全等三角形的判定及应用

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三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作

以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信息，某些描述可能不够精确或全面。如有需要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广泛的情况，例如处理只有一边和两个角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决实际问题，例如几何证明、建筑设计、工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法（如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使用圆规在该点上画圆，与直线相交于两点。连接这两点即可得到经过该点的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三角形全等来确定未知点的位置。例如，已知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知点的位置，从而满足建筑设计的需求。

三角形全等的判定方法5种例题+练习全面

教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”.注：必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在A ABC和A ABD中，/ A= / A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等.A例 1 如图，AC=AD, / CAB= / DAB,求证：A ACB义A ADB.AD例 2 如图，在四边形 ABCD 中，AD〃BC, / ABC= /DCB, AB=DC, AE=DF 求证:BF=CE.例3.(1)如图①，根据“SAS"，如果BD=CE, =,那么即可判定4BDC24CEB； (2)如图②，已知BC=EC, NBCE二ACD,要使4ABC2△口£&则应添加的一个条件为例4. 如图，已知AD=AE,N1=N2, BD=CE,则有4ABD2，理由是△ABE义，理由是.例5.如图，在4ABC和4DEF中，如果AB=DE, BC=EF,只要找出N=N 或〃，就可得到4ABC2△DEF.A D例6.如图，已知AB〃DE, AB=DE, BF=CE,求证：4ABC24口£艮例 7.如图，点B 在线段AD 上，BC〃DE, AB=ED, BC=DB. 求证：NA二NE 例8.如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, NB=NC.求证: NA=ND.2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1.如图，在4ABC中，点D是BC的中点，作射线AD,线段AD及其延长线上分别取点E, F，连接CE，BF.添加一个条件，使得4BDF24CDE,你添加的条件是:.（不添加辅助线）例2. 如图，已知人口平分/8人&且N ABD=N ACD,则由“AAS”可直接判定△^A.B例 3.如图，在 RtA ABC 中，N ACB=90°, BC=2cm, CD^AB,在AC 上取一点E,使EC二BC, 过点E作EF^AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,那么AE=cm.例4.如图，AD〃BC,N ABC的角平分线BP与/8人口的角平分线AP相交于点P,作PE L AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为.例 5.如图，已知EC=AC, ZBCE=ZDCA, NA=NE.求证：BC=DC.例6.如图，在4ABC中，D是BC边上的点（不与B, C重合），F, E分别是AD及其延长线上的点，CF〃BE.请你添加一个条件，使4BDE24CDF （不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明.（1）你添加的条件是：；（2）证明：例7.如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC,N1=N2=N3,则DE的长等于（）A. DCB. BCC. ABD. AE+AC【基础训练】1 .如图，已知 AB = DC,NABC=NDCB,则有4ABC2，理由是；且有2 .如图，已知AD=AE,N1 = N2, BD = CE,则有4ABD2，理由是；△ ABF /，理由是.3 .如图，在4ABC 和ABAD 中，因为 AB = BA,NABC=NBAD, =，根据“SAS”可以得到4ABC2ABAD.4 .如图，要用“SAS”证4ABC2AADE,若AB=AD, AC=AE,则还需条件（）.5 .如图，OA=OB, OC = OD,NO=50°,N D = 35°,则NAEC 等于（）.A. 60°B. 50°C. 45°D. 30°A.NB = ND C.N1 = N2 BNC=NED.N3 = N4（第4皿（第56.如图，如果AE=CF, AD〃BC, AD = CB,那么^ADF和ACBE全等吗？请说明理由.律f题）7.如图，已知AD与BC相交于点O,NCAB = NDBA, AC = BD.求证: (1)NC=ND；(2)AAOC^ABOD.C第T题）8.如图，AACD和4BCE都是等腰直角三角形，NACD=NBCE=90°, AE交DC于F, BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由.（第8题）9.如图，在4ABC 中，AB=AC, AD 平分/BAC.求证：NDBC=NDCB.（第KJ题）10.如图，4ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE〃BC.