§9.2空间直线 异面直线间距离的一个简明公式_334
异面直线距离的向量公式法推导
异面直线距离的向量公式法推导两条不平行的直线可以确定一个平面，我们可以利用该平面来求解异面直线的距离。
在推导异面直线距离的向量公式前，我们先来回顾一下向量的基本概念和运算法则。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头上的字母表示。
向量可以通过坐标表示也可以使用定点表示。
两个向量之间可以进行加法、减法、数乘等运算。
设两条异面直线分别为L1和L2,并设相应的参数方程为：L1:X=a1+t1m1,Y=b1+t1n1,Z=c1+t1p1L2:X=a2+t2m2,Y=b2+t2n2,Z=c2+t2p2其中（a1,b1,c1）和（a2,b2,c2）为两条直线上已知的点，（m1,n1,p1）和（m2,n2,p2）为方向向量。
想要求解异面直线的距离，我们需要找到两条直线上的两个点，使得连接这两个点的向量和两条直线的方向向量垂直。
选择L1上的一点P1，我们可以取t1=0，此时P1的坐标为（a1,b1,c1）。
根据向量的线性组合，L2上对应的点坐标为（a2,b2,c2）+t2（m2,n2,p2）。
两个点之间的向量AB可以表示为:AB=P2-P1=(a2,b2,c2)+t2(m2,n2,p2)-(a1,b1,c1)要使得向量AB垂直于L1和L2的方向向量，我们需要满足两个条件：AB·(m1,n1,p1)=0AB·(m2,n2,p2)=0展开上述两个等式得到：(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)+t2(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)=0 (a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m2,n2,p2)+t2(m2,n2,p2)·(m2,n2,p2)=0我们可以将这两个等式整理成一个方程组形式：[(m1,n1,p1)·(m1,n1,p1)]t2+[(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)]t2=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)][(m1,n1,p1)·(m2,n2,p2)]t2+[(m2,n2,p2)·(m2,n2,p2)]t2=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m2,n2,p2)]记：A=[(m1,n1,p1)·(m1,n1,p1)]B=[(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)]C=[(m1,n1,p1)·(m2,n2,p2)]D=[(m2,n2,p2)·(m2,n2,p2)]E1=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)]E2=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m2,n2,p2)]我们可以用Cramer法则求解这个方程组，首先计算系数行列式D0、D1和D2：D0=，ABCD1=，E1BE2D2=，AE1CE根据Cramer法则，t2的值可以计算为：t2=D1/D进一步化简，我们得到：t2=(D1/D)=[B*E1-D*E2]/[AD-BC]最后，我们可以将t2的值代入原始参数方程，得到L2上离P1最近的点P2：P2=(a2,b2,c2)+[B*(m2,n2,p2)-D*(a2-a1,b2-b1,c2-c1)]/[AD-BC]异面直线的距离就是向量P1P2的模长，在求得P2的坐标后，我们可以用向量的模长公式求解异面直线的距离：PD=，P2-P1，=，(a2,b2,c2)+[B*(m2,n2,p2)-D*(a2-a1,b2-b1,c2-c1)]/[AD-BC]-(a1,b1,c1)综上所述，利用向量的线性组合和Cramer法则，我们可以推导出异面直线距离的向量公式，并求得两条异面直线之间的距离。
异面直线的距离的四种求法【附例题讲解】
异面直线的距离确定和计算两条异面直线间的距离，关键在于实现两个转化：一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离；二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。
1．直接法根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。
例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．解：作SO⊥面ABCD于O，则点O是正方形ABCD的中心．∵SO⊥AC，BO⊥AC，∴AC⊥面SOB．在△SOB中，作OH⊥SB于H①，根据①、②可知OH是AC与SB的距离．∵OH·SB＝SO·OB，2．转化法把所求的异面直线间的距离转化为线面间的距离或转化为面面间的距离．例：在等边圆锥(轴截面为等边三角形的圆锥叫做等边圆锥)S-ABC中，母线长为a，底面圆的直径为AC，∠CAB＝60°．求：异面直线SA与BC的距离．解：如图L2-17，易知SA与BC不垂直，可考虑过SA作一个平面与BC平行，转化为求直线与平面间的距离．作AD∥BC交底面圆⊙O于D点．∵BC∥AD，∴BC∥平面SAD，取AD、BC的中点E、F，则平面ADS⊥平面SEF，过F点作FH⊥SE于H，则FH⊥平面SAD．所以FH为直线BC与平面SAD间的距离，也就是异面直线SA与BC 的距离．在△SEF中，由FH·SE＝EF·SO，3．等积法不用作出异面直线间的距离，利用同一个几何体的体积为定值，布列方程来求异面直线间的距离．例如上面的例2，在求SA与BC间的距离时，我们转化为求平行的BC与平面SAD间的距离，可由同一个三棱锥换取不同的底面来计算．设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为4．极值法不必作出异面直线间的距离，利用异面直线上两点间距离的最小值的性质，适当列出函数式，求此函数的最小值．还是以例2来说，在求异面直线SA与BC间的距离时，可先在SA任取一点D，作DE⊥直径AC于E，则DE⊥底面圆．再作EF⊥BC于F，则有DF⊥BC，于是DF的最小值就是SA与BC间的距离．。
