系统稳定性判别方法
由特征值的估计判断系统稳定性的方法 - 济南大学
由特征值的估计判断系统稳定性徐文敏学院：控制科学与工程学院专业：控制理论与控制工程学号：2009010206摘要：利用矩阵理论对系统的可行性和稳定性进行分析在工程当中具有非常重要的指导意义。
稳定是控制系统正常工作的首要条件, 也是控制系统的一个重要性能。
而控制系统稳定性的充要条件是其特征根均需具有负实部, 因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根, 并检验所求的根是否具有负实部的问题。
但对于3阶以上的系统, 要求解其特征方程式并非一件容易的事,而利矩阵理论中矩阵特征值的估计方法,只要判断系统方程特征值是否全部落在复平面的左半部分就可判断系统是否稳定，这样可以有效的避免设计的盲目性。
本文从矩阵理论的角度出发,利用矩阵特征值的估计,对系统设计的可行性和稳定性进行分析的方法。
一.所研究的问题自动控制,是指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置,使机器、设备或生产过程的某个工作状态或参数自动地按照预定的规律运行。
例如，无人驾驶飞机按照预定的飞行航线自动升降和飞行，这是典型的自动控制技术应用的结果。
对于一个自动控制系统的性能要求可以概括为三个方面：稳定性、快速性和准确性。
一个自动控制系统的最基本的要求是系统必须是稳定的，不稳定的控制系统是不能工作的；在系统稳定的前提下，希望控制过程(过渡过程)进行得越快越好；准确性即要求动态误差和稳态误差都越小越好。
所以在设计自动控制系统时，对系统稳定性的估计就显得十分重要。
如何判断系统是稳定的，有很多稳定性的判据，如劳斯稳定判据、赫尔维茨稳定判据、奈奎斯特稳定判据、李雅普诺夫稳定判据等；线性系统理论中主要是李亚普诺夫判据的应用。
李雅普诺夫稳定判据是通过系统的系统矩阵，判断系统矩阵的特征值实部的正负，判断系统是否稳定。
若系统矩阵的所有特征值均具有非正（负或零）实部，则系统稳定；否则系统不稳定。
二.基本概念1.特征值的估计矩阵特征值可以用复平面上的点来表示.当矩阵的阶数较高时,计算他的特征值一边比较困难,而对他的特征值的位置给出一个范围就是特征值的估计问题.2.线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性判据对于线性时不变系统.x Ax Bu，如果系统矩阵A的特征值具有非正实部实部为零或负，则系统稳定。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
lim c (t) lim c (1 )(t) L lim c (n 1 )(t) 0
t t
t
(3.60)
则称系统(3.58)是稳定的。
为了决定系统的稳定性，可求出式(3.59)的解。由数学 分析知道，式(3.59)的特征方程式为
a n sn a n 1 sn 1 L a 1 s a 0 0
(a) 稳定的(b) 不稳定的来自图3-31 圆锥体的稳定性
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后， 偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返 回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
设系统在初始条件为零时，在单位理想脉冲作用下， 这时系统的脉冲响应为c(t)。若t ∞时，脉冲响应
limc(t) 0
一、稳定性的概念
稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。 考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一 个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用 力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。 而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保 持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就 会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
则稳态响应也必定是有界的。则系统稳定性可以归结为，系统在 任何一个有界输入的作用下，其输出是否有界的问题。
一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输 出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又 简称为BIBO稳定。
线性系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置来 确定。设单输入单输出线性系统的微分方程为，即
图3-32 根平面
表3.4列举了几个简单系统稳定性的例子。需要指出 的是，对于线性定常系统，由于系统特征方程根是由特征 方程的结构（即方程的阶数）和系数决定的，因此系统的 稳定性与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参 数决定。
稳定性判别方法
§ 5.3 稳定性判别方法1. 线性定常系统的稳定性判别 定理5.6 设()()x x =t A t . (5.11)则(i)平衡点稳定⇔ A 的所有特征值的实部非正, 且实部为零的特征值对应着一阶约当块； (ii)平衡点渐近稳定⇔ A 的所有特征值实部为负. 证 (i)因是线性系统,只需证明平衡点e x 0=的稳定性.设 11m J T AT J J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(注:与能控标准变换不同) 其中,1,2,i J i m =为约当块，则111000e ()e e e m J tAt Jt J t x t x T T x T T x --⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而ei J t的非零元素形如e i t λ或e i i k t t λi i i j λαβ=+−−−−→e i i t j tαβ+或ei i i k t j tt αβ+i k ≤约当块阶数减1.如10i J λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 则 1211111()e010i J ts s s s s λλλλλ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎛⎫--⎢⎥ ⎪==⎢⎥⎪-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦L L ee 0e tttt λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若0i α<. 则lim e0i i i k t j tt t αβ+→+∞=→ei i i k t j tt αβ+有界；若0i α=且对应一阶约当块→e i j tβ也有界.故有K > 0， 使e,0AtK t ≤≥.其中ijija∑对0ε∀>，取/K δε=. 当00x δ-<时. 有00()e Atx t x K x ε=≤<,故稳定；(ii)若全为0i α<, 则全lim e0i i i k t j tt t αβ+→+∞=→渐近稳定.例5.1 设系统矩阵分别如下：010101(1);(2);(3)000212A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 试判别e x 0=的稳定性. 解(1) 由2()λλ∆=, 得0λ=(2重), e x 0=不稳定. (2) 由()(2)λλλ∆=+, 得120λ=-<和20λ=, 因20λ=对应一阶约当块→e x 0=是稳定的.(3) 由2()(1)λλ∆=+,得1,210λ=-< e x 0=渐近稳定.若3n ≥, 常用Hurwitz 判别法(介绍).定理5.7 常系数n 次代数方程101100,(0)n n n n a a a a a λλλ--++++=>的所有根的具有负实部⇔下列不等式同时成立：1101123321325430,0,0,a a a a a a a a a a a a a ∆∆∆=>=>=> 1031021222324000200n n n n nna a a a a a a a a a a ∆----=>.其中12210n n n a a a ++-====.例5.2 验证系统矩阵为211110111A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦时, e x 0=是渐近稳定的. 证 由320211||11453,111(10)I A a λλλλλλλ+--=-+=+++--+=>.得 00a > 及1140,a∆==>10 23241170, 35a aa a∆===>332510,a∆∆==>由Hurwitz判别法→所有特征值有负实部→渐近稳定. 