流体力学第四章
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流体力学第四章
由连续方程 V2
2
A1 V1 A2
，代入上式，有
A V A h j (1 1 ) 2 1 ，即1 (1 1 ) 2 A2 2 g A2
如以
V1
A2 则有 V2代入，则有 A1
2 A2 2 V2 h j ( 1) ， 即 2 ( A2 1) 2 A1 2g A1
4.3.2 混合长度理论
4.3.3 湍流的速度分布 1、粘性底层（层流底层）
dv （1） 很大； dy
（2）粘性底层的厚度δ很小。 2、湍流核心
dv （1） dy
很小；
（2）区域大。 3、 过渡层—有时可将它算在湍流核心的 范围。
速度分布：在粘性底层中速度分布是直 线规律；湍流核心中为对数关系。 粗糙度 Δ 管壁凹凸不平的平均尺寸。 水利光滑管 δ>Δ 粗糙度对湍流核心几乎没有影响。 水利粗糙管 δ<Δ 粗糙度的大小对湍流特性产生直接影响。
《流体力学》
教学课件
第4章 流体在圆管中的流动
1 流体在固体内部的管中流动和缝隙中流动; 2 流体在固体外部的绕流; 3 流体在固体一侧的明渠流动; 4 流体与固体不相接触的孔口出流和射流。
4.1 雷诺实验
雷诺实验
雷诺实验发现 1.用不同的流体在相同直径的管道中进行实验，
所测得的临界速度 vk 是各不相同的；
T
有
W W W ，代入上式，得
T
1 1 W W W dt W W dt T0 T0 T 1 所以 T W dt 0 0
T
即脉动量的时均值
W 0
运用时均统计法就将湍流分为两个组成部分：一部分是用时均值表示 的时均流动；另一部分是用脉动值表示的脉动运动。时均流动代表运动 的主流，脉动反映湍流的本质。
流体力学第四章：流体阻力及能量损失
减小摩擦阻力的方法
优化物体表面粗糙度、使用润滑剂、改变流体的流速和方 向等。
形状阻力
形状阻力
由于物体形状的不同，流体在绕过物体时产生的阻力。
形状阻力公式
$F_s = frac{1}{2} rho u^2 A C_s$，其中$C_s$为形状阻力系数， 与物体形状、流体性质和流速有关。
减小形状阻力的方法
详细描述
汽车设计中的流体阻力优化主要包括车身形 状设计和空气动力学套件的应用。设计师会 采用流线型设计来减小空气阻力，同时也会 采用导流板、扰流板等空气动力学套件来调 整汽车周围的空气流动，以提高汽车的行驶
稳定性、减小风噪，并降低燃油消耗。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
船舶航行中的流体阻力主要来自船体与水之间的摩擦力以及水对船体的冲击力。为了减小流体阻力， 船舶设计师通常会采用流线型设计，优化船体表面的光滑度，以及减少不必要的突出物，从而提高航 行效率。
管道流动中的能量损失
总结词
管道中流体流动时，由于流体与管壁之 间的摩擦以及流体内部的湍流等效应， 会产生能量损失。
根据伯努利方程、欧拉方程等计算公式，结合物体的形状、速度和流体密度等 参数进行计算。
02 流体阻力现象
摩擦阻力
摩擦阻力
由于流体与物体表面的相对运动产生摩擦而形成的阻力。
摩擦阻力公式
$F_f = frac{1}{2} rho u^2 A C_f$，其中$rho$为流体密 度，$u$为流速，$A$为流体与物体接触的表面积，$C_f$ 为摩擦阻力系数。
流体力学第四章流体阻力及能量损 失
目录
• 流体阻力的概念 • 流体阻力现象 • 能量损失原理 • 流体阻力的减小方法 • 实际应用案例
优化物体表面粗糙度、使用润滑剂、改变流体的流速和方 向等。
形状阻力
形状阻力
由于物体形状的不同，流体在绕过物体时产生的阻力。
形状阻力公式
$F_s = frac{1}{2} rho u^2 A C_s$，其中$C_s$为形状阻力系数， 与物体形状、流体性质和流速有关。
减小形状阻力的方法
详细描述
汽车设计中的流体阻力优化主要包括车身形 状设计和空气动力学套件的应用。设计师会 采用流线型设计来减小空气阻力，同时也会 采用导流板、扰流板等空气动力学套件来调 整汽车周围的空气流动，以提高汽车的行驶
稳定性、减小风噪，并降低燃油消耗。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
船舶航行中的流体阻力主要来自船体与水之间的摩擦力以及水对船体的冲击力。为了减小流体阻力， 船舶设计师通常会采用流线型设计，优化船体表面的光滑度，以及减少不必要的突出物，从而提高航 行效率。
管道流动中的能量损失
总结词
管道中流体流动时，由于流体与管壁之 间的摩擦以及流体内部的湍流等效应， 会产生能量损失。
根据伯努利方程、欧拉方程等计算公式，结合物体的形状、速度和流体密度等 参数进行计算。
02 流体阻力现象
摩擦阻力
摩擦阻力
由于流体与物体表面的相对运动产生摩擦而形成的阻力。
摩擦阻力公式
$F_f = frac{1}{2} rho u^2 A C_f$，其中$rho$为流体密 度，$u$为流速，$A$为流体与物体接触的表面积，$C_f$ 为摩擦阻力系数。
流体力学第四章流体阻力及能量损 失
目录
• 流体阻力的概念 • 流体阻力现象 • 能量损失原理 • 流体阻力的减小方法 • 实际应用案例
工程流体力学 第4章 流体运动学
质量表示时，为质量流量，以 qm 标记；以体积表示为体 积流量，以 qV 标记，可表示为
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
流体力学第四章
流体力学
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
流体力学第四章 水头损失
全）。
P59表4-1为不同形状导管的临界雷诺数（水力半径）。
雷诺数的物理意义： Re = V d/ 粘性大、 Re 小、 易层流
13
§4–5 层流的水头损失---圆管中的层流
在这一章节主要讨论粘性力和沿程水头损失 hf 的规律。
假设流体在等截面水平圆管中作层流运动。取出其中半径 为 r 的圆柱体作为研究对象，写出运动方程式：（因为是定常
因此在计算每一个具体流动的水头损失时，首先须要判 别该流体的流动状态，而雷诺数为判别流体是层流还是湍 流提供了准则。
11
§4-4 雷诺数
管中流体的平均流速不是一个独立不变的量。
由实验知：流体平均流速与流体运动粘性成正比、与管道直 径d成反比；则引入一个无量纲比例常数Re 可写为：
V= Re /d
