快速绘制弯矩图

第三章
静定梁与静定刚架
例4 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。
m m m m m 在m作用点处M 有跳跃 突变）， ），跳跃量为 （突变），跳跃量为m， 且左右直线均平行。 且左右直线均平行。
Q= 0，M为一直线
第三章
静定梁与静定刚架
例5 试作图示刚架的弯矩图。
2Pa 2Pa 2Pa 3Pa P Q= 0，M为一直线 3Pa P
B
当静定结构的内部几何 不变局部上的荷载作静 力等效变换时， 力等效变换时，只有该 部分的内力发生变化， 部分的内力发生变化， 而其余部分的内力保持 不变。 不变。
FP/2
‖ Pa /2 F
FP/2
FPa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FPa /2 原荷载 FP/2
FP/2
A
C
D
B
FP/2
FPa /2
FPa /2 FP/2 等效代换荷载
m
m
平行
第三章
静定梁与静定刚架
二. 铰处 M = 0
M=0 M=0 ？
三. 刚结点力矩平衡
40 20 20 10 30 20
∑M =0
∑M =0
20
第三章
静定梁与静定刚架
与某些杆轴线重合时， 为零 四. 集中力 P 与某些杆轴线重合时，M为零
P P
M=0
M=0
为零时， 剪力Q为零时， M图为直线。 图为直线。
第三章
静定梁与静定刚架
FP 静定结构 FP FP
M M
解除约束, 解除约束,单 自由度体系 体系发生虚 位移
α
∆
刚体虚位移原理的虚功方程 FP ∆ - M α=0 α=0 可唯一地求得 M= FP ∆/α
第三章
静定梁与静定刚架
静定结构派生性质
支座微小位移、 支座微小位移、温度改变不产生反力和内力 若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载， 若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则 其他部分将不受力 在结构某几何不变部分上荷载做等效变换时， 在结构某几何不变部分上荷载做等效变换时，荷载变化部 分之外的反力、内力不变 分之外的反力、 结构某几何不变部分， 结构某几何不变部分，在保持与结构其他部分连接方式不 变的前提下，用另一方式组成的不变体代替，其他部分的 变的前提下，用另一方式组成的不变体代替， 受力情况不变 仅基本部分受荷时， 仅基本部分受荷时，只此受荷部分有反力和内力 注意：上述性质均根源于基本性质， 注意：上述性质均根源于基本性质，各自结论都有一定前 必须注意！ 提，必须注意！
FP
P
C
A FP/2 FPa /2 a a
B A FP/2 E FPa B FPa C a a a a FPa D FPa F a
a
D
M图 图
M图 图
FPa MA =FPa A a FRAy =FP FP C B D
M图 图
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
.4 荷载等效特性
A C
FP
D
第三章
静定梁与静定刚架
30
45 5kN
第三章
静定梁与静定刚架
例3 试作图示刚架的弯矩图。
P P P
三根竖杆均为悬臂， 三根竖杆均为悬臂， 图可先绘出。 其M图可先绘出。 图可先绘出
Pa
Pa
Pa
A
Pa B
C
Pa D
E
Pa G
属悬臂部分，响应的 属悬臂部分， M图为水平线。 图为水平线。 图为水平线
铰处的M为零 铰处的 为零，响应 图为一斜直线。 的M图为一斜直线。 图为一斜直线 两段的剪力相等铰处 的M为零，M图的坡 为零 图的坡 斜率）相等， 度（斜率）相等，两 条线平行。 条线平行。
2
ql 2 =2 2
4 2
ql 2 =2 8
2
4
第三章
静定梁与静定刚架
例7 试作图示刚架弯矩图的形状。
m
ql 2 2
m
mm
P
m Q= 0，M为一直线 P
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
.1 静力解答的唯一性 静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡条件求得， 静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡条件求得， 且其解答是唯一的确定值。 且其解答是唯一的确定值。 .2 静定结构无自内力
第三章
静定梁与静定刚架
快速绘制弯矩图的一些规律及示例 §3-4 快速绘制弯矩图的一些规律及示例
◆ 快速、准确绘制弯矩图的规律
一. 利用 q、Q、M 之间的微分关系以及一些推论
1.无荷载区段，M为直线 无荷载区段， 为直线 无荷载区段 直线 2.受匀布荷载 q 作用时，M为抛物线，且凸向与 q 方向一致 受匀布荷载 作用时， 为抛物线 为抛物线，
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
构造变换特性
当静定结构的内部几何不变局部作等效构造变换时， 当静定结构的内部几何不变局部作等效构造变换时，仅被 替换部分的内力发生变化，而其余部分内力保持不变。 替换部分的内力发生变化，而其余部分内力保持不变。
FP FP FP FP
第三章
静定梁与静定刚架
P
P P 平衡力系
第三章
静定梁与静定刚架
少求或不求反力绘制弯矩图
根
据
1.弯矩图的形状特征（微分关系） 1.弯矩图的形状特征（微分关系） 弯矩图的形状特征 2.刚结点力矩平衡 2.刚结点力矩平衡 3.外力与杆轴关系 平行,垂直,重合) 3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合) 外力与杆轴关系( 4.特殊部分 悬臂部分,简支部分) 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分) 特殊部分( 5.区段叠加法作弯矩图 5.区段叠加法作弯矩图
