华东师大版八上数学3.反证法教案
华东师大版八年级上册数学课件反证法课件
延伸拓展
你能用反证法证明以下命题吗？ 如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么 ∠B一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或__钝__角__.
当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+__∠__C_=_1_8_0_° 这与_三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°__矛盾；
3.如果a>b>0，那么 a > b
证明: 假设 a 不大于 b
则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
否定要全面
(1)若 a < b a b 与已知a b 0矛盾
（2）若 a = b a = b，与已知a b 0矛盾
所以假设错误，故原命题 a b 成立
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l ３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且 只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立，
即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条
直线平
行,那么这两条直线也互相平行.
l
不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
A 2 l1
B1
l2
证明:作直线l，分别与直线l1 ，l2 ， C 3
l3
l3交于于点A，B，C。
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等）
八年级数学上册《反证法》教案、教学设计
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。
华东师大初中八年级数学上册《反证法》教案
反证法教学目标1.通过实例,体会反证法的含义.2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.3.通过利用反证法证明命题,体会逆向思维.4.在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.重点运用反证法进行推理论证.难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.教学过程一、创设情景,导入新课出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题.二、师生互动,探究新知活动1 反证法的步骤.教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办?五戎是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确吗?学生讨论交流,选代表发言.如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子.教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗?学生活动,代表展示.若∠C是直角,则 a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的,即△ABC不是直角三角形.教师归纳先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确.活动2 用反证法证明.教材P116例5.教师活动原命题结论的反向是什么?按照假设可以得到矛盾吗?学生活动独立完成,交流成果,发言展示.教材P116例6.教师活动△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么?按照假设可以推出矛盾吗?【学生活动】独立完成,交流成果,发言展示.教师活动在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时,直接不易证明,可考虑反证法.三、随堂练习,巩固新知1.(1)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时,首先应假设.(2)“已知:△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤.①所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾.②所以∠B<90°.③假设∠B≥90°.④那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )A.①②③④B.③④②①C.③④①②D.④③②①例2求证:△ABC中至少有两个角是锐角.四、典例精析,拓展新知【例】求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.教师活动(1)你首选的是哪一种证明方法?(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?(3)能不用反证法证明吗?你准备怎样证明?要求按问题解决的四个步骤进行:理解题意(画出图形,写出已知求证);制订计划(选择证明方法,找出证明思路);执行计划(写出证明过程).学生活动讨论交流后独立完成.五、运用新知,深化理解例3求证:若a>b>0,则>.【解析】>的反面是=或<.1.若a、b、c是实数,A=a2-2b+,B=b2-2c+,C=c2-2a+,证明A、B、C中至少有一个值大于零.【答案】假设A、B、C中没有一个值大于零,则A≤0,B≤0,C≤0,即A+B+C ≤0.由已知有A+B+C=a2-2b++b2-2c++c2-2a+=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+(π-3)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3).∵(a-1)2≥0,(b-1)2≥0,(c-1)2≥0,(π-3)≥0.∴A+B+C>0,这与假设A≤0,B≤0,C≤0相矛盾,所以A、B、C中至少有一个值大于零.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师总结.。
直角三角形的判定反证法导学课件华东师大版数学八年级上册
感悟新知
方法点拨：判定直角三角形的方法： 1. 如果已知条件与角度有关，可求出其中一个角是
直角，或者证明其中一个角等于已知的直角，得 到直角三角形. 2. 如果已知条件与边有关，可通过计算推导出三角 形三边长的数量关系［即a2+b2=c2(c 为最长边)］， 得到直角三角形.
感悟新知
解：(1)在△ ABC 中， ∵∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°，∠ A=25°，∠ C=65°， ∴∠ B=180°－25°－65°=90°. ∴△ ABC 是直角三角形.
感悟新知
2. 判别一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”：看是不是三个正整数； (2)“找”：找最大数； (3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和； (4)“判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则不
是一组勾股数.
