徐小湛同济版《概率论与数理统计》第一讲
概率论与数理统计课件 第1讲
例如: 某射击运动员在一定条件下进行射击训
练， 个别次射击可能会偏离预定目标，但进 行多次射击训练后，该运动员射击的命中率 就会呈现出一定的规律。
再如:
测量一个人的身高时，由 于仪器或观测者受到环境的影 响，每次测量的结果可能有差 异，但多次测量结果的平均值 随着测量次数的增加而逐渐稳 定在某个常数，并且各测量值 大多落在此常数附近，离常数 越远的测量值出现的可能性越 小。
性，即统计规律性”。
想一想
“天有不测风云”和“天气可以预报” 有无矛盾? ☆ 天有不测风云指的是：对随机现象进行一
次观测，其观测结果具有偶然性； ☆ 天气可以预报指的是：观测者通过大量的
气象资料对天气进行预测，得到天气变 化的统计规律。
概率论的广泛应用
(1)金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； (2)流水线上产品质量检验与质量控制； (3)服务性行业中服务设施及服务员配置； (4)生物医学中病理试验与药理试验； (5)食品保质期、弹药贮存分析，电器与电
子产品寿命分析； (6)物矿探测、环保监测、机械仿生与考古.
第一章 随机事件
§1.1 基本概念
1.1.1 随机试验与事件
I. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测
量称为一个试验。如果这个试验在相同的条件 下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可 预知，则称此试验为随机试验，也简称试验， 记为 E。 （注：以后所提到的试验均指随机试验。）
总结：
随机现象具有偶然性一面，也有必然
性一面：
偶然统性计一规律面是表指现通在过“对对随随机现机象现的象大做量一
次观测时观，察观，测所结呈现果出具来有的偶事然物性的集(不体可性预规知
概率论与数理统计课件 1随机变量的概念
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高. 我们可以把可能的身高看作随机变量X,
然后我们可以提出关于X 的各种问题.
如 P(X>1.7)=？ P(X≤1.5)=? P(1.5<X<1.7)=?
有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可 以通过随机变量的关系式表达出来.
如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数 用X 表示，它是一个随机变量.
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
(3)随机变量与随机事件的关系
随机事件包含在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研 究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研 究随机现象.
2、在有些试验中，试验结果看似与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就
是说，把试验结果数值化.
观察硬币出现正面还是反面 S={正面、反面} ?
非数量
将 S 数量化
可采用下列方法
X (e)
正面 反面 S
1 0R
这种对应关系在数学上理解为定义了一种 实值函数.
e.
X(e) R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到
§1 随机变量的概念
一、随机变量的引入 二、随机变量的概念
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表 示，由此ห้องสมุดไป่ตู้产生了随机变量的概念.
1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个
数）. 掷一颗骰子面上出现的点数； 每天从威海下火车的人数； 昆虫的产卵数；
四月份威海的最高温度；
事件{收到不少于1次呼叫} { X 1}
概率第1章
05 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件.空集 中不包含任何样本点, 因此是不可
能事件. OPTION
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三、随机事件
例 2 抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为 1,2,L ,6
第1章 随机事件与概率 10
随机事件 A=“出现 6 点”=6 ； 随机事件 B=“出现偶数点”=2, 4,6； 随机事件 C=“出现的点数不超过 6” 1,2,L ,6= ，即一定会发生的必然事件；
E2 ABC ；
3
三个事件都不出现（记为 E3 ）；
E3 ABC ；
4
三个事件中至少有一个出现（记为 E4 ）； E4 A B C ；
5
三个事件中至少有两个出现（记为 E5 ）； E5 AB U AC U BC ；
6
至多一个事件出现（记为 E6 ）；
E6 ABC U ABC U ABC U ABC ；
第1章 随机事件与概率 22
P A 0.2, P B 0.3, PC 0.4, P AB 0 P BC =P AC 0.1,
则， A, B, C 至少发生一个的概率是多少？
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目录/Contents
第1章 随机事件与概率 23
1.1
随机事件及其运算
1.2 概率的定义及其性质
i 1
则称 P( A) 为事件 A 的概率.
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1.2 概率的定义及其性质
第1章 随机事件与概率 20
由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.
