北航王琪d-ch9D(习题课)

ϕ
问题：
o m
r
•系统有几个自由度？
x
•如何选取广义坐标？ •如何求系统的动能和势能？
θ
mg
2013-3-26
A
v1 v2
1 1 2 T = J oω 2 + mv A 2 2 vA = v1 + v2 v1 = ? v2 = ? ω = ?
6
理论力学
习 题 课
例：系统如图所示，两个齿轮（视为均质圆盘）用无质量杆AB连 接在铅垂面内运动，不计摩擦，求系统拉氏方程的首次积分。
0 15 2 3 θ = 45 & θ& = − g, && = g x & 17L 17 θ = 0
5 1 && cos θ − 1 mL θ 2 sin θ = 0 & m&& + mL θ x 2 2 2 1 1 2 && 1 mL&& cos θ + mL θ + mgL sin θ = 0 x 2 3 2
∂T 1 2 2 & = mL sin θϕ = C1 & ∂ϕ 3
2013-3-26 16
理论力学
习 题 课
问题：确定弹簧刚度k，使杆在运动过程中，B点作圆周运动。
θ
R
m1
•自由度？ k=2 广义坐标？θ , ϕ •求系统的Lagrange函数？ A
1 1 1 1 2 2 & 1 T = ⎛ m1 R 2 ⎞θ 2 + m2 vB + ⎛ m2 r 2 ⎞ω B ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎝ 2 2 2⎝2 ⎠ ⎠ & & vB = ( R + r )ϕ vP = Rθ = (R + r)ϕ − rωB &
10
2013-3-26
理论力学
15 2
习 题 课
A
xபைடு நூலகம்
& θ& = − g, && = g x aA 17L 17
t aCA
3
求地面的约束力
F
θ = 45
aC =
1、求摩擦力: 研究圆盘
mg
0
α A R = && J Aα A = − FR x
F
FN
mg
n + aCA
θ
B
2、求地面的法向力: 研究整体
1 2
E = T +V
&& & 动力学方程： mL2 sin 2 θϕ = − mL2 sin θ cos θϕθ&
1 2 3 3 1 2 && 1 2 & mL θ = mL sin θ cos θϕ 2 3 3 1 − kL2 (1 − cos θ ) sin θ + mgL sin θ 2
14
2、存在哪些守恒量？
3、如何定性定量分析数 值仿真结果的正确性？ 2013-3-26
理论力学
z
A
§9-3 拉格朗日方程的首次积分
z
& ϕ
θ
x’
θ
O y
B
ϕ
x
2 va ⋅ va = ( ve + vr ) ⋅ ( ve + vr ) = ve + vr2
1 2 T = ∑ mi via 2 1 T = ∑ mi via ⋅via 2
m Aa A + m AB aC = F + FN + 2mg
t m Aa A + m AB (a A + aCA ) = F + FN + 2mg
t y : maCA sin 450 = FN − 2mg L && y : m θ sin 450 = FN − 2mg 2
t a A + aCA
& Qθ = ω AB = 0
7
问题1：该题循环积分的物理含义是什么？ 问题2：若系统在水平面内运动，存在哪些守恒量？
理论力学
习 题 课
例：在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与 圆盘连接。初始时，杆水平，系统静止。求系统运动到图示位置时，杆 的角速度、角加速度以及A点的速度和加速度；。AB=L
x
A
vA
解：系统的主动力均为有势力
( j = 1,L, k )
势能： V = kL2 (1 − cos θ ) 2 − mgL(1 − cos θ ) Lagrange函数： 广义动量守恒： 机械能守恒：
& & L = T − V = L(θ , ϕ , θ )
∂T 1 2 2 & = mL sin θϕ = C1 & ∂ϕ 3
1 2
vCA
mg
θ&(θ ) = ?