对非线性系统, 常用李雅普诺夫判别法.2. 稳定性的李雅普诺夫判别法(介绍)(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似) 设n 维非线性系统为()()(),x t F x t t =, (,)0e F x t = (5.12)且n 维向量函数(),F x t 对x 有连续偏导. 将(),F x t 在e x 处展成泰勒级数, 得()[()]ee e Tx x F x x x R x x x=∂=-+-∂. (5.13)其中[]R ⋅为e x x -的高阶项, 而111122221212n n T nn n n f f f x x x f f f F x x x x f f f x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂⎢⎥∂∂∂=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦称为雅可比矩阵.令e x x x =-和eT x x F A x =∂=∂, 得线性化方程：x Ax =. (5.14)李雅普诺夫给出下述结论：(i) 若A 的所有特征值实部为负,则系统在平衡点e x 是渐近稳定的, 且与[]R ⋅无关；(ii) 若A 的特征值中有一个具有正实部,则系统在平衡点e x 是不稳定的；(iii)若A 的特征值中有一个实部为零,则系统在平衡点e x 的稳定性与[]R ⋅有关.例5.3 设非线性系统为11122212,,x x x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 试判平衡点[]00Te x =的稳定性.解 由0e x =处的雅可比矩阵为 21210110101x x x A x x =--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦, 得121,1λλ=-= 在0e x =处不稳定.(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)若系统能量随时而衰, 则稳定.如 ()()()my t ky t y t μ'''=--1,1,1m k μ===−−−−−→()()()0y t y t y t '''++= → 12(),(),x y x y ='=位置速度→11220111x x x x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这是一个在0e x =处稳定的系统.作一个”能量”函数221212((),())()()0V x t x t x t x t =+>,(正定)则 (势能, 动能) k yμm平衡线112222t V x x x x '''=+−−−−−→代入系统方程22()20V t x '=-<12(,)V x x 单调递减趋于0(因(0,0)0.V =且连续)这样的12(,)V x x 就称为李雅普诺夫函数.对一般系统, 设法构造如此标量函数()0V x >. 下面给出一般标量函数的正定、负定等概念. 设标量函数(),nV x x R ∈且(0)0V =.若对任意0x ≠, 有(i) ()0(0)V x >≥, 则称()V x 是正定的(半正定的)； (ii) ()0(0)V x <≤, 则称()V x 是负定的(半负定的)； (iii) 有()0V x >、也有()0V x <, 则称()V x 是不定的.()V x 根据系统方程, 常取为x 的二次型函数, 即()T V x x Px =.P 是实对称矩阵, 此时()V x 的正、负定性与P 一致. 而P 的正定性由其主子行列式为正负来判定 如 2112()()V x x x =-+是半负定的；222123()()V x x x x =++是半正定的.下面介绍主要结果.定理5.8 设系统为 ()0()(),,x t F x t t t t =≥. (5.15)0e x =是其平衡点.若存在标量函数()V x (具有连续的一阶偏导数), 满足 (i) ()V x 是正定的；(ii)沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的.则平衡点0e x =是稳定的.定理5.9 设系统为(5.15), 平衡点为0e x =. 若有标量函数()V x (具有连续的一阶偏导), 满足 (i) ()V x 是正定的；(ii) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是负定的；或者 (ii ’) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的,且对0()0x t ∀≠来说,()V x 不恒为零,则平衡点0e x =是渐近稳定的.进一步, 若当x →+∞时, 有()V x →+∞, 则平衡点0e x =是全局渐近稳定的.注 对(ii ’)的说明.由于()V x 为半负定, 所以在0x ≠时, 或许有()0V x =, 可能会出现下图5.5的两种情形：2x 0x 2x 0x定理 5.10系统方程、平衡点同定理 5.9中假设相同.若标量函数()V x(具有连续的一阶偏导).满足V x是正定的；(i) ()V x也是正定的；(ii)沿着状态方程(5.15)计算的()则平衡点0e x =是不稳定的.注 上述定理条件是充分的.例5.4 设非线性系统为22121122221212()()x x x x x x x x x x ⎧=-+⎪⎨=--+⎪⎩. 试分析稳定性.解 由(,)0F x t =, 得0e x =是其唯一的平衡点.构造2212()V x x x =+.是正定的. 对()V x 关于t 求导, 得12112212d d ()22d d x x V V V x x x x x x t x t∂∂=+=+∂∂. 代入状态方程得22212()2()V xx x =-+→负定→()V x 为一李雅普诺夫函数,且当x →+∞时, 有()V x →+∞→0x=为全局渐近稳定(而且是一致的).e对线性定常系统, 有定理5.11设线性定常系统为x t Ax t=,()()x=是渐近稳定的←→则平衡点0e对任意正定阵Q, 矩阵方程T+=-(李雅普诺夫方程) (5.16)A P PA Q有唯一正定阵解P.由于必要性证明涉及过多知识, 故只证充分性. 证(充分性)由0Q ∀>, 0P ∃>满足(5.16), 作()TV x x Px =.对t 求导且将系统方程代入, 得 ()()()()T T T T T T T V x x Px x Px Ax Px x P Ax x A P PA x x Qx =+=+=+=-，.→()V x 负定,且当x →+∞时,有()V x →+∞, →平衡点0e x =为全局渐近稳定(且一致).(注: 实用中, 渐近稳定为主要特性)例5.5 设系统为01()()23x t x t ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦. 试分析0e x =的稳定性.解 设1112212210,,01p p Q P p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 代入矩阵方程(5.16)式, 得1112111221222122020110132301p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 展开并令对应元素相等, 得唯一解511411P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 它的各主子式行列式12510,044∆=>∆=>. →P 正定→0e x =是渐近稳定.且系统是线性定常的 所有平衡点是一致全局渐近稳定. 注(1) 正定阵Q的选择尽可能简单.Q>, 矩阵方程(5.16)无解,(2) 若对某0x=不是渐近稳定的.则平衡点0e(3) 可以证明: 对线性定常系统,x=是渐近稳定的,则系统必为BIBO稳定. 若平衡点0e即()()x t Ax t =渐近稳定→()()()()()x t Ax t Bu t y t Cu t =+⎧⎨=⎩BIBO 稳定 反之不一定. 如[]101,,10010A B C -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→1()1G s s =+ 则()()()Y s G s U s =是BIBO 稳定, 但x Ax '=是不稳定的.。
第七章 (2)系统稳定性
an 1 an 3 cn 1 cn 3 d n 1 = cn 1
d n 3
an 1 an 5 cn 1 cn 5 = cn 1
罗斯准则: 罗斯准则:多项式 A(s) 是霍尔维兹多项 式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大 式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大 于零. 于零. **在排表过程中,任何一行的系数可以同乘以( **在排表过程中,任何一行的系数可以同乘以(或 在排表过程中 除以)某个正数而不会改变判别结果. 除以)某个正数而不会改变判别结果.