性质1 P() 0
性质2 有限可加性
第1讲随机试验样本空间随机事件
本文由 Yuanfang Xu 同学全程排版制作
本文所有截图及配套视频版权归四川大学徐小湛教授所有
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. 版权声明
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本文由武汉大学 Yuanfang Xu 同学全程排版制作，仅用作 学术交流用，勿做商用。文中所有图片均截图自配套视频——川 大徐小湛《概率论与数理统计》视频。本着尊重原文、学术共享 的宗旨，包括原视频中徐老师联系方式的幻灯片以及相关版权水 印都一一收录在本文中，本文对原 PPT 截图未做任何技术上的 修改，保证了与原 PPT 张数的一致性以及内容的完整性。 本文的所有视频截图以及配套视频版权均归四川大学徐小湛 教授所有。 ——笔者 于珞珈山
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第 1 讲随机试验样本空间随机事件
. 第 1 讲随机试验样本空间随机事件
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第 1 讲随机试验样本空间随机事件
. 第 1 讲随机试验样本空间随机事件
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第 1 讲随机试验样本空间随机事件
. 第 1 讲随机试验样本空间随机事件
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概率论与数理统计讲义稿
概率论与数理统计讲义稿公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]第一章随机事件与概率§随机事件随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。
为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。
称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。
必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。
假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。
于是这三个结果就构成了样本空间Ω。
但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。
如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。
经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。
比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。
尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。
E：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。
在抛掷硬币这一试验中出现例1“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。
E：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出2现的点数。
样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。
E: 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到3Ω={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) }读者可以将其推广到掷n个硬币，样本空间里有多少样本点呢E：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进4行的射击次数。
概率论与数理统计第1讲1.1
概率论与数理统计第1讲1.1第1讲Ch.1 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算导学：随机现象、样本空间…揭示随机现象统计规律1.1.1 随机现象（也称偶然现象）1.概率论与数理统计的研究对象随机现象（的统计规律）.2.随机现象及其特点随机现象：一定条件下，出现的可能结果不止一个的现象.特点：i)可能结果不止一个；ii)结果不可预先准确预测.3.必然现象：(P.1.简单关注！)4.随机现象实例例1.1.1(1)掷一枚均匀的硬币，观察朝上一面；(2)掷一颗均匀的骰子，观察掷出的点数；(3)观察一天中进出某超市的顾客数；(4)检测某种型号电视机的寿命时数；(5)测量某物理量的误差.稍作判断易见，本例中的5种现象均为随机现象，且容易明白，随机现象广泛存在于人们的工作与生活中.5.随机试验(简称试验)定义：P.1. (试验?随机现象)1.1.2 样本空间1.定义：试验的所有可能基本可能结果组成的集合称为样本空间，其中的元素称为样本点.记号：样本空间常用Ω记，对Ω的描述方法有两种：代表元法：Ω＝{ω|iω表示试验的第i种基本可能结果，i=1，i2，3，…}列举（区间）法：通过以下例子体会.2.