其中 Re 称为雷诺数。
8
（c）继续增大管内流速，则染色流束剧烈地波动，最后个别部 分出现破裂，并失掉原来的清晰的形状，混杂在很多小旋涡中。 染色液体很快充满整个管，如图c。这表明此时管内的流体向前 流动时处于完全无规则的混乱状态，称其为“湍流”，或“紊 流”。
流体由层流转变为湍流时 的平均流速，称之为“上临 界速度VC `”。
长管、短管
不是由管道的长与短来决定，而是由局部水头损失与沿程水头 损失的比例大小来确定。
长管：沿程损失比局部损失和速度水头的和大，局部损失可忽略；
短管：局部损失和速度水头的和比沿程损失大，考虑局部损失；
§4-3 流体流动两种状态
在不同条件下，流体质点的运动可能表现为两种状态。 一是、流体质点作有规则的运动，在运动过程中质点之间
互不混杂、互不干扰。 二是、流体质点的运动非常混乱。 1883年英国科学家雷诺进行了负有盛名的雷诺实验。
P59表4-1为不同形状导管的临界雷诺数（水力半径）。
雷诺数的物理意义： Re = V d/ 粘性大、 Re 小、 易层流
13
§4–5 层流的水头损失---圆管中的层流
在这一章节主要讨论粘性力和沿程水头损失 hf 的规律。
假设流体在等截面水平圆管中作层流运动。取出其中半径 为 r 的圆柱体作为研究对象，写出运动方程式：（因为是定常
因此在计算每一个具体流动的水头损失时，首先须要判 别该流体的流动状态，而雷诺数为判别流体是层流还是湍 流提供了准则。
11
§4-4 雷诺数
管中流体的平均流速不是一个独立不变的量。
由实验知：流体平均流速与流体运动粘性成正比、与管道直 径d成反比；则引入一个无量纲比例常数Re 可写为：
V= Re /d
其中 Re 称为雷诺数。
8
（c）继续增大管内流速，则染色流束剧烈地波动，最后个别部 分出现破裂，并失掉原来的清晰的形状，混杂在很多小旋涡中。 染色液体很快充满整个管，如图c。这表明此时管内的流体向前 流动时处于完全无规则的混乱状态，称其为“湍流”，或“紊 流”。
流体由层流转变为湍流时 的平均流速，称之为“上临 界速度VC `”。
长管、短管
不是由管道的长与短来决定，而是由局部水头损失与沿程水头 损失的比例大小来确定。
长管：沿程损失比局部损失和速度水头的和大，局部损失可忽略；
短管：局部损失和速度水头的和比沿程损失大，考虑局部损失；
§4-3 流体流动两种状态
在不同条件下，流体质点的运动可能表现为两种状态。 一是、流体质点作有规则的运动，在运动过程中质点之间
互不混杂、互不干扰。 二是、流体质点的运动非常混乱。 1883年英国科学家雷诺进行了负有盛名的雷诺实验。
流体力学课件第四章流动阻力和水头损失
l v hf d 2g
2
r w g J 2
w v 8
定义壁剪切速度（摩擦速度） 则
w v
*
v v
*
8
§4-4 圆管中的层流
层流的流动特征
du dy
du du dy dr
du dr
g J
r 2
r du g J 2 dr
层流 紊流
§4-3 沿程水头损失与剪应力的关系
均匀流动方程式
P G cos P2 T 0 1
P p1 A1 1
P2 p2 A2
T w l
G cos gAl cos gA( z1 z2 )
w l p1 p2 ( z1 ) ( z2 ) g g gA
v2 hj 2g
§4-2 粘性流体的两种流态
两种流态
v小
' c
v小
v > vc
v大 v大
临界流速。 下临界流速 vc ——由紊流转化为层流时的流速称为下 临界流速。
vc' ——由层流转化为紊流时的流速称为上 上临界流速
vv
层流 紊流
' c
紊流 层流
a-b-c-e-f f-e-d-b-a
第四章 流动阻力和水头损失
水头损失产生的原因： 一是流体具有粘滞性， 二是流动边界的影响。
§4-1 流动阻力和水头损失的分类
沿程阻力和沿程水头损失
在边界沿程无变化（边壁形状、尺寸、过 流方向均无变化）的均匀流段上，产生的流动 阻力称为沿程阻力或摩擦阻力。由于沿程阻力 做功而引起的水头损失称为沿程水头损失。均 匀流中只有沿程水头损失 h f 。
流体力学 第四章 量纲分析
v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺
名称
λυ=1 长度比尺λl 流速比尺λv λl λl-1
雷诺准则 λυ≠1 λl λυλl-1
弗劳德准则 λl λl1/2
加速度比尺λa
取m个基本量，组成(n－m)个无量纲的π项
F 1 , 2 ,, nm 0
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系
f p, ,, l , d , , v 0
b.选取基本量
n7
常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ
vp vm
up um
v λv——速度比尺
l t tm lm vm v
tp lp vp
时间比例尺 加速度比尺
v 2 a v t l
qV p qVm
流量比例尺 q 运动粘度比例尺 角速度比例尺
3 3 l 2l v lm tm t
Re
vl
雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
改成
FIm FIP FGP FGm
FG mg gl 3
FI l 2v 2
2 vm g p l p g m lm
v2 p
无量纲数
v2 Fr gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
工程流体力学-第4章-M
运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。
如：kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kqv=kl3kt-1 的单位是m2/s qV的单位是m3/s
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。 原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且各同名力的方向相同、比值保持相等。 引入力比例系数 也可写成
[解]（1） 对流动起主要作用的力是黏滞力，应满足雷诺准则
流动的压降满足欧拉准则
[例2] 有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数 ，管中通过油的流量 。现用10℃的水和管径dm= 5 cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。
