2021年三垂直模型与全等综合之欧阳学文创编
(完整版)三垂直模型与全等综合剖析
DPFEBC AF E CB A K 模型图与全等知识点 基本图形本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.H B CFFEDC BAHFEDCBA【例4】如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。
AF是△ABC的中线，FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。
连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。
求证：AN＝MN9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0（1）求A 、B 两点的坐标；（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.10ABOMPQx y24．（12分）如图，CODV等腰直角三角形，CA⊥x轴。
初中几何模型：三垂直全等模型分析
三垂直全等模型“三垂直模型”是初中必会的一种几何模型，它是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以这一知识点的掌握对于中考至关重要。
模型三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。
图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。
图③图④DEABC例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.D证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，A∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°.∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°.∴∠BAE ＝∠CED .在△ABE 和△ECD 中，B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ECD .∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ EDA解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标。
2021年中考复习讲义初中几何典型模型一：一线三垂直模型
初中数学典型模型之一： “三垂直模型”介绍总体解题思路：只要出现此典型图形，一般都要证三角形全等或相似，再根据全等或相似性质解题.（一）基本图形： 1.“三垂”例1.如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，矩形的周长为16，则AE=__ 解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于有等边（EF=EC ）先证△AEF ≌△DCE ， ∴AE=DC ，∴AD-DC=2，∵AD+DC=8，∴AD=5，DC=3，∴AE=3例2.一块矩形木板ABCD ，长AD=3cm,宽AB=2cm,小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C 上，另一条直角边与AB 边交于点E ，三角板的直角顶点P 在AD 边上移动（不含端点A,D ），当线段BE 最短时，AP=_______解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于没有等边，先证△AEP ∽△DPC ， ∴AP CD=AE PD。
当题目出现线段最值时，初三的数学中有两种解题方法：①几何论证方法；②代数论证方法-----通过设未知数，把几何中的线段关系转化成二次函数形式，运用二次函数求最值的方法解题；（详见“动态问题下求线段长”），此题可采用代数论证方法，设BE =y,AP =x ，∴x2=2−y3−x , ∴y =x 2−3x +4=(x −32)2+74 , ∴a =1>0 , ∴x =32 时，y 最小值=742.两种变化图形（1）“交叉型”三垂直模型 （2）“L 型”三垂直模型A BC DEF 图1PA BCD E 证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅ECD;若没有边相等，则证ABE ~ECD;21AB CED证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅FCD;若没有边相等，则证ABE ~FCD;21A BF E DC(1)若有等边，则△ABE≌△BDC（AAS ）(2)若无等边，则△ABE∽△BDC（AA ）EDCBA例3.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE=BF=1，则OC= ．解析：求线段长，要么用勾股定理，要么用相似，不管走勾股定理，还是相似，都绕不过先求出∠DOC=90°，当把这个90°标在图形时，就出现“三垂直模型的变化图形—交叉型三垂直模型”，如图1，由于有等边（BC=CD ），先证△BCE ≌△CDF ，∴∠BCE =∠CDF ，∵∠BCE +∠OCD =90°，∴∠CDF +∠OCD =90°，∴∠DOC =90°；这时图形又出现了第二个典型图形：“双垂型图形”，如图2，便易得这个典型图形的一个典型的用途----两直角边的乘积会等于斜边乘以斜边上的高。
三垂直模型精编版.doc
