，()801200.9545P X ≈≤≤，∴()1900.50.68270.841352P X ≈+⨯=≥，故C 正确；()120P X ≤与()90P X ≥不关于直线100X =对称，故D 错误．故选AC ．10．AD【解析】对于A ，不等式220ax x c ++<解集为{}12x x x <->或，则方程220ax x c ++=的两根为1-，2，故212a c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则2a =-，4c =，所以2a c +=，故A 正确；对于B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故B 不正确；对于C ，sin cos sin cos 2sin A A B B A +=+⇒cos 2sin cos sin 2sin 2A B B A B ⋅=⋅⇒=，又0222A B π<+<，所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对于D ，令()()223f m x m x =++，则()0f m <，对[]0,1m ∀∈恒成立，则()()20301320f x f x x =<⎧⎪⎨=++<⎪⎩，解得21x -<<-，故D 正确，故选AD ．11．ABD【解析】由图知，2A =，4T π=，∴24T ππω==，得12ω=．故()12sin 42f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∵点()0,1在函数图象上，∴2sin 41ϕ=，即1sin 42ϕ=．又∵08πϕ<<，∴042πϕ<<，∴46πϕ=．故函数()f x 的解析式为()12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 正确；将()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，可得2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向右平移6π个单位长度，可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 正确；当3x π=-时，2sin 003f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，不是最值，故直线3x π=-不是()f x 图象的一条对称轴，故C 不正确；当4,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,2662x πππππ⎡⎤-∈-+⎢⎥⎣⎦，则()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦还上单调递增，故D 正确，故选ABD ．12．ABD【解析】三棱锥P -ABC 的外接球即为以AB ，AC ，AP 为邻边的长方体的外接球，∴2R ==，∴R =，取BC 的中点1O ，∴1O 为△ABC 的外接圆圆心，∴1OO ⊥平面ABC ，如图．当OD ⊥截面时，截面的面积最小，∵OD ===，此时截面圆的半径为2r ==，∴最小截面面积为24r ππ=，A 对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为224R ππ=，B 对；由条件可得BPC α∠=，BPA CPA β∠=∠=，则点Q 的轨迹分别是以点P 为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为α，两段弧圆心角为β，弧长为()2448αβαβ+⨯=+，D 对．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14【解析】因为70107100⨯=为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14．14．9【解析】因为F 是双曲线221412x y -=的左焦点，所以()4,0F -，设其右焦点为()4,0H ，则由双曲线定义得224459PF PA a PH PA a AH +=+++=+=+=≥．15．1【解析】由题知，()5111rn rn rr r rr r nn T C C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因第4项为常数项，所以当3r =时，3305n --=，所以18n =，则()1818792=-，而()61862891==-，1除9的余数为1，所以7n被9除余1．16．[)7,9【解析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为()y f x =与122x y -=的交点的横坐标，作出函数()f x 和122x y -=（0x >）的图象可知，11x =，23x =，35x =，47x =，…，若116nii x==∑，则4n =，所以实数a 的取值范围为[)7,9．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由正弦定理2sin sin 2AB R C C =⇒=，又角C 为锐角，所以3C π=．（2）∵CD 为∠ACB 的平分线，2AD DB =，∴2b a =，又∵ACD BCD ABC S S S ∆∆∆+=，∴1112sin 2sin sin 262623b a a b πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，则有2322a a =，∴a =，∴1sin 232ABC S ab π∆==．18．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =．①令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =．②解①②得11a =，2d =，所以21n a n =-．（2）由（1）知21224n n n b n n -=⋅=⋅，所以1214244nn T n =⨯+⨯++⨯ ，所以231414244n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减，得12134444nn n T n +-=+++-⋅ ()11414134441433n n n n n ++--=-⋅=--．所以()1143143144999n n n n n T +++--=⨯+=．19．【解析】（1）证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF ⊥CD ．∴折叠后，EF ⊥DF ，EF ⊥CF ．∵DF CF F = ，DF ，CF ⊂平面DCF ，∴EF ⊥平面DCF ．又MC ⊂平面DCF ，∴EF ⊥MC ．（2）∵平面BEFC ⊥平面AEFD ，平面BEFC 平面AEFD EF =，且平面DF ⊥EF ，DF ⊂平面AEFD ，∴DF ⊥平面BEFC ，又CF ⊂平面BEFC ，∴DF ⊥CF ，∴DF ，CF ，EF 两两垂直．以F 为坐标原点，分别以FD ，FC ，EF 所在直线为．x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz．由题意知1DM FM ==．∴()1,0,0M ，()2,0,0D ，()1,0,2A ，()0,1,2B ．∴()0,0,2MA = ，()1,1,0AB =- ，()1,0,2DA =-．设平面MAB ，平面ABD 的法向量分别为()111,,m x y z = ，()222,,n x y z =，由00MA m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111200z x y =⎧⎨-+=⎩，取11x =，则()1,1,0m =为平面MAB 的一个法向量．由00DA n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222200x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，取22x =，则()2,2,1n =为平面ABD 的一个法向量．∴22cos ,3m n m n m n⋅<>===，平面MAB 与平面DAB夹角的余弦值3．20．【解析】（1）设()()g x f x x =-，则()222171224'10x g x x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--=-<，可知()g x 在()0,+∞上单调递减，又()110g =>，()2ln 210g =-<，所以方程()0g x =有且仅有一个根，即函数()y f x x =-有且只有1个零点．（2）令()f x kx >得2ln x kx x +>（0x >），即22ln x k x x +>（0x >）．设()22ln x h x x x =+，()0,x ∈+∞，则()()32341ln 1'ln 4x h x x x x x x x -=-+=--，设()ln 4H x x x x =--，()0,x ∈+∞，则()()3'H x h x x =，因为()'1ln 1ln H x x x =--=-，当01x <<时，()'ln 0H x x =->，当1x >时，()'ln 0H x x =-<，所以函数()H x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 110430H x H ==--=-<，则()()3'0H x h x x =<恒成立，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，又x →+∞，()0h x →，所以不可能存在正实数k ，使得()22ln x h x k x x=+>恒成立．21．【解析】（1）由条件知113P =，22217339P ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且121233n n n P P P --=+（2n ≥）．所以112212221333n n n n P P P P P P ---+=+==+= ，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又134515P -=-，∴13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，∴223535nn P ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭．∴1010223535P ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭．（2）由（1）知此人上到第5级的概率为55223133535243P ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，X 的可能取值为3，4，5()21312108333133133243C P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，()3142124334133133243C P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，()15133P X ==所以X 的分布列为X345P 108133241331133所以()108241425345133133133133E X =⨯+⨯+⨯=．22．【解析】（1）设()00,P x y，()1,0F c -，()2,0F c ，则由2OP =；得220074x y +=，由1234PF PF ⋅= 得()()00003,,4c x y c x y ---⋅--=，即2220034x y c +-=．所以1c =．又因为2c a =，所以22a =，21b =．因此所求椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2241621039k x kx +--=．设()11,A x y ，()22,B x y ．则()1224321k x x k +=+，()12216921x x k =-+．假设在y 上存在定点()0,M m ，满足题设，则()11,MA x y m =- ，()22,MB x y m =- ．()()()21212121212MA MB x x y m y m x x y y m y y m ⋅=+--=+-++。
湖南省长沙市第一中学2019届高三第四次月考数学(理)试题(解析版)
长沙市一中2019届高三月考试卷（四）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设1i x yi i=++（,,x y R i ∈为虚数单位），则||x yi -=（ ）A. 1B. 12C.D. 【答案】D【解析】 ∵(1)111(1)(1)22i i i i x yi i i i -==+=+++-， ∴12x y ==，∴1122x yi i -=-2=．选D ． 2.已知集合{}3{1,2,3,9},|log ,A B y y x x A ===∈，则A B =I （ ）A. {1,2}B. {1,3}C. {1,2,3}D. {1}【答案】A【分析】先根据集合A 化简集合B ，再求两个集合的交集.【详解】因为集合{1,2,3,9},=A所以{}{}332,1,|log ,,lo 20g ==∈=B y y x x A所以A B =I {1,2}故选：A【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调査，5家商场该商品的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是$$3.2y x a=-+，则$a 的值为（ ）A. 38.4B. 39.4C. 40.4D. 40.6 【答案】B【分析】先求,x y 再利用样本中心在回归直线上求解.【详解】8.599.51010.59.55x ++++== 121197695y ++++== 3.239.4a y x =+=故选：B【点睛】本题主要考查了线性回归方程，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.若,x y 满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，则2z y x =-的最大值为（ ）A. 2B. 1C. 4D. 8【答案】C【分析】 先根据约束条件，画出可行域，然后平移目标函数所在的直线，找到最优点，将其坐标代入目标函数求解.【详解】根据约束条件，画出可行域如图所示：平移目标函数所在的直线2y x z =+，找到最优点(2,0)A -，所以()max 0224=-⨯-=z故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划求最值问题，还考查了数形结合的思想，属于基础题.5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出x y +的值是（ ）A. 5-B. 3-C. 1-D. 0【答案】C【分析】 按照循环结构，先赋值0,1,1i x y === 进入循环，第一次循环此时13≤ 成立，进入第二次循环，此时23≤ 成立，进入第三次循环，此时33≤ 成立，进入第四次循环，此时43≤不成立，结束.。