感悟新知
例2 下面四组数中是勾股数的一组是( D )
A.6，7，8
感悟新知
证明：假设∠ A，∠ B，∠ C 中有两个角是直角. 不妨设∠ B= ∠ C=90°. ∴∠ A+ ∠ B+ ∠ C= ∠ A+90°+90°= ∠ A+180°>180°. 这与“三角形的内角和是180°”相矛盾. ∴假设不成立，即一个三角形中不能有两个角是直角.
感悟新知
3-1. 已知：在△ ABC 中，AB=AC. 求证： ∠ B，∠ C 都 是锐角.(用反证法证明)
感悟新知
证明：假设∠B，∠C不都是锐角． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∴∠B和∠C不可能一个是锐角，另一个是直角或钝角． ∴∠B，∠C都是直角或钝角． ∴∠B＋∠C≥90°＋90°，即∠B＋∠C≥180°. ∴∠A＋∠B＋∠C>180°. 该结论与“三角形内角和等于180°”相矛盾． ∴假设不成立，即∠B，∠C都是锐角．
华师大版数学八年级上册《反证法》教学设计2
华师大版数学八年级上册《反证法》教学设计2一. 教材分析华师大版数学八年级上册《反证法》是学生在初中阶段首次接触到的证明方法，它既是一种重要的证明方法，又是学生思维能力的一次飞跃。
教材从学生的实际出发，通过学生已知的数学知识，引入反证法的概念，并通过具体的例题，让学生体会反证法的应用。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了直接证明的方法，能够通过逻辑推理得出结论。
但八年级的学生在逻辑思维能力和抽象思维能力上还有一定的局限性，因此，在引入反证法时，需要通过具体的情境，让学生感受反证法的必要性，从而理解并掌握反证法的应用。
三. 教学目标1.让学生了解反证法的概念，理解反证法的原理。
2.培养学生运用反证法解决问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.反证法的概念和原理的理解。
2.运用反证法解决问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过具体的情境，让学生感受反证法的必要性，从而引导学生思考并理解反证法的原理。
在教学过程中，注重学生的参与，鼓励学生提出问题，引导学生进行思考，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.相关例题3.教学素材七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题，让学生思考直接证明的方法，从而引出反证法的必要性。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，介绍反证法的概念和原理，让学生理解反证法的应用。
3.操练（15分钟）让学生通过具体的例题，运用反证法进行证明，从而加深对反证法的理解。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结反证法的步骤，并通过小组竞赛的形式，检验学生对反证法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）让学生思考反证法在实际生活中的应用，通过具体的情境，让学生感受反证法的价值。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，让学生明确反证法的概念、原理及应用。
7.家庭作业（5分钟）布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高运用反证法解决问题的能力。
华师大版数学八年级上册《反证法》说课稿1
华师大版数学八年级上册《反证法》说课稿1一. 教材分析华师大版数学八年级上册《反证法》这一节的内容，是在学生已经掌握了基本的数学证明方法的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是让学生了解并掌握反证法的概念、原理及其应用。
反证法是数学证明中的一种重要方法，它通过假设命题的否定成立，从而推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。
在教材中，首先介绍了反证法的定义和基本原理，然后通过具体的例题讲解反证法的应用，最后给出了一些反证法的练习题，以便学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了基本的数学证明能力和逻辑思维能力。
