反比例函数性质-对称性与几何意义ppt
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21.5.3反比例函数的几何意义课件
解析
本题考查了反比例函数的性质以及等比数列求和 公式。首先根据 x^2n = 9 求出 x^n 的值，然后 将原式变形为等比数列求和的形式进行计算即可 。
解析
本题考查了反比例函数的性质以及不等式组的解 法。首先根据题意列出不等式组求解即可得出 m 的取值范围。
06
总结回顾与课后作业布置
重点难点总结回顾
21.5.3反比例函数 的几何意义课件
汇报人：XXX 2024-01-26
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数与直线交点问题 • 反比例函数与面积问题 • 反比例函数在几何图形中应用 • 拓展延伸：反比例函数综合题解析 • 总结回顾与课后作业布置
01
反比例函数基本概念
定义与性质
定义：形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数，$k neq 0$）的函数称为反比例函 数。
在三角形中应用
面积与底高的反比例关系
在三角形中，当底边长度固定时，面积与高成反比例关系； 同样，当高固定时，面积与底边长度成反比例关系。
相似三角形的边长与面积关系
对于两个相似的三角形，其对应边长之比等于相似比的平方 ，而面积之比等于相似比的平方。利用反比例函数可以方便 地求解相关问题。
在四边形中应用
本题考查了反比例函数与一次 函数的交点问题，通过已知条 件列出方程组求解即可。
已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，且 x1 < x2，试 比较 y1 和 y2 的大小。
本题考查了反比例函数的增减 性，根据反比例函数的性质， 当 k > 0 时，在每个象限内， y 随 x 的增大而减小。因此， 由于 x1 < x2，可以得出 y1 > y2。
反比例函数性质-对称性与几何意义ppt
的面积求K值时，一定要注意图像所在 的象限，从而确定K的符号。
能力提高,拓展思维--典型例题 确定解析式
反比例函数
k y= x
与一次函数y=-x-k的图象相交
于点A，过点A作AB垂直于x轴于点B，已知三角形AOB 的面积等于2，直线y=-x-k与x轴相交于点C，求反比 例函数与一次函数的解析式。 y
4 2.若在反比例函数 y 中也用同样的方法分别 x 取P，Q两点填写表格： 4 y x
P（1,-4） Q（2,-2）
S1的值 4
S2的值
S1与S2 关系
与k的关 系
4
s1=s2
s1=s2=|k|
于是：我们发现了反比例函数的几何意义
k 对于反比例函数 y x 点Q是其图像上的任意 一点，作QA垂直于y轴， 作QB垂直于X轴，矩 形QABO的面积与k有 |k| 什么关系SAOBQ= 三角形QAO与三角形 QBO的面积和k又有什 K 么关系呢？SQAO=SQBO=
如图,点M是反比例函数 为 2 .
y=
4 x
图象上的一
点,MP⊥x轴于P.则△POM的面积
y
M
o P
x
应用新知,加深理解--几何意义应用
应用三、已知面积，求K
﹣ 12 下面各点 PA⊥x轴于A.则△POA的面积为6,则k= --------。
也在这个反比例函数图象上的是（ B ）
A（2,3） B（-2,6） C（2,6）
y A
o C x
（2）若一次函数y=ax+1经过A
点，求此一次函数的解析式。 B
（3）若一次函数与x轴相交于点C,
求∠AOC的度数和|AO|: |AC|的值
K
反比例函数的图象PPT课件
4．
55
86
18
24
96
65
6
78
作业 请完成《典中点》的“应用提升练”和“思 维拓展练”习题，具体内容见习题课件。
50－30＝20 20＋6＝26
答：小青蛙比大青蛙少吃了__2_6__只虫子。
算一算，说一说。
54
61
36
70
2．用小棒摆一摆，算一算。
98
35
摆一摆略。
归纳总结：
计算两位数加、减整十数，先把两位数拆分成整十数和 一位数，再把整十数相加、减，最后和一位数相加。
（讲解源于《典中点》）
一共吃了多少只虫子？
第21章 二次函数与反比例函数
21.5 反比例函数
第2课时 反比例函数的 图象
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
反比例函数的图象 反比例函数图象的对称性 反比例函数的系数k的几何意义
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问 引出问题
问题1：什么叫做反比例函数?下列函数中哪些是反比例函数?