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湖南省长沙市第一中学201X 届高三上学期第四次月考（数学理）考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、数列、不等式、 推理与证明时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算复数=z 211ZT ZT ZT+-+的值为（ ）A ．0B ．2-C ．ZT +-1D ． 1i --2．已知命题:p x ∃∈R ，210x +≤，则命题p 的否定是（ ） A ．,210x x ∃∈+<R B ．,210x R x ∀∈+≤ C ．,210x x ∃∈+≥RD ．,210x R x ∀∈+>3．已知：等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则数列{n a }的公差d ＝（）A ．138B ．135C ．95D ．234．集合{}21A x x =-<，{}240B x x x =-<，那么＂a A ∈＂是＂a B ∈＂的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（ ） A ．36 B ．45 C ．55 D ．66第5题图第6题图6．如上图，平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60︒，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30︒，且||OC ＝23，若OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ ） A ．2B ．4C ．32D ．347．已知：0a >且1a ≠，若函数2()log ()a f x ax x =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．)131(，C ．11[,)(1,)83+∞D ．)1()4181[∞+，，解：当1a >时，2y ax x =-的对称轴，112x a =< 2u ax x ∴=-在[3,4]上递增，且2330a ->即13a >，log a y u =是增函数，1a ∴>当01a <<时，log a y u =是减函数，2u ax x ∴=-在[3,4]上是减函数11428116404a a a a a ⎧≥⇒≤⎪⎪∴⇒∈∅⎨⎪->⇒>⎪⎩综上：(1,)a ∈+∞，∴选Ａ8．若定义在[2010,2010]-上的函数()f x 满足：对于任意1x ，2[2010,2010]x ∈-，有12()f x x +12()()2009f x f x =+-．设()f x 的最大值、最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（ ） A ．2009 B ．2010 C ．4018 D ．4020二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中的横线上）CBOA开始否是结束A = 1，S = 0 S = S + AA = A + 1输出S9?A ≤9．已知函数()|sin()|f x x ωϕ=+(其中0ω>)的最小正周期为2π，则ω的值为 ．10．已知4b =，a 与b 的夹角为120︒，则b 在a 上的投影为解： 1cos1204()22b ︒=-=-11．已知0a >，0b >，且412ab a b ++=，则ab 的最大值为．12．观察下列不等式474131211353121123211222222<+++<++<+一般地，当2≥n 时<++++n 13121122 （用含n 的式子表示） 13．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R 且，(1)f x +为偶函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，当1x >时，()f x 的递增区间是 ． 14．定义*(1)(2)(1)(,)n x M x x x x n x n =+++-∈∈R N ，如44(4)(3)(2)(1)24M -=-⨯-⨯-⨯-=．对于函数31()x f x M -=，则函数()f x 的解析式是：()f x =x x -3，且()f x 的 单调递减区间是 （写成开区间或闭区间都给全分）．15．若函数()y f x =，x D ∈同时满足下列条件，（1）在D 内为单调函数；（2）存在实数m ，n ．当[,]x m n ∈时，[,]y m n ∈，则称此函数为Ｄ内等射函数，设3()ln x a a f x a +-=(0,1)a a >≠且则(1)()f x 在(,)-∞+∞的单调性为 ；(2)当()f x 为R 内的等射函数时，a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，8AD =，6CD =，13AB =，90ADC ∠=︒，且50AB AC =．（1）求三角形ABC 的面积和边BC 的长度；（2）求sin BAD ∠的值．17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c o s 2a C c b +=（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求△ABC 的周长l 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，12323a a a b b ++=+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（2）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．19．（本题满分13分）设函数31()(0)3f x ax bx cx a =++≠，已知a b c <<，且01b a ≤<，曲线()y f x =在x=1处取极值．（Ⅰ）如果函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围；（Ⅱ）如果当(x k k ≥是与,,a b c 无关的常数)时，恒有()0f x a +<，求实数k 的最小值 20．（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n 个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn 、cn 和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 = a an ，cn + 1 = an + b an2 （其中a 、b 为常数），已知a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件．（1）求a ，b 的值，并写出an + 1与an 满足的关系式；（2）试用你所学的数学知识论证销售总量n a 逐月递增且控制在2万件内；DA BC ′（3）试求从2009年9月份以来的第n 个月的销售总量an 关于n 的表达式．21．（本小题满分13分）已知函数f (x) = 2ln ,(1)0.bax x f x --= （1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线垂直于y 轴，数列{na }满足11()11n n n a f na a +'=-++．①若a1≥3，求证：an ≥n + 2)(*N n ∈； ②若a1 = 4，试比较1231111211115n a a a a ++++++++与的大小，并说明你的理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算复数=z 211ZT ZT ZT+-+的值为（ C ）A ．0B ．2-C ．ZT +-1D ．1i --2．已知命题:p x ∃∈R ，210x +≤，则命题p 的否定是（ D ） A ．,210x x ∃∈+<R B ．,210x R x ∀∈+≤ C ．,210x x ∃∈+≥RD ．,210x R x ∀∈+>3．已知：等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则数列{n a }的公差d ＝（C ）A ．138B ．135C ．95D ．234．集合{}21A x x =-<，{}240B x x x =-<，那么＂a A ∈＂是＂a B ∈＂的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（ B ） A ．36 B ．45 C ．55 D ．66第5题图 第6题图6．如上图，平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60︒，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30︒，且||OC ＝23，若OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ B ） A ．2B ．4C ．32D ．347．已知：0a >且1a ≠，若函数2()log ()a f x ax x =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是（ A ） A ．(1,)+∞B ．)131(，C ．11[,)(1,)83+∞D ．)1()4181[∞+，，CBO A开始否 是 结束 A = 1，S = 0 S = S + AA = A + 1输出S 9?A ≤解：当1a >时，2y ax x =-的对称轴，112x a =< 2u ax x ∴=-在[3,4]上递增，且2330a ->即13a >，log a y u =是增函数，1a ∴>当01a <<时，log a y u =是减函数，2u ax x ∴=-在[3,4]上是减函数11428116404a a a a a ⎧≥⇒≤⎪⎪∴⇒∈∅⎨⎪->⇒>⎪⎩综上：(1,)a ∈+∞，∴选Ａ8．若定义在[2010,2010]-上的函数()f x 满足：对于任意1x ，2[2010,2010]x ∈-，有12()f x x +12()()2009f x f x =+-．设()f x 的最大值、最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（ C ） A ．2009 B ．2010 C ．4018 D ．4020二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中的横线上）9．已知函数()|sin()|f x x ωϕ=+(其中0ω>)的最小正周期为2π，则ω的值为 2 ．10．已知4b =，a 与b 的夹角为120︒，则b 在a 上的投影为2-解： 1cos1204()22b ︒=-=-11．已知0a >，0b >，且412ab a b ++=，则ab 的最大值为 4．12．观察下列不等式474131211353121123211222222<+++<++<+一般地，当2≥n 时<++++n 13121122 n n 12-（用含n 的式子表示） 13．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R 且，(1)f x +为偶函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，当1x >时，()f x 的递增区间是7[,)4+∞．解：∵(1)y f x =+关于y 轴对称，∴()y f x =关于x=1成轴对称．).,47[)(1)(),47[]41(12)(12+∞>+∞∈-∞+-=<的递增区间为时调递增，即单时单调递减，从而可知，在时，当x f x x f x x x x f x14．定义*(1)(2)(1)(,)nx M x x x x n x n =+++-∈∈R N ，如44(4)(3)(2)(1)24M -=-⨯-⨯-⨯-=．对于函数31()x f x M -=，则函数()f x 的解析式是：()f x =x x -3，且()f x 的 单调递减区间是3333(,)[,]3333--或（写成开区间或闭区间都给全分）．解：∵3()(1)(1)f x x x x x x =-+=-，又由2()310f x x '=-<，得3333x -<<即()f x 的单调减区间为33(,)33-．15．若函数()y f x =，x D ∈同时满足下列条件，（1）在D 内为单调函数；（2）存在实数m ，n ．当[,]x m n ∈时，[,]y m n ∈，则称此函数为Ｄ内等射函数，设3()ln x a a f x a +-=(0,1)a a >≠且则(1)()f x 在(,)-∞+∞的单调性为 增函数；(2)当()f x 为R 内的等射函数时，a 的取值范围是(0,1)(1,2)．解：（1）1'()ln 0ln x x f x a a a a ==>, ()f x ∴在R 上是增函数．（2）()f x 为等射函数3()ln x a a f x xa +-⇒==有两个不等实根．即ln 30xa x a a -+-=有两个不等实根．令()ln 3xg x a x a a =-+- '()ln ln ln (1)x x g x a a a a a ∴=-=-,令'()00g x x =⇒=1︒ 当1a >时，0x >时，'()0g x >；0x <时，'()0g x <min ()(0)1302g x g a a ∴==+-<⇒<12a ⇒<<2︒当01a <<时，0x >时，'()0g x >；0x <时，'()0g x <min ()(0)001g x g a ∴=<⇒<<，综上：(0,1)(1,2)a ∈三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，8AD =，6CD =，13AB =，90ADC ∠=︒，且50AB AC =．（1）求三角形ABC 的面积和边BC 的长度； （2）求sin BAD ∠的值．解：（1）由已知||13AB =，22||10AC AD CD =+=50AB AC =||||cos 50AB AC BAC ⇒∠=∴5cos 13BAC ∠=，……………………………………………3分∴12sin 13BAC ∠=，则1112sin 1310602213ABCS AB AC BAC ∆=∠=⨯⨯⨯= …………5分由余弦定理得222cos 13BC AB AC AB AC BAC =+-∠=…………………………7分（2）在Rt △CAD 中，63sin 105CD CAD AC ∠===，4cos 5AD CAD AC ∠==．…………9分∴sin sin()BAD BAC CAD ∠=∠+∠63sin cos cos sin 65BAC CAD BAC CAD =∠∠+∠∠=．………………………………12分17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c o s 2a C c b +=（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求△ABC 的周长l 的取值范围．解：（1）由11cos sin cos sin sin 22a c c b A C C B+=⇒+= ……………………2分 1sin cos sin sin()sin cos cos sin 2A C C A C A C A C∴+=+=+1sin cos sin 2C A C ∴= …………………4分 (0,)C π∈，sin 0C ∴≠，1cos 2A ∴=，又0A π<<3A π∴=……………………………………………6分（2）由正弦定理得：sin 2sin sin 3a B b B A ==，C c sin 32=DABC21(sin sin )3l a b c B C ∴=++=++ ……………………………8分21[sin sin()]3B A B =+++312(sin 2B =+1cos )2B +12sin()6B π=++ …………10分3A π=，)320(π，∈∴B ，5(,)666B πππ∴+∈1sin()(,1]62B π∴+∈ …………………………………………11分(2,3]l ∴∈……………………………………………12分18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，12323a a a b b ++=+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（2）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．