（第门题）角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS”. 例1、如图，在4ABC中，N ABC=45°, H是高AD和高BE的交点，试说明BH=AC.例 2、如图，N ACB=90°, AC二BC, BE±CE, AD±CE 于 D, AD=2.5cm, DE=1.7cm. 求BE的长.例3、如图，在4ABC中,AC±BC, CE±AB于E, AF平分/CAB交CE于点F,过F作FD〃 BC交AB于点D.求证：AC=AD.例 3.如图，AD 平分/BAC, DEXAB 于 E, DFXAC 于 F,且 DB二DC,求证：EB=FC例4.如图，在4ABC中，D是BC的中点，DELAB, DFXAC,垂足分别是E, F, BE=CF. 求证：AD 是4ABC的角平分线.例5.如图，在4ABC中，AB二CB,N ABC=90°, D为AB延长线上的一点，点E在BC 边上，连接 AE, DE, DC, AE二CD.求证：NBAE二NBCD.例6.如图，D是BC上一点，DEL AB, DF±AC, E, F分别为垂足，且AE=AF.(1)AAED与4AFD全等吗？为什么？(2)AD平分/BAC吗？为什么？例 7.如图，已知 ACLBC, BDLAD, BC 与 AD 交于 O, AC=BD.试说明：ZOAB=ZOBA.例8.如图，NACB 和/ADB都是直角，BC二BD, E是AB上任意一点.求证：CE=DE.例 9.如图，已知RtAABC^RtAADE,ZABC=Z ADE=90°, BC 与 DE 相交于点 F, CD, EB.连接(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF=EF.例10.如图，在四边形ABCD中，AC 平分/BAD,并且CB=CD.求/ABC+NADC的度数.例11. (1)如图①，A, E, F, C四点在一条直线上，AE二CF,过点E, F分别作DELAC, 8尸，八0连接BD交AC于点G,若AB二CD,试说明FG=EG.(2)若将4DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，(1)中其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由.B BD D①. ②课后练习:1.如图，点C在线段AB的延长线上，AD = AE, BD = BE, CD = CE,则图中共有对全等三角形，它们是2.如图，若AB = CD, AC=BD,则可用“SSS”证 23.如图，已知 AB = DC, BE=CF,若要利用“SSS”得到4ABE2△DCF,还需增加的一个条件是.i第3题）（第-I题）4.如图所示是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若想固定其形状不变，需要加钉一根木条，可钉在（）.A. AE 上B. EF 上C. CF 上D. AC 上5.如图，已知E、C两点在线段BF上，BE=CF, AB=DE, AC=DF.求证：AABC2A DEF.& E C F（第三⑦6.如图，在4ABC和4DCB中，AC与BD相交于点O, AB=DC, AC=BD.(1)求证：4ABC 2ADCB；(2)AOBC的形状是.(直接写出结论，不需证明)＜第6题)7、如图，在口ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC 与EF相交于点O.(1)过点B作AC的平行线BG,延长EF交BG于点H；(2)在(1)的图中，找出一个与4BFH全等的三角形，并证明你的结论.8、如图，已知BD±AB, DC,AC,垂足分别为点B、C, CD=BD, AD 平分/BAC吗，为什么？9.如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DELAG于E, BF#DE,交 AG于F.那NAF与BF+EF相等吗？请说明理由.B G C10.如图，BD、CE分别是4ABC的边AC和边AB上的高，如果BD = CE,试证明AB = AC.11.如图，在RtAABC和RtABAD中，AB为斜边，AC=BD, BC、AD相交于点E (1)请说明AE=BE 的理由；(2)若N AEC=45°, AC = 1,求 CE 的长.12.如图，在4ABC中，D是BC的中点，DELAB, DFLAC,垂足分别是点E、F, BE= CF.(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.4练习21.如图，已知NB = NDEF, AB=DE,要证明△ ABC2△DEF.（1）若以“ASA”为依据，还缺条件；（2）若以“AAS”为依据，还缺条件£（第1期】《第2题）2.如图，已知AD平分/BAC,且NABD=NACD,则由“AAS”可直接判定△2 △.3.如图，已知AB=AC,要根据“ASA”得到以BE2AACD,应增加一个条件是 _______________（第3 （第4（第54.如图，点P是/AOB的平分线OC上的一点，PD±OA, PE LOB,垂足分别为点D、E, 则图中有对全等三角形，它们分别是.5.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）.A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去6.如图，已知AC平分/8八口，/1 = /2, AB与AD相等吗？请说明理由.C£第67.如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知NA=ND, 需要补充的一个条件是.（写出一个即可）NB = NC,要使4ABF 2ADCE,8.如图，在4ABC中，N ABC=45°, H是高AD和高BE的交点，试说明BH=AC.A9.如图，已知点A、D、B、E在同一条直线上，且AD=BE,NA=NFDE,则AABC2A DEF.请你判断上面这个判断是否正确，如果正确，请给出说明；如果不正确，请添加一个适当条件使它成为正确的判断，并加以说明.10.已知：如图，AB=AE,N1 = N2,NB = NE.求证：BC=ED.21。

