空间向量加减法运算知识讲解
空间向量的基本运算
空间向量的基本运算向量是物理学中一个重要的概念，它用来描述空间中的大小和方向。
在三维空间中，向量可以表示为具有三个分量的有序数对。
而空间向量的基本运算包括加法、减法、数乘和点乘。
一、向量的加法向量的加法可以将两个向量相互叠加，将它们的对应分量相加即可。
设有两个向量A和B，分别表示为A = (A1, A2, A3)和B = (B1, B2, B3)，则它们的加法运算如下：A +B = (A1 + B1, A2 + B2, A3 + B3)二、向量的减法向量的减法可以将一个向量从另一个向量中减去，将它们的对应分量相减即可。
设有两个向量A和B，分别表示为A = (A1, A2, A3)和B= (B1, B2, B3)，则它们的减法运算如下：A -B = (A1 - B1, A2 - B2, A3 - B3)三、数乘数乘是指将一个向量乘以一个实数，它可以改变向量的长度和方向。
设有一个向量A = (A1, A2, A3)和一个实数k，则它们的数乘运算如下：kA = (kA1, kA2, kA3)四、点乘点乘，也称为内积或数量积，是指将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个实数。
设有两个向量A和B，分别表示为A = (A1, A2, A3)和B = (B1, B2, B3)，则它们的点乘运算如下：A ·B = A1B1 + A2B2 + A3B3五、向量的模长向量的模长是指向量的大小，也称为向量的长度或向量的模。
在三维空间中，向量的模长可以通过勾股定理求得。
设有一个向量A = (A1, A2, A3)，则它的模长运算如下：|A| = √(A1² + A2² + A3²)六、向量的单位向量向量的单位向量是指模长为1的向量，它与原向量方向相同。
设有一个向量A = (A1, A2, A3)，则它的单位向量运算如下：Ā = A / |A|通过对空间向量的基本运算，我们可以更好地理解和描述物理问题。
向量加减法的运算法则
向量加减法的运算法则向量是物理学和数学中非常重要的概念，它们可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
在向量运算中，向量的加减法是最基本的运算之一。
本文将介绍向量加减法的运算法则，以便读者能够更好地理解和运用向量的加减法。
1. 向量的表示。
在二维空间中，一个向量通常用一个有序数对表示，如(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，一个向量通常用一个有序数组表示，如(a, b, c)，其中a、b和c分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量可以用箭头表示，箭头的长度和方向表示了向量的大小和方向。
2. 向量的加法。
两个向量的加法定义为将它们的对应分量相加。
例如，对于二维空间中的向量A(a1, a2)和向量B(b1, b2)，它们的和可以表示为A +B = (a1 + b1, a2 + b2)。
在三维空间中，向量的加法也是类似的，只是需要将对应分量相加。
3. 向量的减法。
两个向量的减法定义为将它们的对应分量相减。
例如，对于二维空间中的向量A(a1, a2)和向量B(b1, b2)，它们的差可以表示为A B = (a1 b1, a2 b2)。
在三维空间中，向量的减法也是类似的，只是需要将对应分量相减。
4. 向量的几何解释。
向量的加减法在几何上有直观的解释。
两个向量的和可以看作是将一个向量平移后的结果，而两个向量的差可以看作是一个向量指向另一个向量的方向。
这种几何解释有助于理解向量的加减法，并在实际问题中应用。
5. 向量的加减法的性质。
向量的加减法具有以下性质：交换律，对于任意两个向量A和B，有A + B = B + A。
结合律，对于任意三个向量A、B和C，有(A + B) + C = A +(B + C)。
零向量，对于任意向量A，有A + 0 = A，其中0表示零向量，它的分量都为0。
相反向量，对于任意向量A，有A + (-A) = 0，其中-A表示A 的相反向量。
6. 向量的加减法的应用。
《空间向量的加减法与数乘运算》
②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2.空间向量的数乘运算
（1）数乘运算法则与平面向量类似，实数 与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作
a.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：
① | a || || a |
②当 >0时，向量 a与向量a方向相同；当 <0时，向量a与向量a方向相反；当
（1）. AB AD AA'
（2）.DD AB BC （3）. AB AD 1 (DD' BC)
2
解 （1）. AB AD AA AC AA AC CC AC
（2）. DD AB BC BB BA
（3）设点M为CB'的中点，则AB
AC 1 CB AM
ADBC1(DBAD
设计意图
师生互动，通过教师讲解、学生板演等方式研究例题，突破重难点，提升学生的直观想 象、数学运算及逻辑推理核心素养.