解：(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q由341b b q =，得354272q ==，从而3q =因此11123n n n b b q --== ………………………………………3分又123223361824a a a a b b ++==+=+=，28a ∴=从而216d a a =-=，故1(1)664n a a n n =+-=- ……………………………6分（2）14(32)3n n n n c a b n -==- 令01221134373(35)3(32)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+-12313134373(35)3(32)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-……………………………9分两式相减得12312133333333(32)3n n n T n --=+⨯+⨯+⨯++⨯-- 13(31)1331n --=+-(32)3n n --19(31)1(32)32n n n --=+--73(67)44n n n T -∴=+，又47(67)3nn n S T n ==+- ……………………………12分219．（本题满分13分）设函数31()(0)3f x ax bx cx a =++≠，已知a b c <<，且01b a ≤<，曲线()y f x =在x=1处取极值．（Ⅰ）如果函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围； （Ⅱ）如果当(x k k ≥是与,,a b c 无关的常数)时，恒有()0f x a +<，求实数k 的最小值解：（Ⅰ）∵2()2f x ax bx c '=++，∴(1)20f a b c '=++=又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<，故0a <，0c >．则判别式2440b ac ∆=-≥知方程2()20f x ax bx c '=++=（*）有两个不等实根，设为12x x ，又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根， 又由根与系数的关系得122b x x a +=-，21210b x x a =--<<．………………………3分当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>，故函数()f x 的递增函数区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， 因此122||||2b s t x x a -=-=+， …………………………………………………6分 由（1）知01b a ≤<，得||s t -的取值范围为[2,4)． …………………………………8分（Ⅱ）由()0f x a '+<，即220ax bx a c +++<，即2220ax bx b +-<．因0a <，得2220b b x x a a +->，整理得2(22)0b x x a -+>． ………………………9分设2()(22)b b g x x a a =-+，它可以看作是关于b a 的一次函数． 由题意，函数y =()b g a 对于01b a ≤<恒成立．故(1)0(0)0g g ≥⎧⎨>⎩即222200x x x ⎧+-≥⎪⎨>⎪⎩得31x ≤--或31x ≥-．…………………………11分 由题意[,)(,31)[31,)k +∞⊆-∞---+∞，故31k ≥-．因此k 的最小值为31-． …………………………………………………13分20．（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n 个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量′和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn 、cn 和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 = a an ，cn + 1 = an + b an2 （其中a 、b 为常数），已知a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件．（1）求a ，b 的值，并写出an + 1与an 满足的关系式；（2）试用你所学的数学知识论证销售总量n a 逐月递增且控制在2万件内；（3）试求从2009年9月份以来的第n 个月的销售总量an 关于n 的表达式．【解析】（1）依题意：an + 1 = bn + 1 + cn + 1 = a an + an + b an2，则a2 = a a1 + a1 + b a12 ∴a + 1 + b = 32 ①则a3 = a a2 + a2 + b a22 ∴233315()2228a b ++= ② 解①②得a = 1，b = –12 从而an + 1 = 2an –12an2 (n ∈N*) ………………………5分（2）证法（Ⅰ）由于an + 1 = 2an –12an2 = –12 (an – 2)2 + 2≤2．但an + 1≠2，否则可推得a 1= a 2= 2与a 1= 1，a2 = 1.5矛盾．故an + 1＜2 于是an ＜2又an + 1– an= –12an2 + 2an – an = –12an (an – 2) ＞0， 所以an + 1＞an 从而an ＜an + 1＜2 …………………………………9分 证法（Ⅱ）由数学归纳法（i ）当n = 1时，a1 = 1，a2 = 1.5，显然a1＜a2＜2成立（ii ）假设n = k 时， ak ＜ak + 1＜2成立．由于函数f (x) = –12x2 + 2x = –12(x – 2)2 + 2在[0，2]上为增函数，则f (ak) ＜f (ak + 1) ＜f (2)即12ak (4 – ak) ＜12ak + 1(4 –ak + 1) ＜12×2×(4 – 2)即 ak + 1＜ak + 2＜2成立． 综上可得n ∈N*有an ＜an + 1＜2 …………………………9分（3）由an + 1 = 2an –12an2得2 (an + 1– 2) = – (an – 2)2 即(2 – an + 1) = 12(2 – an)2 又由（2）an ＜an + 1＜2可知2 – an + 1＞0，2 – an ＞0则lg (2 – an + 1) = 2 lg (2 – an) – lg 2 ∴lg (2 – an +1) – lg2 = 2[lg (2 – an) – lg2]即{lg (2 – an + 1) – lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg (2 – a1) – lg 2 = –lg 2故lg (2 – an) – lg 2 = (–lg 2)·2n – 1 ∴an = 2 – 2121()2n - (n ∈N*)为所求 ……………13分21．（本小题满分13分）已知函数f (x) = 2ln ,(1)0.b ax x f x --=（1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线垂直于y 轴，数列{n a }满足 11()11n n n a f na a +'=-++．①若a1≥3，求证：an ≥n + 2)(*N n ∈；②若a1 = 4，试比较1231111211115n a a a a ++++++++与的大小，并说明你的理由．【解析】（1）∵f (1) = a – b = 0，∴a = b ，∴f ′(x) =22a a x x +-．要使函数f (x)在其定义域内为单调函数，则∈∀x (0，+∞)内f '(x) = 22a a x x +-恒大于等于零，或恒小于等于零． 222()ax a x f x x +-'= 由()0f x '≥得221x a x ≥+而222112x x x x ≤=+ 1a ∴≥ 由()0f x '≤得221x a x ≤+ 而2201x x >+ 0a ∴≤ 经验证a=0及a=1均合题意，故01a a ≤≥或∴所求实数a 的取值范围为a ≥1或a ≤0． ………………………5分（2）∵函数f (x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，∴f ′(1) = 0，即a + a – 2 = 0，解得a = 1，∴f ′(x) = 211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴an + 1 = f ′211 1.1n n n n na a na a ⎛⎫-+=-+ ⎪+⎝⎭ ………7分①用数学归纳法证明：（i ）当n = 1时，a1≥3 = 1 + 2，不等式成立；（ii ）假设当n = k 时不等式成立，即2,k a k ≥+那么ak – k ≥2＞0，∴ak + 1 = ak (ak – k) + 1≥2 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2＞k + 3，也就是说，当n = k + 1时，ak + 1≥(k + 1) + 2．根据（i ）和（ii ），对于所有n ≥1，有an ≥n + 2． ……………………………………10分②由an + 1 = an (an – n) + 1及①，对k ≥2，有ak = ak – 1 (ak –1 – k + 1) + 1≥ak –1 (k – 1 + 2 – k + 1) + 1 = 2ak –1 + 1，∴ak + 1≥2 (ak –1 + 1)≥22 (ak – 2 + 1)≥23 (ak –3 + 1)≥…≥2k –1 (a1 + 1)而11115a =+，于是当k ≥2时，111231111111,1111112k k n a a a a a a -≤⨯∴+++++++++111a ≤+211111112122(1)(1).1255522212n n n --++++=⨯=-<- …………………………13分。
湖南省师大附中、长沙市一中等六校2014届高三4月联考数学(理)试题-含答案
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
6．设 {a n} 是等比数列，则 “ａ1<a2 <a4”是 “数列 {a n} 是递增数列 ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为
A．4 3
a 的取值范围；
（2）当 a=1 时，若 f （ x） >n 恒成立，求满足条件的正整数 n 的最大值；
3 2n
（3）求证：（ 1+1 ×3）×（ 1+3 ×5）×… ×[1+ （ 2n－ l）（ 2n+l ） ]>e 2 ．
参考答案
uuur ⊥ OB ？若存在， 写出该圆的方程， 并求该切线在 y 轴上截距的取值范围及 | AB| 的取值范围； 若
不存在，说明理由．
22．（本小题满分 13 分）
x(1 a1nx)
已知函数 f（x） =
(x 1)．
x1
（1）若 g（ x ） =（ x-l ） 2f ′（ x ）在（ 1， +
）是增函数，求实数
息中按一定规则对信息加密，设定原信息为
A 0=a1a2… an， ai∈{0 ， 1} （ i=1 ， 2， 3… n），传输当
中原信息中的 1 都转换成 01，原信息中的 0 转换成 10，定义这种数字的转换为变换丁，在多次
的加密过程中，满足 A k=T（ A k－1）， k=1， 2， 3，…．
（ 1）若 A 2： 10010110，则 A 0 为 ____
；
（ 2）若 A 0 为 10，记 A K 中连续两项都是 l 的数对个数为 l K，k=l ，2，3，…，则 l K=
湖南省长沙一中高三数学上学期第五次月考试卷 理(含解析)
2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 253．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 4834．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 35．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 7206．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A．12π B． 4π C．3π D． 12π8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=010．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集解答：解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．3．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 483考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．解答：解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．4．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 3考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积的3倍，故可得结论．解答：解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积S=3=3故答案为：3点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性，属于基础题．5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 720考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．解答：解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答．6．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．解答：解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B点评：复合命题的真值表：7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A．12π B． 4π C．3π D． 12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题10．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析： g（x）=x|a﹣x|+2x=，易分析a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；于是得当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点，故只需考虑a∈（2，3]的情形．当x≥a时，利用二次函数的单调性与最值可求得g（x）的值域为[2a，+∞）；若x＜a，g（x）的值域为（﹣∞，]，依题意ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可．