的点及横坐标为正数的点，各得到图象的一个分 支，这两个分支合起来就是函数 y 4 的图象．
x 如图.
感悟新知
归纳
知1－讲
列表时，自变量的值可以以0为中心，在0的 两边选择绝对值相等而符号相反的值，既可简化 运算又便于描点；在列表、描点时要尽量多取一 些数据，多描一些点，方便连线．
感悟新知
1．反比例函数 y＝2x的图象在( B ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
感悟新知
知3－练
1．如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝kx1(x ＞0)及 y2＝kx2(x＞0)的图象分别交于 A，B 两点，连 接 OA，OB，已知△ OAB 的 面积为 4，则 k1－k2＝___8_____．
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)反比例函数k的几何意义 课件(17张ppt)
(3)若点(a,y)在该函数图象上,且a＞－2,求y的取值范围.
7.【例 4】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 y＝k(k＞0)的
x
图象经过点 A(2,m),过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,且△AOB 的面积
为 5. (1)求k和m的值; (2)当x≥8时,求函数值y的取值范围.
解:(1)∵A(2,m),
第二十六章 反比例函数 与反比例函数有关的面积问题
k 的几何意义及应用
函数
图象形状 图象位置 增减性 延伸性 对称性
y
函数图象的 在每一支
双曲线既
k＞0
两支分支分 曲线上,y 双曲线向 是轴对称
O x 别位于第一、都随x的增 四边无限 图形(对称
三象限
大而减小 延伸,与 轴:y=±x),
y 函数图象的 在每一支 坐标轴没 又是中心
自主归纳
y
P(m,n) B
oA
x
K与图形面积
S矩形OAPB OA• AP
m•n
k
反比例函数图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，
得到矩形的面积为 S矩形OAPB k
如图:连接OP，则
SOAP
1 • OA • AP 2
y
1 m•n
2
P(m,n) B
oA
x
1 k 2
反比例函数图像上任意一点向x轴或y轴作垂线，
5.若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，
过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接
OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别
为S1、S2、S3，则下列结论成立的是( D )
y A（1，4）A S1﹤S2 Nhomakorabea﹤ S3
《反比例函数图像性质-k的几何意义》课件
随着x的增大或减小，曲线会逐渐靠近 坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
曲线形状
图像是由两支分别位于第一和第三象 限的曲线组成，这两支曲线关于原点 对称。
k<0时图像特征
1 2
图像位于第二、四象限
当k<0时，反比例函数的图像会出现在第二和第 四象限。
曲线形状
图像同样是由两支分别位于第二和第四象限的曲 线组成，这两支曲线也关于原点对称。
图像的性质。
总结
反比例函数的图像性质与 $k$ 的 正负有关。当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$
时，图像位于第二、四象限。
涉及综合应用问题
01
例题5
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 的图像与一次函数 $y = ax + b$ 的
图像交于点 $M(2,1)$ 和 $N(-1,-2)$，求这两个函数的解析式。
反比例函数的极限与连续性问题
讨论反比例函数在特定点的极限行为，以 及在定义域内的连续性。
反比例函数与其他函数的复合问 题
研究反比例函数与其他基本函数（如幂函 数、三角函数等）的复合性质及图像特征 。
THANK YOU
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
反比例函数图像的基本性质
反比例函数图像为双曲线，当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二 、四象限。
k的几何意义
k的绝对值表示双曲线与坐标轴所围成的矩形的面积。当k>0时，矩形在第一象限；当 k<0时，矩形在第二象限。
反比例函数图像的对称性
通过中心对称性，我们可以更好 地理解反比例函数的性质和行为 ，以及它在解决实际问题中的应
反比例函数的图像和性质ppt课件
增大而增大.