1 2 c2 d2
3 2 c0 d0
1 3 1 c2 = =2 2 2 2 1 d2 = =2 2 2 0 2 2
1 0 1 c0 = =0 2 2 0 1 d0 = =0 2 0 0 2 0
k = ∞
∑ h( k ) ≤ M
+∞
式中M为正常数. 式中M为正常数.
**系统函数的收敛域包含单位圆,该系统为稳定的. 系统函数的收敛域包含单位圆,该系统为稳定的. 系统函数的收敛域包含单位圆
7.2如图7.2 所示因果反馈系统, 7.2因果反馈系统 例7.2-1 如图7.2-3所示因果反馈系统,子系统的 系统函数 1
2 对于二阶系统 A(s) = a2s + a1s + a0
1 2 3
a2 a1 a0
a0 0 0
只需 a2 > 0, a1 > 0, a0 > 0 即可. 即可.
A(s) = s2 + 3s + 2 K 在例7.2 7.2在例7.2-1中
利用上式容易求得该系统为稳定系统的条件为
K<2
7.2例7.2-3 判别多项式 A(s) = s4 + s3 + 3s2 + s + 6 是否为霍尔维兹多项式. 是否为霍尔维兹多项式. 排成罗斯阵列如下: 解 排成罗斯阵列如下:
离散时间系统状态稳定性及判别法
§ 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +===(5.17)称=e Ax 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态(点)的稳定性(1)稳定：∀>∃>0,0εδ,使当-<e x x 0δ时,有-<≥e x k x k (),0ε；(2)渐近稳定：∃>0δ,使当-<e x x 0δ时,有→∞-=e k x k x lim ()0；(3)全局渐近稳定：任意∈nx 0R ,都有→∞-=e k x k x lim ()0；(4)不稳定：∃>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使->e x k x 10()ε对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定. 3.稳定性判别对定常系统(1)()x k Ax k +=若0e x =稳定(渐近稳定)，则其它e x 也稳定(渐近稳定)；若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定；简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解==kx k A x k 0(),0,1,2,则渐近稳定⇔→∞→∞-==kk k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),⇔→∞=k k A lim 0⇔-→∞=k k TJ T1lim 0⇔→∞=kk J lim 0⇔A 的所有特征值的模全小于1⇔A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内. 其中J为A的若当形.如11......k kkkr r J JJJ J⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且再如11221111001000000k k kkk kk k kkkC CJ Cλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⇔A 的所有特征值的模全小于1⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.例 设A 有互不相同特征值n 12,,,λλλ, 则T , 使⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦kk kkk n n A T T T T 112-1-12λλλλλλ 由此可得→∞<=⇔==ki i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,,λλ→∞⇔=kk A lim 0.定理5.12 系统为(5.17)的稳定性判定如下：(i) 0e x =稳定⇔A 所有特征值的模全小于1或等于1,且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的； (ii) 0e x =渐近稳定⇔A 的所有特征值模全小于1. 对一般非线性系统+==x k F x k k (1)(()),0,1,2,(5.18)在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有定理5.13 对(5.18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足 (i) V x k (())为正定；(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定； (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((()). 则=e x 0全局渐近稳定的.若无(iii), 则=e x 0是渐近稳定的；再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅是稳定的. 定理用于定常系统(5.17), 即得定理5.14 线性定常离散(5.17)的=e x 0为渐近稳定⇔对∀Q > 0, 李雅普诺夫方程-=-TA PA P Q有唯一正定解P . 证只证充分性,即已有对∀Q > 0, -=-TA PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k kk V x x Px (), 则有+++=-=-T T k k k k k kk V x V x V x x Px x Px 111()()()∆=-=-T TT kk kk x A PA P x x Qx (),显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定.例5.6 设⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦a x k x kb 0(1)()0 试分析稳定的条件.解 选Q = I , 则有-=-TA PA P I , 即 -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211122122212200100001整理且比较, 得,1)1(,0)1(,1)1(22212211=-=-=-b p ab p a p 要P 为正定, 需满足<<a b ||1,||1, (5.19)解出===--p p p ab1112222211,0,11, =e x 0一致全局渐近稳定.实质上：<<a b ||1,||1⇔所有特征值的模全小于1.。
K1.18 连续系统稳定性判别
知识点K1.18连续系统稳定性判别主要内容：连续系统的稳定判据基本要求：1.掌握连续系统稳定的充要条件2.连续系统的稳定性判据方法K1.18 连续系统稳定性判别1.连续系统稳定的充分必要条件是|()|h t dt M-∞-∞≤⎰若H (s )的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。
2.连续因果系统稳定的充分必要条件是|()|h t dt M -∞≤⎰系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数，故，若H (s )的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的3. 稳定系统的 S 域判别方法：)()()(s A s B s H =111)(a s a sa s a s A n n n n +++=-- 若系统稳定，则，，，，，，＞n i a i 2100=(1) 必要条件：(2) 充分必要条件：罗斯阵列：0111a s a sa sa A n n nn n ++++=-- ( R—H 排列 )42--n n na a a 1.531---n n n a a a 2.531---n n n c c c 3. 531---n n n d d d 5.n+1行n+2行第3行及以后各行计算公式：，，514133121111-----------=-=n n n n n n n n n n n n a a a a a c a a a a a c，，51511331311111-------------=-=n n n n n n n n n n n n c c a a c d c c a a c d罗斯——霍尔维茨准则 ( R—H 准则 )：若罗斯阵列的第一列元素 ( 第一行至n+1行 ) 的符号相同 ( 全为 “+”号或全为 “-”号 )，则 H (s ) 的极点全部在左半平面，系统稳定。
例1 25412)(23++++=s s s s s H 判别系统稳定性。
解：罗斯阵列：.3210041，，，，＞，==+i a n i 245141-40141-05.4245.41-5.4045.41-5124512405.4020第一列元素全为正，故系统稳定。
自动控制原理总结之判断系统稳定性方法
判断系稳定性的方法一、 稳定性判据（时域）1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正； 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；21231425310000000000000000a a a a a a a a a a a a a n nn n n n n n n n n当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即00031425313231211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a则方程无正根，系统稳定。
赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。
例；若已知系统的特征方程为0516188234 s s s s试判断系统是否稳定。
解：系统特征方程的各项系数均为正数。
根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。
5181016800518100168由△得各阶子行列式；8690017281685181016801281811680884321各阶子行列式都大于零，故系统稳定。
2、 劳思判据（1）劳思判据充要条件：A 、系统特征方程的各项系数均大于零，即a i >0；B 、劳思计算表第一列各项符号皆相同。
满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。
（2）劳思计算表的求法：A 、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：111212432134321275311642w s v s u u s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s n n n n n n n n n n n nB 、计算劳思表176131541213211 n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。
系统的稳定性 常见判据
s s s
i
n
j k
,
s s i j i j i 1, j 2 n a0 n ( 1) si an i 1 an 2 an
n
系统稳定的必要条件： 各系数同号且不为零 或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
二、Routh （劳斯）稳定判据
2. 系统稳定的充要条件
n n1 D ( s ) a s a s a1 s a0 0 特征方程： n n1
Routh 表：
s
n
an
an 2 an 3 A2 B2 D2
an 4 an 5 A3 B3
an 6 an 7 A4 B4
其中：
一、系统的稳定性与稳定条件
1. 系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→ 平衡位置
→（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启…… ① 随动：活塞跟随阀芯运动 ② 惯性：引起振荡 ③ 振荡结果： ③ 增幅振荡 ① 减幅振荡 ② 等幅振荡 （收敛，稳定） （临界稳定） （发散，不稳定）
例2 已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。 系统开环传递函数：
2 n (s K ) Xo( s ) GK ( s ) 2 E ( s) s ( s 2n )
系统闭环传递函数： 特征方程：
3
2 X o ( s) n (s K ) GB ( s ) 3 2 2 X i ( s ) s 2n s 2 n s K n
“信号与系统”中系统稳定性分析
“信号与系统”中系统稳定性分析巩亚楠 魏德旺 刘俊良 李淑晴 吕海燕*(临沂大学 山东临沂 276000)摘要：“信号与系统”是电子信息类本科阶段的专业基础课。
在学习的过程中，很多同学只是记住知识点，不明白它们之间的逻辑关系，不会灵活运用。
该文旨在利用思维导图的方式对系统稳定性分析方法进行总结，描述了连续时间系统和离散时间系统的稳定性，对每个系统提出了两种分析方法，即时域分析法和变换域分析法，对两种方法的具体分析过程做出了详细的说明，并对系统稳定性给出了4种判别方法。
借助思维导图，帮助学生更好地理解知识，充分调动学生学习的积极性。
关键词：信号与系统 思维导图 系统稳定性分析 连续时间系统 离散时间系统中图分类号：G64文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2023)18-0078-04 Analysis of the System Stability in "Signals and Systems"GONG Yanan WEI Dewang LIU Junliang LI Shuqing LYU Haiyan*(Linyi University, Linyi, Shandong Province, 276000 China) Abstract:"Signals and systems" i s a professional basic course of the undergraduate level of electronic information. In the process of learning, many students just remember knowledge points, but they don't understand the logic rela‐tionship among them and cannot use them freely. This paper aims to summarize the analytical method of the system stability by mind mapping, describes the stability of the continuous-time system and the discrete-time system, puts forward two analytical methods for each system, namely the time-domain analysis method and the transform-domain analysis method, explains in detail the specific analytical process of the two methods, and also presents four discriminant methods for the system stability. With the help of mind mapping, students can better comprehend knowledge and fully mobilize their enthusiasm for learning.Key Words: Signals and Systems; Mind mapping; System stability analysis; Continuous-time system; Discrete-time system1 “信号与系统”课程地位“信号与系统”作为信息、电子、自控、通信等专业的专业基础课，是为后续数字信号处理、数字图像处理、通信原理、自动控制等课程的学习打下基础，“信号与系统分析”被认为是一门理解困难、计算繁杂、偏理论模型的课程。
现代机械控制工程 第五章 系统的稳定性
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。
劳斯稳定判据的判别过程如下：
n列出劳斯阵列 s a0 a2 sn-1 a1 a3 sn-2 b1 b2 sn-3 c1 c2 sn-4 d1 d2 …… s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
a1a2 a0a3 b1 a1 b2
K 0 6 5 K 0
即：当0<K<30时系统稳定。
例2：单位反馈系统的开环传递函数为：
K ( s 1) G( s) s(Ts 1)(5s 1)
求系统稳定时K和T的取值范围。 解：系统闭环特征方程为：
5Ts3 (5 T )s 2 (1 K )s K 0
系统稳定条件为：
T 0 K 0 (5 T )(1 K ) 5TK 0
T 0 5T 0 K 4T 5
劳斯阵列的特殊情况 劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于 零，但其余各项不等于零或不全为零。 处理方法：用一个很小的正数 代替该行第 一列的零，并据此计算出阵列中的其余 各项。然后令 0，按前述方法进行判别。 如果零( )上下两项的符号相同，则系统存在 一对虚根，处于临界稳定状态；如果零 ( )上 下两项的符号不同，则表明有一 个符号变化，系统不稳定。
e t (a1 a2t ar t r 1)
当- < 0时，该输出分量指数单调衰减。 当- > 0时，该输出分量指数单调递增。 当- = 0时，该输出分量多项式递增。 对于一对r重复根-+j，相应的时域分量为：
e t (b1 b2t br t r 1 ) cos t (c1 c2t cr t r 1 ) sin t e t
稳定性判别方法