全等三角形的判定方法五种的证明

全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。

在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。

下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。

一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。

我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。

【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。

所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。

由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。

我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。

这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。

如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。

通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。

【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。

在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。

正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。

全等三角形判定ppt课件

若两个三角形全等，则它们的周长也相等。
对应角相等
在全等三角形中，任意两个对应的角都相等。
若两个三角形全等，则它们的内角和也相等，且均为180度。
可以通过测量两个三角形的三个内角来判断它们是否全等。
面积相等
若两个三角形全等，则它们的面积也相等。可以通过计算两个三角形的面积来判断它们是否全等。
1 2
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
图形语言
若a=a'，∠B=∠B'，b=b'，则⊿ABC≌⊿A'B'C'。
3
符号语言
∵a=a'，∠B=∠B'，b=b'，∴⊿ABC≌⊿A'B'C'（ SAS）。
角边角判定法（ASA）
01
02
03
定义
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
图形语言
实例1
证明两个三角形全等并求出未知边长
实例2
利用全等三角形判定方法证明两个四边形面积相等
实例3
利用全等三角形判定方法解决一个实际问题，如测量一个不可直接测量的距离
06
总结与展望
判定全等三角形的方法总结
三边分别相等的两个三角形全等。这是最基本的判定方法，通过比较三角形的三边长度来确定两个三角形
证明过程
可以通过AAS（角角边）全等条件进行证明，即如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别相等，则这两个三角形全等。这也是一种常用的全等三角形判定方法。
实际应用举例
在实际应用中，角角边判定法常用于解决与角度和边长有关的问题。例如，在建筑设计中，如果需要确保两个建筑结构的角度和边长完全相等，就可以利用角角边判定法来进行验证。

全等三角形的判定常考典型例题及练习

全等三角形的判定一、知识点复习①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）图形分析：书写格式: 在△ABC和△DEF中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EFBCEBDEAB∴△ABC≌△DEF（SAS)②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA)图形分析:书写格式：在△ABC和△DEF中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FCEFBCEB∴△ABC≌△DEF(ASA）③“角角边”定理:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）图形分析:书写格式：在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC F C E B∴△ABC ≌△DEF （AAS)④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.(SSS ）图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB∴△ABC ≌△DEF(AAS)⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL ）图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎩⎨⎧==DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （HL ）一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法,还有其他的三角形全等识别法吗?比如说“SSA ”、“AAA ”能成为判定两个三角形全等的条件吗？两个三角形中对应相等的元素两个三角形是否全等反例SSA ⨯AAA⨯二、常考典型例题分析第一部分：基础巩固1。

下列条件,不能使两个三角形全等的是（）A ．两边一角对应相等B ．两角一边对应相等C ．直角边和一个锐角对应相等D ．三边对应相等2.如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上,CD 与BE 相交于O 点，已知AB=AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD( )A.∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD3。