& θ&(θ ) = ? & x (θ ) = ? &&(θ ) = ? x
2013-3-26
mg
θ
c
θ& B
1 2 1 1 2 1 2 2 T = mvA + J Aω A + mvC + J Cω AB 2 2 2 2 5 2 1 2 &2 1 = mx + mL θ + mxLθ cos θ & & & 4 6 2 V = 0.5Lmg (1 − cosθ ) L = L( x,θ ,θ ) & &
va = ve + vr
ve ⊥ vr
x’
问题：如何求系统的动能？
2013-3-26
1 1 2 T = ∑ mi vie + ∑ mi vi2 r 2 2
牵连动能 相对动能 13
理论力学
习 题 课
1 1 1 1 d ⎛ ∂L ⎞ ∂L ' & 动能： T = ⎛ mL2 sin 2 θ ⎞ ϕ 2 + ⎛ mL2 ⎞ θ& 2 ⎟− ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂q ⎟ ∂q = Q j 2⎝3 2⎝3 ⎠ ⎠ dt ⎝ & j ⎠ j
ϕ
P r B m2
ωB
2013-3-26
& & V = m2 g ( R + r )(1 − cos ϕ ) L = L(θ , ϕ , ϕ ) 1 ∂T 1 2 & & & = m1 R θ − m2 R[( R + r )ϕ − Rθ ] = C1 & 2 ∂θ 2
注：积分常数由初始条件确定
T + V = C2
2013-3-26
&&(θ) x
9
理论力学
习 题 课
例： 在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与 圆盘连接。图示瞬时系统初速度为零。求该瞬时地面的约束力。AB=L，R
x
A
θ = 45
mg
0
mg
θ
B
解：系统的主动力均为有势力 1 2 1 1 2 1 2 2 T = mvA + J Aω A + mvC + J Cω AB 2 2 2 2 5 2 1 2 &2 1 = mx + mL θ + mxLθ cos θ & & & 4 6 2 V = 0.5Lmg (1 − cosθ ) L = L( x,θ ,θ ) & &
理论力学
习 题 课
Lagrange方程
2013-3-26 1
理论力学
第二类拉格朗日方程的总结
对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k， 则系统的动力学方程为： d ⎛ ∂L ⎞ ∂L ⎟− ⎜ = Q 'j d t ⎜ ∂q j ⎟ ∂ q j ⎝ & ⎠ 其中：L
( j = 1,L, k )
e
ω
vCx ' = x − rθ& & vCy ' = xθ&
& x & ω = −θ r
vr
V = − mg ( x cosθ − r sin θ )
2013-3-26
x'
注：取坐标原点为时能零点
5
理论力学
习 题 课
思考题：系统如图所示，均质圆盘可绕O轴转动，不计质量的 绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球A（视为质 点）连接，求系统的运动微分方程。已知：m, r，Jo
mar =
∑
F + Fe + F C
&& mq = Fe − Fk = mω 2q − kq
3
该方程的积分为广义能量守恒
理论力学
习 题 课
例：系统如图所示，建立系统动力学方程；求维持AB匀角速 ω 转动所需的控制力偶M。已知：m , k , J z , l 0 为弹簧原长。 解：系统的广义坐标为 x, θ k 1 &2 1 & T = J zθ + m( x 2 + x 2θ 2 ) & 2 2 B A J x 1 2 Q ' = 0, Q ' = M z V = kx x θ θ 2 d ⎛ ∂L ⎞ ∂L ' & = Qx m&& − mxθ 2 + kx = 0 x ⎜ ⎟− d t ⎝ ∂x ⎠ ∂x & M d ⎛ ∂L ⎞ ∂L g ' & && = Qθ ( J z + mx 2 )θ& + 2mxxθ = M ⎜ &⎟− d t ⎝ ∂θ ⎠ ∂θ & 当 θ ≡ ω 时 M = 2mxxω & 问题：该题还可以用什么方法求解？
2013-3-26
问题：如何定性定量分析数值仿真结果的正确性？
理论力学
问题：若分析运动规律， 输出哪些物理量？ 初始条件： θ 0 =
m = 1kg L = 1m k = 10 N/m
习 题 课
∂T 1 2 & = mL sin 2 θϕ = C1 利用守恒量： & ∂ϕ 3
π
4
& & = 0.7854, ϕ 0 = 0, θ 0 = 0, ϕ 0 = 2.0rad/s
2013-3-26 2
理论力学
习 题 课
例：系统如图所示，已知：m , k , ω = const. , l 0 为弹簧原长。 求滑块的拉格朗日方程首次积分。
l0
k
m
q
解：系统（滑块）的广义坐标为q
1 1 2 1 2 2 T = mva = m(ve + vr ) = m( q 2ω 2 + q 2 ) & 2 2 2
= T −V
T：为系统的动能，V：为系统的势能
Q 'j ：为对应于广义坐标 q j的非有势力的广义力
当系统为保守系统时，有： 1：若系统存在循环坐标 q ，则：
∂L ∂ T = = p = const. ∂ q ∂q & &
2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则： T2 − T0 + V = const.