§ 5.3 稳定性判别方法1. 线性定常系统的稳定性判别 定理5.6 设()()x x =t A t . (5.11)则(i)平衡点稳定⇔ A 的所有特征值的实部非正, 且实部为零的特征值对应着一阶约当块； (ii)平衡点渐近稳定⇔ A 的所有特征值实部为负. 证 (i)因是线性系统,只需证明平衡点e x 0=的稳定性.设 11m J T AT J J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(注:与能控标准变换不同) 其中,1,2,i J i m =为约当块，则111000e ()e e e m J tAt Jt J t x t x T T x T T x --⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而ei J t的非零元素形如e i t λ或e i i k t t λi i i j λαβ=+−−−−→e i i t j tαβ+或ei i i k t j tt αβ+i k ≤约当块阶数减1.如10i J λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 则 1211111()e010i J ts s s s s λλλλλ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎛⎫--⎢⎥ ⎪==⎢⎥⎪-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦L L ee 0e tttt λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若0i α<. 则lim e0i i i k t j tt t αβ+→+∞=→ei i i k t j tt αβ+有界；若0i α=且对应一阶约当块→e i j tβ也有界.故有K > 0， 使e,0AtK t ≤≥.其中ijija∑对0ε∀>，取/K δε=. 当00x δ-<时. 有00()e Atx t x K x ε=≤<,故稳定；(ii)若全为0i α<, 则全lim e0i i i k t j tt t αβ+→+∞=→渐近稳定.例5.1 设系统矩阵分别如下：010101(1);(2);(3)000212A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 试判别e x 0=的稳定性. 解(1) 由2()λλ∆=, 得0λ=(2重), e x 0=不稳定. (2) 由()(2)λλλ∆=+, 得120λ=-<和20λ=, 因20λ=对应一阶约当块→e x 0=是稳定的.(3) 由2()(1)λλ∆=+,得1,210λ=-< e x 0=渐近稳定.若3n ≥, 常用Hurwitz 判别法(介绍).定理5.7 常系数n 次代数方程101100,(0)n n n n a a a a a λλλ--++++=>的所有根的具有负实部⇔下列不等式同时成立：1101123321325430,0,0,a a a a a a a a a a a a a ∆∆∆=>=>=> 1031021222324000200n n n n nna a a a a a a a a a a ∆----=>.其中12210n n n a a a ++-====.例5.2 验证系统矩阵为211110111A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦时, e x 0=是渐近稳定的. 证 由320211||11453,111(10)I A a λλλλλλλ+--=-+=+++--+=>.得 00a > 及1140,a∆==>10 23241170, 35a aa a∆===>332510,a∆∆==>由Hurwitz判别法→所有特征值有负实部→渐近稳定. 对非线性系统, 常用李雅普诺夫判别法.2. 稳定性的李雅普诺夫判别法(介绍)(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似) 设n 维非线性系统为()()(),x t F x t t =, (,)0e F x t = (5.12)且n 维向量函数(),F x t 对x 有连续偏导. 将(),F x t 在e x 处展成泰勒级数, 得()[()]ee e Tx x F x x x R x x x=∂=-+-∂. (5.13)其中[]R ⋅为e x x -的高阶项, 而111122221212n n T nn n n f f f x x x f f f F x x x x f f f x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂⎢⎥∂∂∂=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦称为雅可比矩阵.令e x x x =-和eT x x F A x =∂=∂, 得线性化方程：x Ax =. (5.14)李雅普诺夫给出下述结论：(i) 若A 的所有特征值实部为负,则系统在平衡点e x 是渐近稳定的, 且与[]R ⋅无关；(ii) 若A 的特征值中有一个具有正实部,则系统在平衡点e x 是不稳定的；(iii)若A 的特征值中有一个实部为零,则系统在平衡点e x 的稳定性与[]R ⋅有关.例5.3 设非线性系统为11122212,,x x x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 试判平衡点[]00Te x =的稳定性.解 由0e x =处的雅可比矩阵为 21210110101x x x A x x =--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦, 得121,1λλ=-= 在0e x =处不稳定.(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)若系统能量随时而衰, 则稳定.如 ()()()my t ky t y t μ'''=--1,1,1m k μ===−−−−−→()()()0y t y t y t '''++= → 12(),(),x y x y ='=位置速度→11220111x x x x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这是一个在0e x =处稳定的系统.作一个”能量”函数221212((),())()()0V x t x t x t x t =+>,(正定)则 (势能, 动能) k yμm平衡线112222t V x x x x '''=+−−−−−→代入系统方程22()20V t x '=-<12(,)V x x 单调递减趋于0(因(0,0)0.V =且连续)这样的12(,)V x x 就称为李雅普诺夫函数.对一般系统, 设法构造如此标量函数()0V x >. 下面给出一般标量函数的正定、负定等概念. 设标量函数(),nV x x R ∈且(0)0V =.若对任意0x ≠, 有(i) ()0(0)V x >≥, 则称()V x 是正定的(半正定的)； (ii) ()0(0)V x <≤, 则称()V x 是负定的(半负定的)； (iii) 有()0V x >、也有()0V x <, 则称()V x 是不定的.()V x 根据系统方程, 常取为x 的二次型函数, 即()T V x x Px =.P 是实对称矩阵, 此时()V x 的正、负定性与P 一致. 而P 的正定性由其主子行列式为正负来判定 如 2112()()V x x x =-+是半负定的；222123()()V x x x x =++是半正定的.下面介绍主要结果.定理5.8 设系统为 ()0()(),,x t F x t t t t =≥. (5.15)0e x =是其平衡点.若存在标量函数()V x (具有连续的一阶偏导数), 满足 (i) ()V x 是正定的；(ii)沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的.则平衡点0e x =是稳定的.定理5.9 设系统为(5.15), 平衡点为0e x =. 若有标量函数()V x (具有连续的一阶偏导), 满足 (i) ()V x 是正定的；(ii) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是负定的；或者 (ii ’) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的,且对0()0x t ∀≠来说,()V x 不恒为零,则平衡点0e x =是渐近稳定的.进一步, 若当x →+∞时, 有()V x →+∞, 则平衡点0e x =是全局渐近稳定的.注 对(ii ’)的说明.由于()V x 为半负定, 所以在0x ≠时, 或许有()0V x =, 可能会出现下图5.5的两种情形：2x 0x 2x 0x定理 5.10系统方程、平衡点同定理 5.9中假设相同.若标量函数()V x(具有连续的一阶偏导).满足V x是正定的；(i) ()V x也是正定的；(ii)沿着状态方程(5.15)计算的()则平衡点0e x =是不稳定的.注 上述定理条件是充分的.例5.4 设非线性系统为22121122221212()()x x x x x x x x x x ⎧=-+⎪⎨=--+⎪⎩. 试分析稳定性.解 由(,)0F x t =, 得0e x =是其唯一的平衡点.构造2212()V x x x =+.是正定的. 对()V x 关于t 求导, 得12112212d d ()22d d x x V V V x x x x x x t x t∂∂=+=+∂∂. 代入状态方程得22212()2()V xx x =-+→负定→()V x 为一李雅普诺夫函数,且当x →+∞时, 有()V x →+∞→0x=为全局渐近稳定(而且是一致的).e对线性定常系统, 有定理5.11设线性定常系统为x t Ax t=,()()x=是渐近稳定的←→则平衡点0e对任意正定阵Q, 矩阵方程T+=-(李雅普诺夫方程) (5.16)A P PA Q有唯一正定阵解P.由于必要性证明涉及过多知识, 故只证充分性. 证(充分性)由0Q ∀>, 0P ∃>满足(5.16), 作()TV x x Px =.对t 求导且将系统方程代入, 得 ()()()()T T T T T T T V x x Px x Px Ax Px x P Ax x A P PA x x Qx =+=+=+=-，.→()V x 负定,且当x →+∞时,有()V x →+∞, →平衡点0e x =为全局渐近稳定(且一致).(注: 实用中, 渐近稳定为主要特性)例5.5 设系统为01()()23x t x t ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦. 试分析0e x =的稳定性.解 设1112212210,,01p p Q P p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 代入矩阵方程(5.16)式, 得1112111221222122020110132301p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 展开并令对应元素相等, 得唯一解511411P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 它的各主子式行列式12510,044∆=>∆=>. →P 正定→0e x =是渐近稳定.且系统是线性定常的 所有平衡点是一致全局渐近稳定. 注(1) 正定阵Q的选择尽可能简单.Q>, 矩阵方程(5.16)无解,(2) 若对某0x=不是渐近稳定的.则平衡点0e(3) 可以证明: 对线性定常系统,x=是渐近稳定的,则系统必为BIBO稳定. 若平衡点0e即()()x t Ax t =渐近稳定→()()()()()x t Ax t Bu t y t Cu t =+⎧⎨=⎩BIBO 稳定 反之不一定. 如[]101,,10010A B C -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→1()1G s s =+ 则()()()Y s G s U s =是BIBO 稳定, 但x Ax '=是不稳定的.。