写出随机现象对应的样本空间例1.1.2写出“例1.1.1”所列5种随机现象对应的样本空间解首先写代表元形式，再写列举（区间）形式：(1)1Ω＝{iω|1ω＝“掷出正面”，2ω＝“掷出反面”}＝{掷出正面，掷出反面}；(2)2Ω＝{i|i表示掷出i点，i=1,2,3,4,5,6}＝{掷出1点，掷出2点，…，掷出6点}＝{1,2,3,4,5,6}；(3)3Ω＝{i |i 表示有i 人进出，i =0,1,2,…}＝{0,1,2,…}；(4)4Ω＝{t |t 表示寿命时数为t ，t ≥ 0}＝[0,＋∞ )；(5)5Ω＝{x |x 表示测量误差为x ，+∞<<∞-x }＝),(+∞-∞.3.样本空间的分类i)分有限与无限（P.2.）ii)分离散与连续（P.2.）1.1.3 随机事件1.定义：样本空间Ω的子集称为随机事件. 这是基于样本空间给出的定义. 也可以基于随机现象给出定义为：可能发生，也可能不发生的可能结果，概率论抽象称之为随机事件. 随机事件简称为事件.2.记号：概率论约定用大写英文字母A ，B ，C ，…作为事件的记号.3.Venn 图表示：4.例子：对应于例1.1.2中的(2)Ω＝{1,2,3,4,5,6}2记A＝“掷出奇数点”＝{1,3,5}，显然A为2Ω的子集，所以A为事件.Remarks事件定义的进一步解读i)“事件A发生”意谓“在试验中A包含的某个样本点出现了”. 反之亦然.Ω＝{1,2,3,4,5,6} 例：对应于“例1.1.2”中的(2)2事件A＝“掷出奇数点”发生，表明：一次抛掷中掷出了1点或3点或5点.ii)事件的描述方法有三种：(我们要视场合选用！) 方法1：集合表示法；方法2：用明白无误语言(加以引号)表述法；方法3：用随机变量取值表示法.(在1.1.4中给出解释！)iii)三种特别事件基本事件----Ω的单元素子集必然事件----Ω本身(每次试验必然发生的事件)不可能事件----Φ(每次试验都不发生的事件)5.事件例Ω＝{1,2,3,4,5,6}，例1.1.3对应于“例1.1.2”中的(2)2若记i A ＝“掷出i 点”, i =1,2,3,4,5,6，则1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 均为基本事件；记B ＝“掷出偶数点”，则B 为事件；记C =“掷出点数小于7”，则=C 2Ω为必然事件；记D =“掷出点数大于6”，则=D Φ为不可能事件.1.1.4 随机变量(Remark 随机变量简记为..V R ，在概率论中..V R 是与随机事件同等重要或者更为重要的一个概念，此处对..V R 只作简介，第二章再进行详细讨论！)1. ..V R 的直观定义与记号用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 通常用大写英文字母X ，Y ，Z 记之.Remark 对前面留下的一个问题“用随机变量取值表示随机事件”的理解：对一个具体的随机问题进行研究时，在引入..V R 后，..V R 取某个值或..V R 取值落入某个范围，都具有可能发生也可能不发生的特征，所以都是随机事件. 也就是说，可用..V R 的取值（取某个值或..V R 取值落入某个范围）来表示事件.2.对一个具体的随机问题，引入..V R 后用其取值表示事件举例例1.1.4 对应于“例1.1.2”中的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若引入X =“掷出的点数”.则X 为..V R ，且可用i)“3=X ”表示事件“掷出3点”；ii)“3≥X ”表示事件“掷出的点数大于等于3”；iii)“3<=""> iv )“7X ”表示不可能事件“掷出的点数大于6”. Remark 同类关注“掷两颗均匀骰子”的试验.有Ω={),(j i |),(j i 表示第1，2颗骰子分别掷出i 点, j 点那一基本可能结果j i ,＝1,2,3,4,5,6}={(1,1), (1,2), …, (1,6),(2,1), (2,2), …, (2,6),‥‥‥‥‥‥‥‥,(6,1), (6,2), …,(6,6)}易见，这里的Ω共有36个样本点. 若引入X =“第1颗掷出的点数”，Y =“第2颗掷出的点数”，则X ，Y 均为..V R ，且可用i)“Y X +=5”表示事件“两颗骰子掷出的点数和为5”，且显然事件“Y X +=5”包含的样本点集为{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }(共有4个样本点). ii)“),max(Y X =6”表示事件“掷两颗骰子掷出的点数最大者为6”，同样容易明白事件“),max(Y X =6”＝{(1,6), (2,6), (3,6), (4,6) , (5,6) , (6,6) , (6,5) , (6,4) , (6,3) , (6,2) , (6,1)}.例1.1.5 对“检验10件产品”这一试验，若引入X =“被检10件产品中的次品件数”，则X 为..V R ，其可能取值为0，1，2，…，10，且可用i)“1≤X ”表示事件“10被检件产品中的次品件数不多于1件”；ii)“2>X ”表示事件“被检10件产品中的次品件数超过2件”.例1.1.6 对“检测电视机寿命”的试验，若引入T =“电视机的寿命小时数”，则T 为..V R ，其可能取值充满区间[0,+∞),且容易明白：i)“40000>T ”表示事件“电视机的寿命超过40000小时”；ii)“10000≤T ”表示事件“电视机的寿命不超过10000小时”.1.1.5 事件的关系（Remarksi)一定要在同一Ω下讨论事件间的关系与运算，可借助集合间的关系与运算加以理解.ii)重视事件关系与运算的概率论语言的描述.） 