2013-3-26
& 根据对z轴的动量矩守恒和初始条件，可得关系式： ϕ =
1 sin 2 θ 15
理论力学
π
习 题 课
& 问题：B 点的运动轨迹？ θ 0 = 4 = 0.7854, ϕ 0 = 0,θ&0 = 0, ϕ 0 = 2.0rad/s
m = 1kg L = 1m k = 10 N/m
∂T 5 1 & = mx + mL θ& cos θ = C L中无 x, t & ∂x 2 2 5 2 1 2 &2 1 & & & mx + mL θ + mxLθ cos θ + 0.5Lmg (1 − cosθ ) = E 4 6 2
8
理论力学
习 题 课
1 & ∂T 5 1 & cos θ = C x = − Lθ cosθ (1) & & = mx + mL θ 5 & ∂x 2 2 5 2 1 2 &2 1 & & & mx + mL θ + mxLθ cos θ + 0.5Lmg (1 − cosθ ) = E 4 6 2
l0
m
2013-3-26
4
理论力学
习 题 课
例：系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上（无相对滑动），另一 端悬挂在A点。用Lagrange方程建立系统的运动微分方程。
y'
A
x θ
r
P
ve
c
mg
关键问题：求系统的动能和势能 1 2 1 vC = v e + v r T = mvC + J Cω 2 2 2 vC = v P + vCP & & vr = x v = ACθ
t ∴ aC = a A + aCA
FN
注：用第二类Lagrange方程无法直接求约束力
2013-3-26 11
理论力学
习 题 课
讨论题：长为L质量为m的均质细杆的A端铰接于无质量的套筒A（不计其大 小），其B端放在光滑水平面上，套筒A与刚度系数为k的弹簧连接可沿铅垂 轴z移动，A在最高点时弹簧无变形，用数值方法仿真杆的运动规律。 问题： 1、有几种方法建立系统 的动力学方程？ 动量与动量矩定理 动静法（达氏原理） 动力学普遍方程 Lagrange方程 对z轴的动量矩守恒 机械能守恒 利用守恒量 利用运动的特殊性 解析分析与数值分析结合 12
1 2 kq 则Lagrange方程有广义能量积分 2 1 2 1 1 2 2 2 mq − m(q ω ) + kq = C & T2 − T0 + V = const. 2 2 2
-T0为牵连惯性力的“势能”
& 拉格朗日函数 L = T − V = L(q, q) 中不显含时间t
V =
ω
2013-3-26
当：θ = 90 ,
0
θ& = 0, x = 0 &
C = 0, E = 0.5mg
g ⎞& ⎛1 1 − cos 2 θ ⎟θ 2 = cos θ ⎜ 2L ⎠ ⎝ 6 20
θ& (θ )
& 代入(1)式得 x(θ )
& θ&(θ )
上式对时间求导得：
g ⎛1 1 && ⎛ 1 &⎟ & & 2⎜ − cos 2 θ ⎞θθ& + ⎜ cos θ sin θθ ⎞θ 2 = − sin θθ ⎟ 2L ⎝ 6 20 ⎠ ⎝ 10 ⎠ 1 &2 1 && x （1）式对时间求导： && = − Lθ cosθ + Lθ sin θ 5 5