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
人教版初三数学9年级下册 26.1.2反比例函数的图象和性质反比例函数k的几何意义 课件(17张)
变式练习：
（1）（娄底中考数学）已知：如图，点M是反比例 函数 （x>0)的图象上任意一点，MN丄y轴于点
N，点P是x（轴1） 上的一个动点，则△MNP的面积
是
1。
（2)（ 永州中考）
3 2
S△AOB =S△AOC -S△BOC
C
=6 3
22
=3 2
(3)（苏州）如图：点A是反比例函数
（y x＜x6 0）的图象上的
课题：反比例函数k的几何意义
科目：数学 年级：初三年级 主讲人：
反比例函数K的几何意义
（一）基本图形1及其应用：
(x,y)
例1：如图，点A在双曲线
y
4 xபைடு நூலகம்
上，点B在双曲线y
k
x（k≠0）
上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，
若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 1__2__。
• 解：∵双曲线 y （k k≠0）在第一象限，∴k
＞0，
x
• 延长线段BA，交y轴于点E，
• ∵AB∥x轴，
E
• ∴AE⊥y轴，
• ∴四边形AEOD是矩形，
• ∵点A在双曲线上，
• ∴S矩形AEOD=4， • 同理S矩形OCBE=k， • ∵S矩形ABCD=S矩形OCBE－S矩形AEOD=k－4=8， • ∴k=12．
一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在
y轴上，则平行四边形ABCD的面积为（ ）C
A．1 B．3 C．6 D．12
（二）基本图形2及其应用：
图中面积相等的图形有哪些？
例2：如图，点A、B、是双曲线
y3 x
上的点，分
北师大版九年级数学上册反比例函数的图像和性质课件(共41张)
为反比例函数，则m的值是
(C)
1 2
(D) 1
返回
2．如图，A为反比例函数 y k 图象上一点，AB⊥x轴
x 于点B，若 SAOB 3 则k为（ A）
(A) 6 (B) 3 (C) 3 D 无法确定
2
返回
3．函数y
k x
的图象经过（1，-1），则函
数 y kx 2 的图象是 （A ）
y
-2 O x
大，则m的取值范围是（ A）.
A、m<-1 B、m>-1 C、m>1
D、m<1
返回
性
y随x的增大而减小
例
函
位
置 二四象限
二四象限
数 的
K<0
增 减
y随x的增大而减小 在每个象限内，
区
性
y随x的增大而增大
分
对称性
轴对称 中心对称
轴对称 中心对称
专题一
反比例函数的图像和性质
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象散布在哪些象限?y随x的增大如何变化?
(2)点B(3，4)、C(
y＝
4 x
与y＝
2 x
在第一象限内的图象如图所示，作一条平
行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，
连接OA、OB，则△AOB的面积为( A )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
拓展提高
双曲线: y＝ 4 与y＝ 2
x
x
在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的
直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则
2.反比例函数的图象关于原点成中心对称.
1.2反比例函数k的几何意义PPT优秀课件
S OA 1 2 POA A P 1 2|m |•|n|1 2|k|
y
y
P(m,n)
P(m,n)
2021/6/3
oA
x
oA
x
18
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x
轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函
数的关系式是
.y 2 x
y
y
P
P
C o O D xx
y k (k 0) 的面积不变性
3.如图，S矩形
OAPB= __y__,S△OAP= .