解答：解：∵g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，对称轴x=≤a，即a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；若x＜a，对称轴x=≥a，即a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；∴当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点；因此，只需考虑a∈（2，3]的情形．当a∈（2，3]时，g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，g（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴，则g（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时g（x）的值域为g（x）∈[g（a），+∞）=[2a，+∞）；若x＜a，g（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴x=＜a，则g（x）在x∈（﹣∞，]为增函数，此时g（x）的值域为（﹣∞，]；g（x）在[，a]为减函数，此时g（x）的值域为（2a，]；由存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可，令h（a）=≥=2，只要使t＜[h（a）]max即可，而h（a）在a∈[﹣2，3]上是增函数，∴[h（a）]max=h（3）=，故实数t的取值范围是（2，）；故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，突出函数单调性与值域的探索与分析，考查创新思维、逻辑思维、抽象思维及综合运算、分析的能力，属于难题．一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：圆ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即 x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）为圆心、半径r等于2的圆．直线ρ（sinθ+cosθ）=4，即 x+y﹣4=0，由于弦心距d==，故弦长为2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是[﹣2，4]．．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．解答：解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：[﹣2，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△A BC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为35°．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质即可得出．解答：解：∵AC=CD，∠D=35°，∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．∴∠CBE=35°．∵AB=AC，∴∠ABC=70°，∴∠ABE=35°．故答案为：35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为（0，1]∪（3，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或，运用指数函数的单调性和二次不等式的解法，分别解出它们，再求并集即可．解答：解：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或即或，解得，0＜x≤1或3＜x＜4．则解集为（0，1]∪（3，4）．故答案为：（0，1]∪（3，4）．点评：本题考查分段函数的运用：解不等式，考查指数函数的单调性，及二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有216 ．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，由组合数公式可得其分组方法；2、甲所在小组先开出，乙所在小组随后开出，由排列的性质可得列车开出的不同顺序；由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，则有C42=6种分组方法，2、甲所在小组先开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，同理乙所在小组随后开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，则共有6×6×6=216种不同的顺序，故答案为216．点评：本题考查分步计数原理的运用，涉及排列、组合的运用，解题时注意首先要满足“两列列车不在同一小组”的分组要求．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．解答：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．设 P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ ），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′==＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故答案为：．点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ 的取值范围求三角函数式的最值，利用导数研究函数的单调性．用cosθ，sinθ表示λ和μ 是解题的难点，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．考点：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用组中值，可求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）求出走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，可得选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，利用面积之比，求出选择走甲线路的概率．解答：解：（Ⅰ）a=++2.5×+3.5×+4.5×=3；（Ⅱ）在EF路段多花汽油费的数学期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油费的数学期望是20×1×=5元，∵EF，GH路段堵车与否相互独立，∴走乙路线多花汽油费的数学期望是40y+5元，∴走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，∴选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，∵x在（，1）上变化，y在（0，）上变化，∴选择走甲线路的概率为=点评：本题考查概率的计算，考查面积的计算，属于中档题．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程，利用两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程；（2）直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k1+k2，再由得，y M=，求出k3，即可得出结论．解答：解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1=，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M=，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出数列{a n}是公比为2的等比数列．由此能求出，n∈N*．（2）=，若b1，b m，b n成等比数列，则．由此能求出当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）=[]，由此利用裂项求和法能证明．解答：（1）解：∵a n+12=2a n2+a n a n+1，∴（a n+1+a n）（2a n﹣a n+1）=0，又a n＞0，∴2a n﹣a n+1=0，即2a n=a n+1，∴数列{a n}是公比为2的等比数列．由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*．（2）解：=，若b1，b m，b n成等比数列，则（）2=，即．由，得，∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．故当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）证明：==[]=[]，∴[]==，∵（）n+1•递减，∴0＜（）n+1•≤∴，∴．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的成立的条件的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法，综合考查了学生的推理运算，逻辑思维等能力，是难度较大的题目．。
湖南省长沙市重点中学2014届高三第八次月考数学理试题Word版含答案
湖南省长沙市重点中学2014届高三第八次月考数学理 2014.4.1．设集合{}{}2,ln ,,A x B x y ==，若{}0A B ⋂=，则y 的值为 A ．0 B ．1 C ．e D ．2 答案：A 2．复数12iz i-=的虚部是( ) (A) 1 (B)-1 (C)2 （D ）-2答案：B3．下列命题中的假命题是（ ） A.0,32xxx ∀>>B.()0,,1xx e x ∀∈+∞>+C.()0000,,sin x x x ∃∈+∞<D.00,lg 0x R x ∃∈<答案：C4．某厂生产A 、B 、C 三种型号的产品，产品数量之比为3:2:4，现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为180的样本，则样本中B 型号的产品的数量为(A)20 (B)40 (C)60 (D)80 答案：B5．已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1,f =则(2)f -=（A ）1- （B ）1 （C ）5- （D ）5 答案：D6．设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是 ．1a b =- B ．//a b C ．2a b = D ．a b ⊥答案：A7．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是侧视图俯视图A ．3 B．C ．6 D ．8【答案】C ．8．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )A ．420B ．560C ．840D ．22809．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若1214k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ． (A)21 (B) 31 (C)3310．不等式222y axy x +-≤0对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤22B ．a ≥22C ．a ≥311答案：D11.（几何证明选讲）如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC AB COP12.（极坐标系与参数方程选讲）参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t t t e e y e e x 中当t 为参数时，化为普通方程为__122=-y x _（x )1≥_.13.（不等式选讲）若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为14.已知cos()4πθ+=，(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-【答案】15.定义某种运算⊗，b a S ⊗=的运算原理如右图所示．设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f __-3____；()f x 在区间[]3,3-上的最小值为___-12___．16.已知数列{}na 满足)(221++∈-=N n a a n n ，且b a b a a a ,(,20121==>2）则=201121a a a（用a,b 表示）17.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c a C b -=2cos 2． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若C A sin sin 的取值范围．解（Ⅰ）由余弦定理可得：c a abc b a b -=-+⋅222222，即ac b c a =-+222，∴212cos 222=-+=ac b c a B ，由),0(π∈B 得3π=B ．（Ⅱ）由3π=B 得，A C -=32π， ∴ A A A A A C A 2s i n 21c o s s i n 23)32s i n (s i n s i n s i n +=-=π41)62sin(21412cos 412sin 43+-=+-=πA A A ． ∵ )32,0(π∈A ， ∴ )67,6(62πππ-∈-A ， ∴ 1)62sin(21≤-<-πA ， ∴ C A sin sin 的取值范围为]43,0(．18.某班甲、乙两名学同参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：的概率．(2)后来经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5 ]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．解 (1)设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8， 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为P ＝1－P (A )(B )＝1－410×510＝45. ………………5分(2)设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则|x －y |<0.8， 得－0.8＋x <y <0.8＋x . ………………8分如图阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16， ………………9分则P (|x －y |<0.8)＝P (－0.8＋x <y <0.8＋x )＝4.163×3＝104225.…………12分19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -C PF 的长度．