一线三等角模型一 .一线三等角概念“一线三等角” 是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二 .一线三等角的分类全等篇CD CA P BA P锐角直角D DA AB PBC C相似篇CDCA PB A P锐角直角DDDDCBA PB 同侧钝角DAPP BC异侧D DCBA PB 同侧钝角DAPB AB C CABPCP异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC∽△ BDE.2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如图 3-1 ，若 CE=ED，则△ AEC≌△ BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2 ，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE.4. “中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3 ，当∠ 1=∠2 且BOC 90 1BAC 时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2造“一线三等角”.如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，BOC 90 1BAC 这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-42BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 . （右图）中，如果延长5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况 .a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段 .3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6 ，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C 、D两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
初中数学常见模型之三垂直全等模型
模型实例
例1.如图， AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， AE ⊥ DE ， AE=DE 求证： AB+CD=BC
例2.如图，∠ ACB-90 °,AC=BC,BE ⊥ CE 于点 D, AD=2.5cm ,BE=0.8cm 求 DE 的长
例3.如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt △ ABC 有两个顶点在坐标轴上 求第三个顶点的坐标
典例精选
1.如图，正方形 ABCD ， BE=CF 。 求证：（ 1 ） AE=BF ；（ 2 ） AE ⊥ BF
2.直线 上有三个正方形 a 、b 、 c ,若 a 、 c 的面积分别是 5 和 11,则 b AB=AC ，点 P 为 BC 上一动点（ B P<CP ）， 分别过 B 、 C 作 BE ⊥ AP 于点 E 、 CF ⊥ AP 于点 F
（ 1 ）当α=45°时，求△ EAD 的面积；
（ 2 ）当α=30°时，求△ EAD 的面积；
（ 3 ）当0°<α<90°时，猜想△ EAD 的面积与大小有无关系？若有关，写出△ EAD 的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论。
5.如图，向△ ABC 的外侧作正方形 ABDE 、正方形 ACFG ， 过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H ， AH 的反向延长线与 EG 交于点 P 求证： BC=2AP
初中数学常见模型
三垂直全等模型
模型：三垂直全等模型
如图，∠ D= ∠ BCA= ∠ E=90 °， BC=AC 。 结论： Rt △ BCD ≌ Rt △ CAE
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有 举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从 弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两 种弦图。
专题 全等三角形模型——三垂直与三等角(解析版)
全等三角形模型——三垂直与三等角三垂直模型如右图已知：∠ D=∠ E=∠ BCA=90，BC=BA ；求证：△BCD ≌△CAE.∵∠D+∠ DCB+∠ B=180°，∠BCA+∠ DCB+∠ ACE=180°，且∠ D=∠BCA.∴∠ B=∠ ACE .又 ∵∠ D=∠ E ，BC=BA.∴△BCD ≌△CAE.常见的三垂直模型:1.如图，ABC D 是等腰直角三角形，DE 过直角顶点A ，90D E Ð=Ð=°，则下列结论正确的个数有( )①CD AE =；②12Ð=Ð；③34Ð=Ð；④AD BE =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据直角三角形的性质推出23Ð=Ð，然后利用AAS 证明ABE D 和CAD D 全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等即可对各小题进行判断．【解答】解：90D Ð=°Q ，1390\Ð+Ð=°，ABC D Q 是等腰直角三角形，A 为直角顶点，121809090\Ð+Ð=°-°=°，AB AC =，23\Ð=Ð，在ABE D 和CAD D 中，2390D E AB AC Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()ABE CAD AAS \D @D ，CD AE \=，AD BE =，14Ð=Ð，故①小题正确，②小题错误，③小题错误，④小题正确，所以结论正确的有①④共2个．故选：B ．2.（2022秋•文登区期中）在ABC D 中，90ACB Ð=°，BC AC =．（1）如图①，DE 是过点C 的一条直线，且A ，B 在DE 的同侧，AD DE ^于D ，BE DE ^于E ．写出AD ，BE ，ED 间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE 是过点C 的一条直线，且A ，B 在DE 的两侧，AD DE ^于D ，BE DE ^于E ．写出AD ，BE ，ED 间的数量关系，并写明理由．【分析】（1）由“AAS ”可证ADC CEB D @D ，可得CD BE =，AD CE =，可求DE AD BE =+；（2）由“AAS ”可证ADC CEB D @D ，可得CD BE =，AD CE =，可求AD BE DE =+．【解答】解：（1）AD BE ED +=．理由如下：AD DE ^Q ，BE DE ^，90ADC CEB \Ð=Ð=°，90DAC ACD \Ð+Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90BCE ACD \Ð+Ð=°，DAC BCE\Ð=Ð，Q，AC CB=\D@DADC CEB AAS()=，\=，AD CECD BE\=+=+．