y 4
BP P
x
OA
x
4.观察图中各个三角形 的面积，你有什么发现？
y
o
A
y 4 x
x
2021/6/3
10
反比例函数 y
k x
上一点P（x0，y0），过点
P分别作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为A、
B，则矩形AOBP的面积为 k ；
且S△AOP= S△BOP = k
。
2
2021/6/3
11
1.通过本节课的学习，你有什么收获？ 还有什么困惑吗？
2.你对自己本节课的表现满意吗？为
什么？ 数缺形时少直觉，
形少数时难入微．
2021/6/3
12
如图 ,在y1(x0)的图像上有A三 ,B,C点, x
经过三点分x轴 别引 向垂,交 线x轴于 A1,B1,C1三点 , 边结 OA,OB,OC,记OA1A,OB1B,OCC 1的 面积分别 S1,为 S2,S3,则有__. y
则 S矩O 形APBOAAP |m|•|n||k|(如图)所
y
y
反比例函数的图象与性质-ppt课件
方 ■ 方法：利用数形结合思想解决反比例函数与几何的综
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
《反比例函数的图像和性质》PPT教学课件(第2课时)
∵-3<-1,∴y1>y2.
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. （重点）
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义，并会
应用其解决问题. （难点）
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式，探究下列问题：
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. （重点）
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义，并会
应用其解决问题. （难点）
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式，探究下列问题：
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
人教版九年级下册第26章反比例函数的图象和性质(共68张PPT)
x
练一练
1. 如图，过反比例函数 y k 图象上的一点 P，作 x
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = －12 .
提示：当反比例函数图象 在第二、四象限时，注意
y
k
P
y= x
k＜0.
AO
x
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
O
x
y
y 4 x
O
xห้องสมุดไป่ตู้
归纳：
反比例函数 y k (k＜0) 的图象和性质：
x
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
一般地，反比例函数 y k 的图象是双曲线， x
它具有以下性质：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE， 所以 S1，S2，S3的大小关系为
S1 = S2 < S3
S1 S3
F S2
例8 如图，点 A 是反比例函数 y 2 (x＞0)的图象
上
x y
3
任意一点，AB//x 轴交反比例函数
x (x＜0) 的
图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 A5 BCD，其中
－6－5－4－3－2－1O －1
1 2 3 4 5 6 x (2) 在每一个象限内，
－2
随着x的增大，y 如何
－3 －4
《反比例函数的图象和性质》课件
《反比例函数的图象和性质》
新知探究 知识点1：反比例函数图象和性质的综合
例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变
化？A(2，6)Fra bibliotek第一象限
反比例函数
函数位于第
一，三象限
在每一个象限内，
y随x的增大而减小
解：（1）因为点 A（2，6）在第一象限 ,所以这个函数的
解析：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y2＜0＜y1．
6
2.如图，正比例函数y＝kx与函数y＝
的图象交于A，
B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝__________．
12
解析：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y
轴于M点，∴S△AON＝S△OBM ＝3.
>0的
> 0 的解集.
课堂小结
画法
列表、描点、连线
形状
双曲线
图象
反
比
例
函
数
图象位置
性质
增减性
k 的几何意义
对接中考
1.已知点A（x1，y1）,B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣
12
的图象上．若x1＜0＜x
,则（
2
A．y1＜0＜y2
C．y1＜y2＜0
）
B
B．y2＜0＜y1
D．y2＜y1＜0
S△OAE =5，
S四边形BECD =5
S阴影=1
随堂练习
1.已知点 A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数 =
新知探究 知识点1：反比例函数图象和性质的综合
例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变
化？A(2，6)Fra bibliotek第一象限
反比例函数
函数位于第
一，三象限
在每一个象限内，
y随x的增大而减小
解：（1）因为点 A（2，6）在第一象限 ,所以这个函数的
解析：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y2＜0＜y1．
6
2.如图，正比例函数y＝kx与函数y＝
的图象交于A，
B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝__________．
12
解析：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y
轴于M点，∴S△AON＝S△OBM ＝3.
>0的
> 0 的解集.
