安徽大学版大学物理课后习题参考答案
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习题一 1-10 证明:(1)由质点的运动方程可知其直角坐标分量式为
12cos sin x A t y A t
ωω==
消去t 即得轨迹方程
22
2
212
1x y A A += 这是一椭圆方程,故得证。 (2) 由加速度的定义式,得
2221222cos sin d r
a A ti A tj
dt
r
ωωωωω==--=- 这表明a 恒指向椭圆中心。
1-11 解:
(1)在最初2s 内的平均速度为
(2)(0)
4(/)x x x m s t t
υ∆-=
==∆∆ 方向沿x 轴负方向. 质点的瞬时速度为 2d 46d x
t t
υ=
=- 2s 末的瞬时速度为 2
(2)46220(/)m s υ=-⨯=-,方向沿x 轴负方向。
(2)1s 末到3s 末的位移为
)(44)1214()3234()1()3(33m x x x -=⨯-⨯-⨯-⨯=-=∆,指向x 轴负方向。
1s 末到3s 末的平均速度为
(3)(1)4422(/)2
x x x m s t t υ∆--=
===-∆∆,方向沿x 轴负方向。 (3)1s 末到3s 末的平均加速度为
2(3)(1)24(/)a m s t t
υυυ∆-=
==-∆∆,方向沿x 轴负方向。 不能用2
2
1a a a +=
计算,因为a=-12t 与t 呈线性关系。
(4)质点的瞬时加速度为 d 12d a t t
υ
=
=- 3s 末的瞬时加速度为 2
(3)12336(/)a m s =-⨯=-,指向x 轴负方向。
1-12
解:由加速度的定义及已知条件,有
204dv
a x dt
=
=+ 式中,,v t x 均为变量,无法直接进行积分,需作如下恒等变换:
dv dv dx dv a v dt dx dt dx
=
== 分离变量并积分
10
(204)v
x
vdv x dx =+⎰
⎰
解得
2(5)v x =+
又,
2(5)dx
v x dt
=
=+ 分量变量并积分
025
x
t dx
dt x =+⎰
⎰
解得
5
25
x In
t += 25(1)t x e ∴=-
1-13 解:(1)设质点在新旧两个坐标系中的位置坐标分别为x' 和x ,如图所示,它们之间的关
系为'2x x =+
代入运动方程得 2
'3102x t t =+- 这就是新坐标系中的运动方程。
质点在新旧坐标系中的速度分别为
'
'610610
dx v t dt
dx v t dt =
=+==+
即两速度相同,显然初速度也相同,t=0时,有
00'10/v v m s ==
(2)设新旧两个计时起点情况下的时间参数分别为t ’和t ,现将计时起点前移1s ,则有
'1t t =-
将此结果代入运动方程得,
2'3('1)10('1)x t t =-+-
整理得
2'3'4'7x t t =+-
这就是新计时起点情况下的运动方程。 这时速度为
'
'6'4dx v t dt
=
=+ 初始条件为
00'7,'4/x m v m s =-=
加速度 2
'6/a a m s ==
可见计时起点的改变,将引起运动的初始条件发生变化,但对加速度没有影响。
1-14 解:
由线速度公式 221kt Rkt R ⨯===ωυ 得 42
16
2
2==
=
t k υ
P 点的速率为 24t =υ P 点的切向加速度大小为 t t
a 8d d ==υ
τ
P 点的法向加速度大小为 4222
161
)4(t t R a n ===υ t =1时:
)/(414422s m t =⨯==υ )/(882s m t a ==τ
)/(1611616244s m t a n =⨯==
)/(9.175********
2s m a a a n ≈=+=+=τ
1-15 解:
建立如图所示的坐标系 (1)船的速度分量为
︒'='=15sin sin υαυυx υυυαυυ-︒'=-'=15cos cos y
船到达对岸要花的时间为
)(106.215sin 5.11000
15sin 3s l l
t x
⨯≈︒
=︒'=
=
υυ
船到达对岸时,在下游的坐标为
)(104.1106.2)215cos 5.1()15cos (33m t t y y ⨯-=⨯⨯-︒⨯=-︒'==υυυ
(2)船的速度分量为 αυυsin '=x ,υαυυ-'=cos y 船的运动方程为 t t x x sin αυυ'==,t t y y )cos (υαυυ-'== 船到达对岸时,l x =,α
υsin '=
l
t ,
所以,α
υυ
ααυυαυυαυsin sin )cos ()cos ('-
='-'=-'=l lctg l t y 当0d d =αy 时,y 取极小值。将上式对α求导,并令0d d =α
y ,求得 75.02
5
.1cos =='=υυα
船头与河岸的夹角为 ︒=4.41α 船到达对岸要花的时间为
)(100.14.41sin 5.11000
sin 3s l l
t x
⨯≈︒
⨯='=
=
αυυ
船到达对岸时,在下游的坐标为
)(875100.1)24.41cos 5.1()4.41cos (3m t t y y -=⨯⨯-︒⨯=-︒'==υυυ