定积分的应用教学设计比赛一等奖

3.1定积分的应用：平面图形的面积

教材分析:

《定积分的简单应用》是人教版选修2-2第1章第7节的内容，从题目中可以看出这节教学的要求，就是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。

教学构思：应用型的课题是培养学生观察分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材，本节课通过创设情景、问题探究、抽象归纳、巩固练习、应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数学学科研究的基本过程与方法。

学情分析：知识层面，学生已经学习了定积分的定义，由来及微积分基本定理。在定积分与曲边梯形面积关系中，许多学生默认相等，这就与定积分本质相违背。能力层面，学生有一定的推理和探索能力，面对知识点，学生还需有归纳概括的能力。还需体会数学学科研究的基本过程与方法。情感层面，学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，有待加强。

教学理念：以学生发展为主线。新型的教学方式，新型的呈现方式。

教学目标：

知识与技能：

1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.

2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.

过程与方法：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。

情感态度与价值观：通过教学过程中的观察思考总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识应用于生活的意识。

教学重点：利用定积分求平面图形的面积

教学难点：将实际问题化归为定积分的问题。

如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

教学方法：问题诱导 启发讨论 探索结果，直观观察、抽象归纳、总结归纳等方式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围。教学用具：PPT 导学案

教学过程：

创设情境，引出新课

实例：国家大剧院的主体构造类似半球的结构，如何计算建造时中间每块玻璃段的面积？

学生讨论：边缘的玻璃属于区边梯形，要计算使用面积，可以通过计算区边梯形的面积实现

【设计意图】数学来源于生活，服务于生活。通过对国家大剧院的观察，创设问题情境，体验数学在现实生活中的无处不在，激发学生的学习热情，引导他们积极主动的参与到学习中来。让学生感受定积分的工具性作用与应用价值。

在生活实例的启发下，引导学生把所学知识与实际问题联系起来，回忆如何计算区别梯形面积，这是这节课的知识基础。

引出本节课的课题：定积分的应用：平面图形的面积。

知识梳理：

1．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积()b

a S f x dx =⎰ 2．当x ∈[a ，

b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )

围成的曲边梯形的面积()b

a S f x dx =-⎰. 3.当x ∈[a ，c]时，若f (x )<0,x ∈[c ，b]时，若f (x )>0,由直线x ＝a ，x ＝

b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积()()

c b a c S f x dx f x dx =-+⎰⎰

总结：()b a f x dx ⎰即（a,b ）内f(x)与x 轴所围成封闭区域面积代数和，即x 轴上方面积减去x 轴下方面积。

【设计意图】由定积分的定义过渡到平面图形的面积。进而带动定积分与由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的关系的思考，然后发现各种类型的函数与对应面积的关系，形成结论。

以下推广：

1.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g(x)>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝g(x)和曲线y ＝f (x )

所围成的曲边梯形的面积

[()()]b a S f x g x dx =-⎰

2.当x ∈[a ，b ]时，若g(x)<0

＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝g(x)和曲线y ＝f (x )围

成的曲边梯形的面积[()()]b

a S f x g x dx =-⎰.

3.当x ∈[a ，c]时，若(x)>f (x),x ∈[c ，b]时，若g(x)>f (x )),由直线x ＝a ，x (x y o a b c )(x f y =(( y o )

(x f y =a b