数列极限的定义
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例如: 1) 2,4,8,,2n ,, xn 2n ;
(2n )n1
2) 1, 1,1,,(1)n1 ,,
xn (1)n1 ;
(
(1)n1
)
n1
3) 2, 1 , 4 , 3 , 6 , 5 ,,
2 3 456
xn
n
(1)n1 n
;
n (1)n1 n
n1
4) 3, 3 3, 3 3 3,, 3 3 3 ,
第15页/共32页
例3 证明 lim qn 0,其中| q | 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则lim qn lim 0 0;
n
n
若0 | q | 1, | xn 0 || q |n ,
nln | q | ln , n ln ,
ln | q |
对1 0, 取N ln , 则当n N时,
第9页/共32页
问题: “无限接近”意味着什么? 如何用数学语言刻划它?
考虑
xn
1
(1)n1 n
,
xn 1 (1)n1 1 1 nn
给定 1 , 100
要
xn
1
1 100
,
由1 1 , n 100
只要 n 100 ;
给定 1 , 1000
要
xn
1
1 1000
,
只要 n 1000 ;
给定 1 , 10000
x1 3 , xn1 3 xn .
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注意： 1. 数列对应着数轴上一个点列. 可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. x3 x1 x2 x4 xn x
2. 数列是整标函数 xn = f ( n ). 数列实质上是定义在正整数集上的函数：
xn = f ( n )，n Z+
则与圆周合体而无所失矣”.
——刘徽
正六边形的面积 A1,
正十二边形的面积 A2,
R
正6 2n 1边形的面积An,
A1, A2, A3, , An, 圆面积 A.
第3页/共32页
二、数列的定义
数列定义 按照某一法则, 对每个自然数 n, 都有确 定的实数xn与之对应, 这列有序的数：
x1 , x2 , ... , xn , ... 称为数列 (sequence), 数列中的每个数叫做数列的项, 第 n 项 xn 叫做数列的一般项或通项. 数列 x1 , x2 , ... , xn , ... 简记为 ( xn )n1
ln | q |
恒有| qn 0 | ,
limqn 0. n
0 | q | 1
lim
qn
n
1
| q | 1 q1
不存在 q 1
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例4 求证 lim n a 1 (a 0). n lim n n 1 n
两个常用结论：
(1)
lim
n
an
a
lim
n
ank
a.
(k为某个正整数)
当 n N 时 , 所有的点 xn 都落在开区间 (a , a )内 ,
只有有限个(至多只有 N 个)点落在其外.
推论 数列 ( xn )n1 收敛于 a
对 a 的任一 邻域 U(a, ) , 只有有限多项 xn U(a, ) .
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例1 证明 lim n (1)n1 1.
观察数列
(1
(1)n1 n
)n1
当
n
时的变化趋势.
播放
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三、数列的极限
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？ 把n无限增大这个重要的变化过程记为 n. 当 n 时, xn 的变化趋势分为三类： 1) xn 无限接近于某个确定的常数 a . 2) xn 无限增大 , 即趋向无穷大. 3) xn 没有确定的变化趋势.
(2)
lim
n
n
证
xn a
n (1)n1
1
n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
即n 1,
对
0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 n (1)n1 1 1 ,
n
n
n (1)n1 lim
1.
n
n
第13页/共32页
例2 证明 lim 2n 1 2 . n 3n 1 3
(1) 对于任意给定的正数 , 令 |xna|< ; (2) 由上式开始分析倒推, 推出 n > () ; (3)取N=[ ()] , 再用 N语言顺述结论.
注意: (1)由于N 不唯一,不要求最小的N,故可把 |xna|适当放大,得到一个新的不等式,再寻找 N.
(2)从 |xna|< 找 N 与解不等式 |xna|< 意义不同.
第6页/共32页
三、数列的极限
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把 n 无限增大这个重要的变化过程记为 n.
当 n 时,
xn
1 (1)n1 n
无限接近于 1 .
当 n 时, xn 2n 无限增大 .
当 n 时, xn (1)n 没有确定的变化趋势 .
第7页/共32页
数列 ( xn )n1 收敛于 a.
记为
lim
n
xn
a
,
或 xn a (n )
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
N定义 :
lim
n
xn
a
0,N Z ,使n N时,恒有 | xn a | .
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
第11页/共32页
几何意义:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
要
xn
1
1 10000
,
只要 n 10000 ;
任意给定
0,
要
xn
1
成立 ,
只要
n
N
1
.
第10页/共32页
定义 若存在常数 a, 使对任意给定的 >0, 总存
在正整数 N , 当 n >N 时, 恒有|xna|<, 则称常数
a 是数列 ( xn )n1 当 n 时的极限(limit)或者称
基本要求: 1. 理解数列极限的定义, 以及它的推论. 2. 会利用定义来证明一些简单的数列极限.
第1页/共32页
一、概念的引入
1、截杖问题
庄子：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭.”
1, 2
1 22
,
1 23
,
,
1 2n
,
第2页/共32页
2、割圆术：
“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割,
证
xn
a
2n 1 3n 1
2 3
7 3(3n 1)
7 9n
1 n
对 0,
取
N
1
,Leabharlann Baidu
则当n N时,
总有 2n 1 2 1 ,
3n 1 3 n
lim 2n 1 2 . n 3n 1 3
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用定义证明
lim
n
xn=
a，就是证明对
>0，N存在.