1 包含关系①定义与记号：若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含于B ，也称事件B 包含A .记作B A ?或A B ?.(这是用概率论语言对事件包含关系的描述！) ②用集合论语言对事件包含关系的描述：若事件A 包含的样本点全属于事件B ，则称事件A 包含于B ，也称事件B 包含A .③Venn 图表示：B A ?④例子：i)对应于“例1.1.2”中的(2)2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出4点”，B ＝“掷出偶数点”，则B A ?.ii)对应于“例1.1.2”中的(4)4Ω＝[0,+∞)，若记A ＝“电视机的寿命超过10000小时”， AB ΩB ＝“电视机的寿命超过20000小时”，则A B ?.iii)对任意事件A ，都有Ω??ΦA .2 等价关系①定义与记号：若事件A 与事件B 互相包含，则称事件A 与事件B 等价，也称事件A 事件B 相等.记作B A =. ②用集合论语言对事件等价关系的描述：若事件A 与事件B 包含的样本点完全相同，则称事件A 与事件B 等价.③Venn 图表示：B A =④例子：i) 对应于“例1.1.2”中的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出非奇数点”，B ＝“掷出偶数点”，则B A =.ii)例1.1.7(1)对“掷两颗均匀骰子”的试验，其Ω共有36个样本点，若记A ＝“掷出点数和为奇数”，B ＝“掷出一奇一偶的点数”，A BΩ则B A =.(2)从有a 只黑球和b 只白球(a>0,b>0)的袋中随机地一只一只作无放回摸球.若记A ＝“最后摸出的几只球全为黑球”，B ＝“最后摸出的1只球为黑球”，则B A = (如何理解？课外讨论题1).本讲课外作业习题1.1 .11.P1.(1)，(3) 4.(1)。
概率论与数理统计第1讲 2.23
概率论与数理统计第1讲 2.23概率论与数理统计第1讲概率论介绍我们以前研究和讨论的都是确定性现象。
如：自由落体、同性电荷相斥、异性电荷相吸等。
但是在自然界还存在大量的不确定性现象。
我们在生活中不时地要与偶然性大交道。
如：抛硬币、弹着点等。
不期而遇的偶然性，可以帮助人们度过难关，也可能使人陷入困境，甚至决定一个人一生的命运。
至于偶然性影响重大事件进程的例子，在历史与现实中更是屡见不鲜。
对偶然性的认识，是一个现代青年知识结构中应具备的成分，是一个人人文素质的一部分。
概率在我们的生活中随处可见，但是如何理解呢？如抛硬币。
这种规律性，就是统计规律性。
如天气预报，北京明天降雨概率80%。
值得注意的是，偶然性发生作用的规律往往与我们的直觉是相悖的。
抛一枚质量均匀的硬币，出现反面和正面的机会应当相等，这样的判断是有道理的，因为如果我们连续抛掷硬币，最终我们会发现出现正面和反面的次数大致相等。
现在考虑我们连续抛掷4次，如果前3次都是正面，那么第4次出现反面的机会是否就会大一些呢？进一步的问题是，如果同时抛掷4枚硬币，最可能出现的结果是什么？我们可以根据上面的逻辑推断，任何一枚质量均匀的硬币出现正面和反面的机会应当相等，所以抛掷4枚硬币最可能的结果就是两个正面朝上和两个反面朝下。
纸牌游戏。
三张纸牌这个卡片游戏是沃德・威弗设计的，沃德是著名的数学家，信息论的建立者之一。
他曾在1950年10月《科学美国人》关于“概率”一文中介绍过这个内容。
下面是对这个赌戏的真实情况的―种说明。
三张卡片中有两张是两面圈点一样的。
如果你从帽子中随机地取卡片，那么你得到这种两面圈点一致的卡片的概率是2/3。
因此，抽出的卡片与上面圈点相同的概率就是2/3。
卡片游戏是称为伯特纳德箱的悖论的翻版。
在伯特纳德以后，一位德国数学家将它写进一本书中，于1889年发表。
伯特纳德设想有三个箱子。
一个装着两枚金币，一个装着两枚银币，一个装一枚银币一枚金币。
概率论与数理统计第一章ppt课件
事件独立的例题：
P ( A 1 ) 1 / 5 , P ( A 2 ) 1 / 3 , P ( A 3 ) 1 / 4
P (A 1 A 2 A 3) 1P (A 1 A 2 A n)
3
1
1P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
❖练习 某人从外地赶来参与紧急会议， 他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率 分别是0.3、0.2、0.1、0.4，假设他乘 飞机来就不会迟到；而乘火车、轮船或 汽车来迟到的概率分别为1/4、1/3、 1/12。
❖〔1〕求他迟到的概率；
❖〔2〕假设他迟到了，试推断他是怎样 来的，说说他的理由。
❖例4 据以往的临床记录，某种诊断 糖尿病的实验具有以下的效果：假设 一被诊断者患有糖尿病那么实验结果 呈阳性的概率为0.90；假设一被诊断 者未患糖尿病，那么实验结果呈阳性 的概率为0.06。又知受实验的人群患 糖尿病的概率为0.03。假设一被诊断 者其实验结果呈阳性，求此人患糖尿 病的条件概率。
这一节我们引见了
全概率公式
贝叶斯公式
它们是加法公式和乘法公式的综合运用, 同窗们可经过进一步的练习去掌握它们. 值得一提的是，后来的学者根据贝叶斯公 式的思想开展了一整套统计推断方法，叫 作“贝叶斯统计〞. 可见贝叶斯公式的影 响.