但是，对于反证法这种比较抽象的证明方法，学生可能一开始会感到难以理解和接受。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的例子和形象的比喻，帮助学生理解反证法的原理和应用。
同时，学生在学习过程中，可能会有对于反证法的应用范围和条件的疑问，教师需要耐心解答，并引导学生通过实践来加深对反证法的理解。
三. 说教学目标本节课的教学目标有三点：1.让学生了解反证法的概念和原理，能够理解反证法的应用过程。
2.培养学生运用反证法进行数学证明的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.通过对反证法的学习，培养学生的数学思维习惯和创新意识。
四. 说教学重难点本节课的教学难点主要有两点：1.反证法的概念和原理的理解。
学生需要理解为什么要通过假设命题的否定来证明原命题的正确性。
2.反证法的应用。
学生需要学会如何运用反证法来证明一个命题的正确性。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用讲授法、案例分析法和练习法相结合的教学方法。
1.讲授法：通过讲解反证法的概念和原理，让学生了解反证法的基本知识。
2.案例分析法：通过分析具体的例题，让学生了解反证法的应用过程，提高学生的实践能力。
3.练习法：通过布置练习题，让学生巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的数学问题，引出反证法的概念，激发学生的学习兴趣。
反证法-华东师大版八年级数学上册教案
反证法-华东师大版八年级数学上册教案一、教学目标1.了解反证法的概念与基本思想；2.掌握运用反证法解决数学问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和创新意识；3.学会从题目中找出可以采用反证法证明的问题；4.能够灵活运用反证法，掌握证明过程的表达方法；5.培养学生认真、严谨、细心、勤奋的学习态度和团队合作精神。
二、教学重难点1.掌握反证法的概念、基本思想与方法。
2.学会如何运用反证法证明数学命题，具体可以从题目中提取出可以用反证法证明的问题进行练习。
3.学会证明过程的表达方法，掌握如何正确阐述证明思路。
三、教学内容1.反证法的概念反证法是数学证明的一种方法，通俗的说就是设定反面推出正面。
假设所要证明的命题不成立，然后用推理法或对照法得出一种矛盾的结论，这时就可以得出所要证明的命题成立。
2.反证法的基本思想反证法的证明方法建立在对命题成立性的形式化的假设、否定及相关逻辑措辞的基础上。
反证法的方式通常包括以下两个步骤：（1）假定所要证明的命题不成立。
（2）根据已知条件或已证明命题推导出与已有的事实相矛盾的结论，从而推出所要证明的命题是成立的。
3.反证法解题实例下面通过一些例子来介绍如何使用反证法证明一些命题。
（1）证明根号 2 是无理数。
反证法证明：假设根号 2 是有理数，则可以写成根号 2=a/b，其中 a 和 b 是整数，且 a、b 互质。
则有 2=a²/b²，移项有 2b²=a²，即 a²是 2 的倍数。
如果 a 为偶数，则 b 也是偶数，与 a、b 互质相矛盾；如果 a 为奇数，则 a²为奇数，而 2b²为偶数，也与 a²是 2 的倍数相矛盾。
于是，假设不成立，根号 2 是一个无理数。
（2）证明在每个正整数 n2 + 1 的同余类中存在一个素数。
反证法证明：假设在每个正整数 n²+1 的同余类中没有素数，则每个 n²+1 的同余类中都只包含合数。
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.3 反证法教案 (新版)华东师大版
B.∠A≥45°，∠B≥45°
C.∠<45°，∠B<45°
D.∠A≤45°，∠B≤45°
3.用反证法证明命题“在直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设()
A.有一个锐角小于45°
B.每一个锐角都小于45°
C.有一个锐角大于45°
D.每一个锐角都大于45°
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.
求证：a2＋b2≠c2.
问题：根据勾股定理及其逆定理，你能直接证明吗？
思考：假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的．所以a2＋b2≠c2是正确的.
