数列极限的定义

合集下载

数列的极限-高中数学知识点讲解

数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。

数列的极限

2,4,8,16,,2n ,;
（3）
1,1,1,1,, (1)n1,. （4）
一、数列极限的定义
1.描述性定义：当n无限增大时，如果数列
yn无限接近一个确定的常数A，则称数列yn 的极限为A，记为：
lim
n
yn

A
或: yn A（n ）
此时也说数列yn收敛于A。
如： lim 1 0 n n
例：证明 (1) lim n (1)n1 1 (2) lim 4n 3 4
n
n
n 5n 4 5
注：N不是唯一的，我们只要说明它的存在，
没必要去求最小的 N.
N 论证法步骤： 1.对于任意给定的正数；
2.由| yn A | 开始分析倒推，推出n ( ) ；
n n 1
lim (1
n

1 2n
)

1
极限是微积分学的一个重要基本概念，是研究微分学和积分学的基本方法。
§1 数列的极限
无穷多个数按一定顺序排成一列叫数列。
可以看成是以正整数为自变量的函数——整
标函数yn f (n) . 如：
1, 1 , 1 , 1 ,, 1 ,; 234 n
（1）
0, 1 , 2 , 3 , 4 , n 1,; （2） 2345 n
3.取 N [( )] ，再用 N 语言顺述结论。
注：并不是所有数列都有极限
例：数列 1，1，－1，1，，（－1）n ，数列 1,4,9,16,, n 2 ,
发散
2.定理：数列yn收敛数列yn 有界。
但反之不成立。
（数列单调有界，则必有极限）
练习：证明 lim n 1

数列的极限的定义

数列的极限定义是描述数列中随着项数无限增加，数列值逐渐接近某个确定的值的概念。

数列 {a_n} 的极限定义如下：
假设有一个实数L。

对于任意给定的正实数ε（ε> 0），存在一个正整数N，使得当 n > N 时，对于数列的每一项 a_n，都满足 |a_n - L| < ε。

换句话说，对于给定的任意小的正数ε，总存在某个正整数N，使得当数列的项数大于 N 时，数列中的每一项和极限 L 的差的绝对值都小于ε。

以上定义可以解释为：当数列中的项数无限增加时，数列中的元素逐渐趋向于极限值 L，并且可以通过控制允许的误差ε来确定逼近的程度。

需要注意的是，数列的极限并不一定存在或唯一。

如果存在一个实数L 满足上述定义，我们称该数列收敛，并将L 称为该数列的极限。

如果不存在这样的L，则该数列发散。

数列的极限

数列的极限【知识概要】1. 数列极限的定义1）数列的极限，在n 无限增大的变化过程中，如果数列{}n a 中的项n a 无限趋向于某个常数A ，那么称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=. 换句话说，即：对于数列{}n a ，如果存在一个常数A ，对于任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n N >时，不等式n a A ε-<恒成立，把A 叫做数列{}n a 的极限，记为lim n n a A →∞=.注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n-；④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；⑤ “无限趋近于A ”是指数列{}n a 后面的项与A 的“距离”可以无限小到“零”.例1 判断下列结论的正误（1）若lim 0n n a →∞=，则n a 越来越小；（2）若lim n n a A →∞=，且{}n a 不是常数数列，则n a 无限接近A ，但总不能达到A ；（3）在数列{}n a 中，如果对一切n N ∈总有1n n a a +>，则{}n a 没有极限；（4）若lim n n a A →∞=，则lim 0n n a A →∞-=.解：（1）不正确，例如：1n a n=-，1n n a a +> （2）不正确，例如：2)21n n a n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩，（为偶数，（为奇数），lim 2n n a →∞=.（3）不正确，例如：11n a n=-，1n n a a +>，但lim 1n n a →∞=.（4）正确2. 数列极限的运算性质1）数列极限的运算性质如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，那么① lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞±=±=±；② lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅；③ lim lim (0)lim n n n n n nn a a A B b b B →∞→∞→∞==≠. 特别地，如果C 是常数，那么lim()lim lim .n n n n n C a C a C A →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅2）四种常见的重要极限（1）lim n C C →∞= （2）1lim0n n →∞= （3）lim 0(11)nn q q →∞=-<< （4）1lim(1)n n e n→∞+=例2 下列命题中正确的命题是（）（A ）若lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，则limn n na Ab B →∞=（B ）若lim 0n n a →∞=，则lim()0n n n a b →∞=（C ）若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=（D ）若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=解：选（D ）例3 已知lim[(21)]2n n n a →∞-=，求lim n n na →∞.解：1lim lim(21)lim21212n n n n n n na n a n →∞→∞→∞=-⋅=⨯=-例4 求下列数列的极限（1）若*621,16()1,72n n n n a n N n --≤≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩，则lim 0n n a →∞= ， lim 37n n S →∞=. （2）22211lim 232n n n n n →∞+-=-+；（3）1n =；（4）211lim 21nn n n e→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭；（5）1111lim(1)(1)(1)(1)0;234n n →∞----=（6）21231lim 2n n n →∞++++=.3.数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。