异面直线之间的距离公式 解释说明以及概述
异面直线之间的距离公式解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在几何学中，异面直线是指位于不同平面上的两条直线。
由于它们存在于不同的平面中，因此无法以常规的方法来测量它们之间的距离。
然而，解决这个问题十分重要，因为在许多实际应用中，我们需要确定异面直线之间的距离。
1.2 文章结构本文将围绕着异面直线之间的距离公式展开讨论。
首先，我们将介绍异面直线的定义和性质，以便更好地理解这个概念。
接下来，我们将引入并推导出一种计算异面直线距离的公式，并探讨该公式的应用举例。
最后，我们将总结距离公式的重要性及适用范围，并展望进一步研究方向和应用领域。
1.3 目的本文旨在提供一个清晰明了的解释和说明，帮助读者理解异面直线之间距离计算的基本原理和方法，并认识到这个概念在实际生活中和各个领域中的广泛应用价值。
通过深入研究距离公式及其应用举例，我们将了解如何解决异面直线距离计算问题，并有望引发更多关于其进一步研究和应用的思考。
2. 正文:2.1 异面直线的定义与性质在几何学中，异面直线是指不在同一个平面上的两条直线。
异面直线之间存在一些特定性质，例如永远不会相交、平行于同一个平面等。
了解这些性质有助于我们更好地理解异面直线之间的距离。
2.2 距离公式的引入与推导为了计算异面直线之间的距离，我们可以引入一种距离公式。
该距离公式能够准确地计算出任意两条异面直线之间的最短距离。
推导这个距离公式主要依赖于向量和点积的概念。
首先，我们需要将两条异面直线上的一点作为原点，并用向量来表示另外一个点相对于原点的位置。
然后，通过求解这两个向量之间的点积来求得最短距离。
具体而言，在三维空间中，假设有两条异面直线L1和L2。
L1可以表示为P1+r * V1（其中P1是L1上某一点，V1是L1的方向向量），L2可以表示为P2+s * V2（其中P2是L2上某一点，V2是L2的方向向量）。
我们可以通过求解r 和s 的值来确定L1 和L2 间的最短距离。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间的间隔之青柳念文创作求异面直线之间的间隔是平面几何重、难点之一.常有操纵图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线间隔转化为直线与其平行平面间的间隔，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的间隔，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解.常常使用方法有：1、定义法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的间隔.例1 已知：边长a为的两个正方形面直线CD与AE间的间隔.思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是异面直线AE、CD的公垂线.在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，即异面直线CD与AE2 垂直平面法：转化为线面间隔，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记a/与b确定的平面α.从而，异面直线a、b间的间隔等于线面a、α间的间隔.例1 如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的间隔为d，求两条异面直线BF、AE间的间隔.思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，在平面Q内，过B作BH‖AE，将异面直线BF、AE间的间隔转化为AE与平面BCD间的间隔，即为A到平面BCD间的间隔，又因二面角P-AB-Q是直二面角，过A作AC⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，过A作AD⊥BD交于D，保持CD.设A到平面BCD的间隔为h.由体积法V A-BCD=V C-ABD，得3转化为面面间隔若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈β.求a、b两条异面直线的间隔转化为平行平面α、β间的间隔.例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS与BC的间隔.思路分析：这是一不容易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残破形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等.所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为x、y、z，解得x=3，y=2，z=1.由于平面SA‖平面BC，平面SA、平面BC间的间隔是2，所以异面直线AS与BC的间隔是2.4 代数求极值法根据异面直线间间隔是分别在两条异面直线上的两点间间隔的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的间隔.例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长1 AC为a ，求A 1B 与D 1B 1的间隔.思路分析：在A 1B 上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只要求出MN 的最小值即可.设A 1M=x ，则，A 1所以PB 1=a，PN=（a）sin450–x ），当MN min5公式法异面直线间间隔公式：隔.例 5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，而且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的间隔.思路分析：在圆柱底面上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的高，AB=5，所以即异面直线AB 与轴OO /之间的6 射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那末点和直线或两条平行线间的间隔就是两条异面直线射影间间隔.