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号 例题1，2
错题题号 当堂训练2
反思，更进一步提升.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
例1【教材p116页例5】求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
例2【教材p116例6】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
【归纳总结】用反证法证明一个命题时，要先把文字命题转化为符号命题，写出已知和求证，再用反证法完成证明．证明过程的步骤主要是：
【知识网络】
3反证法
反证法
华师版八年级数学上册(HS)教案 第14章 反证法
14.1.3 反证法1.了解并掌握反证法的定义和一般证明步骤.（重点）一、问题引入你如何用所学的数学知识来说明“在同一平面内的两条直线相交只有一个交点.”二、合作探究探究点：反正法用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（）A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角解析：根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，故选：A．方法总结：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．求证：两直线平行，内错角相等．如图1，若AB∥CD，且AB、CD被EF所截，求证：∠AOF=∠EO′D．以下是打乱的用反证法证明的过程：①如图2，过点O作直线A'B'，使∠A′OF=∠EO′D，②依据理论依据1，可得A'B'∥CD，③假设∠AOF≠∠EO′D，④∴∠AOF=∠EO′D．⑤与理论依据2矛盾，假设不成立．证明步骤的正确顺序是（）A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④解析：1、假设∠AOF≠∠EO′D，2、如图2，过点O作直线A'B'，使∠A′OF=∠EO′D，3、依据理论依据1，可得A'B'∥CD，4、与理论依据2矛盾，假设不成立，5、∴∠AOF=∠EO′D，故选：D．故答案为：a2≥4．用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，（n、p为整数），则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，∵无论n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇数，这与已知中两个整数的乘积为偶数相矛盾，所以假设不成立.∴这两个整数中至少一个是偶数．方法总结：同例2一致，主要是掌握反证法的一般证明步骤.三、板书设计1.反正的定义.2.反证法的一般步骤：通过对反正法的学习，在以后的学习中又多了一种证明的方法，通过学生对本节课的讨论，分析，探究与学习，使学生明白语言的丰富含义和数学逻辑思维的严密性，并在以后的学习中逐渐养成多思考，勤动脑，解题过程与步骤越来越规范的好习惯.。
反证法初中教案
反证法初中教案教学目标：1. 让学生了解反证法的概念和基本步骤。
2. 培养学生运用反证法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维能力和创新意识。
教学重点：1. 反证法的概念和基本步骤。
2. 运用反证法解决问题的方法。
教学难点：1. 反证法的逻辑推理过程。
2. 灵活运用反证法解决实际问题。
教学准备：1. 反证法的课件和教学素材。
2. 练习题和案例分析。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的证明方法，如直接证明、综合法、演绎法等。
2. 提问：有没有同学听说过反证法？反证法是什么？二、新课讲解（20分钟）1. 介绍反证法的概念：反证法是一种从反面出发，通过假设结论不成立，然后推理出矛盾，从而证明结论成立的证明方法。
2. 讲解反证法的基本步骤：（1）假设结论不成立。
（2）从假设出发，推理出矛盾。
（3）由矛盾得出结论不成立，从而证明原结论成立。
三、案例分析（15分钟）1. 给出一个简单的案例，让学生运用反证法进行解答。
案例：证明：对任意正整数n，都有n²+n+41是质数。
证明：（1）假设存在一个正整数n，使得n²+n+41不是质数。
（2）那么n²+n+41至少有一个大于1且小于n²+n+41的因数。
（3）设这个因数为k，则1<k<n²+n+41。
（4）将k代入n²+n+41，得到n²+n+41=k。
（5）将n²+n+41=k代入原式，得到n²+n+41=n²+n+41-k。
（6）化简得到k=41。
（7）但41是质数，与假设矛盾。
（8）因此，假设不成立，原结论成立。
四、练习与讨论（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固反证法的应用。
2. 组织学生进行讨论，分享解题心得和经验。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结反证法的概念和基本步骤。
2. 强调反证法在数学研究和实际问题中的应用价值。
华东师大版八年级上册数学第14章14.1课题3 反证法
检测反馈
1、试说出下列命题的反面：
（1）a是实数。
a不是实数
（2)a大于2。 （3）a小于2。
a小于或等于２ a大于或等于２
（4）至少有2个
没有两个
（5）最多有一个
一个也没有
（6）两条直线平行。 两直线相交
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步 是 假设a=b 。
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的
阅读教材P114～P115，完成下面的内容： 问题：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，如 果∠C≠90°，请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说 明理由．
探究：假设a2＋b2＝c2，由勾股定理可知△ABC是 ___直__角__三__角__形____，且∠C＝90°，这与已知条件 ∠C≠90°矛盾．假设不成立，从而说明原结论a2＋ b2≠c2___成__立___．
。
∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ，
即 ∠A+∠B+∠C>180° 。
这与 三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
知识模块二 用反证法证明简单的定理
范例 在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
证明：假设∠B＝∠C， 则AB＝AC.这与已知AB≠AC矛盾， 假设不成立． ∴∠B≠∠C.