自动控制原理地的总结之判断系统稳定性方法
幅值趋于0，相角趋于-270°。
N=-1，P=0，Z=P-2N=2
故闭环系统不稳定。
2、对数频率判定系统稳定性
在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)＞0.对应的频率范围对应的相角是否穿越 -180°
在V≠0时，也需要做增补线，从对数相频特性曲线上 处开始，用虚线向上补90°角（补到0°或180°）
例：已知系统的开环传递函数为 试用对数频率稳定判据判别系统闭环的稳定性。
解：
N=(N+)-(N-)=0-0=P/2
例1：已知系统特征方程为
判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。
解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。
列写劳思计算表并计算得：
当ε →0时， 故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。
例2：已知控制系统的特征方程为
试判定系统的稳定性。
解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。
（-1，j0）的圈ຫໍສະໝຸດ N，得到闭环传递函数在S平面的极点的个数Z
P通过G(S)可知 N：顺时针为负，逆时针为正
当V≠0时，需要做增补线 W:0
从幅相曲线 位置开始沿逆时针方向画 V×90°的圆弧增补线（理论半径为 ） 计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。
例：某单位负反馈系统的开环传递函数为
试用奈氏判据判别闭环稳定性。
（b）实轴上 为根轨迹段
（c）渐近线的夹角与坐标：
（d）分离点坐标d：
解得 d1= -0.423
d2= -1.58 （舍去）因为d2不在根轨迹上
（e）与虚轴的交点坐标：
令S=jw 代入到式中得：
解得：
故
根轨迹图如下所示：
三、频率特性
系统的稳定性以及稳定性的几种定义
系统的稳定性以及稳定性的几种定义一、系统研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。
在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。
由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。
从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。
但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。
人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。
描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。
中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。
二、系统的稳定性一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。
即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
三、连续（时间）系统与离散(时间)系统连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。
系统的激励和响应均为连续信号。
离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。
系统的激励和响应均为离散信号。
四、因果系统因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。
也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。
判定方法对于连续时间系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。
实验三控制系统的稳定性分析
实验三控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性是指系统在受到外部扰动或内部变化时，是否能保持原有的稳态或稳定的性能。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，它直接影响系统的性能和可靠性。
本实验将介绍控制系统稳定性的分析方法和稳定性判据。
一.控制系统的稳定性分析方法1.传递函数法：传递函数是表示控制系统输入与输出之间关系的数学表达式，通过分析和求解传递函数的特征根，可以判断系统的稳定性。
在传递函数中，特征根的实部和虚部分别代表了系统的衰减和振荡性能，根据特征根的位置可以得到稳定、不稳定和临界稳定等几种情况。
2.极点分布法：极点分布是指控制系统的特征根在复平面上的位置分布。
通过绘制极点图可以直观地判断系统的稳定性。
一般来说，稳定系统的极点都位于左半复平面，而不稳定系统的极点则位于右半复平面。
3. Nyquist稳定性判据：Nyquist稳定性判据是通过绘制Nyquist曲线来判断系统的稳定性。
Nyquist曲线是将控制系统的特征根的位置映射到复平面上形成的闭合曲线，通过分析Nyquist曲线的形状和位置可以判断系统的稳定性。
4. Routh-Hurwitz稳定性判据：Routh-Hurwitz稳定性判据是基于特征多项式的系数和正负性进行判断的方法。
通过构造一个特征方程的判别矩阵，可以判断系统的稳定性。
如果判别矩阵的所有元素都大于0，则系统是稳定的。
二.控制系统的稳定性判据1.传递函数法：通过求解传递函数的特征根，判断特征根的实部和虚部是否满足系统稳定的条件。
特征根的实部必须小于0，而虚部可以等于0。
2.极点分布法：绘制控制系统的极点图，判断极点是否位于左半复平面。
如果所有极点都在左半平面，则系统是稳定的。
3. Nyquist稳定性判据：绘制Nyquist曲线，通过分析曲线的形状和位置来判断系统的稳定性。
如果曲线不经过原点或环绕原点的次数为0，则系统是稳定的。
4. Routh-Hurwitz稳定性判据：构造特征方程的判别矩阵，通过判别矩阵的元素是否都大于0来判断系统的稳定性。
自动控制原理总结之判断系统稳定性方法
判断系稳定性的方法一、 稳定性判据（时域）1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正； 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；21231425310000000000000000a a a a a a a a a a a a a n nn n n n n n n n n--------=∆当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即00031425313231211>∆>=∆>=∆>=∆-----------n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a则方程无正根，系统稳定。
赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。
例；若已知系统的特征方程为0516188234=++++s s s s试判断系统是否稳定。
解：系统特征方程的各项系数均为正数。
根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。
5181016800518100168=∆由△得各阶子行列式；8690017281685181016801281811680884321>=∆=∆>==∆>==∆>==∆各阶子行列式都大于零，故系统稳定。
2、 劳思判据（1）劳思判据充要条件：A 、系统特征方程的各项系数均大于零，即a i >0；B 、劳思计算表第一列各项符号皆相同。
满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。
（2）劳思计算表的求法：A 、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：111212432134321275311642w s v s u u s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s n n n n n n n n n n n n----------B 、计算劳思表176131541213211-------------=-=-=n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。
