量子力学全同粒子-中国科学技术大学

P
这里的 P 是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而 构成的置换，只有这样才能保证式中诸项彼此正交. 这样的置换总数为： N! N! “ś n1 !n2 ! ¨ ¨ ¨ nN ! i ni !
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因此，N 个全同 Bose 子所组成的体系的归一化波函数是： cś ÿ A i ni ! P r'k1 pq1 q ¨ ¨ ¨ 'kN pqN qs n1 n2 ¨¨¨nN pq1 ; q2 ; ¨ ¨ ¨ ; qN q “ N! P
Example：
以氦原子中两个电子组成的体系为例，其 Hamilton 算符为： ˆ ˆ ~ p2 2e2 2e2 e2 p2 1 ˆ “ ~ ` 2 ´ ´ ` H 2m 2m r1 r2 |~ r1 ´ ~ r2 | ˆ 明显不变. 当交换两个电子的位置坐标、动量与自旋，H
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ˆij 描写全同粒子系的交 量子力学理论中，常引入所谓交换算符 P 换对称性. ˆij 是 Hilbert 空间中的线性幺正算符： P ˆ: ˆ ´1 ˆ P ij “ Pij “ Pji ˆij “ P ˆji ，我们又有：P ˆ: ˆ ˆ 但注意到 P ij “ Pij ，即交换算符 Pij 既 是幺正算符，又是 Hermite 算符. 对于 N-粒子体系的波函数 Ψp1; 2; ¨; i; ¨ ¨ ¨ ; j; ¨ ¨ ¨ ; Nq 而言， ˆij Ψp1; 2; ¨; i; ¨ ¨ ¨ ; j; ¨ ¨ ¨ ; Nq “ Ψp1; 2; ¨; j; ¨ ¨ ¨ ; i; ¨ ¨ ¨ ; Nq P 对于由 N 个粒子构成的全同粒子系而言，其 Hamilton 算符 对于任意两个粒子自由度交换的对称性意味着： 1 ˆP ˆ´ ˆ ˆij H P ij “ H ˆij 是全同粒子系的守恒量算符： 亦即P ˆij ; H ˆs “ 0 rP
2 ˆ “´ ℏ H 2m1
BΨ ˆΨ “H Bt
ℏ H2 H2 ` Vp~ r1 ;~ r2 ;~ s1 ;~ s2 ; tq 1´ 2m 2
2 2
1
这里的讨论可以平庸地推广到任意多个粒子构成的量子力学体系.
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按照波函数的统计诠释， › ›2 › › 3 3 ›Ψp~ r2 ; s13 ; s23 ; tq› › r1 ;~ › d x1 d x2 是在体积元 d3 x1 中发现具有自旋 s13 的粒子 1 并在 d3 x2 中发 现具有自旋 s23 的粒子 2 的概率. 归一化条件因此为： › ›2 ÿ ż › › 3 3 › d x1 d x2 ›Ψp~ r1 ;~ r2 ; s13 ; s23 ; tq› › “1
s13 ;s23
以下仅考虑有效势能不显含时间的情形. 此时，通过分离变 量可求得薛定谔方程一组完备的特解： Ψp~ r1 ;~ r2 ; s13 ; s23 ; tq “ 这里， „ ℏ2 ´ 2m1
E pr1
~ ;~ r2 ; s13 ; s23 q expp´iEt{ℏq
“E
H
2 1
ℏ2 ´ 2 m2
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下面将讨论在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具有完全交 换对称性或反对称性的多粒子体系波函数.
两个全同粒子组成的体系：
二全同粒子体系的 Hamilton 算符写为： ˆ “ˆ H hpq1 q ` ˆ hpq2 q 这里描写两粒子相互作用的 Hamilton 量被忽略了，ˆ hpqq 表示单 ˆ ˆ 粒子 Hamilton 算符. hpq1 q 与 hpq2 q 在形式上完全相同，只不过 q1;2 互换而已. 显然， ˆ12 ; H ˆ s“0 rP 设ˆ hpqq 的本征值方程为： ˆ hpqq'k pqq “ k 'k pqq
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自旋单态与三重态：
中性氦原子有两个电子，研究氦原子的状态涉及到构造两个电子 构成体系的自旋态. ˆ ˆ 设两个电子的自旋角动量算符为 ~ S1 和 ~ S2 ，则二电子构成的全同 粒子体系的总自旋角动量算符定义为： ˆ ˆ ˆ ~ S “~ S1 ` ~ S2 ˆ ˆ 由于 ~ S1 与 ~ S2 分属两个电子， rˆ S1i ; ˆ S2j s “ 0 式中 i; j “ 1; 2; 3 代表普通 Cartesian 空间的三个直角分量. ˆ 由此知，~ S 的三个直角分量算符服从角动量算符必须满足的对易 关系： rˆ Si ; ˆ Sj s “ iℏijk ˆ Sk
2
;
ˆ “´ℏ H 2m
H2 ` Vp~ r;~ s; tq
波函数的统计诠释要求： ›2 › ÿż › › 3 › r; s3 ; tq› d x› p~ › “1
sz
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若量子力学体系包含两个粒子，则体系的状态应使用如下波函数 描写： Ψp~ r1 ;~ r2 ; s13 ; s23 ; tq 此处 ~ ri 与 si3 分别是第 i 个粒子的位置矢量和自旋角动量第三分 量 (i “ 1; 2)1 . 波函数 Ψ 随时间的演化仍遵从薛定谔方程： iℏ 但是，
H
2 2
ȷ ` Vp~ r1 ;~ r2 ;~ s1 ;~ s2 q
E
E
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全同粒子体系： 什么是全同粒子 ？
我们把具有完全相同的静止质量、电荷、自旋、磁矩和寿命 等内禀属性的同一类粒子称为全同粒子. 自然界里存在着大 量的由全同粒子组成的多粒子体系，如多电子原子和金属中 的电子气. 涉及相互作用时，还须进一步要求具有上述性质的的体系中 各个粒子受力情况完全相同. 所以，对于由两个粒子构成的 全同粒子体系： Vp~ r1 ;~ r2 ;~ s1 ;~ s2 q “
k 为单粒子能量，'k pqq 为相应的归一化单粒子波函数，k 代表一
组完备的量子数.