归纳：
(1)根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以 外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾； (2)用反证法证明命题时，应注意的事项： ①周密考查原命题结论的否定事项，防止否定不当 或有所遗漏； ②推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； ③在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不 出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．
华师版八年级上册第十四章14.1 3.反证法
直线 c 平行，这与“过直线外一点
”矛盾.
∴假设不成立.
∴
.
【归纳总结】在推理论证时，要把新增的已知条件（即假设的内容）加进去，然后逐步 推出与已知公理或定理之间的矛盾.
【针对训练】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
已知：
.
求证：
.
证明：假设
，即_______________________．
；
（4）一个三角形中最多有一个钝角：
．
4.已知直线 m、n 是相交线，且直线 l1⊥m，直线 l2⊥n．求证：直线 l1 与 l2 必相交．
导学提纲
5.如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的中点，且 BD≠CE，求证：AB≠AC．
四、课堂小结、形成网络 （一）小结
问题 你会如何证明这个猜想？
【要点归纳】反证法步骤：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基 本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论 正确.
例 1 求证：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
已知：
.
导学提纲
求证：
.
证明：假设
，则可设它们相交于点 A.那么过点 A 就有 条直线与
导学提纲
课题
14.1 3.反证法
课型 新授课 课时安排 1 总课时数 1
主备人 上课日期
学习目标 学习重难点
1.了解反证法的意义及用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤 2.学会运用反证法证明有关命题 重点：了解反证法的意义及用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤 难点：学会运用反证法证明有关命题
札
2.除了直接证明的方法，还有_________证明的方法，_________法就是常用的间接证明 方法.
初中反证法的教案
初中反证法的教案一、教学目标：1. 让学生了解反证法的概念和基本步骤。
2. 培养学生运用反证法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容：1. 反证法的概念及步骤。
2. 反证法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 反证法的概念和步骤。
2. 运用反证法解决实际问题。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解反证法的概念、步骤及应用。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用反证法解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。
4. 实践操作法：让学生动手实践，提高运用反证法解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾已学的直接证明方法，引出反证法。
2. 讲解反证法的概念和步骤：（1）反证法的定义：假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明结论成立。
（2）反证法的步骤：步骤一：假设结论不成立。
步骤二：从假设出发，推理得出矛盾。
步骤三：由矛盾得出结论成立。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用反证法解决问题。
例1：证明：对任意正整数n，n²+1是奇数。
解：假设存在一个正整数n，使得n²+1是偶数。
则n²+1=2k（k为正整数）。