课堂小结
画法
列表、描点、连线
形状
双曲线
图象
反
比
例
函
数
图象位置
性质
增减性
k 的几何意义
对接中考
1.已知点A（x1，y1）,B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣
12
的图象上．若x1＜0＜x
,则（
2
A．y1＜0＜y2
C．y1＜y2＜0
）
B
B．y2＜0＜y1
D．y2＜y1＜0
S△OAE =5，
S四边形BECD =5
S阴影=1
随堂练习
1.已知点 A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数 =
反比例函数几何意义课件
当矩形的长和宽成反比例关系时，其面积保持恒 定。
三角形面积
在某些特定条件下，如等底三角形，高与底边长 度成反比例关系时，面积保持恒定。
平行四边形面积
当平行四边形的相邻两边长度成反比例关系时， 其面积保持恒定。
长度问题
线段长度
在几何图形中，若两条线段长度 成反比例关系，则一条线段长度 增加时，另一条线段长度减少。
06
伸
重点知识点总结
01
反比例函数的定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$) 的函数称为反比
例函数。
02
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，且当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三
象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
03
解析
由于切线 m 与 x 轴平行，所以切线的斜率为 0。对反比 例函数求导，并令导数为 0，解出 x4。再代入原方程求 出 y4。
求法线方程类问题
题目一
解析
题目二
解析
已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 在点 R(x5, y5) 处的法线方 程为 n，求 n 的方程。
对反比例函数求导，得到在点 R 处的导数值即为切线的斜率 。法线的斜率是切线斜率的负 倒数。利用点斜式方程，求出 法线 n 的方程。
反比例函数与其他知识点的联系
反比例函数与一次函数、二次函数等知识点有密切联系。例如，反比例函数的图像可以与一次函数的图像相交或 相切，形成特定的几何图形。通过拓展延伸，可以让学生更好地掌握相关知识点之间的联系和区别。
THANKS.
关系
曲线与反比例函数图像交点
三角形面积
在某些特定条件下，如等底三角形，高与底边长 度成反比例关系时，面积保持恒定。
平行四边形面积
当平行四边形的相邻两边长度成反比例关系时， 其面积保持恒定。
长度问题
线段长度
在几何图形中，若两条线段长度 成反比例关系，则一条线段长度 增加时，另一条线段长度减少。
06
伸
重点知识点总结
01
反比例函数的定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$) 的函数称为反比
例函数。
02
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，且当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三
象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
03
解析
由于切线 m 与 x 轴平行，所以切线的斜率为 0。对反比 例函数求导，并令导数为 0，解出 x4。再代入原方程求 出 y4。
求法线方程类问题
题目一
解析
题目二
解析
已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 在点 R(x5, y5) 处的法线方 程为 n，求 n 的方程。
对反比例函数求导，得到在点 R 处的导数值即为切线的斜率 。法线的斜率是切线斜率的负 倒数。利用点斜式方程，求出 法线 n 的方程。
反比例函数与其他知识点的联系
反比例函数与一次函数、二次函数等知识点有密切联系。例如，反比例函数的图像可以与一次函数的图像相交或 相切，形成特定的几何图形。通过拓展延伸，可以让学生更好地掌握相关知识点之间的联系和区别。
THANKS.
关系
曲线与反比例函数图像交点
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S1的值
S2的值
S1与S2 关系 s1=s2 s1=s2
与k的关 系 s1=s2=︱k︳ s1=s2=︱k︳
4
4
4 4
探究发现反比例函数的几何意义
k 反比例函数 y x 点Q是其图像上的任意一 点，作QA垂直于y轴， 作QB垂直于X轴，矩 形QABO的面积与k有 什么关系呢？三角形 QAO与三角形QBO的 面积和k又有什么关系 呢？
PQ S1 S
2
2 y x
P（1,2） Q（2,1）
S1的值
S2的值
S1与S2 与k的关 关系 系
2 2
2 2
s1=s2
s1=s2
s1=s2=k s1=s2=k
4 2.若在反比例函数 y 中也用同样的方法分别 x 取P，Q两点填写表格： 4 y x
P（1,-4） Q（2,-2）
回顾知识
反比例函数的性质
y
k 反比例函数： y (k≠0) x 1.当k>0时,图象的两个分支 分别在第一、三象限内，在 每一个象限内，y随x的增大 而减小；
2.当k<0时,图象的两个分支 分别在第二、四象限内，在 每一个象限内，y随x的增大 而增大。
x 0
y
0
x
探究发现反比例函数的对称性
观察联想，探究新知
C sA =SB=sC D sA<sC<sB
o
A B C
x
应用新知,加深理解--几何意义应用
应用二：求面积
如图,点M是反比例函数 为 2 .