例 6 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，E 是BD 的中点.求异面直线D 1M 、EN 间的间隔.思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面间隔时，可采取射影到同一平面内，把异面直线D 1M 、EN 射影到同一平面BC 1内，转化为BC 1、QN 的间隔，显然，易知BC 1、QN 的间隔为所以异面直线D 1M 、EN7.向量法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的保持线段在 公共法向量上的射影长.例7 已知：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为求异面直线DA 1与AC 的间隔.看做是.此题教员引导，学生口述，教员在课件上演示解题过程，总结解题步调.1NC解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz∴D(0,0,0)A1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0)异面直线DA1与AC∴异面直线DA1与AC的间隔为步调小结：求异面直线间的间隔:⑴建立空间直角坐标系；⑵写出点的坐标，求出向量坐标；隔公式.例8 已知：SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠SA=AB=BC=a,AD=2a，求A到平面SCD的间隔.解：如图所示建立空间直角坐标系A—xyz∴A（0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴设面SCD∴点A到面SCD A到面SCD的间隔为36a八等积法把异面直线间的间隔转化为求某个特殊几何体的的高，操纵体积相等求出该高的长度.例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面临角线AC与侧棱SB间的间隔．设BC与平面SAD间的间隔为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为。
两异面直线之间的距离公式向量法
两异面直线之间的距离公式向量法在咱们学习立体几何的时候，经常会碰到两异面直线之间距离的问题。
这可是个让不少同学头疼的事儿，但别怕，今天咱们就来聊聊用向量法搞定它！先给大家讲讲啥是异面直线哈。
比如说，你在教室里，你的铅笔放在课桌上，同桌的尺子放在他的抽屉里，这铅笔和尺子所在的直线就是异面直线，它们不在同一个平面内，没法直接测量它们之间的距离。
那向量法是咋解决这个问题的呢？咱们假设两条异面直线分别为 l₁和 l₂，在直线 l₁上取一点 A ，在直线 l₂上取一点 B 。
然后分别找到与这两条直线平行的向量 a 和向量 b 。
这时候，两异面直线之间的距离 d 就等于向量 AB 在向量 a 和向量b 所确定的平面的法向量 n 上的投影的绝对值。
这可能有点抽象，咱来举个具体的例子。
就说有一个正方体，棱长为 2 ，其中一条棱在坐标原点 O ，沿着 x 轴正方向，另一条异面的棱一个端点在顶点 (2, 2, 2) 。
咱们就来求这两条棱之间的距离。
先找到这两条棱对应的向量，比如说沿着 x 轴的棱对应的向量 a = (2, 0, 0) ，另一条棱对应的向量 b = (0, 2, 2) 。
然后找两个点，比如在第一条棱上取点 A(1, 0, 0) ，在第二条棱上取点 B(2, 2, 2) ，那向量 AB 就等于 (1, 2, 2) 。
接下来就得找法向量 n 啦，假设法向量 n = (x, y, z) ，根据法向量和向量 a 、向量 b 垂直的关系，能列出方程组，解出来就能得到法向量n 。
经过一番计算，假设得到法向量 n = (2, -2, 2) 。
最后，距离 d 就等于向量 AB 在法向量 n 上投影的绝对值，算出来就是2√3 / 3 。
其实啊，刚开始学这个的时候，我自己也晕头转向的。
记得有一次做作业，我算了好几遍都没算对，心里那个着急啊！后来我静下心来，把书上的例题又看了好几遍，一步一步对照着自己的步骤找错误，终于弄明白了。
计算异面直线间距离的两个公式
两线 段 的 端点为顶点 的 四 面 体的 体积 易求 时
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式 ① 则 较为方便 现举 例供 参考 仁 例 月 求 棱长为 。 的 正方 体 相 邻 两面 上 不 相 交 的 两 条对角 线 间 的距 离 ( 图二 中 B C 与 B I D 间的 距 离 ) : : : : 解 连BD和 C D 得BC = C D = B D = 了 2 a
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两条异面直线之间的距离公式
两条异面直线之间的距离公式我们来看看，这距离到底是怎么来的。
计算异面直线之间的距离可不是个简单的事儿，它就像是在和数学这位“老朋友”打交道。
你可能想，距离不就是我们生活中经常用到的概念吗？走到哪儿都离不开它。
可是在几何里，直线的定义就有点复杂。
异面直线，这名字听着就有点酷，但实际上它们的“交集”就是没有交集，哎，怪不得我们要计算它们之间的距离呢。
所以，来吧，跟我一起“潜入”这道数学题。
我们先得知道这两条直线的方程。
想象一下，方程就像是直线的身份证，只有知道了身份证，才能找到这两条线的“家”。
每条线都有自己的“坐标”，这些坐标就是它们在三维空间中的位置。
你可以把这个过程想象成侦探破案，线索就藏在那些复杂的公式里。
如果你想知道这两条线之间的距离，首先得找到一条连接这两条线的“桥”。
在数学里，这条桥其实就是我们需要的垂线段，嘿，没错，就是和线垂直的那条线。
这条线段的长度，就是我们最终要计算的距离。
想象一下，在你和朋友之间架起一根绳子，那绳子的长度就是你们之间的“心灵距离”，而我们要做的，就是找到这根绳子的最佳长度。
这个距离怎么计算呢？其实方法有很多，但最经典的就是利用向量的知识。
你可能会想，向量是什么鬼？向量就像是一个小箭头，指向某个特定的方向。
你可以把它看成是地图上的一个标记，告诉你要往哪里去。
在计算异面直线之间的距离时，我们得把这两个方向的向量都找出来，然后利用它们之间的关系，最终得出距离。