+
A C
FP a
D
B
0
a
FP/2
FPa /2 FP/2 a a 局部平衡荷载
0
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
利用这一特性，可得到在非结点荷载作用下桁架的计算方法： 利用这一特性，可得到在非结点荷载作用下桁架的计算方法：
FP/3 2FP/3
FP 2l/3 l/3
=
FP/3
+
FP 2FP/3
第三章
静定梁与静定刚架
◆
示例
例1 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。
P P Pl Q= 0，M为一直线 Q= P，M为一斜线
M=0
2Pl P 2Pl
P
第三章
静定梁与静定刚架
例2 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l = 4m。
20kN/m 80 80 40kN 80 40
40
40 20 20 75
第三章
静定梁与静定刚架
零载法举例
无多余联 系几何不 变体系
找 零 杆
截 面 投 影
取 结 点 讨 论 题
铰处的M为零 铰处的 为零，且梁 上无集中荷载作用， 上无集中荷载作用， M图为一无斜率变化 图为一无斜率变化 的斜直线。 的斜直线。
Q= P，M 为一斜线
第三章
静定梁与静定刚架
例6 试作图示多跨静定梁的弯矩图。
4kN 4kN.m 1kN/m
4 8 2 2
铰处的M为零 且梁上无集中荷载作用， 铰处的 为零，且梁上无集中荷载作用， M图为一无斜率变化的斜直线。 图为一无斜率变化的斜直线。 图为一无斜率变化的斜直线
第三章
静定梁与静定刚架
第三章
静定梁与静定刚架
第三章
静定梁与静定刚架
零载法分析体系可变性
依据：由解答的唯一性， 依据：由解答的唯一性，无荷载作用的静定结构反力 和内力应等于零。 和内力应等于零。 前提： 前提：体系的计算自由度等于零 结论：无荷载作用不可能有非零反力和内力体系静定， 结论：无荷载作用不可能有非零反力和内力体系静定， 否则体系可变（一般为瞬变）。 否则体系可变（一般为瞬变）。 分析步骤： 分析步骤： 求体系的计算自由度W 求体系的计算自由度 ，应等于零 去掉不可能非零的杆简化体系 设某内力为非零值x 设某内力为非零值 ，分析是否可能在满足 全部平衡条件时存在非零值x 以便确定体系可变性。 全部平衡条件时存在非零值 ，以便确定体系可变性。
剪力Q为常值时 为常值时， 五. 剪力 为常值时， M图为斜线；剪力 为零 图为斜线；剪力Q为零 为常值， 图 时， M为常值， M图为 为常值 直线。 直线。
P
为常值时， 剪力Q为常值时， M图为斜线
P
第三章
静定梁与静定刚架
六. 平衡力系的影响 当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某一本 当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某一本 身为几何不变的部分上时 则只有此部分受力， 上时， 身为几何不变的部分上时，则只有此部分受力，其余部分 的反力内力皆为零。 的反力内力皆为零。 P
ql 2 8 ql 2 8
第三章
静定梁与静定刚架
3. 受集中荷载 作用时，M为折线，折点在集中力作用点处， 受集中荷载P作用时 作用时， 为折线 折点在集中力作用点处， 为折线， 且凸向与P方向一致 方向一致。 且凸向与 方向一致。
P P
4. 受集中力偶 m 作用时，在m作用点处 有跳跃（突变），跳 作用时， 作用点处M有跳跃（突变），跳 作用点处 有跳跃 ）， 跃量为m，且左右直线均平行。 跃量为 ，且左右直线均平行。
3-5 静定结构的特性
静定结构的内力与刚度无关
静定结构的内力仅由静力平衡方程唯一确定， 静定结构的内力仅由静力平衡方程唯一确定，而不 涉及到结构的材料性质（包括拉压弹性模量E和剪 涉及到结构的材料性质（包括拉压弹性模量 和剪 切弹性模量G）以及构件的截面尺寸（包括面积A 切弹性模量 ）以及构件的截面尺寸（包括面积 和惯性矩I）。因此， 和惯性矩 ）。因此，静定结构的内力与结构杆件 ）。因此 的抗弯、抗剪和抗拉压的刚度 、 和 无关 无关。 的抗弯、抗剪和抗拉压的刚度EI、GA和EA无关。
C C’ C’ C A B B’ A t1(＞ t2) ＞ t2 B
∆BH
∆BV
自内力， 自内力，是指超静定结构在非荷载因素作用下一般会 产生的内力。 产生的内力。
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
.3 局部平衡特性
在荷载作用下，如仅有静定结构的某个局部（一般本身为几何不变部分） 在荷载作用下，如仅有静定结构的某个局部（一般本身为几何不变部分） 就可与荷载保持平衡，则其余部分内力为零。 就可与荷载保持平衡，则其余部分内力为零。 F
第三章
静定梁与静定刚架
静定结构总论
(Statically determinate structures general introduction)
基本性质 派生性质 零载法
第三章
静定梁与静定刚架
静定结构基本性质
满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯 一解答
证明的思路： 证明的思路：
静定结构是无多余联系的几何不变体系， 静定结构是无多余联系的几何不变体系，用刚体虚位移 原理求反力或内力解除约束以“ 代替后， 原理求反力或内力解除约束以“力”代替后，体系成为单 自由度系统，一定能发生与需求“ 对应的虚位移， 自由度系统，一定能发生与需求“力”对应的虚位移，因 此体系平衡时由主动力的总虚功等于零一定可以求得“ 此体系平衡时由主动力的总虚功等于零一定可以求得“力” 的唯一解答。 的唯一解答。