y=
4 x
图象上的一
点,MP⊥x轴于P.则△POM的面积
y
M
o P
x
应用新知,加深理解--几何意义应用
应用三、已知面积，求K
2、如图,过反比例函数
k y= x
K S△= 2
2、探索反比例函数性质过程中学到了 哪些方法？ 3、评价自己的学习表现与同桌交流你 获得了哪些进步？
作业:
1、课本习题5.3 第2、5题 2、学案上相应的内容。
B o
x
小结：
1、梳理反比例函数的图形和性质
解析式 图 像
双曲线
k y= x
(K是常数，k≠0)
图像位 置
k＞0,两个分支位于一,三象限 k＜0,两个分支位于二,四象限
增减性 对称性 面积不 变性
k＞0,每一个象限内，y随x的增大而减小 k＜0,每一个象限内，y随x的增大而增大 既是轴对称图形，又是中心对称图形 S矩=|k|
图象上的一点
P,作PA⊥x轴于A.则△POA的面积为6,下面
各点也在这个反比例函数图象上的是（） B
y P
A （2,3）B （-2,6） C （2,6） D （-2,3）
A o x
能力提高,拓展思维--典型例题
拓展：确定解析式
例1 反比例函数 于A点，过A点作AB垂直于x轴于点B，已知 三角形AOB 的 面积等于2，直线y=-x-k与x轴相交于点C，求反比 例与一次函数的解析式 y
k y= x
与一次函数y=-x-k的图象相交
A
C
B
o
x
能力提高,拓展思维--典型例题
练习： 反比例函数
过A点作AB垂直于x轴于点B，已知 三角形AOB的 面积
等于2,
k y= x
的图象经过点A（-2，m），
(1)求ｋ和m的值
（2）若一次函数y=axx轴相交于点C,
求∠AOC的度数和|AO|: |AC|的值
双曲线形三角形的面积S△=
K 2
应用新知,加深理解--几何意义应用
应用一：比较面积大小
如图，在函数
1 y = ( x >0) x
的图像上有三点A、B 、
C,过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所
作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别
为sA ,sB,sC,则（C ）
y
A sA >sB>sC B sA<sB<sC
C
A 0
B1
C 2
D 3
• 练习二: • 如图,正比例函数y=k1x与反比例函数 y = 图像交于A,B两点，其中A点得坐标为 （1,4），那么B点得坐标是 （-1,-4） y •
A
k2 x
的
o B
x
自主探索，领悟规律
2 1.在反比例函数 y x 的图
像中取点P，Q分别向x轴y轴 做垂线围成面积分别为S1， S2填写表格：
4 观察已作好的反比例函数 y 的图像，你 x 发现图像的两个分支的位置关系有什么特点
呢？
归纳：反比例函数既是轴对称图形，又是中 心对称图形，对称轴是直线y=x和y=－x， 对称中心是原点（０,０）
y
y=-x
4 y x
y=x
o
x
应用新知,加深理解--对称性应用
• 练习一
4 的图像的对称轴的条数 已知反比例函数 y x 是（ ）
A
Q
B
k 3.对于所有的反比例函数 y x
P
S1 S2 R S3
(k≠0) 都成立吗？
k y x
S1=S2=S3=|k| 所得矩形的面 Q 积S为定值|k|
S1、S2、S3有什么关系？为什么？
• 归纳：
k 在反比例函数 y (k≠0) 中存在以下事实： x 双曲线形矩形的面积S矩=|k|