M： 1＝ c+d L： 1＝ a+b-3c-d T： -2＝ -b -d 上述三个方程中有四个未知数，其中的三个未知数必须以第四个未知数表示： c=1-d； b=2-d； a=2-d 求得各指数值，带入假设式，得到无量纲关系式
（2）根据量纲和谐原理建立联立方程式
上式是一个无量纲方程，与具有四个未知数的原函数方程相比，仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试验结果并确定变量之间的关系时，独立变量数的减少是非常方便的，这也是量纲分析的明显好处。
非定常相似准则
由当地惯性力与迁移惯性力的关系，得到 称为斯特罗哈（Strouhal)数，要使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力相似准则，也称为非定常相似准则。
流动相似理论是工程模型研究和实验的基础。模型和原型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个核心问题。 一、模型与原型的相似 1、近似相似 1）不是所有的相似准则数都能同时被满足的； 2）甚至，有时连保证几何相似都是困难的。 2、实验方法 根据具体的问题，选择最重要的相似准则，确定模型尺寸及实验条件；得到无量纲准则数之间的关系。
流体力学 第4章
模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必定相等。
4.2 动力相似准则
4.2.1.重力相似准则
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。
kF
Fg Fg
V g Vg
k kl3kg
代入
kF k kl2kv2
kv (kl kg )1/ 2
1
v (gl)1/ 2
v (gl)1/ 2
Fr
Fr——弗劳德数，惯性力与重力的比值。
自模化状态 紊流的阻力有两部分
例如：泵与风机的动力相似是自动满足的
如图为弧形闸门放水时的情形，已知水深h=6m， 模型闸门是按比例尺kl=1/20制作，试验时的开度与 原型相同。试求流动相似时模型闸门前的水深。在模 型 上 测 得 收 缩 截 面 的 平 均 流 速 vˊ=2.0m 流 量 qvˊ=30L/s, 水作用在闸门上的力Fˊ=92N，绕闸门的 力矩Mˊ=110N·m，试求原型上收缩截面的平均流速、 流量、以及作用在闸门上的力。
第4章 相似原理和量纲分析
4.1 流动的力学相似
一、几何相似
模型与原形的全部对应线形长度的比例相等
长度比例尺
kl
l l
面积比例尺
kA
A A
l2 l2
kl2
L
体积比例尺
kV
V V
l3 l3
kl3
L
二、运动相似
模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻 的流速方向相同而流速大小的比例相等。
速度比例尺 时间比例尺 加速度比例尺 体积流量比例尺 运动粘度比例尺
力的比例尺
kF
FP FP
F F
Fg Fg
Fi Fi
FP ——总压力 F ——切向力 Fg ——重力 Fi ——惯性力
流体力学第四章ppt课件
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此
它在整个流场为常数。精选课件
10
U p V2 C
2
(通用常数)
对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成
p V2
z
C
(通用常数)
2g
上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在
整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场
建立了速度和压力之间精的选课件关系。
11
若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物
理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行
U 2
2
g
近似代替 20
适用于有限大流束的伯努利方成为：
z p U2 const
2g
或
z1p1U 21g2 z2p2
U22 2g
方程适用条件：
（13） （14）
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断
面间不必要求为渐变流精动选课件。
驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引
的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为
什么会产生“吸底现象”等等。
精选课件
12
讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流
动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。
流体力学第4章相似原理和量纲分析
对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF
Fit' Fit
V
'
v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr （斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数）
当地惯性力与迁移惯性力之比
4.3 流动相似的条件
同一类流动，为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似，即几何条件、边界条件、
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l ，流速 v ，粘度 ，重力加速度 g ；
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
