定积分的应用习题答案

1填空题

［解答］犁（对=2-亍，令”5=0，可得注二;

当0

-时，严工；0＜：0,

〕单调递减.

4

所以 F （町的单调递减区间是 （Q-）或（4才］.

⑵曲线丿★—与其在r 处的切线所围成的部分被.轴分成两部分，这两部

分面积之比是

日n 2 2 尸3 27

2 2

两直线的交点可求得

=

—，即求解27护- 9穿+ 2 = 0

方法一：已知其一根为勺二齐设方程为 （T -

J 十 = 0

通过比较可得 盘二27,占=2 C = —6，可解得另外一根为 E =-彳

方法二：分解方程有

27卞弓—了誥―6斗+ 2= 0

弘+

2(3JT-1)=0

(我-1)〔弘2 -3H -2) = 0 即

(软-ly (致+ 2) = 0

所以

= (；［(*- ©+(红+厶］必=P^(Z^-iT+—)^X= — ］

4

3

27

4 3 27 27

A 弘―亠◎诗吩農

则虽仝 & 1

⑶设/（工）在［一兀兀］上连续，当门=_时，片何訂［于⑺―毗C ■旳讦必取最 小值.

［解答］L/S) -口 COSM 阳;r

=[[f^(X)- 2(^(X)COE + cP CCS^ ^jr](2/z J-J

=I

2&J /(jc) cosKxdx + J coE^ MZtiz

令F3=Q ，则

［解答］直线方程为

⑴函数片何=

（工＞ 0）的单调减少区间

__

2『/(JT)匚0$/3兀C/Y二2口J COS，戶jcdx

J /(TT)cos松兀国兀=2(3] UOE'MJT心=12(1 + cos 2?ix)dyi = aTT

1

所以

a =—了〔X J COSMK M X

⑷+ b三a°绕疋=-i (& ＞说＞O旋转所成旋转体体积—

[解答]令:= a = asin 0，则

当A ＞0时，

卩I =TTp (z + 占)2 如

=/r[[ (/ cof 妒+ 2i3buo汐+护加cos 饵© = jr(£/ + f 口°血十2脑)

I 3 2

当X €0时，

空 4 X

=可,(说'gJ G CM 沖竝畢-汀(-—+—/力-2^护)

所以

2

卩平-比=4J血珅+2肿)

JT

⑸ 求心脏线p = 4(l + cos^和直线3 = 0及日=-围成的图形绕极轴旋转所成旋转体

£-a

体积

［解答］将极坐标化为直角坐标形式为X =4(1+ cos, y= 4(1 + cc>s^)sin & 则血=即抵=64/7(1 + cos 軒 gmS •[-血0 cog 却一(1 + cos sin 吕弹0 =&47r(l + cos + 2 cos siti^ 田吕

所以卩-斜可;(1 + cg&)气I + 2 &)(1 - GG/&)詞(g30) (x= 3S&)

二64可；(1 + T)\l + 2x)(1- P沖

=64 巴fci +讦(1 + 2町(1—町必 (f = l + x)

=也兀Q 广一站-2?）； =1607r 2.计算题

⑴ 在直线 卞一y+l=O 与抛物线 》二疋2-4工+ 5的交点上引抛物线的法线， 求由两法线 及连接两交点的弦所围成的三角形的面积 ［解答］由题意可计算两法线的方程为

尸一2二一（工一1）,即卩恵一2卩+3=0

匚

/-5 = --(jc-4)，l 卩 x + 4y-24=0

9

壮，则 … 卢

K + 3. ,

.24-

Fs+l -丁如[(〒 1 f 4 1 rS

.

= -[b —1)必 +aJjlS-3；C 血

_ 15

-- 斗

丿=一;^'+4工一 1所围成的面积最小.

［解答］直线的斜率 k = 2x=2a ，则直线方程为

即 工'+（2盘一 4）jr + l-/二0，设方程的两根为 且天［也，则

片］+兀2 = 4 - 2口， 町殆=1 - 从而

X] — 尤]=+ 尤2尸 一4天1兀2 = 2J2屮-Aa-^3

工；-看二（兀-工1）（乂2 +兀J = 4（2 -小4加-4盘+3

£ 二［'（一兀‘十4兀 一 1一 2心十二 f

一 1 一 J?十（4 一

=—』2(^ ' — 4C 3(十 了 • (2，_ 斗£2 + 3)

4

2

二-(时-4卫 +3)1

两直线的交点为 ⑵ 过抛物线 护=兀2上的一点 血&2］作切线,

问 曲为何值时所作的切线与抛物线

y-以二2口 （x-a ），与抛物线相交,

E

（呛-4）=0

卩=2开|：开（7? - 2点一 血十衍L 巩F 一 F 十2力必

又 2^2—41 + 3> 0,所以 A =

⑶求通过点〔口）的直线F = #（工）中使得畑环 为最小的直线方程. ［解答］设y-1 =七（盂-1）,贝y 卩=/（盂）=£i + l-七=七盂+£

则 rnW 訂:［/—了W 卩必二J ：［/ —严

2

=［［十 一 2£严 +〔P - 2巧 J + 2^加 + a 的 号？ R

=丁一號+亍（沪一2办）+ 4妊+ 2护

斗7一軒匕严

⑷求函数了⑴=］；（U 必 的最大值与最小值 ［解答］f ⑴=2尢（2-内昇■令n ，可得同

尸0） = 2（2- 3押）茁* 一4心-齐"

当x = C 时，/%0）:＞0，即/（畫）在z = 0取最小值，此时 /（R = 0 当"忑时，/"（血）=-牝J 丈0，即/（舟在"忑取最大值

此时/（砧=（（2-0尹处"十/ ⑸ 求曲线y " - 2x 与y" 所围阴影部分面积 & ,并将此面积绕

歹轴旋转所构成

的旋转体体积，如图所示.

Q ?

［解答］S = J 1（丘一 2A - ”）必十［（，一 F 十2五乂兀

，宀討町-”=誇

3=1 — 土）

由叫円可得亠呼一心。即

4^7 = 8可得 jt = 2

又F”（x ）＞0则当i = 2时FC ＞）为最小，此时 y （K ）方程为 /⑴=2

兀-1