听起来是不是有点玄乎？别担心，慢慢来，我们都能搞明白！计算的时候又有哪些公式呢？这里有个公式很重要，别把它给忘了。
两条异面直线的距离 D 可以通过以下公式计算出来：D = |(P1 P2)·N| / |N|，其中 P1 和 P2 是两条线上的点，N 是这两条线的法向量。
别被这个公式吓到，实际上就是在说，找出两条线上的某个点的坐标，算出它们之间的差，然后乘以一条垂直于这两条线的向量，最后再通过它的长度来确定距离。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间的距离之马矢奏春创作求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一.常有利用图形性质, 直接找出该公垂线, 然后求解；或者通过空间图形性质, 将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离, 或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离, 或转为求一元二次函数的最值问题, 或用等体积变换的方法来解.经常使用方法有：1、界说法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 界说法就是先作出这两条异面直线的公垂线, 然后求出公垂线的长, 即异面直线之间的距离.例 1 已知：边长a为的两个正方形线CD与AE间的距离.思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形, 得CD⊥AD, CD⊥DE, 即CD⊥平面ADE, 过D作DH⊥AE于H, 可得DH⊥AE, DH⊥CD, 所以DH是异面直线AE、CD的公垂线.在⊿ADE中, ∠ADE=1200即异面直线CD与AE间的距离2 垂直平面法：转化为线面距离, 若a、b是两条异面直线, 过b 上一点A作a的平行线a/, 记a/与b确定的平面α.从而, 异面直线a、b间的距离即是线面a、α间的距离.例1 如图, BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内, 和棱分别成α、β角,又它们和棱的交点间的距离为d, 求两条异面直线BF、AE间的距离.思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内, ∠EAB=α, ∠FAB=β, AB=d, 在平面Q内, 过B作BH‖AE, 将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离, 即为A到平面BCD间的距离, 又因二面角P-AB-Q是直二面角, 过A作AC⊥AB交BF于C, 即AC⊥平面ABD, 过A作AD⊥BD交于D, 连结CD.设A到平面BCD的距离为h.由体积法V A-BCD=V C-ABD, 得3转化为面面距离若a、b是两条异面直线, 则存在两个平行平面α、β, 且a ∈α、b ∈β.求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离.例3已知：三棱锥S-ABC 中, SA=BC=13, SB=AC=14, SC=AB=15, 求异面直线AS 与BC 的距离.思路分析：这是一不容易直接求解的几何题, 把它补成一个易求解的几何体的典范例子, 经常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补陈规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等.所以, 把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得, 因此, 将三棱锥补形转化为长方体, 设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z,解得x=3, y=2, z=1.由于平面SA ‖平面BC, 平面SA 、平面BC 间的距离是2, 所以异面直线AS 与BC 的距离是2. 4 代数求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值, 可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离.例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a,求A 1B 与D 1B 1的距离.思路分析：在A 1B 上任取一点M, 作MP ⊥A 1B 1, PN ⊥B 1D 1, 则MN ⊥B 1D 1, 只要求出MN 的最小值即可.1AC设A1M=x, 则1所以PB1=a（a–）sin450–x）当, MN min5公式法异面直线间距离公式：.例5 已知圆柱的底面半径为3, 高为4, A、B两点分别在两底面圆周上, 而且AB=5, 求异面直线AB与轴OO/之间的距离.思路分析：在圆柱底面上AO⊥OO/, BO/⊥OO/, 又OO/是圆柱的高, AB=5, 所以即异面直线AB与轴OO/6 射影法将两条异面直线射影到同一平面内, 射影分别是点和直线或两条平行线, 那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离.例6 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=1,M、N分别是棱AB、CC1的中点, E是BD的中点.求异面直线D1M、EN间的距离.思路分析：两条异面直线比力难转化为线面、面面距离时, 可采纳射影到同一平面内, 把异面直线D1M、EN射影到同一平面BC1内, 转化为BC1、QN的距离, 显然, 易知BC1、QN的距离1NC所以异面直线D1M、EN7.向量法：先求两异面直线的公共法向量, 再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长.例7 已知：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求异面直线DA1与AC的距离.思路分析：此题是求异面直线的距离问题,.此题教师引导, 学生口述, 教师在课件上演示解题过程, 总结解题步伐.