21数列极限的定义

1 对 , 1000
( 1)n 1 0 . n 10
( 1) n 1 要 0 , 只须 n 1000 . n 1000
1 ( 1) n 1 对 , 要使 . 0 ,只须 n 1000000 1000000 n 1000000
……
高州师范学院
第二章：极限
2.1数列极限以上还不能说明们都还是确定的数。
liman a
n
0, N , 当n N时, 有 an a M .
高州师范学院
第二章：极限
(5) lim a n a与 lim a n a的比较
n n
n
2.1数列极限
lim an a 0, N , 当n N时, 有 an a .
对
( 1)n 1 n
任意小，并保持任意小，毕竟它
( 1)n 0 才行 . 0, 要使 n
由不等式有
1 1 ，故只须 n 即可。 n
1 1
即对 0, 自然数 [ ] ，当 n [ ]时，便有
( 1)n 0 . n
高州师范学院
n N
，设
f (n) an
，则
自变量： 1,2, L,2006 L, n, L , 函数值：a1 , a2 ,L, a2006 ,L, an ,L
表示为数列 { a n } ，
高州师范学院
an 为第n项或通项。
第二章：极限
例如：
( 1)n 1 1 1 1 ( 1)n , , , ,L , ,L : 1, 2 3 4 5 n n
ln ln ]. n , 取 N [ ln q ln q

数列的极限

数列的极限
一，数列极限定义
简单来讲就是：一个数列随着序数的增加最终会趋于或等于一个数，这个数就是数列的极限。

证明题要结合书上的公式
二，收敛数列的性质
1唯一性：收敛数列只有一个极限
2有界性：收敛数列一定有界。

(收敛数列最终都会趋于或等于一个数，所以有界)但有界数列不一定就是收敛数列，如-1，1，-1，1……,这个数列就是发散的，因为它同时趋于-1和1。

（有界是因为它的绝对值小于等于1，可参考上节所讲如何判定数列有界）这个数列同时说明了发散数列不一定无界。

3保号性：就是有一个数列，当其中一个数从它开始大于零，那么它之后的数都大于零。

推论：当一个数列存在某一个数大于零，那么这个数列的极限也大于零
4收敛数列与其子数列间的关系：如果一个数列收敛于A，那么它的任意子数列也收敛于A，但子数列收敛，原数列不一定收敛；子数列收敛于A，原数列不一定收敛于A，有可能原数列不收敛，可参考我在有界性中提到的例子，同时这个例子也说明一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