自模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大 到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的 紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量 损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似 的作用，这种状态称为自模化状态。
关于自模化区实验 ——
尼古拉兹曲线
设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，
log(100)
而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应该 如何确定？模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值？
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。
流体力学 第四章 输运公式
例3 水流过一段900的渐缩弯头，进口截面绝对压强p1 221kPa , 横截面积S1 0.01m 2，出口截面面积S 2 0.0025m 2 , 速度V2 16m / s 压强则为大气压强pa 101kPa，水密度＝999kg / m 3。流动是 定常的，忽略质量力和摩擦力，求对弯头的支撑力。
CS
假设水速在进出口截面S1 , S 2上均匀分布 (V n )dA V1S1 V2 S 2 0
CS
S2 V1 V2 4m / s S1 (2)定常流动量方程 F V (V n )dA
CS
x轴方向分量方程 Fx u (V n )dA
第四章 流体力学基本方程
主要内容： 1、系统、控制体的基本概念、定义； 2、输运公式； 3、流体力学积分形式基本方程组； 4、流体力学微分形式基本方程组； 5、定解条件方程的应用。
第一节 输运公式
一、基本概念
系统：一团流体质点的集合。引入系统的概念，实际上就是
采用拉格朗日观点来描述流体的运动。
特点：（1）随质点运动而运动，包含质量不变；
Bsys ( d )，BCV ( dv)
sys CV
体积单位;
dBout dBin v dA v dA dt A2 A1 (V n )dA
CS
d d sys ( d ) dt CV ( dv) (V n )dA dt CS
上式第一项： dh dv t ( w Sh) t a S ( H h) w S dt t CV 式中因空气总质量不变，即 a S ( H h)为常量，对时间的导数 为零。h仅是时间t的函数，对时间的偏导数可改写为全导数。 连续方程的第二项： (V n )dS wV2 S 2 wV1S1
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
流体力学4
下临界流速 vk ：紊流状态改变为层流状态时的 速度。
实验证明： vk ＜＜ vk
层流 过渡流 紊流
vk
流速
vk
二、流动状态与水头损失的关系
在雷诺实验中，用测压管测定两点间的水头损失hf， 并测定管中流体均速v，作出hf－v的关系图 结论：v < vk 时，层流，沿程损失 hf与v的关系为OA直线；hf＝k1v
或
0 ＝Ri 计算均匀流动水头损失的基本公式
式中：τ0—流段表面单位面积上所受摩擦力； R—过水断面的水力半径； i－水力坡度。
i hf / l
水力坡度：单位长度的沿程损失。
第四节 流体在圆管中的层流运动
一、均匀流动中内摩擦力的分布规律
均匀流动水头损失:
0 ＝Ri
设过水断面最大半径为r0，则水力半径 R＝r0/2，
四、圆管层流中的沿程损失
由圆管平均速度公式 得：
32 i v 2 d0
i hf l
v
i 2 d0 32
又由水力半径
得：
hf
32 l v k1 v 2 d0
式中： k 32 l 1 d 02
，为常量。
以速度水头的形式表示hf，则：
hf
32 l 32 l v 2 64 l v 2 v v 2 2 d0 ( g) d 0 2 v v d 02 2g
则： 0 ＝ r0 i
2
取半径为r的圆柱形流段，设其表面切应力为τ，则
r ＝ i 2
∴
r ＝ 0 r0
均匀流动中内摩擦切应力的分布规律 物理意义：圆管均匀流的过水断面上，切应力呈直线分 布，管壁处切应力为最大值τ0，管轴处切应力为零。
实验证明： vk ＜＜ vk
层流 过渡流 紊流
vk
流速
vk
二、流动状态与水头损失的关系
在雷诺实验中，用测压管测定两点间的水头损失hf， 并测定管中流体均速v，作出hf－v的关系图 结论：v < vk 时，层流，沿程损失 hf与v的关系为OA直线；hf＝k1v
或
0 ＝Ri 计算均匀流动水头损失的基本公式
式中：τ0—流段表面单位面积上所受摩擦力； R—过水断面的水力半径； i－水力坡度。
i hf / l
水力坡度：单位长度的沿程损失。
第四节 流体在圆管中的层流运动
一、均匀流动中内摩擦力的分布规律
均匀流动水头损失:
0 ＝Ri
设过水断面最大半径为r0，则水力半径 R＝r0/2，
四、圆管层流中的沿程损失
由圆管平均速度公式 得：
32 i v 2 d0
i hf l
v
i 2 d0 32
又由水力半径
得：
hf
32 l v k1 v 2 d0
式中： k 32 l 1 d 02
，为常量。
以速度水头的形式表示hf，则：
hf
32 l 32 l v 2 64 l v 2 v v 2 2 d0 ( g) d 0 2 v v d 02 2g
则： 0 ＝ r0 i
2
取半径为r的圆柱形流段，设其表面切应力为τ，则
r ＝ i 2
∴
r ＝ 0 r0
均匀流动中内摩擦切应力的分布规律 物理意义：圆管均匀流的过水断面上，切应力呈直线分 布，管壁处切应力为最大值τ0，管轴处切应力为零。
第一篇 流体力学第四章 阻力损失与管路计算
• 有了当量直径,只要用de 代替d,就可利用圆管的计算公式来进行非圆 管沿程损失的计算,即
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第四节 局部损失的计算
• 局部损失可按下式计算:
• 局部损失的计算可以转化为求局部阻力系数ζ 的问题.对于不同的局部 阻碍,有不同的局部阻力系数ζ 值,其多数通过试验确定,并编制成专用 计算图、表,供计算时查用.表４-１列出了各种常用管件的局部阻力系 数ζ值.应当注意,表４-１中的ζ 值都是针对某一过流断面的平均流速而 言的,查表时必须与指定的断面流速相对应,凡未注明的,均应采用局部 阻碍以后断面的平均流速.
