系统稳定性判别方法

再由其传递函数
1,
W ( s ) c( sI A) 1 b s 1 0 1 s 1 1 1 0 0 s 11 s 1s 1 s 1
可见传函的极点在-1处位于左半平面，故系统输出稳定。
李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法是从能量观点进行稳定性分析，当一个系 统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰弱，到达平衡 状态时，能量将得到最小值，那么这个平衡状态是渐进稳定的。 反之，如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个 平衡状态就是不稳定的，如果系统的储能既不增长也不消耗，那 么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。 对于给定的一个系统，如果能找到一个正定的标量函数 V(x)， 根据该函数导数来确定能量随时间的变化。 标量函数的符号性质：设V(x)是向量x的标量函数，且在x=0 处，恒有 V(0)=0，那么在所有定义域中的任何非零向量x， 若 V(x)>0 ，则 V(x) 正定；若V(x)≥0 ，则 V(x) 半正定。若 V(x)<0 ， 则 V(x) 负定；若V(x)≤0 ，则 V(x) 半负定；若 V(x)>0 或 V(x)<0 ， 则V(x)不定
优点： 1 、开环频率响应容易通过计算或实验途径定出，所以它 在应用上非常方便和直观。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 、能解决代数稳定判据不能解决的比如含延迟环节的系 统稳定性问题。
3 、能定量指出系统的稳定储备，即系统的相对稳定性定 量指标，进一步提高和改善系统动态性能。
由伯德图判断系统的稳定性 与乃奎斯特稳定性判据类似，该方法是利用开环系统的伯德图 来判别系统的稳定性，同样也是能够用实验来获得，因此也得到 广泛的应用。 伯德图是系统频率响应的一种图示方法，由幅值图和相角图组 成，两者都按频率的对数分度绘制 判断方法：在开环状态下，特征方程有 P 个根在右半平面内。 此时，在L（ω ）≥0的范围内，相频特性曲线ɸ（ω）在-π线上正、 负穿越次数只差为P/2次，则闭环系统是稳定的。 分别用N+和N-表示正穿越次数和负穿越次数,则N=N+-N-。判据 的结论是Z=P－2N，且Z=0时闭环系统稳定，Z≠0时闭环系统不 稳定。由于频率响应的幅值对数图和相角图易于绘制，因此对数 频率响应稳定判据应用更广。
jω
j 2
K1=6
-2
-1
×
×
a
60 -0.423 ° × σ 60°
K1=6
j 2
q 1, a 180
李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫稳定性方法 李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第一法是通过求解系统微分方程，然后根据解的性 质来判定系统的稳定性，其基本思路与经典控制理论一致。 对于线性定常系统来说
根轨迹的基本概念
一．举例说明根轨迹的概念
C (S ) K 2 R( S ) S S K
R(S)

K S ( S 1)
C(S)
特征方程 S 2 S K 0 的根为
1 1 S1 1 4 K 2 2
，
1 1 S2 1 4K 2 2
当K=0时，S1=0，S2=-1
c1 c2 c3
b1a3 a1b 2 b1 b1a5 a1b3 b1 b1a 7 a1b 4 b1
......
b3
......
s2 u1 u2 s1 v1 若某行第一个元素为 0，则用一个趋于0的数ε代 s 替 s0 w1 若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次 数等于在右半平面上根的个数。 优点：不必求解方程，方便系统的稳定性的判断。不但可以判别 绝对稳定性还可以判别相对稳定性。 应用领域：分析系统参数对稳定性的影响。
sn sn-1 sn-2 sn-3
......
a0 a1 b1 c0
......
a2 a3 b2 c2
......
a4 a6 ..... a5 a7 ....... b4 b6 ....... c4 c6 ........
......
a1a 2 a 0a3 b1 a1 a1a 4 a 0a5 b2 a1
G(S ) K S ( S 1)
三．根轨迹的分支数
根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。
四．实轴上的根轨迹
在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零 点和开环极点数目之和为奇数。
五．根轨迹的渐近线
１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
a
(2q 1)180 nm
例： G ( S ) H ( S )
K1 求根轨迹 S ( S 1)(S 2)
解：①在Ｓ平面中确定开 环零、极点的位置。 ②确定实轴上的根轨 迹。 ③n=3,m=0,应有三个分 支，并且都趋向无穷远 处。 ④确定渐近线的位置．
p1 p2 p3 0 1 2 1 nm 30 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 q 0, a 60
相同 G s