解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz∴D(0,0,0) A1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0) DA1与AC∴异面直线DA1与AC的距离为步伐小结：求异面直线间的距离:⑴建立空间直角坐标系；⑵写出点的坐标, 求出向量坐标；例8 已知：SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90゜SA=AB=BC=a,AD=2a,求A到平面SCD的距离.解：如图所示建立空间直角坐标系A—xyz∴A （0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴AD =(0,2a,0)SC =(a,a,-a) SD =(0,2a,-a)设面SCD 的一个法向量n =(x,y,1)∴n ⊥SC 且n ⊥SD ∴n •SC =0 且n •SD =0∴⎩⎨⎧=-=-+020a ay a ay ax ⎩⎨⎧==2121y x ∴n =(,,21211)∴点A 到面SCD 的距离为36a nn AD d =•=∴点A 到面SCD 的距离为36a八等积法 把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高, 利用体积相等求出该高的长度.例：正四棱锥S-ABCD 中, 底面边长为a, 侧棱长为b(b ＞a)． 求：底面对角线AC 与侧棱SB 间的距离．设BC 与平面SAD 间的距离为d, 则以B 为极点, △SAD 为底面的三棱锥的体积为而以S 为极点, △ABD 为底面的三棱锥的体积为创作时间：二零二一年六月三十日。
异面直线距离向量公式推导
异面直线距离向量公式推导1. 引言好啦，今天咱们聊聊一个数学里常常出现的概念，那就是异面直线的距离。
这听起来可能有点复杂，但其实没那么难。
就像我们生活中总会遇到一些让人头疼的小事，但只要换个角度看，哎，问题就简单多了。
咱们这次的目标，就是把这个距离公式搞清楚，让大家在理解上轻松一点。
准备好了吗？那我们就开始吧！2. 异面直线的概念2.1 什么是异面直线？首先，咱得搞清楚什么是“异面直线”。
简单来说，异面直线就是在空间中不在同一个平面上的两条直线。
想象一下，像两条平行的铁路，不在同一个层面上，永远不会相交，这就是异面直线。
听上去是不是有点酷炫？而且，它们之间的距离也是一个让人纠结的问题。
咋算呢？2.2 距离的直观理解想象一下你和你的朋友分别站在两条异面直线的两端，你们俩的距离肯定不是直接测量的，而是要找到两条直线之间的最短距离。
这种最短距离就像是从一根“隔空”绳子拉出来的一样。
这个距离就是我们今天要推导的东西了。
3. 距离向量的推导3.1 距离向量公式的基础那么，如何从数学的角度来搞定这个“隔空”的距离呢？首先，我们需要两个直线的方程。
通常我们用参数方程来表示。
假设我们有两条直线，分别用参数 ( r_1 ) 和 ( r_2 )来表示。
记得，参数方程就像是给直线定制了一个“出行路线”，让我们能方便地描述直线的每一个点。
3.2 推导步骤1. 设定直线方程：假设直线 ( r_1 ) 的方程是 ( mathbf{P_1 + t_1 mathbf{d_1 )，而直线 ( r_2 ) 的方程是 ( mathbf{P_2 + t_2 mathbf{d_2 )。
这里 ( mathbf{P_1 ) 和( mathbf{P_2 ) 是直线上的一点，( mathbf{d_1 ) 和 ( mathbf{d_2 ) 是直线的方向向量。
2. 求距离向量：然后，我们可以设定一个向量 ( mathbf{D = mathbf{P_2mathbf{P_1 )，这个向量就像是从直线 ( r_1 ) 的某一点“飞”到直线 ( r_2 ) 的某一点。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间得距离求异面直线之间得距离就是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解;或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间得距离,或转化为分别过两异面直线得平行平面间得距离,或转为求一元二次函数得最值问题,或用等体积变换得方法来解。
常用方法有: 1、 定义法2、 垂直平面法(转化为线面距)3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就就是先作出这两条异面直线得公垂线,然后求出公垂线得长,即异面直线之间得距离。
例1 已知:边长a 为得两个正方形ABCD 与CDEF 成1200得二面角,求异面直线CD 与AE 间得距离。
思路分析:由四边形ABCD 与CDEF 就是正方形,得CD ⊥AD,CD ⊥DE,即CD ⊥平面ADE,过D 作DH ⊥AE 于H,可得DH ⊥AE,DH ⊥CD,所以DH 就是异面直线AE 、CD 得公垂线。
在⊿ADE 中,∠ADE=1200,AD=DE=a,DH=。
即异面直线CD 与AE间得距离为。
2 垂直平面法:转化为线面距离,若a 、b 就是两条异面直线,过b 上一点A 作a 得平行线a /,记a /与b 确定得平面α。
从而,异面直线a 、b 间得距离等于线面a 、α间得距离。
例1 如图,BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,与棱分别成α、β角,又它们与棱得交点间得距离为d,求两条异面直线BF 、AE 间得距离。
思路分析:BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,∠EAB=α,∠FAB=β,AB=d,在平面Q 内,过B 作BH ‖AE,将异面直线BF 、AE 间得距离转化为AE 与平面BCD 间得距离,即为A 到平面BCD 间得距离,又因二面角P-AB-Q 就是直二面角,过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C,即AC ⊥平面ABD,过A 作AD ⊥BD 交于D,连结CD 。
两条异面直线距离公式
两条异面直线距离公式在我们的数学世界里，有一个神奇而又有点神秘的概念——两条异面直线距离公式。
先来说说啥是异面直线吧。
想象一下，在一个大大的房间里，有两根长长的杆子，一根贴在东边的墙上直直地竖着，另一根呢，躺在西边的地上斜斜地放着。
这两根杆子既不平行，也不相交，它们所处的位置完全不同，这就是异面直线啦。
那怎么去算这两条异面直线的距离呢？这就需要用到我们的距离公式。