证明的步骤：
例如: 1) 2,4,8,,2n ,, xn 2n ;
(2n )n1
2) 1, 1,1,,(1)n1 ,,
xn (1)n1 ;
(
(1)n1
)
n1
3) 2, 1 , 4 , 3 , 6 , 5 ,,
2 3 456
xn
n
(1)n1 n
;
n (1)n1 n
n1
4) 3, 3 3, 3 3 3,, 3 3 3 ,
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例3 证明 lim qn 0,其中| q | 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则lim qn lim 0 0;
n
n
若0 | q | 1, | xn 0 || q |n ,
nln | q | ln , n ln ,
ln | q |
对1 0, 取N ln , 则当n N时,
第9页/共32页
问题: “无限接近”意味着什么? 如何用数学语言刻划它?
考虑
xn
1
(1)n1 n
,
xn 1 (1)n1 1 1 nn
给定 1 , 100
要
xn
1
1 100
,
由1 1 , n 100
只要 n 100 ;
给定 1 , 1000
要
xn
1
1 1000
,
只要 n 1000 ;
给定 1 , 10000
x1 3 , xn1 3 xn .
第5页/共32页
注意： 1. 数列对应着数轴上一个点列. 可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. x3 x1 x2 x4 xn x
2. 数列是整标函数 xn = f ( n ). 数列实质上是定义在正整数集上的函数：
xn = f ( n )，n Z+
则与圆周合体而无所失矣”.
——刘徽
正六边形的面积 A1,
正十二边形的面积 A2,
R
正6 2n 1边形的面积An,
A1, A2, A3, , An, 圆面积 A.
第3页/共32页
二、数列的定义
数列定义 按照某一法则, 对每个自然数 n, 都有确 定的实数xn与之对应, 这列有序的数：
x1 , x2 , ... , xn , ... 称为数列 (sequence), 数列中的每个数叫做数列的项, 第 n 项 xn 叫做数列的一般项或通项. 数列 x1 , x2 , ... , xn , ... 简记为 ( xn )n1
ln | q |
恒有| qn 0 | ,
limqn 0. n
0 | q | 1
lim
qn
n
1
| q | 1 q1
不存在 q 1
第16页/共32页
例4 求证 lim n a 1 (a 0). n lim n n 1 n
两个常用结论：
(1)
lim
n
an
a
lim
n
ank
a.
(k为某个正整数)
当 n N 时 , 所有的点 xn 都落在开区间 (a , a )内 ,
只有有限个(至多只有 N 个)点落在其外.
推论 数列 ( xn )n1 收敛于 a
对 a 的任一 邻域 U(a, ) , 只有有限多项 xn U(a, ) .
第12页/共32页
例1 证明 lim n (1)n1 1.
观察数列
(1
(1)n1 n
)n1
当
n
时的变化趋势.
播放
第8页/共32页
三、数列的极限
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？ 把n无限增大这个重要的变化过程记为 n. 当 n 时, xn 的变化趋势分为三类： 1) xn 无限接近于某个确定的常数 a . 2) xn 无限增大 , 即趋向无穷大. 3) xn 没有确定的变化趋势.
(2)
lim
n
n
证
xn a
n (1)n1
1
n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
即n 1,
对
0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 n (1)n1 1 1 ,
n
n
n (1)n1 lim
1.
n
n
第13页/共32页
例2 证明 lim 2n 1 2 . n 3n 1 3
(1) 对于任意给定的正数 , 令 |xna|< ; (2) 由上式开始分析倒推, 推出 n > () ; (3)取N=[ ()] , 再用 N语言顺述结论.
注意: (1)由于N 不唯一,不要求最小的N,故可把 |xna|适当放大,得到一个新的不等式,再寻找 N.
(2)从 |xna|< 找 N 与解不等式 |xna|< 意义不同.
第6页/共32页
三、数列的极限
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把 n 无限增大这个重要的变化过程记为 n.
当 n 时,
xn
1 (1)n1 n
无限接近于 1 .
当 n 时, xn 2n 无限增大 .
当 n 时, xn (1)n 没有确定的变化趋势 .
第7页/共32页
数列 ( xn )n1 收敛于 a.
记为
lim
n
xn
a
,
或 xn a (n )
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
N定义 :
lim
n
xn
a
0,N Z ,使n N时,恒有 | xn a | .
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
第11页/共32页
几何意义:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
要
xn
1
1 10000
,
只要 n 10000 ;
任意给定
0,
要
xn
1
成立 ,
只要
n
N
1
.
第10页/共32页
定义 若存在常数 a, 使对任意给定的 >0, 总存
在正整数 N , 当 n >N 时, 恒有|xna|<, 则称常数
a 是数列 ( xn )n1 当 n 时的极限(limit)或者称
基本要求: 1. 理解数列极限的定义, 以及它的推论. 2. 会利用定义来证明一些简单的数列极限.
第1页/共32页
一、概念的引入
1、截杖问题
庄子：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭.”
1, 2
1 22
,
1 23
,
,
1 2n
,
第2页/共32页
2、割圆术：
“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割,
证
xn
a
2n 1 3n 1
2 3
7 3(3n 1)
7 9n
1 n
对 0,
取
N
1
,Leabharlann Baidu
则当n N时,
总有 2n 1 2 1 ,
3n 1 3 n
lim 2n 1 2 . n 3n 1 3
第14页/共32页
用定义证明
lim
n
xn=
a，就是证明对
>0，N存在.
证明的步骤：