解析：（1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ， 所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，P FED CAB所以4cos ,||||BE CP BE CPBE CP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP ． ----6分 （2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =， 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t nt-=-， 所以，121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅解得23t =，或2t =（舍）． 所以||PF =． -------------------------12分 20.某地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a 2m ，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积a 2m ，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加a 2m .设第n (1,N n n ≥∈且)年新城区的住房总面积为n a 2m ，该地的住房总面积为n b 2m .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若每年拆除4a 2m ，比较+1n a 与n b 的大小.解析：⑴设第n 年新城区的住房建设面积为n λ2m ，则当14n ≤≤时，12n n a λ-=当5n ≥时，(4)n n a λ=+. 所以, 当14n ≤≤时，(21)nn a a =-当5n ≥时，2489(4)n a a a a a a n a =+++++++ (2922)2n n a +-=故2(21)(14),922(5).2n n a n a n n a n ⎧-≤≤⎪=⎨+-≥⎪⎩ ……6分⑵13n ≤≤时，11(21)n n a a ++=-，(21)644n n b a a na =-+-，显然有1n n a b +< ……7分4n = 时，1524n a a a +==，463n b b a ==，此时1n n a b +<. ……8分 516n ≤≤ 时，2111122n n n a a ++-=，29226442n n n b a a na +-=+- 10分1(559)n n a b n a +-=-. ……11分所以,511n ≤≤时，1n n a b +<；1216n ≤≤时，1n n a b +>.17n ≥时，显然1n n a b +> 故当111n ≤≤时，1n n a b +<；当 12n ≥时，1n n a b +>. 13分21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当3||<AB 时，求实数t 的取值范围．解（1）由已知2c e a ==，所以2234c a=，所以22224,3a b c b ==所以222214x y b b += …… 1分又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为221b a= 所以1b = …… 3分所以2214x y += …… 4分 （2）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y 设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14)243640k x k x k +-+-= 24222416(91)(14)0k k k ∆=--+>得215k < 2212122224364,1414k k x x x x k k -+=⋅=++ …… 6分1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++= 121()x x x t =+=2224(14)k t k +[]12122116()()6(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++22221444(14)k t k =+ 22236(14)k t k =+ …… 8分又由12AB x =-<, 所以2212(1)()3k x x +-<221212(1)()43k x x x x ⎡⎤++-<⎣⎦2(1)k +242222244(364)(14)14k k k k ⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦3< 22(81)(1613)0k k -+>所以221810,8k k ->> …… 11分所以21185k << 由22236(14)k t k =+得222236991414k t k k ==-++所以234t <<，所以2t -<<2t << …… 13分22.已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ， 并且1l 与2l 平行.（1）已知实数t∈R，求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值（用t 表示）；（2）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.解： ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =，∴2(),f x x x =-， ………2分（1）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…4分 令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ ………3分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ① 当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- …………6分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………7分 ∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=， 得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………9分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ……………11分③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. …………12分∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ……………13分。
[理数答案]炎德英才大联考2014长沙一中高三8次月考
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[套卷]湖南省长沙市长郡中学2014届高三上学期第四次月考试卷 数学(理) Word版含答案
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湖南省长沙市长郡中学2014届高三上学期第四次月考试卷 数学（理） Word 版含答案长郡中学高三数学备课组组稿 （考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页，时量120分钟．满分150分，一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2|05,,|4M x x x N N x x =<<∈==，下列结论成立的是 A.N M ⊆ B.M N M = C.M N N = D.{}2M N = 2．下列命题中，真命题是 A ．00,0x x R e∃∈≤B. 3,3x x R x ∀∈>C ．“0a b -=”的充分不必要条件是“1ab=” D ．“22x a b >+”是“2x ab >”的必要不充分条件 3．已知非零向量a ，b 满足a+b 与a-b 的夹角是2π，那么下列结论中一定成立的是A.a b =B.a=bC.a b ⊥D.a ∥b 4．设以13434(),(),log 43x x a b c x -===，若x>l ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a<b<c ．B ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A. 3B. 5C. 7D. 96．双曲线的中心在坐标原点O ，A 、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为ABCD7．如图，已知圆22:(4)(4)4M x y -+-=，四 边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 、F分别为边AB ，AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是A．⎡-⎣ B ．[]8,8-C．⎡-⎣ D ．[]4,4-8．已知(0,)2x π∈，且函数212sin ()sin 2xf x x +=的最小值为b ，若函数()g x =21(),42864(0),4x x bx x πππ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩，则不等式()1g x ≤的解集为A．2π⎫⎪⎪⎭ B．2π⎫⎪⎪⎭ C．6π⎤⎥⎦ D．6π⎤⎥⎦选择题答题卡二、填空题：本大题共8个小题，考生做答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分） 9．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：22cos 0ρρθ+=，点P 的极坐标为(2,)2π，过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，且228a b c ++=，则222(1)(2)(3)a b c -+++-的最小值是_______. 11.如图，AB 是半圆O 的直径，C 在半圆上，CD ⊥AB 于 点D ，且AD=3DB ，AE= EO ，设CED θ∠=，则tan 2θ= ___________.（二）必做题（12至16题）12．在281()x x-的展开式中x 的系数是__________.（用数字作答）13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为___________．14.设区域{}(,)|02,02,,A a c a c a c R =<<<<∈，若任 取点(,)a c A ∈，则关于x 的方程220ax x c ++=有实 根的概率为____________．15.已知函数()3xf x x e =+-的定义域为R ． (l)则函数()f x 的零点个数为___________； (2)对于给定的实数k ，已知函数()k f x = (),(),,()f x f x k k f x k≤⎧⎨>⎩,若对任意x ∈R ，恒有()()k f x f x =，则k 的最小值为__________．16.在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令2log ,n n a A n N *=∈． (1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；(2)2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知三角形的三内角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为cos C (1)若a=l ，b=2，求c 的值． (2)若1a =，且43A ππ≤≤，求b 的取值范围．18.（本小题满分12分）为了解某班学生关注NBA 是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：已知在全班48人中随机抽取一人，抽到关注NBA 的学生的概率为23． (l)请将上面的列表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA 与性别有关？说明你的理由．(2)现从女生中抽取2人进行进一步调查，设其中关注NBA 的人数为X ，求X 的分布列与数学期望． 下面的临界值表仅供参考：19.（本小题满分12分）如图，△BCD 是等边三角形，AB=AD ，90BAD ∠= ，将△BCD 沿BD 折叠到△'BC D 的位置，使得'AD C B ⊥.(l)求证：'AD AC ⊥；(2)若M 、N 分别为BD ，'C B 的中点，求二面角N-AM-B 的正弦值． 20.（本小题满分13分）如图所示，有一具开口向上的截面为抛物线 型模具，上口AB 宽2m ，纵深OC 为1.5 m. (l)当浇铸零件时，钢水面EF 距AB 0．5m ， 求截面图中EF 的宽度；(2)现将此模具运往某地，考虑到运输中的各种因素，必须把它安置于一圆台型包装箱内，求使包装箱的体积最小时的圆台的上、下底面的半径.221212121(),,3V h r r r r r r π=++圆台为上、下底面的半径，h 43≈21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b +=的一个顶点坐标为A ，且抛物线214y x =的焦点是椭圆1C 的另一个顶点． (l)求椭圆1C 的方程；(2)①若直线:l y kx m =+同时与椭圆1C 和曲线2224:3C x y +=相切，求直线l 的方程． ②若直线:l y kx m =+与椭圆1C 交于M ，N ，且直线OM 的斜率是OM k 与直线ON 的斜率ON k 满足4(0)OM ON k k k k +=≠,求证：2m 为定值．22.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足111,21()n n S S S n N *+=-+=-∈，数列{}n b 的通项公式为34()n b n n N *=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k，使得三(,),(,),(,)A b a A b a A b a落在圆C上？请说明理由．n n n m m m k k k。
长沙市一中高三第四次月考(理科数学)