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现在的问题是：若两个粒子中有一个处在 'k1 态，另一个处在 'k2 态，那么体系的波函数是什么 ?
玻色子体系：
对于 Bose 子组成的全同粒子体系，体系的波函数对于两个粒子 的交换必须是对称的. 于是，若 k1 “ k2 “ k，体系的归一化波函数为：
对于 Fermi 子组成的全同粒子体系，体系的波函数对于两个粒子 的交换必须是反对称的. 于是，若 k1 ‰ k2 ，体系的归一化波函数为： ı 1 ” A ? p q ; q q “ ' p q q ' p q q ´ ' p q q ' p q q k1 1 k2 2 k1 2 k2 1 k1 k2 1 2 2 ˇ ˇ ˇ 1 ˇ ' ' k1 pq1 q k1 pq2 q ˇ ˇ “? ˇ 2 'k2 pq1 q 'k2 pq2 q ˇ
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全同粒子体系的交换对称性，反映到描写其量子态的波函数上， 具有极深刻的物理内涵，据此归纳出了量子力学的第五条基本 原理. 考虑 N 个全同粒子组成的多粒子体系，设其量子态用波函数 Ψpq1 ; ¨ ¨ ¨ ; qi ; ¨ ¨ ¨ ; qj ; ¨ ¨ ¨ ; qN q 描写， qi （i “ 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; N）代表第 i 个粒子的全部坐标（例如 ˆij 表示交换第 i 个粒子与第 j 个粒子 包括空间坐标与自旋）. 设 P 的全部坐标的线性算符： ˆij Ψpq1 ; ¨ ¨ ¨ ; qi ; ¨ ¨ ¨ ; qj ; ¨ ¨ ¨ ; qN q “ Ψpq1 ; ¨ ¨ ¨ ; qj ; ¨ ¨ ¨ ; qi ; ¨ ¨ ¨ ; qN q P ˆij Ψ 描写的是同一个量子态，它们最 粒子的全同性意味着 Ψ 与 P 多可以相差一个非零的常数因子 c， ˆij Ψ “ c Ψ P
N
'k1 pqN q 'k2 pqN q
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N 个全同 Bose 子组成的体系：
Bose 子体系不受泡利不相容原理的制约，可以有任意数目的 Bose 子同处于某一特定的单粒子态. 考虑粒子总数为 N 的全同 Bose 子体系，设有 ni 个 Bose 子处在单 ř 粒子态 'ki 上（i “ 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; N） ， N n “ N . 这些 ni 取非负 i “1 i 整数，它们中有些可以等于零，有些可以大于 1. 于是，体系的符 合交换对称性的波函数可以写为： ȷ ÿ „ S P 'k1 pq1 q ¨ ¨ ¨ 'k1 pqn1 q 'k2 pqn1 `1 q ¨ ¨ ¨ 'k2 pqn1 `n2 q ¨ ¨ ¨ n1 n2 ¨¨¨nN „
k3 1 k3 2 k3 3
根据行列式的性质，这样的波函数对于三个粒子中任意两个粒子 的交换具有反对称性. 显然，没有两个 Fermi 子可以处于同一单粒子ě 4q 个全同 Fermi 子组成的体系是直截了当的. 设 N 个 Fermi 子分别处于 k1 ă k2 ă ¨ ¨ ¨ ă kN 的单粒子态下，则 体系的归一化波函数是：
A k1 k2 ¨¨¨kN pq1
; q2 ; ¨ ¨ ¨ ; qN q 'k1 pq2 q 'k2 pq2 q 'kN pq2 q
¨¨¨ ¨¨¨ ¨¨¨ ¨¨¨ ¨¨¨ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ¨¨¨ ˇ 'kN pqN q ˇ
ˇ ˇ 'k1 pq1 q ˇ 1 ˇ ˇ 'k2 pq1 q “? N!ˇ ˇ ¨¨¨ ˇ 'k pq1 q
S kk pq1
; q2 q “ 'k pq1 q'k pq2 q
若 k1 ‰ k2 ，体系的归一化波函数为： ı 1 ” S ? p q ; q q “ ' p q q ' p q q ` ' p q q ' p q q k1 1 k2 2 k1 2 k2 1 k1 k2 1 2 2
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费米子体系：
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Up~ ri ;~ si q ` Up|~ r1 ´ ~ r2 |; |~ s1 ´ ~ s2 |q