湖北省武汉市2021届新高考数学一模试卷含解析

湖北省武汉市2021届新高考数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭

圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =

，

113

QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A

．10,2⎡⎫

⎪⎢⎪⎣⎭

B

．(

2⎤⎦

C

．12⎛⎤

⎥

⎝⎦

D

．(

1⎤⎦

【答案】C 【解析】 【分析】

根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得

()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m

的取值范围,进而求得(

)222422c a c <≤-再求离心率的范围

即可. 【详解】

设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知m n <,

因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以四边形12PFQF 为矩形,12=QF

PF ；

由

11QF PF ≥,

1m n

≤<,

由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①, 平方相减可得(

)22

2mn a c

=-②,

由①②得()

22222

42c m n m n

mn n m a c +==+-； 令=+m n

t n m ,

令m v n ⎫=

∈⎪⎪⎣⎭

,

所以1432,3t v v ⎛⎤=+

∈ ⎥ ⎝⎦

, 即

()

222443

232c a c <≤-, 所以()

2222

2233

a c c a c -<≤

-, 所以()

22223

113

e e e -<≤

-, 所以

21

4232

e <≤-, 解得

2

312

e <≤-. 故选：C 【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.

2．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）

A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1

B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AE

C ．四面体EMAC 的体积为定值

D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C 【解析】 【分析】

采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误

由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD

而1AD 与平面AEC 相交，

故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥

由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=

又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥

AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC

所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确

四面体EMAC 的体积为1

3

M AEC AEC V S h -∆=

⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，

由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，

则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值

D 错误

由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，

则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值

所以四面体FA 1C 1B 的体积111111

3

F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C 【点睛】

本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.

3．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ

=->>，将函数()f x 的图象向左平移3

π个单位长度，得到函数()

g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π

=，则ω的最小值为

A ．

1

6

B ．

23

C ．53

D ．

56

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

将函数()f x 的图象向左平移3

π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ

=+

-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6

x π=

，所以sin(

)16

3

3ωωπππ+

-=±，即,6332

k k ωωππππ

+-=+π∈Z ，所以

52,3

k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为

5

3

．故选C ． 4．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）

A ．

7

4

B ．

5627

C ．2

D ．

164

81

【答案】C 【解析】 【分析】

根据程序框图依次计算得到答案.