流体力学第四章

(1) 不可压缩理想流体的恒定流动； (2) 沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3) 质量力只有重力。 （4）无黏性流体 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。
一、理想流体微元流的伯努利方程
恒定流动

0 t
X

1
p x

ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
4.2 小结
• 无黏性流体元流的伯努利方程
z p u2 C (常数)
g 2g
能量方程
• 黏性流体元流的伯努利方程
z1

p1
g

u12 2g

z2

p2
g

u22 2g

hw'
元流的伯努利方程主要研究流体运动中的 能量守恒
质量守恒 三大定律
动量守恒
4.3 恒定总流的伯努利方程
元流
•
在计算过水断面的测压管水头
z
p g
时，可以选取断面上任意点计
算（？），具体选择哪一点，以计算方便为宜。例如：对管流，一
般选取管轴中心点来计算，明渠一般选择自由表面上的点。
• 不同过水断面的动能修正系数α严格讲是不相等的，实际中对渐变流， 通常令α=1，特殊情况时需根据具体情况而定。
4.5 恒定总流的动量方程

dxdydz
Dux Dt
X 1 p Dux
x Dt
同理
Y 1 p Duy
y Dt
Z 1 p Duz
z Dt
展开成欧拉法的表达 式（3-9）
无黏性流体运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
X

1

p x

ux t
ux
u x x

uy
ux y
ux y
dx
uz
ux z
dx
Ydy

1
p y
dy

ux
uy x
dy
uy
uy y
dy
uz
uy z
dy
Zdz

1
p z
dz

ux
uz x
dz
uy
uz y
dz
uz
uz z
dz
流线方程
uydx uxdy, uzdx uxdz, uzdy uydz
2
又假设为不可压缩流体，即ρ=常数，积分后得
gz p u2 C (常数)
2
or
z p u2 C (常数)
g 2g
此上式称为理想流体微元流束的伯努利方程
方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围：
理想、不可压缩流体，在重力作用下，作恒定流动，并沿 同一流线（或微元流束）。
hw
总流两过流断面间单位重量流体平均的机械能失；
z p
g z p v2
g 2g
总流过流断面上单位重量流体的平均势能； 总流过流断面上单位重量流体的平均机械能；
H1 H2
水头线
1v12 2g
p1 g
Z1
总流的伯努利方程
总水头线坡度 J dhw
dL
H
HP
hw
2 v22 2g
dx 2
pN

p
p x
dx 2
压 PM pM dydz 力 PN pN dydz
MO N
质量力 Fx=xρdxdydz
流速的随体导数
牛顿第二定律
Fx

max

m
Dux Dt
X
dxdydz


p

p x
dx 2

dydz


p

p x
dx 2

dydz
p2 g
Z2
总流伯努利方程的物理意义和几何意义 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
异同点？
1. 水流必须是不可压缩液体的恒定流； 2. 作用在液体上的质量力只有重力； 3. 在所选取的两个过水断面符合渐变流断面，但在
所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。 4.两段面间无分流或汇流。
例如
1
1
0
2g

0
7.2 9.8

62 2 9.8

2.57m
z2

p2
g
2v22
2g
1
6.1 9.8
42 2 9.8
1.74m
因（z1

p1
g

1v12
2g
）>（z2

p2
g

2v22
2g
）
所以管中水流方向应从A到B。
1
A
2
B 2 1m
1
水头损失
hw
（z1

p1
g

1v12
z p c
g
渐变流
均匀流 急变流
渐变流 急变流 渐变流
急变流
图 3-18 渐变流和急变流
总流的伯努利方程
实际恒定总流 1-1 、2-2过流断面 渐变流
dA
元流
总流 dA A
黏性元流的伯努利方程（单位重量流体）
z1

p1
g

u12 2g

z2

p2
g

u22 2g
hw'
单位时间流过元流1-1和2-2 过流断面 的流体重量
b) 受力分析 作用在控制体上的外力包括重力和表面力。 表面力中包括两个断面上的压力,固体壁面对流体的压力(这个力往往就是所求的力) 还有固壁附近的摩擦阻力（通常由于相对于作用力很小，可以忽略）。控制体内还 有内力，对外而言也不予考虑。对大气压力只要暴露在大气中都会受到大气的作用 因此，绝大多数都用相对压强来计算。未知力的方向可以任意假设，最后通过计算 结果来判断方向，结果为正则实际方向与假设方向一致，否则相反。
c) 求动量的变化 动量的变化往往用投影量来进行计算，由流出控制体的动量值减去流入控制体的动 量值，流速投影的正负与力的投影正负规定相同，与坐标轴的方向一致。另外，在 求解过程中还会用到连续性方程和能量方程。
P84
图4-16
3
2
0
3
2
【例4-1】 有一直径缓慢变化的锥形水管，1-1断面处直径
d1=0.15m,中心点A的相对压强为7.2kN/m2, 2-2断面处直径d2=0.3m, 中心点B的相对压强为6.1kN/m2,断面平均流速v2=1.5m/s，A,B 的高差为1米，试判断管中水流方向，并求1，2两断面间的水头 损失。
式（3-16）
Xdx
1

p x
dx
u x dux
Ydy
1

p y
dy
u y du y
相 加
1 p
Zdz z dz u z duz
( Xdx

Ydy

Zdz)