数列极限

（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
lim （2）求 n
2n1 an 的值 2n an1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
lim C C （C为常数）
n
lim 1 0 n n
当 q 1 时 lim qn 0 n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平
2）“趋近”和“无限趋近”是不同的概念，无限趋近是指随n 的无
限增大，数列中的项与常数a的距离可以任意小；
3）若数列{an}的极限为a，则可以是从大于a的方向无限趋近于a，也可以是从小于a的方向无限趋近于a，还可以是从a 的两侧摆动地无限趋近于a。
2.几个重要极限：
lim C C （C为常数） lim 1 0
数列的极限
１、数列极限的定义
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an} 的项an无限地趋近于某个常数a（即an-a无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列 {an}的极限。
记为: nliman=a. 也可记为：当n 时，an a。注：1）数列的极限是仅对于无穷数列而言的；
(3) lim(
n
2 n2
4 n2
.....
2n ) n2
(4) lim ...........n
an (1 a) (1 an1 an1(1 a) (1 an
) )
(a
1)
例2：已知
lim n
(
3n2 an2
cn bn
1
4n)
5
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是大于1的整数，c 是正数

数列极限定义

数列极限定义数列极限是数学中一个非常重要的概念。

它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。

数列极限的定义是指在某一序列中，当最大值或最小值不断接近某确定的值，最终在整个序列中被认为是收敛的，那么这个确定的值就叫做此序列的极限值。

首先要解释的是，极限是一种抽象概念，即无限接近某个特定值，而且在数列中不可能达到这个特定值。

即使数字在接近时不断变化，但它也不可能达到这个特定值。

而且，在任何一个具体极限值之前，必须先存在一种极限概念，它必须经过一定的程序才能到达最终的极限值。

不仅如此，在计算极限时，还必须考虑数列中的渐进现象。

渐进现象指的是数列中的值在接近最终值时不断变化，但是最终还是会达到最终值。

而当数列中的值不断变化时，极限值就会出现。

在计算极限时，还需要考虑以下情况：（1）对称性：对称性是指，如果两个数的差距越来越窄，那么它们的差距最终也可以假定为零。

（2）连续性：连续性是指在连续数列中，每一项的和和上一项的和之差也越来越小，最终可以假定为零。

（3）可数性：可数性是指当一个数列重复某一特定值时，它们的差距最终会变为零。

（4）可计算性：可计算性是指在只有有限个值的数列中，当它们的差距越来越小时，最终会变为零。

（5）极限类型的定义：只有当指定的数列重复接近某一定值时，才可以将其定义为极限。

例如，当一个数列的值接近但不等于零时，这个数列可以被定义为极限。

数列极限定义中还包括了一些其他概念，如极小、极大以及极大临界数，它们都是以极限为基础，能够帮助我们更好地了解数列。

极小就是指极限值降低，极大就是指极限值增加，而极大临界数就是极大值到达最大值的点，就像一个可以逆转数列的垂直线一样。

总的来说，数列极限定义是一个重要的概念，它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。

此外，在计算极限时，还必须考虑的一系列其他概念，如对称性、连续性、可数性和可计算性，这些概念可以帮助我们更深入地理解数列。

数列极限定义

数列极限定义
，
数列极限定义是指从一组数的序列出发，当数列中的每一项都趋
向某个特定的数时，这个特定的数就被称为该数列的极限。

例如，设
有一组数据序列 1,2,3...，当我们对其进行求和操作时，求和结果将
不断逼近某个数，这个极限数即定义为该数列的极限。

从几何角度来看，极限有一种共性——它总是出现在两个离散点
连接上边界上，这也是极限的共有定义。

动态地，极限可以被视作一
类特殊函数，可以用来表示不同的数据过程的最终趋势或模式。

有了
极限的定义，我们可以利用它来更好地理解数据的数学规律，有助于
精准地把握数据的变化趋势，从而可以更有效地进行数据分析。

极限也具备一个重要特点—非唯一性，即一个数列可以有多个极限。

I这意味着，当不同的序列求和时，有可能出现完全不同的最终
结果，但它们也可以有相似的极限。

这个特点在一定程度上也决定了
数据分析的具体步骤，同时也提示了我们要注意结果的真实性。

总的来说，极限有很多应用，它的定义不仅有助于理解数据的趋势，而且也提醒我们要时刻关注结果的真实性。

只有精确地分析数据，才可以对数据进行有效的分析。

数列极限的知识点总结

数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。

数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。

数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。

数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。