M s N s
相同 M s N s
N s
极点
作图方法： 1、写出幅频特性|G（jω ）|和相频特性 G（jω ）表达式。 2、求出ω =0和ω →∞时的G（jω ）。 3、求乃氏图与实轴虚轴的交点。 4、必要时画几点中间的，并勾勒大致曲线
1 、奈奎斯特稳定判据的基本形式表明，如果系统开环传递函数 G(s)在s复数平面的虚轴jω 上既无极点又无零点，那么有 Z=P-N P是开环传递函数在右半s平面上的极点数。 N是当角频率由ω =0变化到 ω =+∞时 G（jω ）的轨迹沿逆时针 方向围绕实轴上点 (-1 ，j0) 的次数。如果 Z=0 ，则闭环控制系统 稳定；Z≠0，则闭环控制系统不稳定。
令开环增益Ｋ从０变化到∞，用解 析方法求不同Ｋ所对应的特征根的值， 将这些值标在Ｓ平面上，并连成光滑的 粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头 表示随着Ｋ值的增加，根轨迹的变化趋 势。
jω ∞
K
K=0 × -1
K
K=0.25 K=0 ×
σ
∞
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: １.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对 所有的Ｋ值都是稳定的。 ２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所 以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
GK s
M s N s 则 零点 零点 F s 极点 零点 零点 1 G s H s 极点 零点
M s GK s G s H s GB s F s N s
GB s
1 G s H s
绘制根轨迹的基本规则
绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一 些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们 更准确、更迅速的绘制根轨迹。
一．根轨迹的对称性
实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为 实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴。
二．根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点对应于 K1 0 时特征根在Ｓ平面上 的分布位置，而根轨迹的终点则对应于 K1 时， 特征根在Ｓ平面上的分布位置。
幅值条件改写
jω ∞
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
K
( s pi )
当 K1 0 ，必有Ｓ＝
1 K1
K=0 × -1
K
K=0.25 K=0 ×
σ
pi
，即起点是开环极点。
∞
当 K1 ，必有Ｓ＝
zj
，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处 起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋 于无穷远处。 举例如题， ，起点：０，－１，无零点，n=２， m=0，n－m=2，有两条根轨迹→∞
......
0
0
......
.... .... ....
0 .... .... an-1 0 0 .... .... an-2 an
......
优点：规律简单明确，使用方便 缺点：对高阶系统，计算行列式较复杂 此外，劳斯稳定性判据和赫尔维兹稳定性判据还有一个共同的 缺点就是：无法解决带延迟环节的系统稳定性判定。
Ax bu x
y cx 平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件就是矩阵A所有特征值均 具有负实部，这里所说的是系统的状态稳定性，而对于输出稳定 性来说，其稳定的充要条件是其传递函数
平面。
W (s) c(sI A) b
1
的极点全部位于s的左半
该方法能解决线性定常和非线性定常系统的稳定性分析，但不 能延伸至时变系统的分析。
......
n
a1a 6 a 0a 7 a1
赫尔维兹稳定性判据
先依据特征方程写出Δ a1 a3 a5 ..... a0 a2 a4 Δ=
.......
0 0
系统稳定的充分必要条件： 主行列式Δ n及其对角线上各子行列 式Δ 1，Δ 2，Δ 3，Δ 4......Δ n-1均具有正 值
0 a1 a3 ..... 0 0 a0 a2 ..... 0 0 0
2、当开环传递函数 G(s)在s复数平面的虚轴上存在极点或零点时 当遇到位于虚轴上G(s)的极点（图中用×表示）时，要用半径 很小的半圆从右侧绕过。Z=P-2N
带有延迟环节时的系统稳定。
Gk (s) G1 (s)e
幅频特性 相频特性
s
| GK ( j) || G1 ( j) |
Gk ( j) G1 ( j)
优点： 1 、可以将幅值相乘转化为幅值相加，便于绘制由多个环 节串联组成的系统的对数频率特性图。 2 、可采用渐近线近似作图方法绘制对数幅频图，简单方 便。 3、有效扩展了频率范围，尤其是低频段。（指数增长）
根轨迹法
控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态 响应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在Ｓ平面 上分布的位置有关。 决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚 这些根在Ｓ平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握 了系统的基本特性。 为此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根轨迹 法，令开环函数的一个参数——开环增益Ｋ（或另一个感兴 趣的参数）从０变化到∞，与此对应，特征方程的根，便在 Ｓ平面上描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。 根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法，它已发 展成为经典控制理论中最基本的方法之一。
系统稳定性的基本概念： 如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当 扰动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能以一定的精 度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这 个系统是不稳定的。
稳定性判别方法： 1、劳斯稳定性判据 2、赫尔维兹稳定性判据 3、乃奎斯特稳定性判据
4、由伯德图判断系统的稳定性
乃奎斯特稳定性判据
乃奎斯特稳定性判据是根据闭环控制系统的开环频率响应判断闭 环系统稳定性，本质上是一种图解分析方法。
闭环传递函数： 开环传递函数：
G s GB s 1 G s H s
GK s G s H s
特征方程： F 若
s 1 G s H s
5、根轨迹法 6、李雅普诺夫稳定性方法
劳斯稳定性判据 代数稳定性判据 赫尔维兹稳定性判据
劳斯稳定性判据是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程 式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性. 判断依据：1、特征方程的各项系数都不等于0； 2、特征方程各项系数符号相同；
3、劳斯表的第一列是否均大于零。
q 1,2, …，（n-m-1)
当 q 0 时，求得的渐近线倾角最小，
q 增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线
只有（n－m）条．
２.渐近线与实轴的交点
a
p
i 1
n
i
zj
j 1
m
nm
渐近线的交点总在实轴上，即 a 必为实数．在计 算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相 互抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可．
且只能解决非线性不是很严重的系统，将其线性化处理，取其 近似的线性方程来判断稳定性。
例：设系统的状态空间表达式为：
1 0 1 x 0 1 x 1 u y 1 0x
试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。
I A ( 1)( 1) 0 1 1, 2 故系统不是渐进稳定的。