系统的稳定性判别
%% pzmap( )函数可以绘制连续系统在复平面内的零极点图.其调用格式如下;% [p,z] = pamap(num,den) 或[p,z] = pzmap(A,B,C,D) 或[p,z] = pzmap(p,z)% 其中列向量p为系统的极点；列向量z为系统的零点；num，den和A,B,C,D分别为系统的传递函数和状态方程参数.% 一：如下式闭环传递函数系统是有输出的情况下，通过pzmap( )函数可以得到系统的零极点图.% 3 s^4 + 2 s^3 + s^2 + 4 s + 2% G(s)= -----------------------------------------------% 3 s^5 + 5 s^4 + s^3 + 2 s^2 + 2 s + 1% 判断系统的稳定性，并给出系统的闭环极点.num = [3 2 1 4 2];den = [3 5 1 2 2 1];r = roots(den) % 得到闭环极点.subplot(2,1,1)pzmap(num,den) % 得到零极点图.(零点用“o”表示，极点用小叉表示)[A,B,C,D] = tf2ss(num,den);subplot(2,1,2)pzmap(A,B,C,D)% r = % 闭环极点如下;% -1.6067% 0.4103 + 0.6801i% 0.4103 - 0.6801i% -0.4403 + 0.3673i% -0.4403 - 0.3673i % 由以上结果可知，连续系统在s右半平面有两个极点，故系统不稳定(这是用极点判断系统的稳定性).%% 对于离散系统的零极点绘制可以用函数zplane( ),其调用格式同pzmap( )相同，zplane( )在绘制离散系统的零极点图的同时还绘制出单位圆.% 二：已知单位负反馈离散系统的开环脉冲传递函数为：% 5 z^5 + 4 z^4 + z^3 + 0.6 z^2 - 3 z + 0.5% G(s)=-----------------------------------------------------% z^5% 判断该系统等稳定性.num = [5 4 1 0.6 -3 0.5];den = [1 0 0 0 0 0];sys = feedback(num0,den0,+1);r = roots(den0); % 得到系统的闭环极点.zplane(num0,den0) % 得到系统的零极点图.%% 已知系统的状态方程(用特征值判断系统的稳定性)clear;clc;A = [2.25 -5 -1.25 -0.5;2.25 -4.25 -1.25 -0.25;0.25 -0.5 -1.25 -1;1.25 -1.75 -0.25 -0.75];B = [46 24 22 2]';P = poly(A); % 得到的是系统的特征多项式(返回矩阵P，是按照降幂排列的，A的特征多项式的行向量).r = roots(P); % 得到的是特征多项式的根亦即特征值！注意：利用命令r = eig(A）可以直接得到系统的闭环极点ii = find((real(r)>0));n = length(ii);if (n>0)disp('System is Unstable')elsedisp('System is Stable')end% 执行结果如下：% r =% -1.5000% -1.5000% -0.5000 + 0.8660i% -0.5000 - 0.8660i% System is Stable % 系统是稳定的%% 利用李雅普诺夫第二法来判断系统的稳定性.% 已知系统的状态方程为：x' = Ax;其中A = [0 1;-1 -1]% AP + PA' = -Q,已知A,Q利用函数lyap( )可以求得P！A = [0 1;-1 -1];Q = eye(size(A));P = lyap(A,Q);i1 = find(P(1,1)>0);n1 = length(i1);i2 = find(det(P)>0);n2 = length(i2);if (n1>0&n2>0);disp('P>0,正定，系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的')elsedisp('系统不稳定');end% 执行结果显示为：% P>0,正定，系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。
基于阻抗的级联系统稳定性判别方法
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Zo /Zik
Load n
Z o/Z ik
2018/11/20
Z in
Pn
2018/11/20
基于阻抗的稳定性分析
•6/16
4、多模块系统的阻抗稳定性分析方法
Im
DC bus Load 1
P1
Zo/Zi的禁区
Zil
Load 2 Source
1 Pk 2 Pi
P2
Zi2 Zo Zi
2018/11/20
Z0 Re Z 1 / 2 i
基于阻抗的稳定性分析 •9/16
4、多模块系统的阻抗稳定性分析方法
Zo 1 Pk Re n Z 2 ik Pi
(k=1,2,…n)
i 1
充分条件
Zo 1 Re Z 2 i
60
Load n
Re 0
Pn
12
Zo/Zik
1
Zin
Zo Zo Zo Z o Z i Z i1 Z i 2 Z in
Zo Z P k o Zik Pi Zi
2018/11/20
Zo/Zik的附 加禁区 (k=1,2,…n)
基于阻抗的稳定性分析 •7/16
4、多模块系统的阻抗稳定性分析方法
3、阻抗稳定性分析方法的改进
在实际应用中，若环路增益与单位圆有交点，但不包围点（-1,j0）点，此时系统 的稳定性取决于系统的相角裕度（PM），和幅值裕度GM是否足够大。
|Tm| |
Z o ( s) 1 || | Zi ( s) Gm
1 | T m | | |且180-m Tm 180+m Wildrick提出了基于禁区概念的阻抗判据。即： Gm 1 Re( T m) 该判据对阻抗比的要求可以描述为： Gm
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1,
W ( s ) c( sI A) 1 b s 1 0 1 s 1 1 1 0 0 s 11 s 1s 1 s 1
可见传函的极点在-1处位于左半平面，故系统输出稳定。
李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法是从能量观点进行稳定性分析，当一个系 统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰弱，到达平衡 状态时，能量将得到最小值，那么这个平衡状态是渐进稳定的。 反之，如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个 平衡状态就是不稳定的，如果系统的储能既不增长也不消耗，那 么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。 对于给定的一个系统，如果能找到一个正定的标量函数 V(x)， 根据该函数导数来确定能量随时间的变化。 标量函数的符号性质：设V(x)是向量x的标量函数，且在x=0 处，恒有 V(0)=0，那么在所有定义域中的任何非零向量x， 若 V(x)>0 ，则 V(x) 正定；若V(x)≥0 ，则 V(x) 半正定。若 V(x)<0 ， 则 V(x) 负定；若V(x)≤0 ，则 V(x) 半负定；若 V(x)>0 或 V(x)<0 ， 则V(x)不定
优点： 1 、开环频率响应容易通过计算或实验途径定出，所以它 在应用上非常方便和直观。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 、能解决代数稳定判据不能解决的比如含延迟环节的系 统稳定性问题。
3 、能定量指出系统的稳定储备，即系统的相对稳定性定 量指标，进一步提高和改善系统动态性能。
由伯德图判断系统的稳定性 与乃奎斯特稳定性判据类似，该方法是利用开环系统的伯德图 来判别系统的稳定性，同样也是能够用实验来获得，因此也得到 广泛的应用。 伯德图是系统频率响应的一种图示方法，由幅值图和相角图组 成，两者都按频率的对数分度绘制 判断方法：在开环状态下，特征方程有 P 个根在右半平面内。 此时，在L（ω ）≥0的范围内，相频特性曲线ɸ（ω）在-π线上正、 负穿越次数只差为P/2次，则闭环系统是稳定的。 分别用N+和N-表示正穿越次数和负穿越次数,则N=N+-N-。判据 的结论是Z=P－2N，且Z=0时闭环系统稳定，Z≠0时闭环系统不 稳定。由于频率响应的幅值对数图和相角图易于绘制，因此对数 频率响应稳定判据应用更广。
jω
j 2
K1=6
-2
-1
×
×
a
60 -0.423 ° × σ 60°
K1=6
j 2
q 1, a 180
李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫稳定性方法 李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第一法是通过求解系统微分方程，然后根据解的性 质来判定系统的稳定性，其基本思路与经典控制理论一致。 对于线性定常系统来说
根轨迹的基本概念
一．举例说明根轨迹的概念
C (S ) K 2 R( S ) S S K
R(S)
K S ( S 1)
C(S)
特征方程 S 2 S K 0 的根为
1 1 S1 1 4 K 2 2
，
1 1 S2 1 4K 2 2
当K=0时，S1=0，S2=-1
c1 c2 c3
b1a3 a1b 2 b1 b1a5 a1b3 b1 b1a 7 a1b 4 b1
......