1.2 数列极限接着要了解数列的极限。

数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。

如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。

如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。

1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。

这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。

1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。

对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。

1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。

2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。

3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。

以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。

二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。

换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。

2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。

2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。

数列极限的定义

单调递减数列
例如：{2n }为单调递减数列
数列的几何表示
a a a
()
a1 a2 0 a4 an an1 a3
x
定义给定数列{an }，如果存在数 a，对 0，存在自然数 N 0，
当 n N 时，成立 | an a | ，则称常数a 是数列{an }的极限，
或称 {an } 收敛于 a．记为
且以 a 为极限．
即
lim
n
an
A
{ank
}为{an
}的任一子列，lim
k
ank
A
注利用此定理常说明一些数列的发散性．
若某数列的两个子列收敛到不同的数，则此数列必发散。
例如 {(1)n }
定理
lim
n
a
n
A
lim
n
a2n
lim
n
a2n1
A
定理收敛数列必有界.
1 (1 a)n
1 1 na
1 na
解得
n 1 ，取
a
N
1
a
．
于是，
0，
N
1
a
，当
n
N
时，
|
qn
0|
所以 lim qn 0．由上知数列 {qn } 收敛． n
(2) 若 | q | 1， M 0，若使 | qn | M，得 n ln M ， ln | q |
取
N
llnn|Mq |．
(下标 n1，n2，，nk，依从小到大的顺序排列)
称之为原数列的一个子数列，记为 {ank }．
定理收敛数列{an }的任一子数列{ank } 均收敛，
且收敛于同一个极限值，就是原数列的极限值．

数列极限定义

数列极限定义极限是数学中一个重要的概念，在高等数学课程中，我们会经常遇到极限的概念。

大多数时候，极限通常指的是“数列极限”。

它是用来表示一个数列中某个数值的概念，也就是说，它是用来表示某个数列以及其所有元素的极限。

比如，如果一个数列的某个数字是a，那么它的极限就是a。

而它的极限，则是指当n趋近于无穷大的时候，a的趋势仍然是稳定的，也就是说a的值不会有太大的变化。

这样，如果我们对一个数列求极限，就是求这个数列在n趋近于无穷大的时候，a的值最终会稳定在什么地方。

具体来说，数列极限的定义是：如果给定一个数列{a1, a2,a3, ..., an}，那么当n无限大的时候，极限存在，并且有极限 L，当n趋近于无穷大的时候，该数列的所有元素都会趋近于L。

下面是一个关于数列极限的数学证明。

设给定的数列为：a1, a2, a3,, an，那么当n无限大的时候，极限L存在，设L = a1 + (a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an - an-1)，则有：L = a1 + [a2 - a1 + (a3 - a2) + + (an-1 - an-2)] + (an - an-1)= a1 + [(a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an-1 - an-2)] + (an - an-1)= a1 + [(a2 - a2) + + (an-1 - an-1)] + (an - an-1)= a1 + (an - an-1)= L由上述公式可知，当n无限大的时候，极限L存在，而且有L = a1 + (an - an-1) 。

再考虑极限的定义，极限L应当是数列中所有元素的极限，即当n趋近于无穷大的时候，所有的元素的值都会趋近于L。

由以上证明可知，当n趋近于无穷大的时候，数列的极限L存在，并且有极限L = a1 + (an - an-1) 。

因此，可以得出结论，数列极限的定义是：如果给定一个数列{a1, a2, a3,, an}，那么当n无限大的时候，极限存在，并且有极限 L，当n趋近于无穷大的时候，该数列的所有元素都会趋近于L。