全等三角形的判定总结

形式进行证明。
典型例题解答
例1解答：
根据已知条件，我们有AB = DE，AC = DF，且∠A = ∠D。
第一步，由已知条件，我们可以直接应用"边角边"定理，即如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。
典型例题解答
• 第二步，根据"边角边"定理，我们可以得出三角形ABC全等于三角形DEF。
典型例题解答
例2解答：
根据已知条件，我们有AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF。
第一步，虽然我们不能直接应用"边边角"定理来证明三角形全等，但我们可以通过添加辅助线来构造一个全等的三角形。过点C作CG∥AB交DE于点G，则∠BCG = ∠B = ∠E。
典型例题解答
第二步，由于BC = EF且∠BCG = ∠E，我们可以应用"角角边" 定理证明三角形BCG全等于三角形EFD。因此，CG = DF。
定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等
02 全等三角形的判定方法
SSS判定方法
三边全等的两个三角形全等。即如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
此判定方法适用于已知三角形三边长度的情况。
SAS判定方法
两边和夹角对应相等的两个三角形全等。即如果两个三角形有两边长度相等，并且这两边所夹的角也相等，则这两个三角形全等。
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。此方法需要测量两条边和一个角，适用于边和角信息较为均衡的情况。
AAS全等条件
两角和一角的对边分别相等的两个三角形全等。此方法同样适用于角信息丰富的情况，但需注意对边的选择。

三角形全等的判定

三角形全等的判定一、判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1、三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。

2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。

3、两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。

4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。

二、判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

三、尺规作图运用尺规作图作相等角、相等线段以及全等三角形。

四、应用三角形的判定方法三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的隐藏条件有：①公共边，公共角，对顶角；②线段的相加减；③角度的互余，互补，三角形的外角等于与它不相邻的内角和。

三角形全等的证明及应用举例

三角形全等的证明及应用举例
证明全等三角形有6种方法。

全等三角形共有边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、和直角三角形的斜边，直角边（HL）六种判定方法。

三角形全等在解决实际问题中有广泛的应用，如测量无法直接测量的距离时，可根据三角形全等进行转化。

例如：海岛上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A 的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？
本题是一道和三角形全等有关的实际问题，要看海岛C、D到海岸AB的距离是否相等，则要看△ABC与△BAD是否全等。

全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

要点二、对应顶点,对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF,AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）全等三角形判定一（SSS ，SAS)全等三角形判定1-—“边边边”三边对应相等的两个三角形全等。

（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。

要点诠释:如图，如果''A B ＝AB,''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2-—“边角边"两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边"或“SAS ”).要点诠释：如图,如果AB ＝ ''A B ,∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2。

有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。

如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。

三角形全等的判定及应用

中小学1对1个性化辅导爱上学习，从执学开始知识要点：全等三角形② 全等三角形面积相等．方法指引：2、证明两个三角形全等的基本思路：(1)已知两边__________)(____________)(__________)⎧⎪⎨⎪⎩找第三边（找夹角其中一边的对角是直角 (2)已知一边一角(_____)(_____)(_____)(_____)(_____)⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩找这边的另一邻角已知一边与邻角找这个角的另一邻边找这边的对角找一角已知一边与对角已知是直角，找一边 (3)已知两角______________)(______________)⎧⎪⎨⎪⎩找夹边（找夹边外任意一边 3．证明的书写步骤：（1）准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；（2）三角形全等书写三步骤：①写出在哪两个三角形中；②摆出三个条件用大括号括起来；③写出全等结论。

4．利用全等三角形证明线段或角相等的思路如下：⑴观察要证的线段和角在哪两个可能全等三角形之中；⑵分析要证的这两个全等三角形，已知什么条件，还缺什么条件；⑶设法证出所缺的条件。

注：学习全等三角形应注意以下几个问题（1）正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”等。

经典例题讲解1、（2008年四川省宜宾市）已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OCAB2、（2008年陕西省）已知：如图，B C E=，∥，AC CE，，三点在同一条直线上，AC DE∠=∠．ACD B求证：ABC CDE△≌△．O点，12∠=∠，4、（2008 四川泸州）如图4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB 的延长线于点F，求证：DE=BFF ED CB A5、（2008福建省泉州市）已知：如图，E 、C 两点在线段BF 上，BE=CF ，AB=DE ， AC=DF,求证:ABC DEF ∆≅∆6、（2011＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD BD.求证：(1)△BAD ≌△有何特殊位置关系，并证明.7、如图：AB=CD ，求证：AF=DE 。

全等三角形的判定PPT课件共34张

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2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
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准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的周长、面积相等；全等三角形的对应边上的中线、高线、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至与另一个三角形两边重合，由于夹角相等，因此两个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
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判定方法的证明与推导
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SSS判定法的证明
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已知条件
三边分别相等的两个三角形。
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证明过程
通过平移或旋转其中一个三角形，使得两个三角形的三边分别重合，从而证明两个三角形全等。
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在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相等。
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全等三角形的判定方法
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边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等。