• 根据流体的边界情况,将流动阻力和能量损失分为两种形式:一种是沿 程阻力与沿程能量损失;另一种是局部阻力与局部能量损失.
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第一节 流动阻力与能量损失
• 如图４-１所示,水箱侧壁上连接一根由三段不同直径的管段所组成的 管路.在边壁沿程不变的管段上(１－２、２－３、３－４、４－５段), 阻碍流体流动的阻力沿程基本不变,这类阻力称为沿程阻力.为克服沿 程阻力而产生的能量损失称为沿程能量损失.沿程损失以水柱高度表 示时,称为沿程水头损失,用符号hf 表示.图中的hf１２、hf２３、hf３４、 hf４５就是相应１－２、２－３、３－４、４－５各管段的沿程水头 损失.图中整个管路的沿程水头损失等于各管段的沿程水头损失之和, 即
• 人们很早以前就发现沿程损失与流速之间存在着某种关系,但直到１ ８８３年,英国物理学家雷诺在他做的试验中揭示了流体运动存在着 两种流态,这才认识到沿程损失与流速的关系与流态密切相关.
• 雷诺试验的装置如图４-２所示,水箱A 中水位恒定,水流通过玻璃管B 恒定出流,阀门K 用来调节管内流量,容器D 中盛有颜色水,颜色水可以 经过细管E 注入玻璃管B 中.
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第四节 局部损失的计算
• 局部损失可按下式计算:
• 局部损失的计算可以转化为求局部阻力系数ζ 的问题.对于不同的局部 阻碍,有不同的局部阻力系数ζ 值,其多数通过试验确定,并编制成专用 计算图、表,供计算时查用.表４-１列出了各种常用管件的局部阻力系 数ζ值.应当注意,表４-１中的ζ 值都是针对某一过流断面的平均流速而 言的,查表时必须与指定的断面流速相对应,凡未注明的,均应采用局部 阻碍以后断面的平均流速.
• 根据流体的边界情况,将流动阻力和能量损失分为两种形式:一种是沿 程阻力与沿程能量损失;另一种是局部阻力与局部能量损失.
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第一节 流动阻力与能量损失
• 如图４-１所示,水箱侧壁上连接一根由三段不同直径的管段所组成的 管路.在边壁沿程不变的管段上(１－２、２－３、３－４、４－５段), 阻碍流体流动的阻力沿程基本不变,这类阻力称为沿程阻力.为克服沿 程阻力而产生的能量损失称为沿程能量损失.沿程损失以水柱高度表 示时,称为沿程水头损失,用符号hf 表示.图中的hf１２、hf２３、hf３４、 hf４５就是相应１－２、２－３、３－４、４－５各管段的沿程水头 损失.图中整个管路的沿程水头损失等于各管段的沿程水头损失之和, 即
• 人们很早以前就发现沿程损失与流速之间存在着某种关系,但直到１ ８８３年,英国物理学家雷诺在他做的试验中揭示了流体运动存在着 两种流态,这才认识到沿程损失与流速的关系与流态密切相关.
• 雷诺试验的装置如图４-２所示,水箱A 中水位恒定,水流通过玻璃管B 恒定出流,阀门K 用来调节管内流量,容器D 中盛有颜色水,颜色水可以 经过细管E 注入玻璃管B 中.
流体力学第4章流体流动基本原理
mCV qm2 qm1 0 t
28
对稳态流动系统，流体及流动参数均与 时间无关，即
mCV / t 0
因此，质量守恒方程简化为
qm1 qm2
或 1v1 A1 2v2 A2
即稳态流动，输入与输出的质量必然相等。
29
对不可压缩流体的稳态流动，ρ=const，则
v1 A v2 A2 1
CV
vmax
2
R v1R 0
2 2
34
故有
vmax=2v1
例题：一储气罐，罐中空气经管道向外界排出，
已知管道出口处气流密度和压强为均匀分布，而 速度呈抛物线规律分布：
r v vmax (1 2 ) r0
已知排气管r0=0.025m，当储气罐 中p0=0.14MPa，T0=277.8K，测得 管道出口处气流vmax=32m/s，储气 罐和管道的总容积0.32m3。
24
③ 控制体内的质量变化率
对于控制体内密度为ρ的任意微元体积dV，其质 量为ρdV。将ρdV在整个控制体CV积分可得控制体内 的瞬时总质量，再对时间求导得:
控制体内的 质量变化率 =
t
dV
CV
ρ dv
25
④ 质量守恒方程
将上述各式集合在一起即可得到控制体系
统的质量守恒方程：
输出控制体 的质量流量 输入控制体 — 的质量流量
4.2.1 控制体系统的质量守恒方程
根据质量守恒原理，对于质量为m的系统，其质 量守恒方程为
dm ( )系统 0 dt
由输运公式，以控制体为研究对象时质量守恒方程 可表述为
19
输出控制体 的质量流量
—
输入控制体 的质量流量
流体力学 第四章 cn
Ip = = = = = Tm Gm Pm E m S m I m 即λT = λG = λ P = λ E = λ S = λ I Tp Gp Pp Ep Sp
动力相似是运动相似的保证
四、初始条件和边界条件相似
初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似 的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方 程的定解条件一样。 对于非恒定 流，初始条件是必需 的；对于恒定流， 初始条件则失去了实际意义。 边界条件相似是指两个流动相似，其边界性质相 同，如固体 边界上的法线流速 都为零；自由液体 上 压强 均等 于大气压 等等，对于原型和模型 都是 一样的。
为时间比尺（Time Scale）
二、运动相似
w速度相似 意味着各 相应点的 加 速度也是相似的，
即
λl λv λ2 λa = = 2 == = v a m λt λt λl ap
式中λa为加速度比尺（Acceleration Scale） 由此可见，只要速度相似，加速度也必然相似，反 之亦然。 由于速度场的研究是流体力学的重要问题，所以 运动相似通常是模型试验的目的。
四、韦伯准则（Weber Criterion）
当作用力主要为表面张力时
F = S = σl