数列极限定义

数列极限定义数列是数学中的一个重要分支，它是由一组有有限项或者无限项的数据构成的有序序列。

数列的极限定义是在数学分析中的一种重要概念，它是指在某一特定点附近，数列的值能够无限接近但永远不会达到某一特定值。

极限定义可以帮助我们在研究特定数列时理解某些不可能到达的数字，例如π的值或者无穷远的数值。

极限定义的基本形式是：给定一个序列$${a_n}$$，当$$n$$取得足够大的时候，$$a_n$$趋近于某一常数$$L$$，或者说：$$lim_{n to infty } a_n=L$$极限定义中，极限字符L代表该数列趋近于某特定值所达到的值，即该数列的极限。

“趋近”一词意味着：当$$n$$取得足够大的时候，$$a_n$$将尽可能接近于极限L，而不是简单地等于它。

在求解数列时，极限定义帮助我们得出数列的极限值，这就是我们研究特定数列的原因，即求得其极限的值，从而了解其表现趋势。

例如，考虑等比数列$${a_n}$$，其公比为$$q=frac{a_{n+1}}{a_n}$$，在极限定义中可以设定：$$lim_{n to infty} a_n = L$$，对任意一个给定的正数$$epsilon$$，当$$n$$取得足够大的时候，有$$|a_n-L| le epsilon$$。

此外，极限定义还可以用来表示一些无穷的数列，例如数列$${a_n}$$，其元素定义为$$a_n=frac{1}{n}$$，其中$$n$$是正整数，那么该数列的极限就是：$$lim_{n to infty}a_n=0$$。

极限的概念在微积分中也有重要的作用。

例如，在求解某函数的非空间函数时，通常需要求解该函数的变化率、斜率等值，而这些值都可以从极限中获得。

总之，极限定义是数学中一个重要的概念，它在求解常见数列和函数时都具有重要的作用。

它可以帮助我们在研究特定数列时理解不可能到达的数值，还可以用于表示某些无穷的数列，从而求得该数列的极限值，从而更好地了解其数学表现趋势。

关于数列极限的两个定义

关于数列极限的两个定义定义1．设有数列{}n a ，a 是有限常数。

若对任意0>ε，总存在正整数N ，对任意正整数N n >，有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 的极限是 a 。

定义2．设有数列{}n a ，a 是有限常数。

若对任意0>ε，总存在实数，对任意正整数N n >，有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 的极限是 a定义1 是课本第46面的原文，定义2 是我讲课时用的。

这两个定义的区别只在对N 的要求：定义1 要求N 是正整数，而定义2只要求N 是实数，这是很低的要求，故定义2比定义1较便于应用。

由于两个定义对N 的要求不同，易使人误认为两个定义界定的对象不一样，即：两个定义不等价。

实际上，这两个定义完全是等价的！为说明这两个定义的等价性，我们需要两个显然的命题：命题1．对于任意实数r 均存在正整数n ，使得r n >。

命题2．对于任意实数r ，若正整数n ，成立r n >，则对于每一个正整数m 均有r m n >+。

要证明定义1与定义2等价，我们只需证明这两个定义界定的极限一样即可。

证明：设有数列{}n a 。

（1）若有限常数a 是定义1 界定的极限，由于正整数N 是实数，因此，常数a 也是定义2 界定的极限。

（2）若有限常数a 是定义2 界定的极限，由定义2，对任意0>ε，存在实数N ，对任意正整数N n >，有 ε<-a a n ；对于实数N ，必有正整数M 使得N M >（命题1）；当M n >时，必有N n >；故对于正整数M ，当M n >时必有ε<-a a n 。