学而优 · 教有方
归纳小结
教学内容
1.基本知识 （1）空间向量的加减法运算法则； （2）加法运算律； （3）空间向量的数乘运算及其运算律； （4）共线向量基本定理. 2.数学核心素养 （1）直观想象； （2）数学运算； （3）逻辑推理.
学而优 · 教有方
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
归纳小结
师生互动
教师引导学生分组回答，小组评价.
设计意图
培养学生的概括总结能力.
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
学而优 · 教有方
布置作业
教学内容
教材第100页练习第1，2题.
师生互动
学生独立完成，教师批改.
空间向量与向量加减法
空间向量与向量加减法在数学和物理学中，空间向量是指具有大小和方向的向量，通常用箭头表示。
它们可以用于描述物体在三维空间中的位置、运动和力等概念。
为了进行方便的计算和分析，我们需要了解空间向量的表示方法以及向量的加减法。
一、空间向量的表示方法空间向量通常用坐标表示，它由三个分量组成，分别表示在三个坐标轴方向上的长度。
我们可以用向量的起点和终点坐标表示一个空间向量，也可以使用向量的坐标表示。
例如，一个空间向量可以表示为V=(x,y,z)，其中x、y、z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
当我们要计算两个向量的和时，只需将它们的对应分量相加即可。
设有两个向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的和记为C=(c1,c2,c3)。
则C的每个分量分别等于A和B对应分量的和，即c1=a1+b1，c2=a2+b2，c3=a3+b3。
三、向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
当我们要计算两个向量的差时，只需将它们的对应分量相减即可。
设有两个向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的差记为D=(d1,d2,d3)。
则D的每个分量分别等于A和B对应分量的差，即d1=a1-b1，d2=a2-b2，d3=a3-b3。
四、向量加减法的性质向量加减法满足以下性质：1. 交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B-C)。
3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，A-0=A。
其中，0表示分量均为零的向量。
五、向量加减法的图示解释为了更好地理解向量加减法，我们可以将向量在三维空间中进行图示表示。
向量的加法可以理解为将一个向量平移至另一个向量的终点，从而得到一个新的向量。
向量的减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，然后连接两个向量的终点，从而得到一个新的向量。
空间向量的加减和数乘运算
分配律
$k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) = koverset{longrightarrow}{a} + koverset{longrightarrow}{b}$。
单调性
当$k > 0$时，数乘会使向量增大；当$k < 0$时，数乘会使向量缩小。
在线性代数中，向量组的线性组合可以通过数乘运算来实现，从而研究向量组之间的关系。
向量组的线性组合
向量空间是由向量构成的集合，通过向量的加减和数乘运算可以研究向量空间的结构和性质。
向量空间
04
空间向量加减和数乘运算的注意事项
01
02
零向量的特殊性
零向量与任意向量数乘，结果仍然是零向量。
零向量与任意向量相加或相减，结果仍然是该任意向量。
解析
根据空间向量加法和减法的定义，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b})$的坐标等于两个向量的对应坐标相加和相减。即，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b}) = ( - 1 + 3,5 + ( - 1),2 + 4) = (2,4,6)$。
计算方法
根据定义，数乘的计算方法为将向量的每个分量分别乘以该实数。
空间向量及其加减运算(第一课时)
线性组合的几何意义
01
线性组合在几何上表示向量之间 的加权和，其中权重由标量确定 ，向量由各个向量确定。
02
当标量为正数时，线性组合表示 向量的延长或收缩；当标量为负 数时，线性组合表示向量的缩短 或反向延长。
线性组合的性质
03
向量的数乘
数乘的定义
总结词
数乘是向量的一种基本运算，通过与实数相乘，改变向量的长度和方向。
详细描述
数乘的定义是给定向量$vec{a}$和实数$k$，数乘的结果为$kvec{a}$，其中$kvec{a}$的长度为 $|k||vec{a}|$，方向与$vec{a}$相同或相反，取决于$k$的正负。
05
空间向量的应用
向量在物理中的应用
01
02
03
力的合成与分解
通过向量加减运算，可以 表示和计算物体受到的合 力或分力。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速 度可以用向量表示，从而 描述物体运动的方向和大 小。
电磁学
在电磁学中，电场和磁场 都可以用向量表示，从而 描述电场和磁场的方向和 强度。
向量在几何中的应用
数乘的几何意义
总结词
数乘的几何意义是放大或缩小向量的 长度和方向。
详细描述
数乘的几何意义是将向量$vec{a}$按 比例放大或缩小。当$k>0$时， $kvec{a}$与$vec{a}$方向相同，长度 为$k$倍；当$k<0$时，$kvec{a}$与 $vec{a}$方向相反，长度为$|k|$倍。
02
向量的减法运算
向量的减法定义
总结词
向量减法的定义是两个向量相减，等于一个向量加上另一个 向量的相反向量。
空间向量及其加减运算用
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一、平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法运算
例3、在如图所示的平行六面体中，
求证： A C A B A D 2 A C . D’
变式：
A’
已知平行六面体 ABC DA BC D , 则下列四式中：
(1)AB CB AC;
D
(2)AC AB BC CC;
A
(3)AA CC;
(4)AB BB BC CC AC.