λ F = λ S = λσ λ l λI = λF
式中λσ为表面张力系数比尺，将上式代入式 得
2 λ ρ λ2 l λ v = λσ λl
化简得
λ ρ λl λ2 v λσ
=1 ρplp v2 p σp ρ mlm v2 m = σm
运动相似是两个流场相应点的速度方向相同，大 up 小成比例，即
um 式中λu为速度比尺（Velocity Scale）
断面平均流速也具有同样比尺，即
动力相似是运动相似的保证
四、初始条件和边界条件相似
初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似 的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方 程的定解条件一样。 对于非恒定 流，初始条件是必需 的；对于恒定流， 初始条件则失去了实际意义。 边界条件相似是指两个流动相似，其边界性质相 同，如固体 边界上的法线流速 都为零；自由液体 上 压强 均等 于大气压 等等，对于原型和模型 都是 一样的。
为时间比尺（Time Scale）
二、运动相似
w速度相似 意味着各 相应点的 加 速度也是相似的，
即
λl λv λ2 λa = = 2 == = v a m λt λt λl ap
式中λa为加速度比尺（Acceleration Scale） 由此可见，只要速度相似，加速度也必然相似，反 之亦然。 由于速度场的研究是流体力学的重要问题，所以 运动相似通常是模型试验的目的。
四、韦伯准则（Weber Criterion）
当作用力主要为表面张力时
F = S = σl
λ F = λ S = λσ λ l λI = λF
式中λσ为表面张力系数比尺，将上式代入式 得
2 λ ρ λ2 l λ v = λσ λl
化简得
λ ρ λl λ2 v λσ
=1 ρplp v2 p σp ρ mlm v2 m = σm
运动相似是两个流场相应点的速度方向相同，大 up 小成比例，即
um 式中λu为速度比尺（Velocity Scale）
断面平均流速也具有同样比尺，即
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z p c
g
渐变流
均匀流 急变流
渐变流 急变流 渐变流
急变流
图 3-18 渐变流和急变流
总流的伯努利方程
实际恒定总流 1-1 、2-2过流断面 渐变流
dA
元流
总流 dA A
黏性元流的伯努利方程（单位重量流体）
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw'
单位时间流过元流1-1和2-2 过流断面 的流体重量
r
rr
Fdt mV2 mV1 动量方程
Fdt Qdt(1v1 2v2)
Fx Q(2vx2 1vx1) Fy Q(2vy2 1vy1) Fz Q(2vz2 1vz1)
恒定总流的动量方程
应用动量方程的注意事项
a) 取控制体（隔离体） 在流场中将研究的流段隔离出来，即为控制体。它是以渐变流的过流断面和固体壁 面为边界所包围的流体段，之所以取在渐变流，是因为渐变流上其过流断面平均流 速和作用在断面上的压力比较好确定。
dxdydz
Dux Dt
X 1 p Dux
x Dt
同理
Y 1 p Duy
y Dt
Z 1 p Duz
z Dt
展开成欧拉法的表达 式（3-9）
无黏性流体运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
X
1
p x
ux t
ux
u x x
uy
ux y
1
p y
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
两边同乘以 dx
dy
dz
沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz
Xdx
1
p x
dx
ux
ux x
dx
uy
总流
渐变流及其性质 总流的伯努利方程
渐变流及其性质
流动的分类
r r
ug u 0
均匀流
非均匀流
迁移加速度很小， 或流线近乎是平行
直线的流动
r r
ug u 0
渐变流
急变流
渐变流的性质：
1）渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2）渐变流过流断面上的动压强与静压强的分布规律相同。
单位时间的总流1-1和2-2 过流断面的能量关系
总流的伯努利方程
势能积分
动能积分
A1
z1
p1
g
gu1dA1
A1
u12 2g
gu1dA1
水头损失积分
A2
z2
p2
g
gu2dA2
A2
u22 2g
uz
ux z
Y
1
p y
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
黏性流体运动微分方程
黏性
存在剪切力
由于黏性作用，任一点法向应力的大小与作用 面的方位有关
P84
图4-16
3
2
0
3
2
【例4-1】 有一直径缓慢变化的锥形水管，1-1断面处直径
d1=0.15m,中心点A的相对压强为7.2kN/m2, 2-2断面处直径d2=0.3m, 中心点B的相对压强为6.1kN/m2,断面平均流速v2=1.5m/s，A,B 的高差为1米，试判断管中水流方向，并求1，2两断面间的水头 损失。
c) 求动量的变化 动量的变化往往用投影量来进行计算，由流出控制体的动量值减去流入控制体的动 量值，流速投影的正负与力的投影正负规定相同，与坐标轴的方向一致。另外，在 求解过程中还会用到连续性方程和能量方程。
p2 g
Z2
总流伯努利方程的物理意义和几何意义 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
异同点？
1. 水流必须是不可压缩液体的恒定流； 2. 作用在液体上的质量力只有重力； 3. 在所选取的两个过水断面符合渐变流断面，但在
所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。 4.两段面间无分流或汇流。