因此，常数a 也是定义1 界定的极限。

说明：（2）中的正整数M 即是定义 1 中的N 。

极限证明中关键是由 N n > 保证ε<-a a n ，而不是N 是否是正整数。

另，请大家注意课本p.55 的第1题，这个题对于帮助大家深入理解数列极限定义是有很大作用的。

数列极限的解释

数列极限的解释
在数学中，数列极限是一种重要的概念，用来描述数列中的值如何无限接近某个特定的值。

数列是由一系列按照特定顺序排列的数所组成的列表。

数列极限的定义是：对于给定的数列，如果随着数列项的无限增多，数列中的值趋近于一个特定的值，我们就说这个特定的值是该数列的极限。

可以将这种趋近视为无限接近特定值的过程。

通常，数列的极限可以通过数学表达式或符号来表示。

当我们说数列{1，1/2，1/3，1/4，...}的极限为0时，可以用数学符号表示为lim(1/n) = 0，其中lim代表极限，n代表数列的索引。

数列极限的概念有助于我们研究数列中的趋势和性质。

在数学和应用领域中，数列极限的研究具有重要的意义。

它可以帮助我们预测数列的未来行为，解决各种实际问题，以及推导出其他数学定理。

数列极限的理解与实际生活中一些有趣的现象相似，当我们不断增加一个球的弹跳次数时，每一次弹跳的高度都会趋近于某个极限值。

这个极限值可以被视为数列的极限。

数列极限定义

数列极限定义数列极限定义是数学中一个基本的概念，它是很多抽象概念的基础，比如有限数列之和、级数之和、不动点定理等等等等。

本文将介绍数列极限定义的概念、性质、求解方法、应用，以及更深入地理解它。

一、数列极限定义数列极限定义是指将数列中的每一项定义为到一个特定的值的近似，例如$ a_{n} = L $其中L是一个常数，表示数列中每一项都接近L。

例如，令$a_{n} = frac{1}{n}$，则当n趋向无穷大的时候，$a_{n}$的极限值是0，即$lim_{n to infty} a_{n} = 0$。

二、性质数列极限定义具有若干特性：1.数列中的每一项都连续变化时，数列的极限值等于数列中最后一项的值。

例如，令$a_{n} = frac{1}{n}$，则当n趋向无穷大的时候，$lim_{n to infty} a_{n} = 0$，也就是说，数列的极限值等于最后一项的值。