1


p x
dx

p y
dy

p z
dz

uzduz uyduy uzduz
4.1 流体的运动微分方程 4.2 元流的伯努利方程
能量方程
4.3 恒定总流的伯努利方程 4.4 ＊ 非恒定总流的伯努利方程
动量方程
4.5 恒定总流的动量方程
4.1 流体的运动微分方程
无黏性流体运动微分方程 黏性流体运动微分方程
无黏性流体运动微分方程
X轴方向
无黏性
不存在剪切力
表面力
压 强
pM

p p x
水头相等
图 无黏性流体的总水头线和静水头线
黏性流体元流的伯努利方程
黏性
阻力
克服阻力做功
能量损耗
z1

p1
g

u12 2g

z2

p2
g

u22 2g

hw'
hw' 黏性流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动至过流断面2-2的
机械能损失，称为元流的水头损失。
hw'
图 黏性流体的总水头线和静水头线
gdQ gu1dA1 gu2dA2
单位时间的元流1-1和2-2 过流断面的能量关系
1 A1 u1
1 Z1
0
2 A2 u2
2
Z2
0

z1

p1
g

u12 2g

gu1dA1


z2

p2
g

u22 2g

gu2dA2

hw'
gu2dA2

1
p y

ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z

1
p z

ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
两边同乘以 dx
dy
dz
沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz
Xdx

1
p x
dx

ux
ux x
dx
uy
2g
）-（z2

p2
g

2 v22
2g
）
2.57 1.74 0.83m
所以1，2断面间的水头损失为0.83米。
应用恒定总流能量方程式时应注意几点
• 基准面的选择是任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须 选取同一基准面；
p
• 能量方程中 g一项，可以是相对压强，也可以是绝对压强，但对同一 问题必须采用相同的标准；
黏性流体中，把某点三个正交面上的法向应力的平均值定义为该 点的动压强任p。p=p(x,y,z)
以应力表示的
不可压缩黏性流体
运动微分方程
X

1

p x
2ux

ux t
ux
u x x
uy
ux y
uz
ux z
Y

1

p y
2uy

u y t
ux
u y x
单位时间的总流1-1和2-2 过流断面的能量关系
总流的伯努利方程
势能积分
动能积分
A1

z1

p1
g


gu1dA1

A1

u12 2g

gu1dA1
水头损失积分

A2

z2

p2
g

gu2dA2

A2

u22 2g
z p u2 C
g 2g
物理意义
单位重量流体的位能 单位重量流体的压能
单位重量流体的动能
几何意义
过水断面的位置水头 过水断面的压强水头
过水断面的速度水头
单位重量流体的机械能 过水断面的总水头
无黏性流体的恒定流动，无黏性流体的恒定流动，
沿同一元流，单位重量 沿同一元流各断面的总
流体的机械能守恒
其中
p dx p dy p dz dp
x y z
uxdux
uyduy
uzduz

d
wk.baidu.comux2
uy2 2

uz2


d

u2 2

流动在重力场中，质量力只有重力，X=0，Y=0，Z=-g， 即z轴垂直向上，oxy为水平面。
所以：
gdz 1 dp 1 du2 0
若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点,则可得
z1

p1
g

u12 2g

z2

p2
g

u22 2g
在特殊情况下，绝对静止流体u=0，由可以得到静力学基本方程
z p C (常数)
g
二、元流伯努利方程的物理意义和几何意义
能量守恒
z
p g
u2 2g z p u2 g 2g
2
【解】利用连续原理求断面的平均流速。
因 v1A1=v2A2
所以
v1

A2 A1
v2


4

4
d22 d12
v2

(0.30)2 1.5 0.15
6m /
s
1 A
1
B 2 1m
因水管直径变化缓慢，1-1与2-2断面水流可看作渐变流，以
过A点水平面为基准面计算两断面的总能量：
z1

p1
g
1v12
uz
ux z
Y

1

p y

u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z

1

p z

uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
黏性流体运动微分方程
黏性
存在剪切力
由于黏性作用，任一点法向应力的大小与作用 面的方位有关
uy
u y y
uz
u y z
Z

1

p z
2uz

uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
4.2 元流的伯努利方程
理想流体元流的伯努利方程 黏性流体元流的伯努利方程
理想流体元流的伯努利方程
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
r
rr
Fdt mV2 mV1 动量方程
Fdt Qdt(1v1 2v2)
Fx Q(2vx2 1vx1) Fy Q(2vy2 1vy1) Fz Q(2vz2 1vz1)
恒定总流的动量方程
应用动量方程的注意事项
a) 取控制体（隔离体） 在流场中将研究的流段隔离出来，即为控制体。它是以渐变流的过流断面和固体壁 面为边界所包围的流体段，之所以取在渐变流，是因为渐变流上其过流断面平均流 速和作用在断面上的压力比较好确定。

gu2dA2

A2
hw' gu2dA2
积分整理得

z1

p1
g


gQ1


1v12
2g
gQ1


z2

p2
g


gQ2


2v22
2g
gQ2

hw gQ2
总流的伯努利方程
两过流断面无分流及汇流，则Q1=Q2=Q，两边同除pgQ可得
z1
p1
g
1v12
2g

z2

p2
g
2v22
2g
hw
为黏性流体总流的伯努利方程
总流伯努利方程的物理意义和几何意义
总流的伯努利方程
z
总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的位能；
p
g
总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的压能；
v2
总流过流断面上某点单位重量流体的平均动能；
2g
总流
渐变流及其性质 总流的伯努利方程
渐变流及其性质
流动的分类
r r
ug u 0
均匀流
非均匀流
迁移加速度很小， 或流线近乎是平行
直线的流动
r r
ug u 0
渐变流
急变流
渐变流的性质：
1）渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2）渐变流过流断面上的动压强与静压强的分布规律相同。