小结
全概率公式：由因遡果 贝叶斯公式：由果索因
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❖例2 甲、乙两人独立地对同一目的射击 一次，其命中率分别是0.5和0.4。现知 目的被命中，那么它是乙射中的概率是 多少？
❖例3 设0<P(A)<1，且P(B|A)=P(B|A )， 试证：A、B相互独立.
概率论与数理统计课件 1
E3 : 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 . E4 : 在一批灯泡中任意抽取一只灯泡测试其寿命 .
2019/3/12
随机试验特点
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先知道试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
S3 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
实例4
记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.
S4 { 0, 1, 2, }.
2019/3/12
实例4 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.
S5 {0, 1, 2, }.
实例5 考察某地区12月份的平 均气温.
S6 {t T1 t T2}.
H 正面朝上 T 反面朝上
S1 {(H , H),(H ,T ),(T ,T ),(T , H )}.
实例2 掷两枚均匀硬币,观察正面出现的数目.
S2 {0,1, 2}.
H 正面朝上 T 反面朝上
相同的随机试验，试验目的不同，样本空间完全不同
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实例3 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
“天有不测风云” 和“天气可以预报” 矛 盾吗？.
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实验者
德 摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大 1 . 2
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其中 t 为平均温度 .
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概率论与数理统计同济大学
(二) 乘法公式:
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
则每次试验中, 事件B1, B2, …, Bn 中必有一
个且仅有一个发生.
40
2. 全概率公式:
称为全概率公式. 3. 贝叶斯公式:
41
例4. 某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制 造厂提供的,数据如下: 元件制造厂 次品率 提供的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
(1) 任取一只晶体管,求它是次品的概率.
10
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
22
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
23
二、几何定义:
定义
24
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
概率论与数理统计1-1
(H,H): H (H,T)： H
(T,H):
T
(T,T)： T
H
T
在每次试验中必有
一个样本点出现且仅
H
有一个样本点出现 .
T
考虑试验E2和E3, 同样的动作但是随着观察对 象不同样本空间也不同。
由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的.
如果试验是测试一批灯泡的寿命，如试验E7 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故 样本空间
上述试验具有下列共同的特点:
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行;
(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能的结果，且每次试验仅有 其中一个结果出现;
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.
在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试 验.
用 Ｅ 表示随机试验. EFra bibliotek文氏图
BA Ω
2、事件的和：
事件AB={x|xA或xB}称为事件A与事件B的 和事件. 当且仅当A, B中至少有一个发生时, 事件 AB发生.
A
B
Ω
n
U 称 Ak为n个事件A1, A2 ,L , An的和事件;
k 1
U 称 Ak为可列个事件A1, A2,L 的和事件.
k 1
3、事件的积：
事件 B={掷出奇数点} 1,3,5 出现.
由2个或者2个以上样本点构成的事件叫复杂事件。
两个特殊的事件：
必然事件：样本空间S包含所有的样本点, 它是S 自身的子集, 在每次试验中它总是发生的, 称为必 然事件。
不可能事件：空集Φ不包含任何样本点, 它也作 为样本空间的子集, 它在每次试验中都不发生, 称为不可能事件.
