信号与系统卷积和及几类常见题目

⏹卷积☐卷积的定义

☐卷积的物理意义☐卷积的性质

☐卷积的计算

⏹信号的分解

☐信号分解为基本信号之和☐…

δ(t )是卷积的单位元δ(t-t 0)是卷积的延迟器u (t )是卷积的积分器

δ’(t )是卷积的微分器

温故知新，上讲回顾

第二章信号的时域分析

§2.1常用信号及其基本特性

§2.2信号的时域运算Array§2.3信号的时域分解

§2.4卷积积分

§2.5卷积和

信号分类；基本信号特性；信号分解

与运算；卷积/卷积和

周期/非周期判断；奇异函数运算；信号

展缩平移；卷积/卷积和

1. 掌握卷积和的定义/性质并进行计算

（解析法、图解法、竖式法、性质求解）2. 习题课

（信号时域分析几类常见题目）

§2.5卷积和

一、卷积和的定义及物理意义

二、卷积和的性质

三、卷积和的计算

设x 1(n ) 和x 2(n )是两个序列，则121

2

()()()()

k k k x n x n x x n ∞

=−∞

∗=−∑如果x 1(n ) 和x 2(n )都是因果序列，则

1120

2()()()()

n

k x n x n x k x n k =∗=−∑1212()()()()d f t f t f f t τττ

∞

−∞

∗=

−⎰

卷积和：卷积积分：1. 定义

任意序列x (n ) 可以表示为单位样值信号δ(n ) 的移位加权和。

{}

()=+(1)(1)+(0)()+(1)(1)+

(2)(2)+()()()()

k x n x n x n x n x n x k n k x k n k δδδδδδ∞

=−∞

−+−−+−+=

− LTI 系统

δ(n )h (n )x (n )

?

2. 物理意义

输入δ(n-k )h (n-k )输出时不变x (k )δ(n-k )

x (k )h (n-k )

齐次性

()=()()

k x n x k n k δ∞

=−∞−∑zs =()

()()*(())

k y n x k h n k h x n n ∞=−∞

−∑ 可加性系统特性LTI 系统

δ(n )

h (n )

卷积和

卷积和的物理意义：揭示了LTI离散系统零状态响应与输入

信号和系统单位样值响应之间的关系。

)

(*)()(*)( 1.n x n x n x n x 1221交换律

=[][]

)(*)(*)()(*)(*)( 2.n x n x n x n x n x n x 321321结合律=[])

(*)()(*)()()(*)( 3.n x n x n x n x n x n x n x 3121321分配律

+=+4. () ()*()()

n x n n x n δδ=是卷积和的单位元5. (-) ()*()()

n k x n n k x n k δδ−=−是卷积和的延迟器6. () ()*()()

n

k u n x n u n x k =−∞

=

是卷积和的（数字）积分器112212127. ()*() ()*()x n k x n k x n x n k k −−=−−延迟特性1212128. ()*() ()*()=[()*()]

x n x n x n x n x n x n ∇=∇∇差分特性

k 范围由x (n )、h (n )范围共同决定。

卷积和计算步骤：换元→序列翻转→移位→相乘→求和

1).解析式法2).图解法3).竖式法4).性质法

=

(()))

(k h n y n x k k ∞

=−∞

−

常用计算方法：

1

n

()()

h n u n =1.解析式法

()()

h n u n =0

()n h n k =−()()

k

x k u k α=1

()n h n k =−()()

x k u k α=n

k

k

2.图解法

{}{}121201 ()2,1,5,()3,1,4,2, ()()*()x n x n y n x n x n ===例：求。

0 1 2

1x 1(n)

n

2

50 1 2 3 4

x 2(n)

n

23

4

1

22()(-)

x k x k →翻转

第三步：平移（跳动）22()()

x k x n k −→−第四步：相乘求和

12()()

k x k x n k ∞

=−∞

−

第二步：翻转第一步：换元n k

→

12(1)(0)(1)6

y x x ==1212(2)(0)(2)(1)(1)5

y x x x x =+=121212(3)(0)(3)(1)(2)(2)(1)24y x x x x x x =++=121212(4)(0)(4)(1)(3)(2)(2)13y x x x x x x =++=1212(5)(1)(4)(2)(3)22y x x x x =+=12(6)(2)(4)10

y x x ==0 1 2 1x 1(n)n

2

50 1 2 3 4 x 2(n)

n

2

3

4

1

1

x 1(n-k)k

2

5

n-2 n-1 n

x 2(k)

k

0 1 2 3 4 2

3

4121

5

21

5

21

5215

2

1

52

1

5

21

5