例如
1
1
0
b) 受力分析 作用在控制体上的外力包括重力和表面力。 表面力中包括两个断面上的压力,固体壁面对流体的压力(这个力往往就是所求的力) 还有固壁附近的摩擦阻力（通常由于相对于作用力很小，可以忽略）。控制体内还 有内力，对外而言也不予考虑。对大气压力只要暴露在大气中都会受到大气的作用 因此，绝大多数都用相对压强来计算。未知力的方向可以任意假设，最后通过计算 结果来判断方向，结果为正则实际方向与假设方向一致，否则相反。
2g
）-（z2
p2
g
2 v22
2g
）
2.57 1.74 0.83m
所以1，2断面间的水头损失为0.83米。
应用恒定总流能量方程式时应注意几点
• 基准面的选择是任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须 选取同一基准面；
p
• 能量方程中 g一项，可以是相对压强，也可以是绝对压强，但对同一 问题必须采用相同的标准；
gu2dA2
A2
hw' gu2dA2
积分整理得
z1
p1
g
gQ1
1v12
2g
gQ1
z2
p2
g
gQ2
2v22
2g
gQ2
hw gQ2
总流的伯努利方程
两过流断面无分流及汇流，则Q1=Q2=Q，两边同除pgQ可得
z1
若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点,则可得
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
在特殊情况下，绝对静止流体u=0，由可以得到静力学基本方程
z p C (常数)
g
二、元流伯努利方程的物理意义和几何意义
能量守恒
z
p g
u2 2g z p u2 g 2g
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
2uz
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
4.2 元流的伯努利方程
理想流体元流的伯努利方程 黏性流体元流的伯努利方程
理想流体元流的伯努利方程
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
2
又假设为不可压缩流体，即ρ=常数，积分后得
gz p u2 C (常数)
2
or
z p u2 C (常数)
g 2g
此上式称为理想流体微元流束的伯努利方程
方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围：
理想、不可压缩流体，在重力作用下，作恒定流动，并沿 同一流线（或微元流束）。
•
在计算过水断面的测压管水头
z
p g
时，可以选取断面上任意点计
算（？），具体选择哪一点，以计算方便为宜。例如：对管流，一
般选取管轴中心点来计算，明渠一般选择自由表面上的点。
• 不同过水断面的动能修正系数α严格讲是不相等的，实际中对渐变流， 通常令α=1，特殊情况时需根据具体情况而定。
4.5 恒定总流的动量方程
hw
总流两过流断面间单位重量流体平均的机械能失；
z p
g z p v2
g 2g
总流过流断面上单位重量流体的平均势能； 总流过流断面上单位重量流体的平均机械能；
H1 H2
水头线
1v12 2g
p1 g
Z1
总流的伯努利方程
总水头线坡度 J dhw
dL
H
HP
hw
2 v22 2g
4.1 流体的运动微分方程 4.2 元流的伯努利方程
能量方程
4.3 恒定总流的伯努利方程 4.4 ＊ 非恒定总流的伯努利方程
动量方程
4.5 恒定总流的动量方程
4.1 流体的运动微分方程
无黏性流体运动微分方程 黏性流体运动微分方程
无黏性流体运动微分方程
X轴方向
无黏性
不存在剪切力
表面力
压 强
pM
p p x
式（3-16）
Xdx
1
p x
dx
u x dux
Ydy
1
p y
dy
u y du y
相 加
1 p
Zdz z dz u z duz
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
p x
dx
p y
dy
g
渐变流
均匀流 急变流
渐变流 急变流 渐变流
急变流
图 3-18 渐变流和急变流
总流的伯努利方程
实际恒定总流 1-1 、2-2过流断面 渐变流
dA
元流
总流 dA A
黏性元流的伯努利方程（单位重量流体）
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw'
单位时间流过元流1-1和2-2 过流断面 的流体重量
r
rr
Fdt mV2 mV1 动量方程
Fdt Qdt(1v1 2v2)
Fx Q(2vx2 1vx1) Fy Q(2vy2 1vy1) Fz Q(2vz2 1vz1)
恒定总流的动量方程
应用动量方程的注意事项
a) 取控制体（隔离体） 在流场中将研究的流段隔离出来，即为控制体。它是以渐变流的过流断面和固体壁 面为边界所包围的流体段，之所以取在渐变流，是因为渐变流上其过流断面平均流 速和作用在断面上的压力比较好确定。
dxdydz
Dux Dt
X 1 p Dux
x Dt
同理
Y 1 p Duy
y Dt
Z 1 p Duz
z Dt
展开成欧拉法的表达 式（3-9）
无黏性流体运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
X
1
p x
ux t
ux
u x x
uy
ux y
1
p y
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
两边同乘以 dx
dy
dz
沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz
Xdx
1
p x
dx
ux
ux x
dx
uy
总流
渐变流及其性质 总流的伯努利方程
渐变流及其性质
流动的分类
r r
ug u 0
均匀流
非均匀流
迁移加速度很小， 或流线近乎是平行
直线的流动
r r