2.果数列中的每一项都收敛到一个固定的值，则数列的极限值也是这个固定的值。

例如，令$a_{n} = 5$，即每一项都收敛到值5，则数列的极限值也是5，即$lim_{n to infty} a_{n} = 5$。

三、求解方法要求数列极限定义，可以使用三种方法：1.接法：这种方法比较简单，只要直接判断数列中最后一项的值，就可以确定数列的极限值。

2.推法：这种方法更为精确，即求解数列的每一项的值，然后通过这些值推出数列的极限值。

3.殊数列法：这种方法特别适用于某些特定的数列，比如几何数列、调和数列等，通过将数列中的一些特定项代入求解，可以更加准确地求解极限。

四、应用数列极限定义可以应用于众多领域，例如:1.以用来判断一个数列是否收敛或者是否存在极限值。

2.以用来求解微积分中的不定积分和定积分。

3.以用来求解概率论中的极限定理。

4.以用来判断某一类函数是否连续，以及连续函数的极限值。

五、更深入理解数学家们经常借助数列极限定义来分析函数的性质，这是因为函数的变化可以看作是某一数列的连续变化。

2数列的极限

问 : 数 { xn } {(1)n1 }有 , 它敛 ? 题列界收吗
定理3. 收敛数列的保号性.
若时, 有且
( 0 ) ,
( 0 ) .
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0 )
( 0 ) . (用反证法证明)
从数列 : x1, x2 , x3 , , xn ,
此时取 M max x1 , x2 , , x N , 1 a xn xn a a xn a a 1 a .
,
那么 xn M 对一切 xn成立 . x1 , x 2 , , x N , x N 1 , x N 2 ,
例:自数 { xn } {n} 无 , 所它收然列界以不敛 . (由否理 ) 逆定
x n无限接近 a 的数学描述 :
对于任意给定的正数 (不论它多么小), xn a 总能变得比还小 : xn a .
注意 :
1. 由的任意性可知, xn a 要多小, 就能变得有多小.
例如, 取 10 4 , 则 xn a 可以变得 10 4 , 再取 10 7 , xn a 也可以变得 10 7 ,
故
n
lim q n 1 0
二、收敛数列的性质
定理1. 数列xn 的极限如果存在, 必唯一. 说明 : 通项 xn 不能同时向两个不同的数无限接近 .
*证明 : 反证法. 设 xn 有两个极限 a 和 b, 且 a b. 取 ba, 2 由于 lim xn a, 必存在 N1, 当 n N1 时, a xn a .
n
n

数列极限的通俗理解

数列极限的通俗理解1. 导言数列是指从一个自然数开始，按照某一个法则依次列出的一串数字。

而数列极限是指随着数列中的数字不断增多，最终趋于一个确定的数值。

本文将从通俗易懂的角度讲解数列极限的概念以及其背后的原理。

2. 数列极限的定义一个数列的极限定义为当数列中的数值趋近于某个确定的值时，这个确定的值即为该数列的极限。

比如，数列：1，2，3，4，5……它的极限为无穷大（∞），因为这个数列中的数值不断增大，但没有达到一个确定的值。

3. 实例分析现在我们来看一个例子：1/2，2/3，3/4，4/5，5/6……这个数列中的数值逐渐逼近1，那么我们可以说这个数列的极限为1。

为什么数列的极限是1呢？我们可以用小学数学知识来解释，因为这个数列中的每一个数值都是比前一个稍微大一点，而且永远比1小，所以我们可以确定这个数列的极限是1。

4. 数列极限的重要性数列的极限在数学中是一个非常重要的概念，因为它很好地解释了一些复杂的数学现象。

比如在微积分中，导数和积分这两个概念都和极限息息相关。

同样，极限还能用来解决一些物理问题，如速度和加速度问题等。

5. 数列极限的思考数列极限和普通的数学概念不同，它需要我们更加深入地去思考。

在计算数列的极限时，我们需要明确数列中的每一个数值是否满足某种规律，并从中寻找这个数列的极限。

这在一定程度上对我们的逻辑思维能力提出了挑战。

6. 结语总之，数列极限是数学中一个重要而有趣的概念，它在现代数学和物理学中都占有着重要的地位。

在计算数列极限时，需要我们不断去思考、尝试，这也正是数学研究的魅力所在。

数列极限的定义

1 得到 n 1，取 N 1 ．
1
1 于是， 0，存在自然数 N 1 ，当 n N 时，
成立 ( 1) n 0 ． 2 ( n 1)
所以
n ( n 1) 2
lim
( 1) n
0．
如果（ 3 ）成立，那么对于 0, 正整数 1 , 使得2n N 1时 N
必有 a2 n L ;同样对于这个 0, 正整数 2 , 使得2n 1 N 2 N 时有a 2 n1 L .我们取 max{N 1 , N 2 },当k N时有 N
(i i i) 0, N N , 使得当 N时必有an L . n
例 1 已知 an
证明 0，
( 1) n ( n 1)
2
，证明数列{a } 的极限为0． n
要使 1 1 | an 0 | 2 n1 ( n 1)
即当n N时,
an an L L an L L 1 L .
取
M max a1 , a2 ,, aN ,1 L ,
数列 an 是有界的 .
对于任意的正整数有 an M . n,
不是有界的数列称为无界数列．
例如
n {( 1) n } 是有界数列；对n，都有 ( 1) 1.
{n sin
n } 是无界数列．自然数 M 0， n0 4 M 1， 2 n0 成立 n0 sin 4M 1 M 2
注意有界数列的界有无穷多. 个
单调数列
(1) 若 0 | q | 1，则必存在a 0，使 | q | 0，要使