高数第十一章习题

第十一章 习题课

一、判断题（每题3分）

1.设区域Ω是一个单连通区域，函数()(),,,P x y Q x y 在Ω内具有一阶连续偏导，若在Ω内存在函数(),u x y ，使得

du Pdx Qdy =+，则曲线积分L Pdx Qdy +⎰在Ω内与路径无

关的. （ ）

2.设区域G 是一个单连通区域，函数()(),,,P x y Q x y 在G 内具有一阶连续偏导，则曲线积分L

Pdx Qdy +⎰在G 内与路径无

关的充分必要条件是：在G 内存在函数(),u x y ，使得

du Pdx Qdy =+.

（ ）

3.函数),(),,(y x Q y x P 在单连通域G 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 dy y x Q dx L

y x P ),(),(+⎰在G 内与路径无关⇔

x

y P ∂∂=∂∂Q

在

G

内恒成立

（ )

4.设L 为xoy 平面内直线x a =上的一段，则(,)0L

P x y dx =⎰.

（ ）

5.设L 为圆周

221x y +=按逆时针转一周,则

0L

xdy ydx +=⎰ .

( )

6．若

c 为2

2

1x

y +=正向一周，则22

0c

xdx ydy

x y

+=+⎰

. （ ）

7．设L 是任意一条光滑的闭曲线，则2

20L

xydx x dy +=⎰. （ ）

8.若C 是以()()0,0,1,1O A 为端点的直线段，则曲线积分

()0C

y x dx -=⎰.

（ ）

二、选择题（每题3分）

1. L 为圆周

22

1x y +=，计算对弧长的曲线积分22

x y L

e

ds +=⎰（ C ）.

（A ）0 （B ）e π （C ）2e π （D ）3e π

2.设L 是抛物线2x y = 上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧，

则对弧长的曲线积分(,)L P x y ds =⎰（ C ）

（A ）⎰4

02

),(dx x x P ; （B ）⎰2

02

),(dx x x P ;

（C ）⎰+2

02

2

41),(dx x x x P ; （D ）⎰0

2

2

),(dx x x P . 3. 设积分弧段L 为圆周22

9x y +=的上半圆，则曲线积分

22()L

x y ds +=⎰（ C ）. （A ）3π （B ）6π （C ）27π （D ）54π

4. 若C 为22

1x y +=正向一周，则22c

x y ds +=

⎰

（ C ）.

（A ）0 （B ）π （C ）2π （D ）3π 5. 设C 为椭圆22

154

x y +=，其周长为a

则有

22

(45)C

x y ds +=⎰

（ D ）. （A ）0 （B ）5a （C ）15a （D ）20a 6.若L 为xoy 平面内直线x a =上从点(,1)a 到(,3)a 的一段弧，则L

xydx =⎰（ C ）.

（A ）2a （B ）3a （C ）0 (D) 2

7.设L 是抛物线2

x y = 上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧，

则对坐标的曲线积分=⎰dx y x P L ),(（ B ） （A ）

⎰4

2

),(dx x x P ; （B ）⎰2

2),(dx x x P ;

（C ）⎰

+2

02

241),(dx x x x P ; （D ）

⎰

2

2),(dx x x P .

8.平面区域D 的边界曲线为L ，下列曲线积分中，表示区域

D 的面积的积分是（ A ）.

（A ）1

2

L

xdy ydx -⎰;

（B ）12

L

ydx xdy -⎰;

（C ）

L

xdy ydx -⎰;

（D ）

L

ydx xdy -⎰.

9.设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则

L

Pdx Qdy +=⎰( D ).

（A)⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy x Q

y P )(

（B)⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy x P

y Q )(

（C) ⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y Q x P )( （D)⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy y P

x Q )(

10、下列曲线积分与路径无关的是（ C ）. （A ）

()()2531L

x y dx y x dy -+++⎰;

（B ）()()2cos 2sin 12sin L

x y x xy x dx y x dy ++-⎰;

（C ）

4sin sin3cos 3cos3cos2L x y xdx y xdy -⎰;

（D ）(

)()222sin L

x y dx x y dy --+⎰. 11.下列表达式中肯定不是某个二元函数的全微分的是（ C ）

（A ）xdy ydx +; （B ）ydy xdx +; （C ）xdy ydx - ; （D ）ydy xdx -.