其中正确的是 (1)(2)(3)。
⑴AB BC； ⑵ABADAA'；
D’ A’
C’ B’
(3 )A B C B A A
(4 )A C D B D C
D
C
A
B
例 2 、 已 知 平 行 六 面 体 A B C D A 'B 'C 'D '， 化 简 下
列 向 量 表 达 式 ， 并 标 出 化 简 结 果 的 向 量 ：
C’ B’
C B
例4、如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D 1中，
下列各式中运算的结果为向量 A C 1 的共有（ D ）
(1 )(A B B C ) C C 1 ;(2 )(A A 1 A 1 D 1 ) D 1 C 1 ; (3 )(A B B B 1 ) B 1 C 1 ;(4 )(A A 1 A 1 B 1 ) B 1 C 1 .
空间向量的运算
A1
An 1
A1
An1
A2
An
A2
An
A3
A4
Байду номын сангаас
A3
A4
注意：首尾相接的若干向量构成一个封闭
图形，则它们的和为零向量．
一、空间向量的加法和减法
2.空间向量的减法：与平面向量类似，a与b的 差定义为a＋(－b )，记作a－b，其中－b是b 的相反向量.
b
OA－OB=BA B
b
a－b
a
O
a
A
向量减法的三角形法则
AC1
D
x 1.
A
C1 B1
C B
例2：已知平行六面体
D1
A求B满CD足-下A1列B1各C1式D1的，x的值A。1
⑶AC AB1 AD1 xAC1 D
C1 B1
C
解：(3) AC AB1 AD1 A
B
(AD AB) (AA1 AB) (AA1 AD)
四、空间向量的数量积
3.空间向量数量积的性质
①|a|＝ a a
求模，距离
②a⊥b⇔a·b＝0 证明或判断垂直关系
③cos〈a，b〉＝ a b (a≠0，b≠0) ab
求角
例1 已知平行六面体 ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
求AC1的长.
AC1 18
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
课堂训练
4.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点E 是上底面的中心，化简下列向量表达式：
空间向量及其加减运算 课件
一、空间向量的定义与表示法 1.定义：在空间，既具有_大__小__，又具有_方__向__的_量__叫做空间 向量． 2.表示法： (1)几何表示法：用有向线段 AB表示，A叫做向量的_起__点__，B 叫做向量的_终__点__． (2)字母表示法：用字母 a,b,c, 或_a_,_b_,_c_,_…表示.
类型 二 空间向量的加减运算 【典型例题】
1.化简： AB CD AC BD ________.
2.如图，已知空间四边形ABCD中，AB a,BC b,AD c, 试用a,b,c表示向量 AC，BD，CD.
【解题探究】1．使用向量加法的平行四边形法则应注意什么 要素？ 2．使用向量加减法的三角形法则应注意什么要素？ 探究提示： 1．使用向量加法的平行四边形法则应注意的要素是：“起点 相同”． 2．使用向量加法的三角形法则的要素是：“首尾相接，指向 终点”；减法的要素是：“起点相同，指向被减”.
其中假命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连 接的向量中，与向量 AA 相等的向量有______；与向量 AB 相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)
【解题探究】1.如何对向量的有关概念性问题进行辨析？ 2.相等向量与相反向量有何区别与联系? 探究提示： 1.应与平面向量进行对比，注意空间向量与平面向量的联系 与区别，准确把握空间向量的概念是解答问题的关键． 2.相等向量的模相等，且方向相同；相反向量的模也相等， 但方向相反.