ug u 0
渐变流
急变流
渐变流的性质：
1）渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2）渐变流过流断面上的动压强与静压强的分布规律相同。
单位时间的总流1-1和2-2 过流断面的能量关系
总流的伯努利方程
势能积分
动能积分
A1
z1
p1
g
gu1dA1
A1
u12 2g
gu1dA1
水头损失积分
A2
z2
p2
g
gu2dA2
A2
u22 2g
uz
ux z
Y
1
p y
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
黏性流体运动微分方程
黏性
存在剪切力
由于黏性作用，任一点法向应力的大小与作用 面的方位有关
P84
图4-16
3
2
0
3
2
【例4-1】 有一直径缓慢变化的锥形水管，1-1断面处直径
d1=0.15m,中心点A的相对压强为7.2kN/m2, 2-2断面处直径d2=0.3m, 中心点B的相对压强为6.1kN/m2,断面平均流速v2=1.5m/s，A,B 的高差为1米，试判断管中水流方向，并求1，2两断面间的水头 损失。
c) 求动量的变化 动量的变化往往用投影量来进行计算，由流出控制体的动量值减去流入控制体的动 量值，流速投影的正负与力的投影正负规定相同，与坐标轴的方向一致。另外，在 求解过程中还会用到连续性方程和能量方程。
p2 g
Z2
总流伯努利方程的物理意义和几何意义 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
异同点？
1. 水流必须是不可压缩液体的恒定流； 2. 作用在液体上的质量力只有重力； 3. 在所选取的两个过水断面符合渐变流断面，但在
所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。 4.两段面间无分流或汇流。
例如
1
1
0
b) 受力分析 作用在控制体上的外力包括重力和表面力。 表面力中包括两个断面上的压力,固体壁面对流体的压力(这个力往往就是所求的力) 还有固壁附近的摩擦阻力（通常由于相对于作用力很小，可以忽略）。控制体内还 有内力，对外而言也不予考虑。对大气压力只要暴露在大气中都会受到大气的作用 因此，绝大多数都用相对压强来计算。未知力的方向可以任意假设，最后通过计算 结果来判断方向，结果为正则实际方向与假设方向一致，否则相反。
2g
）-（z2
p2
g
2 v22
2g
）
2.57 1.74 0.83m
所以1，2断面间的水头损失为0.83米。
应用恒定总流能量方程式时应注意几点
• 基准面的选择是任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须 选取同一基准面；
p
• 能量方程中 g一项，可以是相对压强，也可以是绝对压强，但对同一 问题必须采用相同的标准；
gu2dA2
A2
hw' gu2dA2
积分整理得
z1
p1
g
gQ1
1v12
2g
gQ1
z2
p2
g
gQ2
2v22
2g
gQ2
hw gQ2
总流的伯努利方程
两过流断面无分流及汇流，则Q1=Q2=Q，两边同除pgQ可得
z1
若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点,则可得
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
在特殊情况下，绝对静止流体u=0，由可以得到静力学基本方程
z p C (常数)
g
二、元流伯努利方程的物理意义和几何意义
能量守恒
z
p g
u2 2g z p u2 g 2g
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
2uz
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
4.2 元流的伯努利方程
理想流体元流的伯努利方程 黏性流体元流的伯努利方程
理想流体元流的伯努利方程
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
2
又假设为不可压缩流体，即ρ=常数，积分后得
gz p u2 C (常数)
2
or
z p u2 C (常数)
g 2g
此上式称为理想流体微元流束的伯努利方程
方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围：
理想、不可压缩流体，在重力作用下，作恒定流动，并沿 同一流线（或微元流束）。
•
在计算过水断面的测压管水头
z
p g
时，可以选取断面上任意点计
算（？），具体选择哪一点，以计算方便为宜。例如：对管流，一
般选取管轴中心点来计算，明渠一般选择自由表面上的点。
• 不同过水断面的动能修正系数α严格讲是不相等的，实际中对渐变流， 通常令α=1，特殊情况时需根据具体情况而定。
4.5 恒定总流的动量方程
hw
总流两过流断面间单位重量流体平均的机械能失；
z p
g z p v2
g 2g
总流过流断面上单位重量流体的平均势能； 总流过流断面上单位重量流体的平均机械能；
H1 H2
水头线
1v12 2g
p1 g
Z1
总流的伯努利方程
总水头线坡度 J dhw
dL
H
HP
hw
2 v22 2g
4.1 流体的运动微分方程 4.2 元流的伯努利方程
能量方程
4.3 恒定总流的伯努利方程 4.4 ＊ 非恒定总流的伯努利方程
动量方程
4.5 恒定总流的动量方程
4.1 流体的运动微分方程
无黏性流体运动微分方程 黏性流体运动微分方程
无黏性流体运动微分方程
X轴方向
无黏性
不存在剪切力
表面力
压 强
pM
p p x
式（3-16）
Xdx
1
p x
dx
u x dux
Ydy
1
p y
dy
u y du y
相 加
1 p
Zdz z dz u z duz
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
p x
dx
p y
dy