【高中物理】小船过河问题解析之欧阳光明创编

小船过河问题

欧阳光明（2021.03.07）

轮船渡河问题：

（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，

渡河时间

θ

υυsin 1

船d d

t =

=

，显然，当︒=90θ时，即船头的指向与

河岸垂直，渡河时间最小为v

d

，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小 若水船υυ>

结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏

离上游的角度为

船

水υυθ=

cos

v

若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，

设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角

最大，根据

水

船v v =

θcos 船头与河岸的夹角应为

水

船v v arccos

=θ，船沿河漂下的最短距离为：

此时渡河的最短位移：

船

水

v dv d

s ==

θcos

【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：

(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?

★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间

(2)渡河航程最短有两种情况：

①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂

直时，最短航程就是河宽；

②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2

设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则

2163cos 12=

==

υυθ， 60=θ

最短行程，

m m d s 1202660

cos ===

θ

小船的船头与上游河岸成600角时，渡河的最短航程为120m 。 技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。

【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( C )

A ．212

22

υυυ-d B ．0

C ．21υυd

D ．1

2

υυd

★解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v 2，到达江岸所用时间

t=2

v d ；沿江岸方向的运动速度是水速v 1在相同的时间内，被水冲下

的距离，即为登陆点距离0点距离2

11v dv t v s =

=。答案：C

【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ）

(A)2

1222

T T T - (B)12

T T (C)

2

2211

T T T - (D)21

T T

★解析：设船速为1v ，水速为2v ，河宽为d ，则由题意可知：

1

1v d T =

①

当此人用最短位移过河时，即合速度v 方向应垂直于河岸，如图

所示，则2

2

212v v d

T -=

②

联立①②式可得：1

2

2212

1v v v T T -=

，进一步得

【例题】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河

岸边的距离成正比，

d

v k kx v 04=

=，水，x 是各点到近岸的距离，小船

船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ A ）

A 、小船渡河的轨迹为曲线

B 、小船到达离河岸2

d

处，船渡河的速度为02v

C 、小船渡河时的轨迹为直线

D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v