代数式与整式的概念及运算

代数式与正式的概念及运算

一、代数式的概念

1、代数式的概念

用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式．

【注意点】代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“ =”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号．

例1 判断下列式子是不是代数式

2、代数式的分类；

单项式：都是数与字母的积的代数式叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式。

多项式：几个单项式的和叫做多项式

整式：单项式和多项式统称整式.

分式：如果整式A除以整式B,可以表示成A

B

的形式,且除式B中含有字母,那么称式子为分

式.

有理式：整式和分式统称有理式. 所以总结：

; 2

)1 (

)8(

;0

)6(

; )4(

;0

1

)2(

+

=

≥

-

n

n

vt

S

x

; )9(

;0 4

)7(

;

)5(

;

2

1

)3(

;4

3

)1(

t

s

x

a

ah

x

=

+

+

练习：

1、填空题

（1）某种足球a 元，则涨价20%后是 元；

（2）m 箱橘子重x kg ，每箱重 kg ；

（3）购买单价为a 元的笔记本8本，共需人民币 元；

（4）小明的体重是a kg ，小红比小明重b kg ，则小红的体重是 kg ；

（5）练习本每本定价0.6元，铅笔每支定价0.2元，买a 本练习本，b 支铅笔共需_______元；

（6）三个连续偶数中间的一个为2n ，则这三个数的和表示为_________。

2、选择题：

（1）在一次数学测验中，30名男生平均得分为a,20名女生平均得分为b ，这个班所有同学的平均得分是（ ）。

Ａ．2a b + Ｂ．30202a b + Ｃ．302050a b + Ｄ． 50

a b + （2）一种小麦磨成面粉后重量减轻15%，要得到m 千克面粉，需要小麦（ ）千克。

Ａ．（1+15%）m Ｂ．(1-15%)m Ｃ．15%m + Ｄ．15%m -

3、设某数为x ，用x 表示下列各式：

（1）某数与12的差；（2）某数的12与13

的和；（3）某数与1的差的平方；（4）某数与2的和的倒数

二、列代数式和代数式所表示的实际意义

(1) 列代数式

在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念．

(2)代数式所表示的实际意义

若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的含义，则代数式的内容显得丰富，富有内涵．说出代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相等，把实际问题中的数量关系用代数式表示后必须与原代数式吻合．

在读代数式时，通常是按运算顺序选最后一步运算，依运算结果读．

例2、设甲数为x，乙数为y，用代数式表示.

（1）甲、乙两数的平方差；

（2）甲、乙两数差的平方；

（3）甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积；

（4）甲数的相反数与乙数的立方的和.

例3、（1）5a＋2b （2）abc－(a3＋b3＋c3)

（3）3n+1 （4）100a＋50＋b

解析：（1）与5a的差是b的2倍的数；

（2）a、b、c三数的积与a、b、c三数立方和的差；

（3）被3除余1的数；

（4）百位数是a，十位数是5，个位数字是b的三位数

三、代数式的求值

1、直接代值

例4、当X=2,Y=-3时，求代数式3X-2Y的值。

解：当X=2,Y=-3时

3X-2Y=3ⅹ2-2ⅹ（-3）

=6-（-6）

=12

变式：当m=5,n=3时，求代数式2()m n +-()m n -的值。

2、整体代入法

例5、已知a+b=5,ab=3,则4(a+b)-2ab 的值

解：当a+b=5,ab=3时

4(a+b)-2ab=4ⅹ5-2ⅹ3

=20-6

=14

变式：①当x+y=12,xy=-15

时，求6x+5xy+6y 的值。

四、整式的概念及运算

1．单项式的定义：都是数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式.（学生填充）单独的一个数字或一个字母呢？

2．单项式的系数：系数是对某些字母而言，例如,5abx -对所有字母,,,x b a 来讲，它们的系数就是5-；而对字母x 而言，它的系数就是ab 5-.在没有明确交代的时候，我们规定单项式中的数字因数叫做单项式（或字母因数）的系数. 例6：根据要求填空

7

42

xy 的系数是 ， a -的系数是 ，

mn 的系数是 .

3．单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和。

例如：单项式23xy ，所有字母的指数和是321=+，所以23xy 是三次单项式.单独的一个数（零除外），像,8.0,3.0,1999-…，它们的次数都是零，叫做零次