b3
......
s2 u1 u2 s1 v1 若某行第一个元素为 0，则用一个趋于0的数ε代 s 替 s0 w1 若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次 数等于在右半平面上根的个数。 优点：不必求解方程，方便系统的稳定性的判断。不但可以判别 绝对稳定性还可以判别相对稳定性。 应用领域：分析系统参数对稳定性的影响。
sn sn-1 sn-2 sn-3
......
a0 a1 b1 c0
......
a2 a3 b2 c2
......
a4 a6 ..... a5 a7 ....... b4 b6 ....... c4 c6 ........
......
a1a 2 a 0a3 b1 a1 a1a 4 a 0a5 b2 a1
G(S ) K S ( S 1)
三．根轨迹的分支数
根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。
四．实轴上的根轨迹
在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零 点和开环极点数目之和为奇数。
五．根轨迹的渐近线
１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
a
(2q 1)180 nm
例： G ( S ) H ( S )
K1 求根轨迹 S ( S 1)(S 2)
解：①在Ｓ平面中确定开 环零、极点的位置。 ②确定实轴上的根轨 迹。 ③n=3,m=0,应有三个分 支，并且都趋向无穷远 处。 ④确定渐近线的位置．
p1 p2 p3 0 1 2 1 nm 30 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 q 0, a 60
相同 G s
M s N s
相同 M s N s
N s
极点
作图方法： 1、写出幅频特性|G（jω ）|和相频特性 G（jω ）表达式。 2、求出ω =0和ω →∞时的G（jω ）。 3、求乃氏图与实轴虚轴的交点。 4、必要时画几点中间的，并勾勒大致曲线
1 、奈奎斯特稳定判据的基本形式表明，如果系统开环传递函数 G(s)在s复数平面的虚轴jω 上既无极点又无零点，那么有 Z=P-N P是开环传递函数在右半s平面上的极点数。 N是当角频率由ω =0变化到 ω =+∞时 G（jω ）的轨迹沿逆时针 方向围绕实轴上点 (-1 ，j0) 的次数。如果 Z=0 ，则闭环控制系统 稳定；Z≠0，则闭环控制系统不稳定。
令开环增益Ｋ从０变化到∞，用解 析方法求不同Ｋ所对应的特征根的值， 将这些值标在Ｓ平面上，并连成光滑的 粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头 表示随着Ｋ值的增加，根轨迹的变化趋 势。
jω ∞
K
K=0 × -1
K
K=0.25 K=0 ×
σ
∞
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: １.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对 所有的Ｋ值都是稳定的。 ２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所 以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
GK s
M s N s 则 零点 零点 F s 极点 零点 零点 1 G s H s 极点 零点
M s GK s G s H s GB s F s N s
GB s
1 G s H s
绘制根轨迹的基本规则
绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一 些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们 更准确、更迅速的绘制根轨迹。
一．根轨迹的对称性
实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为 实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴。
二．根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点对应于 K1 0 时特征根在Ｓ平面上 的分布位置，而根轨迹的终点则对应于 K1 时， 特征根在Ｓ平面上的分布位置。
幅值条件改写
jω ∞
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
K
( s pi )
当 K1 0 ，必有Ｓ＝
1 K1
K=0 × -1
K
K=0.25 K=0 ×
σ
pi
，即起点是开环极点。
∞
当 K1 ，必有Ｓ＝
zj
，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处 起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋 于无穷远处。 举例如题， ，起点：０，－１，无零点，n=２， m=0，n－m=2，有两条根轨迹→∞
......
0
0
......
.... .... ....
0 .... .... an-1 0 0 .... .... an-2 an
......
优点：规律简单明确，使用方便 缺点：对高阶系统，计算行列式较复杂 此外，劳斯稳定性判据和赫尔维兹稳定性判据还有一个共同的 缺点就是：无法解决带延迟环节的系统稳定性判定。
Ax bu x
y cx 平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件就是矩阵A所有特征值均 具有负实部，这里所说的是系统的状态稳定性，而对于输出稳定 性来说，其稳定的充要条件是其传递函数
平面。
W (s) c(sI A) b
1
的极点全部位于s的左半
该方法能解决线性定常和非线性定常系统的稳定性分析，但不 能延伸至时变系统的分析。
......
n
a1a 6 a 0a 7 a1
赫尔维兹稳定性判据
先依据特征方程写出Δ a1 a3 a5 ..... a0 a2 a4 Δ=
.......
0 0
系统稳定的充分必要条件： 主行列式Δ n及其对角线上各子行列 式Δ 1，Δ 2，Δ 3，Δ 4......Δ n-1均具有正 值
0 a1 a3 ..... 0 0 a0 a2 ..... 0 0 0
2、当开环传递函数 G(s)在s复数平面的虚轴上存在极点或零点时 当遇到位于虚轴上G(s)的极点（图中用×表示）时，要用半径 很小的半圆从右侧绕过。Z=P-2N
带有延迟环节时的系统稳定。
Gk (s) G1 (s)e
幅频特性 相频特性
s
| GK ( j) || G1 ( j) |
Gk ( j) G1 ( j)
优点： 1 、可以将幅值相乘转化为幅值相加，便于绘制由多个环 节串联组成的系统的对数频率特性图。 2 、可采用渐近线近似作图方法绘制对数幅频图，简单方 便。 3、有效扩展了频率范围，尤其是低频段。（指数增长）