公式看起来可能有点复杂，但其实就像一个解谜的小钥匙，只要掌握了窍门，就能轻松打开数学的大门。
咱们来举个例子哈。
比如说有两条异面直线，一条可以用方程表示为：$x - 2y + 3z - 4 = 0$，另一条是通过两个点 $A(1, 2, 3)$ 和 $B(4, 5, 6)$ 确定的。
那怎么算它们之间的距离呢？这时候，咱们就得先找到这两条直线的公垂线。
啥是公垂线？就好比在两条异面直线中间，有一条垂直于它们俩的线段，这就是公垂线啦。
找公垂线可不容易，得费点心思。
经过一番捣鼓，算出公垂线的方向向量，再利用点到直线的距离公式，就能算出这两条异面直线的距离啦。
记得我当年教学生这个知识点的时候，有个小同学怎么都搞不明白。
那小眉头皱得紧紧的，都快能夹死一只苍蝇了。
我就耐心地给他一遍又一遍地讲解，还画了好多图。
最后啊，这小家伙终于恍然大悟，那开心的笑容，比吃了蜜都甜。
其实啊，数学里的很多知识就像一个个小宝藏，等着我们去挖掘。
两条异面直线距离公式虽然有点难，但只要咱们多琢磨，多练习，就一定能把它拿下。
在学习的过程中，可别被那些复杂的符号和式子给吓住了。
就像爬山一样，一步一步往上走，总能到达山顶，看到美丽的风景。
而且这个公式在实际生活中也有用呢。
比如说建筑设计的时候，要计算两个不平行的结构之间的最短距离，就得用到它。
总之，两条异面直线距离公式虽然有点小挑战，但只要咱们用心去学，就能在数学的海洋里畅游，发现更多的奇妙之处！所以，同学们，加油吧！别害怕困难，勇往直前，相信你们一定能掌握这个有趣的数学知识！。
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有：1、定义法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。
思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是异面直线AE、CD的公垂线。
在⊿ADE中，∠ADE=120，AD=DE=a，DH=0a2 。
即异面直线CD与AE间的距离为a。
22 垂直平面法：转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记a/与b确定的平面α。
从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。
例1 如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。
思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，在平面Q内，过B作BH‖ AE，将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，即为A到平面BCD间的距离，又因二面角P-AB-Q是直二面角，过A作AC⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，过A作AD⊥BD交于D，连结CD。
设A到平面BCD的距离为h。
由体积法VA-BCD=VC-ABD，得h=dsinαsinβ-cosαcosβ223转化为面面距离若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈β。
【数学文化】异面直线的距离
异面直线的距离
一、定义
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．
二、有关定理
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线．
定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条．
三、常用计算方法
（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度．
（2）转化为求线面间的距离．
（3）转化为求平行平面间的距离．
（4）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长．。
向量法求异面直线的距离公式
向量法求异面直线的距离公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量法求异面直线的距离公式是一种用向量的方法来计算异面直线之间的距离的公式。
在三维空间中，有时候我们需要求出两条不在同一平面上的直线之间的距离，这时就可以使用向量法来解决这个问题。
下面我们将详细介绍向量法求异面直线的距离公式的推导和应用。
我们假设有两条异面直线，分别用参数方程表示为：直线1：r1(t) = a1 + tb1其中a1,a2分别为直线1和直线2的某一点，b1,b2为方向向量，t,u为参数。
我们首先要确定这两条直线之间的距离，可以通过向量的投影来实现。
假设有一条从直线1上的某一点a1到直线2上的垂足点P的向量p，则有p = a2 - a1 + s(b1 x b2)（1）其中x表示向量叉乘，s为比例因子。
p为两条直线之间的距离向量，我们需要求出它的模长作为实际距离。
为了简化运算，可以令p与b1垂直，即p·b1 = 0，代入公式(1)中得到：(a2 - a1 + s(b1 x b2)) · b1 = 0将s代入公式(1)中，即可求出向量p。
我们求出p的模长即可得到两条异面直线之间的距离。
需要注意的是，如果两条直线平行，则它们之间的距离为0；如果两条直线相交，则直线之间的距禀为0。
向量法求异面直线的距离公式在实际工程和物理问题中有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，我们需要确定两个不在同一平面上的梁之间的距离；在机械设计中，我们需要确定两个不在同一平面上的零件之间的距禀。
掌握向量法求异面直线的距离公式对于解决实际问题具有重要意义。
第二篇示例：向量法求解异面直线距离的问题是解析几何中的一个重要问题。
异面直线是指两条不在同一平面内的直线，它们之间的距离是在空间几何学中一个非常基础的问题。
在实际问题中，当我们需要求解两条异面直线之间的距离时，使用向量法可以简化计算，提高效率。
首先我们来了解一下向量的相关知识。
在空间直角坐标系中，我们可以用一个有方向和大小的有向线段来表示一个向量。
异面直线的距离课件
D` A`
D A
C` B`
C B
公垂线的特征： （1）垂直，（2）相交。
D1
C1