全等三角形知识点总结

全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。

全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。

全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。

本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。

一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。

用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。

全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。

也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。

2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。

也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。

3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。

二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。

1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。

判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。

2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。

判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。

3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

两边及一角的平分线相等的三角形全等

三角形是初中数学中重要的几何形状，而全等三角形是其中的一个重要概念。

全等三角形具有相同的形状和相同的大小，是重要的几何性质之一。

在本文中，我们将探讨两边及一角的平分线相等的三角形全等的性质和应用。

一、全等三角形的定义1.1 两个三角形全等的定义全等三角形是指在几何形状上，两个三角形的对应边相等，对应角相等的情况下，两个三角形全等。

1.2 全等三角形的符号表示两个全等三角形可以用符号来表示，常用的表示方法是△ABC ≌ △DEF，其中△ABC 代表一个三角形，△DEF 表示另一个三角形。

二、两边及一角的平分线相等的三角形全等的条件2.1 两个三角形的对应边相等当两个三角形的对应边分别相等时，可以推断这两个三角形全等。

2.2 两边及一角的平分线相等若两个三角形的一个角和它们的两边的切线相等，则这两个三角形全等。

2.3 证明方法要证明两边及一角的平分线相等的三角形全等，可以通过 SSS 全等判据（三边对应相等判据）、SAS 全等判据（两边及夹角对应相等判据）、AAS 全等判据（两角及夹边对应相等判据）进行证明。

三、全等三角形的性质和应用3.1 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：（1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等（3）全等三角形的面积相等3.2 全等三角形的应用全等三角形的性质和条件在几何问题中有着广泛的应用：（1）在证明几何定理时，可以利用全等三角形的性质进行证明。

（2）在计算三角形的面积时，可以利用全等三角形的面积相等性质，简化计算步骤。

（3）在解决实际问题中，可以利用全等三角形的特性，求解未知长度和角度。

四、如何判断两边及一角的平分线相等的三角形全等4.1 观察三角形的给定条件要判断两边及一角的平分线相等的三角形全等，需要观察给定的三角形条件，看是否满足两边及一角的平分线相等的条件。

4.2 应用全等三角形的判定条件根据全等三角形的判定条件，可以利用SSS 全等判据、SAS 全等判据、AAS 全等判据等进行判断。

(完整版)全等三角形知识总结和经典例题

全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等

三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等三角形全等是指两个三角形的所有对应边和对应角相等。

在几何学中，有五种常见的判定方法来确定两个三角形是否全等：SSS（边-边-边）判定法、SAS（边-角-边）判定法、ASA（角-边-角）判定法、AAS（角-角-边）判定法和HL（斜边-直角-斜边）判定法。

下面将分别介绍这五种方法，并给出如何构造三角形全等的例子。

1.SSS（边-边-边）判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

例子：给定两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可判断三角形ABC和DEF全等。

2.SAS（边-角-边）判定法：如果两个三角形的两条边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等。

例子：给定两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，∠BAC=∠EDF，AC=DF，则可判断三角形ABC和DEF全等。

3.ASA（角-边-角）判定法：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则这两个三角形全等。

例子：给定两个三角形ABC和DEF，若∠BAC=∠EDF，AB=DE，∠ABC=∠DEF，则可判断三角形ABC和DEF全等。

4.AAS（角-角-边）判定法：如果两个三角形的两个角和一边分别相等，则这两个三角形全等。

例子：给定两个三角形ABC和DEF，若∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AB=DE，则可判断三角形ABC和DEF全等。