ED EC CD AD BE=+．（2）AD DE BE^，Q，BE DE^AD DEADC CEB\Ð=Ð=°，90\Ð+Ð=°，DAC ACD90Q，Ð=°90ACB\Ð+Ð=°，BCE ACD90\Ð=Ð，DAC BCEQ，AC CB=\D@D()ADC CEB AAS=，\=，AD CECD BE\==+=+．AD CE CD DE DE BE3.（2020秋•通河县期末）综合与实践．积累经验（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC=，线段DEÐ=°，AC BCD中，90ACB^于点E．求证：AD CE经过点C，且AD DE^于点D，BE DE=”这个问题时，只要证明=，CD BED@D，即可得到解决，请写出证明过程；ADC CEB类比应用（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点A 的坐标为(0,2)，点C 的坐标为(1,0)，求点B 的坐标．拓展提升（3）如图3，ABC D 在平面直角坐标系中，90ACB Ð=°，AC BC =，点A 的坐标为(2,1)，点C 的坐标为(4,2)，则点B 的坐标为 ．【分析】（1）证明()ADC CEB AAS D @D ，由全等三角形的性质可得出答案；（2）过B 作BD x ^轴于D ，先证CAO BCD Ð=Ð，再证明AOC CDB D @D ，可得1DB OC ==，2CD AO ==，即可解决问题；（3）过点C 作CF x ^轴于点F ，过点B 作BE CF ^交FC 的延长线于点E ，过点A 作AD CF ^于点D ，由全等三角形的性质得出BE CD =，AD CE =，则可得出答案．【解答】（1）证明：90ACB Ð=°Q ，90ACD BCE \Ð+Ð=°，而AD DE ^于D ，BE DE ^于E ，90ADC CEB \Ð=Ð=°，90BCE CBE Ð+Ð=°，ACD CBE \Ð=Ð，在ADC D 和CEB D 中，ADC CEB ACD CBE AC CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADC CEB AAS \D @D ，AD CE \=，DC BE =；（2）解：过B 作BD x ^轴于D ，如图2所示：(0,2)A Q ，(1,0)C ，2OA \=，1OC =，90ACO CAO Ð+Ð=°Q ，90ACO BCD Ð+Ð=°，CAO BCD \Ð=Ð，在AOC D 和CDB D 中，90AOC CDB CAO BCDAC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()AOC CDB AAS \D @D ，1DB OC \==，2CD AO ==，3OD OC CD \=+=，\点B 的坐标为(3,1)．（3）解：如图3，过点C 作CF x ^轴于点F ，过点B 作BE CF ^交FC 的延长线于点E ，过点A 作AD CF ^于点D ，同（1）（2）可得ACD CBE D @D ，BE CD \=，AD CE =，(2,1)A Q ，(4,2)C ，2AD CE \==，1DF =，1CD BE \==，\点B 的纵坐标为224CE CF +=+=，横坐标为413-=，(3,4)B \．故答案为：(3,4)．4.（2021秋•临沂期末）如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，2.5AD cm =，1BE cm =，求DE的长．【分析】先证明BCE CAD D @D ，得1BE CD cm ==， 2.5CE AD cm ==，然后根据线段和差定义即可解决．【解答】解：AD CE ^Q ，BE CE ^，90ADC E \Ð=Ð=°，90ACD CAD \Ð+Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90ACD BCE \Ð+Ð=°，BCE CAD \Ð=Ð，在BCE D 和CAD D 中，90E ADC BCE CAD CB CA Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()BCE CAD AAS \D @D ，1()CD BE cm \==， 2.5()CE AD cm ==，2.51 1.5()DE CE CD cm \=-=-=．5.（2020秋•赫山区期末）如图所示，直线MN 一侧有一个等腰Rt ABC D ，其中90ACB Ð=°，CA CB =．直线MN 过顶点C ，分别过点A ，B 作AE MN ^，BF MN ^，垂足分别为点E ，F ，CAB Ð的角平分线AG 交BC 于点O ，交MN 于点G ，连接BG ，恰好满足AG BG ^．延长AC ，BG 交于点D ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AC CO AB +=．【分析】（1）证得EAC FCB Ð=Ð，根据AAS 证明AEC CFB D @D 即可．（2）证明()ACO BCD ASA D @D ，由全等三角形的性质得出CO CD =．证得AD AB =，则可得出结论．【解答】证明：（1）AE MN ^Q ，BF MN ^，又90ACB Ð=°Q ，90EAC ECA FCB ECA \Ð+Ð=Ð+Ð=°．EAC FCB \Ð=Ð．在AEC D 和CFB D 中，90AEC CFB EAC FCBAC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()AEC CFB AAS \D @D ，CE BF \=；（2）90ACB Ð=°Q ，AG BG ^，CAO CBD \Ð=Ð．在ACO D 和BCD D 中，90ACO BCD AC BCCAO CBD Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，()ACO BCD ASA \D @D ，CO CD \=．AC CO AC CD AD \+=+=．AG Q 平分CAB Ð，AG BG ^，D ABD \Ð=Ð．AD AB \=．综上，AC CO AB +=．6.（2022春•清苑区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，90BAD Ð=°，AB AD =，过点B 作BC AC ^于点C ，过点D 作DE AC ^于点E ．由12290D Ð+Ð=Ð+Ð=°，得1D Ð=Ð．又90ACB AED Ð=Ð=°，可以推理得到ABC DAE D @D ．