则n²=2k-1。
因为2k是偶数，2k-1是奇数，所以n²是奇数。
但根据假设，n²+1是偶数，与n²是奇数矛盾。
因此，假设不成立，所以对任意正整数n，n²+1是奇数。
4. 小组讨论：分组讨论反证法的应用，分享解题心得。
5. 实践操作：让学生动手实践，运用反证法解决实际问题。
6. 总结与评价：总结反证法的概念、步骤及应用，评价学生的学习效果。
六、课后作业：1. 复习反证法的概念和步骤。
2. 完成课后练习，运用反证法解决问题。
3. 思考反证法在实际生活中的应用。
七、教学反思：本节课通过讲解反证法的概念、步骤及应用，让学生掌握了反证法的基本知识。
在案例分析和实践操作环节，学生能够积极运用反证法解决问题，提高了逻辑思维能力和创新意识。
反证法”教学案例
反证法”教学案例反证法是一种常用的证明方法，其基本思想是通过推理假设的否定情况，得出一个与已知事实或假设矛盾的结论，从而推断出原先的假设是正确的。
这种证明方法在数学、逻辑学等领域得到广泛应用，以下是一个关于反证法的教学案例。
教学目标：1.了解反证法的基本思想和用途；2.掌握使用反证法进行证明的步骤和技巧；3.培养学生逻辑思维和推理能力。
教学准备：1.板书：反证法；2.课件：相关例题和解析；3.实物或图片：辅助理解教学内容；4.学生练习册：相关练习题。
教学过程：步骤一：导入(10分钟)1.引导学生回顾上一次课学习的内容，即直接证明法和间接证明法。
2.提问：在数学中，还有哪些证明方法可以使用？3.引入新内容：今天我们要学习一种重要的证明方法，那就是反证法。
1.板书：反证法的定义和基本思想。
2.解释定义：反证法是一种通过假设的否定情况来证明一个命题的方法。
3.分析基本思想：我们通过假设命题的反面，采用逻辑推理的方法，从而导致矛盾的结论，进而推断出原命题是正确的。
步骤三：案例分析(30分钟)1.提出案例：现有一数学问题，“证明根号2是无理数”，请你们思考一下怎么做？2.对讨论结果进行总结：学生可以提出通过假设根号2是有理数，然后推导出矛盾的结论，从而得出根号2是无理数的结论。
3.分析假设的反面：假设根号2是有理数，即可以写成分数a/b的形式，其中a和b互质。
4.推导矛盾结论：根据假设推导出根号2可化简为a/b的形式，进而可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2a）根据整数的性质可知，如果整数a的平方是偶数，则a也是偶数，反之亦然。
b）令a=2k，则2b^2=(2k)^2=4k^2，得到b^2=2k^2c）同样可知，b也是偶数。
即a和b都是偶数，与a和b互质的假设矛盾。
5.得出结论：原命题假设不成立，根号2是无理数。
1.总结反证法的基本步骤：假设命题的反面，推导出矛盾的结论，得出原命题是正确的。
2.强调反证法的使用条件：适用于能逐步进行推理和假设的情况。
华师版数学八年级上册14.反证法课件
第3课时 反证法
学习目标
➢ 通过证明具体实例，体会反证法的含义. ➢ 知道证明一个命题除用直接证法外，还有间
接证法. ➢ 了解用反证法证明命题的一般步骤，发展逻
辑思维能力.
回顾导入
还记得之前学习“两直线平行，同
位角相等”时，我们是怎么证明这
一结论的吗？
E
已知：如图，直线AB∥CD， A
已知：△ABC. 求证：在∠A、∠B、∠C这三个内角中，至少有两个锐角.
证明：假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角， 不妨设0°＜∠A＜90°， 则90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°. ∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与“三角形内角和等于 180°”相矛盾. ∴一个三角形中至少有两个锐角.
用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：
（1）否定结论----假设命题的结论不成立；
（2）推出矛盾----从假设出发，根据已知条件，经过推 理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、 基本事实、定理等相矛盾的结果；
（3）肯定结论----由矛盾判定假设不正确，从而肯定命 题的结论正确.
典例精讲
例1 用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，
用反证法证明时需注意的两点： （1）否定结论：原结论的反面一 定要找准确、全面； （2）注意步骤：先进行合理的假 设，再推出矛盾，最后得出结论.
