专题 抽象函数的导数问题(教师)

专题 抽象函数的导数问题

所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法：

（1） 根据条件设法确定函数的单调性；

（2） 要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造什么样的函数，一方

面要和已知条件含有()f x '的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数

【求导的四则运算】

法则1 [()()]''()'()f x g x f x g x ±=±.

法则2 [()()]''()()'()()f x g x f x g x g x f x =+ .

法则3 2()'()()()'()[]()()

f x f x

g x f x g x g x g x -'=. 例1、（2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)'()0x f x -≥，则必有（ ）

A.(0)(2)2(1)f f f +<

B. (0)(2)2(1)f f f +≤

C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D . (0)(2)2(1)f f f +>

分析：这个题目的条件 (1)'()0x f x -≥，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说：

由(1)'()0x f x -≥得：

（1）10x -≥且'()0f x ≥，于是在(1,)+∞上()f x 单调递增；

（2）10x -≤且'()0f x ≤，于是(,1)-∞上()f x 单调递减；

综上可知的最小值为(1)f ，(0)(1)f f ≥，(2)(1)f f ≥，得(0)(2)2(1)f f f +≥，选C

【典型构造】

若条件是'()()'()()0f x g x g x f x +≥，可构造()()()F x f x g x =，则()F x 单调递增； 若条件是'()()0f x f x +≥，可构造()()x F x e f x =，则()F x 单调递增；

若条件是'()()0xf x f x +≥，可构造()()F x xf x =，则()F x 单调递增；

若条件是'()()0xf x nf x +≥，可构造()()n F x x f x =，则

1'()['()()]0n F x x xf x nf x -=+≥，若10n x ->，则()F x 单调递增；

例2、()f x 是R 上的可导函数，且'()+()0>f x f x ，21(0)1,(2)f f e ==

，求(1)f 的值 分析：构造()()x F x e f x =，则'()('()())0x F x e f x f x =+≥，所以()F x 单调递增或为

常函数，而0(0)(0)1F e f ==，2(2)(2)1F e f ==，所以()1F x =，故1(1)(1)1F e f ==，得1(1)f e

= 例3、（07陕西理）()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤．对

任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ）

A ．()()af b bf a ≤

B ．()()bf a af b ≤

C ．()()af a bf b ≤ ．

()()bf b af a ≤ 分析：选项暗示我们，可能用得到的函数有两种可能，1()()f x g x x =

或2()()g x xf x =，

下面对他们分别求导，看看哪个能利用上已知条件： 112()'()()()'()f x xf x f x g x g x x x -=⇒=，因

为()0f x ≥，

()()0()()0xf x f x xf x f x ''+⇔≤-≤≤，得()0xf x '≤，则'()()0xf x f x -≤，故1'()0g x ≤，于是由a b <得

()()f a f b a b ≥，即()()af b bf a ≤，选A

例3、定义在(0,

)2π上的函数()f x ，导数为'()f x ，且()'()tan f x f x x <，则下式恒成立的是（ ）

A. ()()43

ππ> B. (1)2()sin16f f π<

C. ()()64

f ππ> D. ()()63f ππ< 解：因为()'()tan f x f x x <，所以sin ()'()

cos x f x f x x <，即'()sin ()cos 0f x x f x x ->，

构造()()sin f x F x x

=，则2'()sin ()cos '()0sin ()f x x f x x F x x -=>，所以()F x 单调递增，因63ππ<，所以()()63F F ππ<，即()()63sin sin 63f f ππ

ππ<

()()63f ππ<，选D 练习

1、已知函数()f x 满足2

()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上，'()f x x >，则不等式(2)()22f a f a a --≥-的解集为（ ）

A. [1,)+∞

B. (,1]-∞

C. (,2]-∞

D. [2,)+∞ 解析：构造21g()()2x f x x =-，则2211g()()()()()022x g x f x x f x x -+=---+-=，故g()x 为奇函数，且在(0,)+∞上，'()'()0g x f x x =->，故g()x 是增函数， 而2211(2)()22(2)(2)[()]22

f a f a a f a a f a a ---+=--

---g(2)()a g a =--，故只需2a a -≥，得1a ≤，选B 2、设(),()f x g x 在[,]a b 上可导，且'()'()f x g x >，则当a x b <<时，有（ ）

.()()A f x g x > .()()B f x g x <

.()()()()C f x g a g x f a +>+ .()()()()D f x g b g x f b +>+

解析：构造函数，则易知单调递增，于是

，，选C

3、（2011高考辽宁）函数的定义域为R ,(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（ ）

A. (1,1)-

B.(1,)-+∞

C. (,1)-∞-

D. (,)-∞+∞

解析：构造函数()()24F x f x x =--，则'()'()2220F x f x =->-=，所以()F x 在R

()()()F x f x g x =-()F x ()()()F a F x F b <<()()()()f x g x f a g a ->-