例1：找出每对异面直线的公 垂线，若正方体的边长为1， 请回答每对异面直线的距离 是多少。
A
1
D
B1 C
A
B
1、 A1B与D1C1公垂线是_A_1_D__1 距离是_1_ 2、A1B与C1C公垂线是__B_C__距离是__1__ 3、 A1B与CD公垂线是__B_C__距离是__1__
例1.已知两条异面直线所成的角为θ(如图),在直线a、b
上分别取E、F，已知A1E=m，AF=n，EF=L，求公垂
线段AA1的长d.
A1
m
Ea
β
d
F
θ
Gc
A
α
bF
d l2 m2 n2 2mncosθ
练习．AB是异面直线a、b的公垂线段, AB=2，
a、b成300角，在a上取P点使AP=4，则点P到b 的距离等于
D1 C1
A1
B1
D
OM
C
Q
A
P
B
小结： 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做
两条异面直线的公垂线。 公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条
异面直线的公垂线段。公垂线段的长度，叫做两 条异面直线的距离
对于两异面直线的公垂线；两异面直线的 距离，本节只是最基本的方法，今后还会有 更多的处理方法。
能力提高：
C1
B1 C
A
B
因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，AB⊥A1A于A， AB⊥BC于B。
异面所直以线ABA是1B异与面C直C线1的A1距A与离B是C的多公少垂？线为段什。么？
【精品】异面直线的距离
【精品】异面直线的距离
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段。
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离。
有关定理
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
常用计算方法
（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
（2）转化为求线面间的距离。
过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面α与a之间的距离就是异面直线的距离。
（3）转化为求平行平面间的距离。
过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离。
（4）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
异面直线间的距离坐标公式
异面直线间的距离坐标公式在我们的数学世界里，异面直线间的距离坐标公式就像是一个神秘的密码，等待着我们去解开它的奥秘。
还记得我当年上高中的时候，有一次数学课，老师在黑板上画出了两条看似毫不相干的异面直线，然后神秘兮兮地说：“同学们，今天咱们要攻克一个大难题——异面直线间的距离坐标公式。
”当时的我，心里那叫一个忐忑，这玩意儿听起来就不好惹。
老师先从简单的直线概念开始讲起，慢慢地引入了异面直线的概念。
那时候我就一直在想，这异面直线就像是两个在不同世界里的“独行侠”，看似没有交集，却又有着某种神秘的联系。
咱们来说说这个异面直线间的距离坐标公式到底是咋回事。
假设两条异面直线分别为 L1 和 L2，它们的方向向量分别是 s1 和 s2，而且在这两条直线上分别有一点 A 和 B。
那么，这两条异面直线间的距离 d就可以通过一个复杂但又神奇的公式来计算。
公式是这样的：d = |(AB · n) / |n|| ，这里的 n 是 s1 和 s2 的向量积，AB 则是从点 A 指向点 B 的向量。
听起来是不是有点晕？别担心，咱们慢慢捋一捋。
就拿一个具体的例子来说吧。
比如说有两条异面直线，一条直线通过点 (1, 2, 3) 并且方向向量是 (2, 1, -1) ，另一条直线通过点 (4, 5, 6) 并且方向向量是 (-1, 2, 3) 。
那咱们先算出 AB 向量，就是 (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) ，也就是 (3, 3, 3) 。
然后算 n 向量，通过向量积的计算方法得出。
最后把这些值代入公式里，就能算出这两条异面直线之间的距离啦。
在学习这个公式的过程中，很多同学都觉得头疼，我也不例外。
有时候做练习题，算来算去总是出错，不是方向向量算错了，就是向量积的计算出了岔子。
但是，当你真正掌握了这个公式，那种成就感真的是无与伦比。
这个公式在实际生活中其实也有不少用处呢。
比如说在建筑设计中，设计师要计算不同结构之间的最短距离，就可能会用到这个公式；在机械制造中，工程师要确定两个不在同一平面的零件之间的距离，也能靠它来帮忙。
空间直线异面直线间距离的一个简明公式
§9.2空间直线异面直线间距离的一个简明公式_334(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--异面直线间距离的一个简明公式本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用.定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθy x y x l +++证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG .则∠DEF =θ，且（DG ）min =d .设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ.在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x .∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x .图1 图2在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ-在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-=所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=∆中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ⋅-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得)4/()4()(2min 2a b ac GD -=])cos ctg csc sin ctg (1[4)]cos ctg csc sin ctg (sin 2[])cos ctg csc sin ctg (1[4sin ])cos ctg csc sin ctg (1[4222222y y x y y x y l y y x y l y y x θ+θ+θ+θ-θ+θ+θ+θ+.