高三第四次月考试卷理科数学命题：某某市一中高三理科数学备课组 时量：120分钟 满分150分得分第Ⅰ卷 非选择题（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若A ={2，3，4}，B ={x |x =n ·m ,m ,n ∈A ,m ≠n },则集合B 的元素个数为（B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2.已知向量a =(1－sin θ，1)，b =(21,1+sin θ),且a ∥b ，则锐角θ等于（B ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°[解析] 由a ∥b 可得（1－sin θ）(1+sin θ)－21=0,即cos θ=±22，而θ是锐角，故θ=45°. 3．双曲线1322=-y x 的渐近线与其准线的夹角是（C ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°[解析] ∵双曲线1322=-y x 的渐近线方程y =±x 33,准线方程x =±23,故夹角是60°. 4．在△ABC 中，“cos A =2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的（A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 2sin B sin C =cos A =cos[π－（B +C ）]=－cos(B +C )=sin B sin C －cos B cos C ,即cos(B －C )=0,于是B －C =±2π，则△ABC 为钝角三角形，反之不成立，如取A =B =12π,C =65π时，cos A ≠2sin B sin C . 故选A.5．已知函数y =2sin(ωx +θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y =2某两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是（A ）A ．（－2π，－4π） B.（－4π，4π） C ．（0,2π）D ．（4π，43π） [解析] 由已知条件可知θ=2π，且这个函数的最小正周期为π，从而ω=2，于是原函数为y =2cos2x ,可求其单调增区间为[k π－2π,k π](k ∈Z )，对k 取值可知A 符合题意，故应选A. 6.设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和,且S 1,S 2,S 4成等比数列,则12a a 等于(C)A.1B.2C.3D.47.设a =sin13°+cos13°,b =22cos 214°－2,c =26,则a ,b ,c 的大小关系为(B) A.b <c <a B.a <c <b C.c <a <b D.c <b <a8.在R 上定义一种运算⊗：x ⊗y =x (1－y ).若不等式（x －a ）⊗(x +a )<1对任意实数x 成立，则（A ） A.－21<a <23B.0<a <2C.－1<a <1D.－23<a <219.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值X 围是（D ）A.(1,332) B.（1,332]C.(332,+∞) D. [332,+∞) [解析] 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率a b ，∴a b ≥33，离心率e 2=22a c =222a b a +≥34,∴e ≥332,选D.10.定义在R 上的函数f (x )的图象关于点（－43，0）成中心对称，对任意的实数x 都有f (x )=－f (x +23),且f (－1)=1,f (0)=－2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2008)的值为（D ）A.－2B.－1C.0D.1[解析] 函数f (x )的图象关于点（－43，0）成中心对称，得f (x )+f (－23－x )=0,又f (x )=－f (x +23),于是f (x )是偶函数，且f (x )=－f (x +23)=f (x +3),即3是函数f (x )的周期，f (－1)=1=f (2)=f (1)=f (4), f (0)=－2=f (3), f (1)+[f (2)+f (3)+f (4)]+…+[f (2006)+f (2007)+f (2008)]=f (1)=1.故选D.第Ⅰ卷答题卡题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BBCAACBADD第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．已知符号函数sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,0,0,1x x x 则不等式（x +1）sgn x >2的解集是 {x |x <－3或x >1} .[解析] ①当x >0时，sgn x =1,不等式的解为x >1;②当x =0时，sgn x =0,不等式无解；③当x <0时sgn x =－1,不等式的解为x <－3,所以不等式（x +1）sgn x >2的解集为{x |x <－3或x >1}.12.已知点P (x ,y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤,y-x ,y ,x 0111 那么22y x +的最大值等于2 ，最小值等于 22.13.如图,在平面斜坐标系xOy 中,∠xOy =60°,该平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若OP =x e 1+y e 2,(其中e 1、e 2分别为与x轴、y 轴方向相同的单位向量)，则P 点的斜坐标为（x ,y ）.若P 点的斜坐标为（3，－4），则点P 到原点O 的距离|OP |= 13.[解析] 由点的斜坐标的定义可知=OP 3e 1－4e 2,∴2OP =9e 21－24e 1·e 2+16e 22=9|e 1|2－24|e 1||e 2|·cos60°+16|e 2|2=9－24×21+16=13, ∴|2OP |2=13,即|OP |=13,即点P 到原点O 的距离|OP |=13.14．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右算第9个数字为 2008 .[解析] 由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的一个数是2)163(63+⨯=2016，从左至右的第9个数应是2016－9=2008.15．已知函数f (x )=⎩⎨⎧>-≤--)0(,12)0(,2x ax x e x （a 是常数且a >0），对下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上存在反函数； ③对任意x 1<0,x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (221x x +)<2)()(21x f x f +； ④对任意的x 1,x 2∈[－2，0]且x 1≠x 2，恒有|f (x 1)－f (x 2)|<t |x 1－x 2|(t ∈R )成立，t 的最小值是e 2，其中正确命题的序号是①③④.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）向量a =（cos x +sin x , 2cos x ）,b =(cos x －sin x ,2sin x )，f (x )=a ·b .（Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）若2x 2－πx ≤0，求函数f (x )的值域.[解析] （1）f (x )=a ·b =（cos x +sin x ,2cos x ）·(cos x －sin x ,2sin x )=cos2x +sin2x =2sin(2x +4π).(2分) 由2k π－2π≤2x +4π≤2k π+2π(k ∈Z )，解得k π－8π3≤x ≤k π+8π(k ∈Z ). (4分) 由2k π+2π≤2x +4π≤2k π+23π(k ∈Z )，解得k π+8π≤x ≤k π+85π(k ∈Z ). (6分) ∴函数f (x )的单调递增区间是[k π－8π3,k π+8π](k ∈Z )；单调递减区间是[k π+8π,k π+85π](k ∈Z ). （7分）（2）∵2x 2－πx ≤0，∴0≤x ≤2π. （8分） 由（1）中所求单调区间可知，当0≤x ≤8π时，f (x )单调递增；当8π≤x ≤2π，f (x )单调递减. (10分)又∵f (0)=1>f (2π)=－1,∴－1=f (2π)≤f (x )≤f (8π)=2. ∴函数f (x )的值域为[－1,2]. (12分)17．（本题满分12分）定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ,y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y ).(Ⅰ)求证f (x )为奇函数；(Ⅱ)若f (k ·3x )+f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，某某数k 的取值X 围. [解析] （1）f (x +y )=f (x )+f (y )(x ,y ∈R ) ①令x =y =0,代入①式，得f (0+0)=f (0)+f (0),即f (0)=0. （2分） 令y =－x ,代入①式，得f (x －x )=f (x )+f (－x ),又f (0)=0,则有0=f (x )+f (－x ). 即f (－x )=－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数. （5分）(2)f (3)=log 23>0,即f (3)>f (0), 又f (x )在R 上是单调函数, 所以f (x )在R 上是增函数, （6分） 又由(1)知f (x )是奇函数.f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)=f (－3x +9x +2), k ·3x <－3x +9x +2, （8分） 对任意x ∈R 成立. 分离参数得k <3x +x32－1. （10分） 令u =3x +x 32－1≥22－1，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x +x32－1恒成立，只要使k <22－1. （12分）18．（本题满分12分）将圆x 2+y 2+2x －2y =0按向量a =(1,－1)平移得到圆O ，直线l 和圆O 相交于A ，B 两点，若在圆O 上存在点C ，使=++OB OA OC 0，且OC =λa . (Ⅰ)求λ的值； (Ⅱ)求弦AB 的长； (Ⅲ)求直线l 的方程.[解析] （1）圆x 2+y 2+2x －2y =0按向量a =(1,－1)平移，得到圆O ：x 2+y 2=2,所以半径r =2. ∵|OC |=|λa |=2,即|λ||a |=2，∴λ=±1. （3分）（2）取AB 中点D ，连结OD ，∵OD OB OA 2=+，由=++OC OB OA 0可得,2OD OC -= ∴|OD |=21|OC |=22， （5分） 又∵OD ⊥AB ，∴AB =26226)(22=⨯=-OD OA . （7分） （3）当λ=1时，OC =a =(1,－1),设D 点坐标为（x ,y ），则OD =（x ,y ）=－21OC =（－21，21）， （8分）又∵直线AB 的斜率k AB =－.11=ODk AB 的方程为x －y +1=0. （10分）同理当λ=－1时，AB 的方程为x －y －1=0. （12分）19．（本题满分13分）边界为椭圆的某运动场（如图所示），椭圆的左右焦点分别为F 1、F 2，椭圆上的点到焦点F 2的最小距离为10米，椭圆的离心率为54. (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)在运动场的右侧，有一条与F 1F 2垂直的目标线l ，它与F 2的距离为22.5米，运动员体能训练时，要求从F 2的正北方10米处一定点A 出发，在椭圆的内外折返快速奔跑.椭圆的内部是草坪（软地），外部是塑胶跑道.已知某运动员在椭圆内、外奔跑速度之比为4∶5，且在草坪内奔跑速度为7 m/s ，现要求从点A 出发，沿任何方向到达目标线l 上，求所需的最短时间t .[解析] （1）F 1F 2所在的直线为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立直角坐标系，依题意可知⎪⎩⎪⎨⎧==.54,10a c a-c （3分）∴⎩⎨⎧==.40,50c a ∴b =30 ∴椭圆方程为.1900250022=+y x （5分） (2)∵24522==-c b c c a ，∴l 是椭圆的右准线.要使时间最短，设从点A 出发，直线运动到椭圆上某点P ，再沿与l 垂直的直线运动到目标线l 上的点Q . 则|PQ |=45||2=e PF |PF 2|. (7分) 因为在椭圆内，外奔跑速度之比为4∶5，所以跑完线段PQ 的时间与跑完PF 2的时间相同. 要使运动时间最短,则AP +PF 2最小. (9分)∵AP +PF 2=AP +F 1A +PF 2－F 1A ≥F 1P +PF 2－F 1A =2a －F 1A =100－1065. (12分) ∴76510100-=t (秒) 答：最短时间为76510100-秒. (13分) 20．（本题满分13分）如图，过定点M （p ,0）(p >0)的直线l 与抛物线y 2=2px (p >0)相交于A 、B 两点.(Ⅰ)证明：A 、B 两点的纵坐标之积为定值；(Ⅱ)若点N 是定直线x =－p 上的任一点，问三条直线AN 、MN 、BN 的斜率之间是否存在某等量关系，若存在，试写出该等量关系式，并给出证明；若不存在，说明理由.[解析] （1）设l ：x =ty +p ,代入y 2=2px ，消x 得：y 2－2pty －2p 2=0,3分设方程的两根为A ，B 两点的纵坐标y A ,y B ,所以y A y B =－2p 2.即A ，B 两点的纵坐标之积为定值－2p 2.(5分)（2）k AN 、k MN 、k BN 成等差数列，即2k MN =k AN +k BN . （7分） 设N (－p ,n ), A (x A ,y A ), B (x B ,y B ), 则k MN =－p n2, k AN =p x n y A A +-，k BN =,px n y B B +- k AN +k BN =))(())(())((p x p x p x n y p x n y p x n y p x n y B A A B B A B B A A +++-++-=+-++- 2)(2)()(p x x p x x pny y p x x n y x y x B A B A B A B A A B B A +++-+++-+=（9分）而y A y B =－2p 2,y A +y B =2pt ,x A x B =py p y BA 2222⋅=p 2,x A +x B =(ty A +p )+(ty B +p )=t (y A +y B )+2p =2pt 2+2p ,x A y B +x B y A =,2)(2)(21222t p y y py y y y y y p B A B A B A B A -=+⋅=+（11分）所以k AN +k BN =MN k pnp p pt p p pnt p p pt n t p 2)22(22)22(2222222=-=+++-++--,即k AN 、k MN 、k BN 成等差数列. （13分）21．（本题满分13分）设数列{a n }, {b n }满足a 1=21,2na n +1=(n +1)a n ,且b n =ln(1+a n )+212n a ,n ∈N *. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)对一切n ∈N ，证明nn n b a a <+22成立； (Ⅲ)记数列{2n a },{b n }的前n 项和分别为A n ,B n ,证明2B n －A n <4.[解析] （1）由2na n +1=(n +1)a n , 得n a n a n n ⨯=++2111,即数列{n a n }是以2111=a 为首项，为21为公比的等比数列.∴a n =n (21)n. (3分) （2）因为a n >0,b n =ln(1+a n )+21(2n a )>0,n ∈N *，所以要证明nn n b a a <+22，只要证明2b n <2n a +2a n . 即要证明b n －212n a －a n <0，也即证明ln(1+a n )－a n <0成立. (5分) 构造函数f (x )=ln(1+x )－x (x ≥0). ∵f ′(x )=,1111xx x +-=-+ (7分) 当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在（0,+∞）内为减函数，故f (x )<f (0)=0, ∴ln(1+x )－x <0, 即ln(1+a n )－a n <0,此式对一切n ∈N *都成立.故nn n b a a <+22成立.（8分） （3）∵2b n －2n a =2ln(1+a n ),由（2）可知，2b n －2n a =2ln(1+a n )<2a n , （10分）∴2B n －A n <2(a 1+a 2+…+a n )=2(n n 223222132+⋯+++), 利用错位相减法求得)221(22222222112++-=+-=+⋯++n n n n n n . （12分） 故2B n －A n <4(1－122++n n )<4. （13分）。