概率论与数理统计第一章课件
所有样本点的平均值
样本方差
描述样本点离散程度的量
无偏估计
样本统计量的值等于总体参数的真实值
t分布与F分布
t分布
用于描述小样本数据的分布情况，也 称学生t分布
F分布
用于描述两个比例的方差之间的比例 关系
04
参数估计
点估计与估计量
点估计
用样本统计量来估计未知参数的 过程。
估计量
用于估计未知参数的样本统计量。
假设检验的分类单侧检验、双侧检验。来自 单侧与双侧检验单侧检验
01
只关注参数的一个方向是否满足假设，如检验平均值是否大于
某个值。
双侧检验
02
关注参数的两个方向是否满足假设，如检验平均值是否在两个
值之间。
单侧与双侧检验的选择
03
根据实际问题需求和数据特征选择合适的检验方式。
显著性检验与P值
显著性检验
通过比较样本数据与理论分布，判断样本数据是否显著地偏离理 论分布。
P值
观察到的数据或更极端数据出现的概率，用于判断是否拒绝或接 受假设。
P值的解读
P值越小，表明数据越显著地偏离理论分布，假设越可能不成立。
第一类错误与第二类错误
1 2
第一类错误
拒绝实际上成立的假设，也称为假阳性错误。
第二类错误
接受实际上不成立的假设，也称为假阴性错误。
3
错误率控制
通过调整临界值的大小，可以控制第一类错误和 第二类错误的概率，从而实现错误率控制。
通过参数估计，还可以对生产过 程进行实时监控和预警，及时发 现并解决生产中的问题，保证生
产的稳定性和可靠性。
假设检验在医学研究中的应用
假设检验是数理统计中的一种 重要方法，在医学研究中有着
同济大学概率论和数理统计第一第二章课件-文档资料
A B C
ABC ABC ABC ABC
（4）A、B、C中至少有两个发生；
ABC ABC ABC ABC
例11 某城市的供水系统由甲，乙两个水源与三部分 管道１，２，３组成，每个水源都足以供应城市用水，用 Ａi（i=1,2,3）表示“第i号管道正常工作”这一事件。 求“城市正常供水”和“城市断水”两个事件用Ａi表 示的表示式.
• 1. 从n个元素中任取k个，有
n n 1 n 2 n k 1 n! C k k 1 2 1 k ! n k !
k n
种不同的结果； • 2. 一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法， 一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加 法，这就是所谓的计数原理。
• 自然地规定 P（Ω）=1， P（φ）=0。 0≤p(A) ≤1
在现实问题中，有很大一类随机现象具有一些 共同的特征，可以直接计算出事件的概率。比如： （1）一盒灯泡100个，任取一个检查其质量， 则100个灯泡被抽取的机会相同。 （2）抛一枚匀称的硬币，出现正面和反面的可 能性相同。
这两个试验的共同特点是： ①每次试验只有有限种可能的试验结果， 即样本点总数有限。 ②每次试验中各基本事件出现的可能性是 相同的。
即：
1, 2 ,
, n ,
样本空间可以是有限集，可数集，一个区 间． 在例4中 （１）．抛一枚均匀硬币三次，观察正面 向上的次数。 Ω＝｛正正正、正正反、正反正、正反反、 反正正、反正反、反反正、反反反｝
（２）观察某交通道口在一个小时内 的汽车流量；
Ω＝｛０，１，２，３，…｝
例：化简下列各式；
（1） AB AB A B B A A
概率论与数理统计(第一)课件
33
例：在10000张奖券中设特等奖1名，一等奖2名，二 等奖10名，三等奖100名，求购买1张奖券中奖的概 率。 解：n＝10000，k＝1＋2＋10＋100＝113 P(A)＝k／n＝113／10000＝0.0113 在古典概率的计算中，经常要用到排列和组合 数的计算方法。 [求古典概率的一般方法] ⒈ 求出随机试验一共有多少种不同的结果n， 如考虑顺序用排列数求，不考虑顺序用组合数求。 ⒉ 求出事件发生包含了多少种不同的结果k， ⒊ 则 P(A)＝k／n
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
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二、 随机试验
概率统计中研究的对象：随机现象的统计性规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
i 1 i 1
n
n
1i j n
P( Ai Aj )
1i j k n
P( Ai Aj Ak ) (1) n 1 P( A1 A2 An )
28
对于任一事件A， 0 P( A) 1 这是因为，任一事件A的频数m≥0，m≤n。 m P( A) lim , 0 P( A) 1 n n 5 P(U ) 1, P() 0
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七、事件的运算性质
交换率 A B B A AB BA 结合律 A B C A B C
AB C A BC
分配率
A B C A C B C