解析几何第三章知识点

第三章 平面与空间直线

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§3.1 平面的方程

1．平面的点位式方程

在空间给定了一点M 0与两个不共线的向量a ，b 后，通过点M 0且与a ，b 平行的平面π 就惟一被确定. 向量a ，b 叫平面π 的方位向量. 任意两个与π 平行的不共线的向量都可作为平面

π 的方位向量.

取标架{}321,,;e e e O ，设点M 0的向径0r =0OM ={}000,,z y x ，

平面π 上任意一点M 的向径为r =OM = {x ，y ，z }（如图）. 点M 在平面π上的充要条件为向量M M 0与向量a ，b 共面. 由于a ，b 不共线，这个共面的条件可以写成

M M 0= u a ＋v b

而M M 0= r －r 0，所以上式可写成

r = r 0＋u a ＋v b

(3.1－1)

此方程叫做平面π 的点位式向量参数方程，其中u ，v 为参数.

若令a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }，则由(3.1－1)可得

⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=v

Z u Z z z v Y u Y y y v

X u X x x 210210210 (3.1－2)

此方程叫做平面π 的点位式坐标参数方程，其中u ，v 为参数.

(3.1－1)式两边与a ×b 作内积，消去参数u ，v 得

(r －r 0，a ，b ) = 0

(3.1－3)

此即

2

2

2

111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0 (3.1－4)

这是π 的点位式普通方程.

已知平面π上三非共线点i M （i = 1，2，3）. 建立坐标系{O ；e 1, e 2, e 3}，设r i = i OM ={i x ，

i y ，i z }，i = 1，2，3. 对动点M ，设r =OM ={x ，y ，z }，取21M M 和31M M 为方位向量，M 1

为定点，则平面π的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为

r = 1r ＋u(2r －1r )＋v(3r －r 1)

(3.1－5) ⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+=-+-+=)()()()()

()(131211312113121z z v z z u z z y y v y y u y y x x v x x u x x

(3.1－6)

1

31

31

3121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------= 0

(3.1－7)

(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程.

特别地，若i M 是π 与三坐标轴的交点，即1M (a ，0，0)，2M (0，b ，0)，3M (0，0，c )，其中abc ≠0，则平面π 的方程就是

c

a

b

a z y a x 00---=0 (3.1－8)

即

1=++c

z

b y a x (3.1－9)

此方程叫平面π的截距式方程，其中a ，b ，c 称为π 在三坐标轴上的截距.

2．平面的一般方程

在空间任一平面都可用其上一点M 0(x 0，y 0，z 0)和两个方位向量a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }确定，因而任一平面都可用方程将其方程(3.1－4)表示. 将(3.1－4)展开就可写成

Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0

(3.1－10)

其中

A =

22

11

Z Y Z Y ，B =2

2

11X Z X Z ，C =

2

21

1

Y X Y X

由于a = {1X ，1Y ，1Z }与b = {2X ，2Y ，2Z }不共线，所以A ，B ，C 不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a ，b ，c 的一三元一次方程来表示.

反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A ≠0，则(3.1－10)可改写成

02=++⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+ACz ABy A D x A

即

000=--+

A

C

A B z

y A

D x 它显然表示由点M 0 (－D / A ，0，0)和两个不共线的向量{B ，－A ，0}和{C ，0，－A }所决定的平面. 于是有

定理3.1.1 空间中任一平面的方程都可表为一个关于变数x ，y ，z 的三元一次方程；反过来，任一关于变数x ，y ，z 的三元一次方程都表示一个平面.

方程(3.1－10) 称为平面π 的一般方程. 3．平面的法式方程

若给定一点M 0和一个非零向量n ，则过M 0且与n 垂直的平面π也被惟一地确定. 称n 为π的法向量. 在空间坐标系{O ；i ，j ，k }下，设0r = 0OM ={x 0，y 0，z 0}，n = {A ，B ，C }，且平面上任一点M 的向径r =OM ={x ，y ，z }，则因总有M M 0⊥n ，有

n (r －r 0) = 0

(3.1－11) 也就是

A (x －x 0)＋

B (y －y 0)＋

C (z －z 0) = 0

(3.1－12)

方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面π 的点法式方程. (3.1－12)中的系数A ，B ，C 有简明的几何意义，它们就是平面π 的一个法向量的分量.

特别地，取M 0为自O 向π 所作垂线的垂足，而n 为单位向量. 当平面不过原点时，取n 为与OP 同向的单位向量n 0，当平面过原点时取n 0的正向为垂直与平面的两个方向中的任一个.

设|OP | = p ，则OP = p n 0，由点P 和n 0确定的平面的方程为 n 0(r －p n 0) = 0

式中r 是平面的动向径. 由于1)(20=n ，上式可写成