【拓展提升】 1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用空间多边形法则化简. (2)利用向量的减法法则，即利用 OA OB化简BA. (3)利用 AB OB把 O各A个，向量转化成与空间的某一点有 关的向量化简.
空间向量知识点总结及典型题
空间向量知识点总结及典型题一、空间向量知识点总结。
（一）空间向量的概念。
1. 定义。
- 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。
2. 表示方法。
- 用有向线段表示，如→AB，其中A为起点，B为终点；也可以用字母→a,→b,→c·s表示。
3. 向量的模。
- 向量的大小叫做向量的模，对于向量→AB，其模记为|→AB|；对于向量→a，其模记为|→a|。
（二）空间向量的运算。
1. 加法。
- 三角形法则：→AB+→BC=→AC；平行四边形法则：对于不共线的向量→a 和→b，以→a和→b为邻边作平行四边形，则这两个向量之和为平行四边形的对角线所对应的向量。
- 运算律：→a+→b=→b+→a（交换律）；(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)（结合律）。
2. 减法。
- →a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量。
3. 数乘向量。
- 实数λ与向量→a的乘积λ→a仍是一个向量。
- 当λ> 0时，λ→a与→a方向相同；当λ<0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
- 运算律：λ(μ→a)=(λμ)→a；(λ+μ)→a=λ→a+μ→a；λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。
（三）空间向量的坐标表示。
1. 坐标定义。
- 在空间直角坐标系O - xyz中，设→i,→j,→k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量。
对于空间向量→a，若→a=x→i+y→j+z→k，则(x,y,z)叫做向量→a的坐标，记为→a=(x,y,z)。
2. 坐标运算。
- 设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)；→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)；λ→a=(λx_1,λ y_1,λ z_1)。
- 向量的模|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。
- 设A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)，则→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)。
空间向量及其运算
空间向量及其运算
空间向量是指在三维空间中的一个有方向的矢量，由一个点和一个方向确定，可以用一个箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
空间向量的运算包括：
1.
加法：两个空间向量可以相加，结果是一个新的空间向量，其大小和方向是由两个空间向量的大小和方向决定的。
2.
减法：两个空间向量可以相减，结果是一个新的空间向量，其大小和方向是由两个空间向量的大小和方向决定的。
3.
乘法：空间向量可以与一个标量相乘，结果是一个新的空间向量，其大小是原空间向量的大小乘以标量，方向不变。
4.
除法：空间向量可以与一个标量相除，结果是一个新的空间向量，其大小是原空间向量的大小除以标量，方向不变。
空间向量及其加减与数乘运算解读
b
a
a
三角形法则
平行四边形法则
加法交换律： a + b = b + a； 加法结合律： (a + b) + c =a + (b + c)；
⑵向量的减法 三角形法则
b a
a
b
a
c
b
c
（3）向量的数乘运算 a，其模长是a 的| | 倍 a 与 a 同向 当 0 时，
a 与 当 0 时，
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A1 D1 B1 C1
D
C B
A
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
⒈定义：空间中既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示；
用字母a、b等或者用有向线段 字母表示法：
的起点与终点字母 AB 表示． 相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
零向量、单位向量、相反向量； 空间任意两个向量都是共面向量.
⒉空间向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
1 AB ( BD BC ) （ 2） 2 1 AF ( AB AC ) （ 3） 2
4．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N分别 1 1 在对角线BD,AE上，且 BM BD, AN AE 3 3 求证：MN//平面CDE E F
N A B M C
空间向量及其加减运算 课件
)
① + + 1 ;②1 + 1 1 + 1 1 ;③ − 1 +
1 1 ;④1 + + 1 1 .
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质,逐一进
行判断:① + + 1 = + 1 = 1 ;②1 + 1 1 +
相反向量;⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向
量一共有 4 个.其中正确命题的序号为
.
解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,
也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于 0,模等于 0 的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同;
1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;③ − 1 + 1 1 = 1 + 1 1 =
1 ;④1 + + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;因此所给四个式
子的运算结果都是1 .
答案：D
对空间向量的有关概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,错误的个数为(
解析： = + + =- − +
=-a-b+c=c-a-b.