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin .cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin ]cos ctg ctg 2cos ctg ctg )ctg 1(/[sin sin )cos ctg ctg (sin sin 1sin )cos ctg csc sin ctg (1sin 22222222222222222222222θθθθθθθθθθθθθy x y x l d y x y x l y x y x y l y x y y l y y y x y l +++=+++=++++=++=++=故例 2.已知正方形ABCD 和正方形ADD 1A 1所在平面互相垂直，AB =a ，求异面直线DB 与AD 1的距离.解：由已知及定理得,,90,451a l BDA AD D y x =︒=θ︒=∠=∠== .3/345ctg 45ctg 90sin 90sin 222a a d =︒+︒+︒︒=所以图3例3.已知圆锥的轴截面为等边△AVB ，AC 为∠VAB 的平分线，点D 在底面圆周上，且∠ABD =30°，底面圆的直径AB =2R .求异面直线AC 与BD 的距离.解：由已知得x =y =30°，θ=90°，l =2R .由定理可得d =.77230ctg 2190sin 22R R =︒+︒两条异面直线的距离问题，之所以一直被人们所关注，是因为其公垂线段不易作出，其长更不易求出.由于任意两条异面直线，均可视为某个二面角的两个平面内的二直线，这就使定理具有广阔的应用范围，而定理的本身，结构整齐、 图4简明，因此它成为解决两条异面直线间距离问题的有力武器.。
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异面直线间距离的一个简明公式
本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用.
定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离
d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ
y x y x l +++
证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG .
则∠DEF =θ，且（DG ）min =d .
设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ.
在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x .
∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x .
图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则
MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ-
在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-=
所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=∆中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ
⋅-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得
)4/()4()(2min 2a b ac GD -=
])cos ctg csc sin ctg (1[4)]cos ctg csc sin ctg (sin 2[])cos ctg csc sin ctg (1[4sin ])cos ctg csc sin ctg (1[422
2222y y x y y x y l y y x y l y y x θ+θ+θ+θ-θ+θ+θ+θ+
.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin .cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin ]
cos ctg ctg 2cos ctg ctg )ctg 1(/[sin sin )cos ctg ctg (sin sin 1sin )cos ctg csc sin ctg (1sin 22222222222222222222222θθθθ
θθθθθθθθ
θy x y x l d y x y x l y x y x y l y x y y l y y y x y l +++=+++=++++=++=++=故例 2.已知
正方形ABCD 和正方形ADD 1A 1所在平面互相垂直，AB =a ，求异面直线DB 与AD 1的距离.
解：由已知及定理得,,90,451a l BDA AD D y x =︒=θ︒=∠=∠==
.3/345ctg 45ctg 90sin 90sin 222a a d =︒+︒+︒︒
=所以
图3
例3.已知圆锥的轴截面为等边△AVB ，AC 为∠VAB 的平分线，点D 在底面
圆周上，且∠ABD =30°，底面圆的直径AB =2R .求异面直线AC 与BD 的距离.
解：由已知得x =y =30°，θ=90°，l =2R .
由定理可得d =.7
7230ctg 2190sin 22R R =︒+︒
两条异面直线的距离问题，之所以一直被人们所关注，是因为其公垂线段不易作出，其长更不易求出.由于任意两条异面直线，均可视为某个二面角的两个平面内的二直线，这就使定理具有广阔的应用范围，而定理的本身，结构整齐、 图4
简明，因此它成为解决两条异面直线间距离问题的有力武器.。