课堂小结
反证法的含义： 一种间接的证明方法
反证法
反证法证明的步骤
否定结论 推出矛盾 肯定结论
结论反面找准找全 反证法证明时需注意
注意步骤
当堂检测
1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则
感谢观看！
则∠A＞60°”时，第一步应假设（ D ）
《反证法》 教学设计
《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学的兴趣和探索精神，培养学生的创新意识和批判性思维。
二、教学重难点1、教学重点理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明简单命题。
2、教学难点如何正确地提出反设，以及如何通过推理得出矛盾。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过一个有趣的故事引入反证法。
故事：有一个人被指控偷了邻居的钱，他宣称自己没有偷。
法官问他：“如果不是你偷的，那钱怎么会在你的口袋里？”这个人无法回答。
提问学生：法官的这种推理方法有什么特点？2、讲解概念（1）给出反证法的定义：先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立的方法叫做反证法。
（2）强调反证法的关键在于“反设”和“归谬”。
3、示例讲解（1）例 1：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。
分析：假设三角形的三个内角都大于 60°，然后推出矛盾。
证明过程：假设三角形的三个内角都大于 60°，则三角形的内角和大于 180°，这与三角形内角和定理矛盾。
所以，原命题成立。
（2）例 2：证明“根号 2 是无理数”。
分析：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），然后推出矛盾。
证明过程：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），则 2 ＝ m²／ n²，即 m²＝ 2n²。
因为 2n²是偶数，所以m²是偶数，从而 m 是偶数。
设 m ＝ 2k（k 为正整数），则 4k²＝ 2n²，即 2k²＝ n²，所以 n 也是偶数，这与 m、n 互质矛盾。
八年级数学上册14.1勾股定理3勾股定理_反证法教案新版华东师大版
反证法内容选择（华师版教材八年级上）教材114页117页课标要求通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命题。
学情分析学生在学习并了解和掌握勾股定理的基础上来学习数学的另一种推理反证法教学目标通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命题。
重点体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题. 难点体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题教学过程创设情境引入新课思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°。
求证；a2＋b2≠c2。
有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法。
假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的。
所以a2＋b2≠c2是正确的。
学生活动学生自主探究,发现用以前的证明方法不能很好的说明问题，激发探究热情。
并通过该例，初步感知反证法的基本步骤。
定义生成1．假设命题的结论的反面是正确的；2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。
对照上面的问题归纳三个步骤。
师生共同研究证法，如何反设，如定义辨析例1．已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上。
求证：经过A、B、C三点不能作一个圆。
分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、C三点可以作一个圆，然后由这个假设出发推下去，得出矛盾．证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O，显然A、B、C三点在这个圆上，所以OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定定理可以知道，O点既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，也就是说，O点是l1和l2的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。
新华师大版八年级上册初中数学 3-反证法 教学课件
两直线相交
2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a. =b
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不
是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等.腰三角形
当堂小练
4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ C）
A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角
布置作业
请完成《 少年班》P48-P50对应习题
矛盾． B
C
假设不成立．
∴ ∠B ≠ ∠ C
．
反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→
肯定原结论正确
新课讲解 求证：两条直线相交只有一个交点.
练一练 已知：如图，两条相交直线a，b.
a
● A'
●
求证：a与b只直线a，b”出发，经过推理，得出结论“a，
新课导入
复习导入 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系 a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
A
分析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的 逆定理可知∠C=90°，这个三角形一
b
c
定是直角三角形.
C
a
B
新课讲解
知识点 反证法
思 考 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）, a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明
课堂小结
反 证 法
概念 证明步骤
假设命题不成立→正确的推 理,得出矛盾→肯定待定命
题的结论.
当堂小练
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华东师大版八上数学3.反证法
【基本目标】
1.理解反证法.
2.会用反证法证明较简单的题.
【教学重点】
用反证法证明几何命题.
【教学难点】
反证法中渗透“正难则反”的思想.
一、创设情景，导入新课
出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题.
二、师生互动，探究新知
活动
1反证法的步骤.
教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？
学生讨论交流，选代表发言.
如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子.
教师出示，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方法推理吗？
学生活动，代表展示.若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC不是直角三角形.
【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确.
活动2用反证法证明.
教材P116例5.
【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？
【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.
教材P116例6.
【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？
【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.
【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考虑反证法.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否规范.
四、典例精析，拓展新知
例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【教师活动】（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？
要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）.
【学生活动】讨论交流后独立完成.
五、运用新知，深化理解.
完成教材P117练习第1、2题.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障
碍：1.思维方向的转换，不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反证法.
教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.。