答案：B
空间向量及相关概念的理解
【例 1】 给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相
等;②只有零向量的模等于 0;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中,1 与1 是相等向量;④在空间四边形 ABCD 中, 与是
)
(1)若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,
空间向量的运算法则
空间向量的运算法则1.向量加法：向量加法是将两个向量进行相加。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的和C=A+B定义为：C=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)向量加法有以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-存在一个零向量0，使得A+0=A-对于每个向量A，存在一个负向量-B，使得A+(-B)=02.向量减法：向量减法是将一个向量减去另一个向量。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的差D=A-B定义为：D=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)3.数乘：数乘是将一个实数与一个向量相乘。
设有实数k和向量A=(x,y,z)，则它们的数乘P=kA定义为：P = (kx, ky, kz)数乘有以下性质：- 结合律：k(lA) = (kl)A-(k+l)A=kA+lA-k(A+B)=kA+kB-1A=A4.数量积（内积）：数量积又称为内积，是两个向量的数量乘积的和。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的数量积记为A·B，定义为：A·B=x1x2+y1y2+z1z2数量积有以下性质：-交换律：A·B=B·A-分配律：(A+B)·C=A·C+B·C-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-若A·B=0，则称向量A和向量B垂直或正交，即两个向量的夹角为90度通过数量积可以求得向量的模长（长度）：A，=√(A·A)=√(x^2+y^2+z^2)5.向量积（叉积）：向量积又称为叉积，是两个向量的乘积的向量积。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的向量积记为A×B，定义为：A×B=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)向量积有以下性质：-反交换律：A×B=-B×A-分配律：A×(B+C)=A×B+A×C-结合律：k(A×B)=(kA)×B=A×(kB)通过向量积可以求得向量的模长（长度）：A × B， = ，A，，B，sinθ其中，θ为A和B的夹角。
数学空间向量及其加减与数乘运算人教a选修
运用 判断三点共线，或两 判断四点共面，或直线
直线平行
平行于平面
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感谢您的观看！
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解：⑴AB BC AC
⑵AB AD AA'
AC AA' AC CC'
AC'
D A
C’ B’
C B
第17页/共32页
例2已知平行六面体ABCD A' B 'C ' D '，化简下
列向量表达式，并标出化简结果的向量： ⑶AB AD 1 CC'
2
解：⑶设M是线段CC’的中点，则
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
第10页/共32页
那么什么情况下三个向量共面呢？
e
e 2
a
e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2
是平面内的两个不共线的向量 ，那么
对只于有这一一对平实面数1内的，2 任使意a 向 量1e1a
，有且
2e2
如果空间向量
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五、共线向量:
1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(b o), a // b 的充要条件是存在实
数使 a b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
C'
C
p
P
b
A aB
O
第14页/共32页
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1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1 ) AB BC
( 2 ) AB AD AA 1
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
B
b
b
O
a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
C B
(3) ACAB1 AD1 xAC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2A1D B1D xA1C(3) A C A1B A1D xA1C
(2) 2AD 1BD 1 AD 1AD 1BD 1 A1 D (B1 CB1 D ) AD1 D1C1 AC1
( 3 ) 1 ( AB 3
AD
AA 1 )
( 4 ) AB
AD
1 CC 2
1
D1 A1
C1 B1
D A
C B
a
D
D1 A1
C1 B1
CD
C
A
BA
B
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
C
a+ b
(1 ) AB BC
D1
C1
( 2 ) AB AD AA 1
( 3 ) 1 ( AB 3
AD
AA 1 )
( 4 ) AB
AD
1 CC 2
1
解(1： ห้องสมุดไป่ตู้ABBC ＝AC ;
A1 G
D A
B1 M
C B
( 2 ) A A B A D 1 A A C 1 A C C 1 A C 1 C
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
x1.
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) A C A1B A1D xA1C
(3) ACA1BAD 1
(A D A) B (A 1 A A) B (A 1 A A)D
D1
C1
2(AD AB A1A )
(3) ACAB1 AD1 xAC1 D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC
解 (1) A1B A 1D 1C 1C
D1
AB 1 B 1C 1 C 1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2AD1 BD1 xAC1
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(ab)ka＋kb
加法结合律： (ab)ca(bc)
O
a
A
b B
C
c
O
a
b+c
C
A
b
c
B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC D1
A1
(2) 2AD1 BD1 xAC1
a
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k (a b) k a＋ k b
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n