湖南省长沙一中学年高三月考数学(理科)试卷
湖南省长沙一中2007-2008学年高三第八次月考数学（理科）试卷本试卷共3大题21小题，全卷总分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{(,)|(),[1,1]},{(,)|0},集合N M x y y f x x x y x ==∈-==则M N 中所含元素的个数是A ． 0 B. 1 C. 0 或1 D ．0 , 1或22．在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b ]是其中的一组已知该组上的直方图的高为h ，则该组的频率为A ．ab h- B ．)(b a h - C ．hab - D ．)(a b h - 3．定义在R 上的函数()f x 满足()()3及f x f x π+=-()(),()则f x f x f x -=-可以是A ．1()2sin3f x x = B ．()2sin3f x x = C ．1()2cos 3f x x = D .()2cos3f x x = 4．函数()y f x =的图象经过原点，且它的导函数'()y f x =的图象是如图所示的一条直线，则()y f x =的图象不经过 A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．2008年北京奥运会足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6 个组进行单循环赛在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛的场次为 A.53 B.52 C.51 D.506. 已知在正方体1111A B C D ABCD -中,点P 是线段1A D (不包括线段端点)上的一点,则二面角1P BC C --的取值范围是.(0,.(0,).(,).(,)646242A B C D ππππππ7. 已知椭圆2214x y +=的左右顶点分别为M 、,N P 为椭圆上任意一点,且直线PM 的斜率的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则直线PN 的斜率的取值范围是A.11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.[]8,2--D.[]2,88．如图，是判断年份Y 是否闰年的流程，则以下年份是闰年的是 A .2009 B .2100 C .1996 D. 20079.已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是A ．1(2,2B ．1(,2)2-- C.1(,1)2-- D ．(1,1)-- 10．已知曲线22:x y C =，点A （0，－2）及点B （3，a ），从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．（4，＋∞） B.（－∞，4） C.（10，＋∞） D.（－∞，10） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．三个实数,,a b c 成等比数列，若1a b c ++=，则b 的取值范围是 . 12．1x 21x 1(Lim 21x ---→）= ． 13．若以连续掷两次骰子所得的点数x ，y 为点P 的坐标，则点P 落在圆1622=+y x 的内部的概率是 .14．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥ 时，a b a ⊕=；当a b <时，a b b ⊕=2．则函数[]()f x x x x x ()()()=⊕-⊕∈-1222·，的最大值等于 。
湖南省长沙一中高三上学期月考数学试卷(理科)(五)有答案
3)(1,]0-．下列命题中，为真命题的是（，使得0e xM4M N4N25414满 20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△2112e 的取值范围是（C ．1(9,+∞][,)1+∞．已知向量,a b 满足||2a =，()3a b a -=-，则向量b 在a 方向上的投影为)0,0()ax x e a b b=->>的图象在处的切线与圆x218100中，sin (a b =co )s C ，sin sin (cos B C +0,π(C ∈又cos sin B B =0,π()B ∈又π4B =又∵BDC S =△ABDC =四边形2B，(3,)5∥又HF AC则(1,,0),(0,,1),11,(BQ t EQ t AF =-=-=-设平面BQE 的法向量为(,,)n x y z =，则由0n BQ =，且0n EQ =，得，则(,1,)n t t =，∥平面BEQ ，则须(,1,n AF t t =上存在一点1(0,3Q 的法向量为(,n x y =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则(1,1,1)n =11153333113339,n n ++<>=为锐二面角，所以其余弦值为533331211211(MA MBy y kx k x x ++==+MA ⊥MB ，即MD ⊥ME ．2211121111111|||1||1||22||k MA MB k k k k k +=++-=得22480()1k x k x +-=．121|4)|)k +．湖南省长沙一中高三上学期月考数学试卷（理科）（五）解析1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3-4i）z=1+2i，得=，∴．2．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥-1或x≤-3，即A=（-∞，-3]∪[-1，+∞），由B中不等式变形得：2x<1=20，即x<0，∴B=（-∞，0），则A∩B=（-∞，-3]∪[-1，0），3．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2-x+1≥0，则D正确；4．【分析】在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c⇔sinA<sinB<sinC⇔sin2A<sin2B<sin2C⇔1-2sin2A>1-2sin2B>1-2sin2C⇔“cos2A>cos2B>cos2C”．∴在△ABC中，“A<B<C”是“cos2A>cos2B>cos2C”的充要条件．5．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．6．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k-5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n= a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k-5=5分钟，即m=5．7．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（-x+β）=sin（x+-β），…②，选项代入验证，所以C正确．8．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2-x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2-x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，9．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为，10．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．11．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5-c，（c<5），运用三角形的三边关系求得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m-n=2a2，即有a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，可得c>，即有<c<5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1<<4，则有>．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．12．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m<1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m<1，当m=1时，t=-2，此时由m2+m-2=0得m=1或m=-2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=-2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）<0即可，即1+1+t<0，则t<-2，综上t≤-2，13．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=-10cosx=-10（cos-cos0）=10，∴展开式中通项T r+1=••=（-1）r••，令5-=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为T6+1=（-1）6•==210．14．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos<>，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=-=-3，∴=1，∴cos<>==，∴在方向上的投影为||cos<>=．15．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=-令x=0，则f′（0）=-又f（0）=-，则切线方程为y+=-，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a>0，b>0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．16．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：-=-，于是=-=3-．由，a2<1，a3<1，a4>1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：-=-，∴=---…-=-=3-．∵a 2==，a 3==，a 4==>1，∴n ≥4时，∈（0，1），∴3-∈（2，3）．∴的整数部分是2．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC 2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD ，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC 面积的最大值．中，sin (a b =)C ，… sin cos C C +0,π(C ∈又cos sin B B =0,π()B ∈又π4B =．又∵BDC S =△ABDC =四边形4418995%100km/h （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 2\(3,)5B ，又HF AC ∥∴EF ⊥平面（Ⅱ）以则(1,,0),(0,,1),11,(BQ t EQ t AF =-=-=-设平面BQE 的法向量为(,,)n x y z =，则由0n BQ =，且0n EQ =，得，则(,1,)n t t =，∥平面BEQ ，则须(,1,n AF t t =上存在一点1(0,3Q 的法向量为(,n x y =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则(1,1,1)n =111553333113339,n n ++<>=21211211(MA MBy y kx k x x ++==+MA ⊥MB ，即MD ⊥ME ．2211121111111|||1||1||22||k MA MB k k k k k +=++-=得22480()1k x k x +-=． 121|4)|)k +．21．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g （x ）的导数，构造函数u （x ）=xe x-2m ，求出M ，N 的表达式，构造函数h （x ）=xlnx+-（ln2+1）-1，根据函数的单调性证出结论．222m x -．【分析】（）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=-t，又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，可得结论．π。
2009-2010学年长沙第一中学高三第四次月考文