5.HL（斜边-直角-斜边）判定法：如果两个直角三角形的一个直角和一个斜边分别相等，则这两个三角形全等。

例子：给定两个直角三角形ABC和DEF，若∠BAC=∠EDF，AB=DE，则可判断三角形ABC和DEF全等。

以上是判定两个三角形全等的五种方法。

下面将介绍如何通过给定条件构造全等的三角形。

1.给定两边和夹角：以一条边为边长，另一条边为夹角的边，在端点处画出一条与给定边相等的线段作为第二条边，然后以给定夹角为顶点画出第三边，两个三角形即构造完成。

全等三角形的判定及性质的综合运用

全等三角形的判定方法
SSS（边边边） SAS（边角边） ASA（角边角） AAS（角角边）
有三边对应相等的两个三角形全等.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
边三有对角两应形角相全和等等它的.们两的个夹一应形有相个全两等角等角的所.和两对及个的其三边中对角
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全等三角形的性质
• 全等三角形的对应边相等 • 全等三角形的对应角相等 • 全等三角形的面积相等 • 全等三角形的周长相等 • 全等三角形对应边上的高相等 • 全等三角形对应边上的中线相等
一.挖掘“隐含条件”判全等二.添条件判全等三.转化“间接条件”判全等
A 解：∵AE=CF(已知)
∴AE－FE=CF－EF(等量减等量，差相等)
即AF=CE
F
B
D E
C
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例、如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交
于点M，AC、BE相交于点N，∠1=∠2，试说明：
（1） △ABE ≌ △ACD （2）AM=AN A
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D
E
M
N
B
C
创造条件！？ 11
总结与反思：
学习目标：
1.较熟练地掌握全等三角形判定方法以及性质在常规习题中的运用。
2.学会利用将一个复杂图形分解成有助于解题的简单图形，以及将这些简单图形在大脑中重新组合成原来的图形。
自主探究1：添条件判全等
• 独立思考以下题目，二分钟后看谁回答的准确
B
如图，已知AD平分∠BAC， A
要使△ABD≌△ACD， • 根据“SAS”需要添加条件 AB=AC ； • 根据“ASA”需要添加条件∠BDA=∠CDA • 根据“AAS”需要添加条件 ∠B=∠C

全等三角形及其应用(含解答)

全等三角形及其应用专题辅导1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；③平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常需要借助全等三角形的知识。

边角边判定全等三角形的实际应用

边角边判定全等三角形的实际应用在生活中，几乎每天都有需要用到数学知识的时刻，虽然很多人一提到数学就感觉要头疼，但今天我们来聊聊一个简单又有趣的话题，那就是“边角边判定全等三角形”。

这个听起来复杂的概念，其实就像是三角形的秘密武器，能帮我们解决许多实际问题。

想象一下，你和朋友们在公园里野餐，突然发现你们的三明治大小不一，想要把它们分得均匀点。

这里就有用了，假如你们把三明治切成三角形，利用边角边判定，能确保每个人的三明治都是相同的。

这听起来是不是挺不错的？只要测量一下三角形的边长和角度，就能判断出它们是否全等。

也就是说，只要两组三角形的两条边和夹着的一个角相等，就能确认这两个三角形一模一样，分的时候也能心里有数，大家都能吃得开开心心。

说到这里，有没有觉得数学也可以这么生活化呢？其实很多时候，数学不仅仅是在课本里的一堆公式，更是在我们的日常生活中不断显现。

比如说，你家里的照片框，如果你想把几幅照片摆放得整齐，那你就需要用到这种三角形的全等关系。

你可以测量照片框的对角线，如果两幅框的对角线和边长都一样，那你就可以放心地把它们放在一起，确保视觉效果非常和谐。

是不是感觉像是让家里变得更加美观的小技巧？再说说建筑设计。

想象一下，建筑师在设计一座大楼，必须确保所有的角度都精准。

如果他们忽略了这个“边角边”的原则，可能会导致建筑不稳，甚至危险。

这种情况下，边角边判定全等三角形就像是建筑师的超级助手，确保每一个细节都做到完美，真是让人佩服！无论是摩天大楼还是小小的鸟屋，都能通过这个原理来保证结构的牢固性。

我们在制作手工艺品的时候，也能用到这个原理。

比如说做一个三角形的纸鹤，只要你确保每个角和边都相等，那你折出来的纸鹤就是一模一样的，真是让人感到成就感满满。

试想一下，一排整齐的纸鹤飞在空中，岂不是美得不得了？这就是数学带给我们的乐趣和美感。

其实边角边判定全等三角形的应用还真不少，无论是在日常生活中还是在一些专业领域，都是一门值得深入研究的知识。