2009-2010学年度长沙市第一中学高三第四次月考数学试卷（文）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{|25}M x x =-<≤，{|5N x x =<-或5}x >，则M N = ．（ ） A ．{|5x x <-或2}x >- B ．{|55}x x -<<C ．{|25}x x -<<D ．{|3x x <-或5}x >2．α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= ．（ ）A ．513B ．513-C ．512D ．512-3．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则m = ． （ ）A ．-2B ．2C ．-4D ．44．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a = ． （ ）A ．8B ．7C ．6D ．55．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A π=，a =1b =，则c = ．（ ）A ．1B ．2C 1 D6．若直线a b ⊥，且直线//a 平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 ． （ ） A ．b α⊂B ．//b αC ．b α⊂或//b αD ．b 与α相交或b α⊂或//b α7．若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2π，则ω等于 ． （ ）A ．12B ．12C ．2D ．48．设,x y R ∈，1,1a b >>，若3x ya b ==，a b +=11x y+的最大值为 ． （ ）A ．2B ．32C ．1D ．12二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 9．函数22y x x =+在[4,3]-上的最大值为 ．10．函数lg(1)y x =-的定义域为 ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则1AD 与EF所成角的大小为 ．12．数列{}n a 为等比数列，且12341,4,a a a a +=+=则56a a += ． 13．方程2cos()14x π-=在区间(0,)π内的解是 ．14．设实数0.21()3a =，13log 3b =，132c =，则,,a b c 三数由小到大排列是 ．15．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-或中心对称，对任意的实数x 均有3()()2f x f x =-+且(1)1,(0)2f f -==-，则(1)(2)(20f f f +++的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（本题满分12分）已知ααcos ,sin 是关于x 的一元二次方程0322=+-a x x 的两根，其中[]πα,0∈ （1）求α的值 （2）求⎪⎭⎫⎝⎛+4cos πα的值 17．（本题满分12分）如图，已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，E 、F 分别是AB ，PC的中点，45PDA ∠=．（1）求证：//EF 面PAD ；（2）求证：面PCE ⊥面PCD ．18．（本题满分12分）已知||4a =，||3b =． （1）若a 与b 的夹角为60，求(2)(3)a b a b +⋅-； （2）若(23)(2)61a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角．19．（本题满分13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=。
湖南省长沙一中高三数学上学期第五次月考试卷 理(含解析)
2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 253．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 4834．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 35．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 7206．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A． 12π B． 4π C． 3π D． 12π8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=010．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集解答：解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．3．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 483考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．解答：解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．4．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 3考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积的3倍，故可得结论．解答：解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积S=3=3故答案为：3点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性，属于基础题．5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 720考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．解答：解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答．6．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．解答：解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B点评：复合命题的真值表：7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A． 12π B． 4π C． 3π D． 12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题10．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析： g（x）=x|a﹣x|+2x=，易分析a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；于是得当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点，故只需考虑a∈（2，3]的情形．当x≥a时，利用二次函数的单调性与最值可求得g（x）的值域为[2a，+∞）；若x＜a，g（x）的值域为（﹣∞，]，依题意ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可．解答：解：∵g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，对称轴x=≤a，即a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；若x＜a，对称轴x=≥a，即a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；∴当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点；因此，只需考虑a∈（2，3]的情形．当a∈（2，3]时，g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，g（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴，则g（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时g（x）的值域为g（x）∈[g（a），+∞）=[2a，+∞）；若x＜a，g（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴x=＜a，则g（x）在x∈（﹣∞，]为增函数，此时g（x）的值域为（﹣∞，]；g（x）在[，a]为减函数，此时g（x）的值域为（2a，]；由存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可，令h（a）=≥=2，只要使t＜[h（a）]max即可，而h（a）在a∈[﹣2，3]上是增函数，∴[h（a）]max=h（3）=，故实数t的取值范围是（2，）；故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，突出函数单调性与值域的探索与分析，考查创新思维、逻辑思维、抽象思维及综合运算、分析的能力，属于难题．一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：圆ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即 x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）为圆心、半径r等于2的圆．直线ρ（sinθ+cosθ）=4，即 x+y﹣4=0，由于弦心距d==，故弦长为2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是[﹣2，4]．．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．解答：解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：[﹣2，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△A BC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为35°．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质即可得出．解答：解：∵AC=CD，∠D=35°，∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．∴∠CBE=35°．∵AB=AC，∴∠ABC=70°，∴∠ABE=35°．故答案为：35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为（0，1]∪（3，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或，运用指数函数的单调性和二次不等式的解法，分别解出它们，再求并集即可．解答：解：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或即或，解得，0＜x≤1或3＜x＜4．则解集为（0，1]∪（3，4）．故答案为：（0，1]∪（3，4）．点评：本题考查分段函数的运用：解不等式，考查指数函数的单调性，及二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有216 ．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，由组合数公式可得其分组方法；2、甲所在小组先开出，乙所在小组随后开出，由排列的性质可得列车开出的不同顺序；由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，则有C42=6种分组方法，2、甲所在小组先开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，同理乙所在小组随后开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，则共有6×6×6=216种不同的顺序，故答案为216．点评：本题考查分步计数原理的运用，涉及排列、组合的运用，解题时注意首先要满足“两列列车不在同一小组”的分组要求．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．解答：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．设 P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′==＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故答案为：．点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ的取值范围求三角函数式的最值，利用导数研究函数的单调性．用cosθ，sinθ表示λ和μ是解题的难点，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠AC D即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．考点：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用组中值，可求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）求出走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，可得选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，利用面积之比，求出选择走甲线路的概率．解答：解：（Ⅰ）a=++2.5×+3.5×+4.5×=3；（Ⅱ）在EF路段多花汽油费的数学期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油费的数学期望是20×1×=5元，∵EF，GH路段堵车与否相互独立，∴走乙路线多花汽油费的数学期望是40y+5元，∴走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，∴选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，∵x在（，1）上变化，y在（0，）上变化，∴选择走甲线路的概率为=点评：本题考查概率的计算，考查面积的计算，属于中档题．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程，利用两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程；（2）直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k1+k2，再由得，y M=，求出k3，即可得出结论．解答：解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1=，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M=，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出数列{a n}是公比为2的等比数列．由此能求出，n∈N*．（2）=，若b1，b m，b n成等比数列，则．由此能求出当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）=[]，由此利用裂项求和法能证明．解答：（1）解：∵a n+12=2a n2+a n a n+1，∴（a n+1+a n）（2a n﹣a n+1）=0，又a n＞0，∴2a n﹣a n+1=0，即2a n=a n+1，∴数列{a n}是公比为2的等比数列．由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*．（2）解：=，若b1，b m，b n成等比数列，则（）2=，即．由，得，∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．故当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）证明：==[]=[]，∴[]==，∵（）n+1•递减，∴0＜（）n+1•≤∴，∴．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的成立的条件的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法，综合考查了学生的推理运算，逻辑思维等能力，是难度较大的题目．。