进而得到AC = ，BC = ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，90BAD CAE Ð=Ð=°，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ^于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2,4)，点B 为平面内任一点．若AOB D 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标．【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作DM AF ^于M ，EN AF ^于N ，证明ABF DAM D @D ，根据全等三角形的性质得到EN DM =，再证明DMG ENG D @D ，根据全等三角形的性质证明结论；②过点B 作DC x ^轴于点C ，过点A 作DE y ^轴于点E ，仿照①的证明过程解答．【解答】解：（1）12290D Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，1D \Ð=Ð，在ABC D 和DAE D 中，1D ACB DEA AB AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABC DAE SAS \D @D AC DE \=，BC AE =，故答案为：DE ；AE ；（2）①如图2，作DM AF ^于M ，EN AF ^于N ，BC AF ^Q ，90BFA AMD \Ð=Ð=°，90BAD Ð=°Q ，12190B \Ð+Ð=Ð+Ð=°，2B \Ð=Ð，在ABF D 与DAM D 中，BFA AMD Ð=Ð，2BFA AMD B AB AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABF DAM AAS \D @D ，AF DM \=，同理，AF EN =，EN DM \=，DM AF ^Q ，EN AF ^，90GMD GNE \Ð=Ð=°，在DMG D 与ENG D 中，DMG ENG DGM EGNDM EN Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DMG ENG AAS \D @D ，DG EG \=，即点G 是DE 的中点；②如图3，ABO D 和△AB O ¢是以OA 为斜边的等腰直角三角形，过点B 作DC x ^轴于点C ，过点A 作DE y ^轴于点E ，两直线交于点D ，则四边形OCDE 为矩形，DE OC \=，OE CD =，由①可知，ADB BCO D @D ，AD BC \=，BD OC =，22BD OC DE AD BC \===+=+，24BC BC \++=，解得，1BC =，3OC =，\点B 的坐标为(3,1)，同理，点B ¢的坐标为(1,3)-，综上所述，AOB D 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，点B 的坐标为(3,1)或(1,3)-．7.如图，(2,0)A -．（1）如图①，在平面直角坐标系中，以A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC D ，若(0,4)B -，求C 点的坐标；（2）如图②，P 为y 轴负半轴上一个动点，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt APD D ，过D 作DE x ^轴于E 点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，试问OP DE -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图③，已知点F 坐标为(4,4)--，G 是y 轴负半轴上一点，以FG 为直角边作等腰Rt FGH D ，H 点在x 轴上，90GFH Ð=°，设(0,)G m ，(,0)H n ，当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，m n +的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）作CD x ^轴于D ，证明ACD BAO D @D ，根据全等三角形的性质得到2DC OA ==，4AD OB ==，计算即可；（2）作DF y ^轴于F ，证明APO DPF D @D ，得到2PF OA ==，DF OP =，结合图形计算；（3）作PM x ^轴于M ，PN y ^轴于N ，仿照（2）的证明过程解答．【解答】解：（1）作CD x ^轴于D ，90ACD CAD \Ð+Ð=°，90CAB Ð=°Q ，90BAO CAD \Ð+Ð=°，BAO ACD \Ð=Ð，在ACD D 和BAO D 中，90ADC BOA ACD BAOAC BA Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，ACD BAO \D @D ，2DC OA \==，4AD OB ==，6OD \=，C \点的坐标为(6,2)--；（2）OP DE -的值不变，值为2，理由如下：作DF y ^轴于F ，90PDF DPF \Ð+Ð=°，90APD Ð=°Q ，90APO DPF \Ð+Ð=°，APO PDF \Ð=Ð，在APO D 和DPF D 中，APO DPF AOP PFD PA PD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，APO DPF \D @D ，2PF OA \==，DF OP =，2OP DE OP OF PF \-=-==；（3）m n +的和不变，值为8-，理由如下：作PM x ^轴于M ，PN y ^轴于N ，由（2）可知，HMF GNF D @D ，GN MH \=，4FN FM OM ===，()()()8m n OG OH GN ON MH OM ON OM +=--=-+-+=-+=-．三等角模型“一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等模型，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.三等角的推导过程：已知：∠ A=∠ B=∠ CPD ，AC=PB ；求证：△ACP ≌△BPD.∵∠A+∠ APC+∠ C=180°，∠CPD+∠ APC+∠ DPB=180°，且∠ A=∠CPD.∴∠ C=∠ DPB .又∵∠ A=∠ B ，AC=PB.∴△ACP ≌△BPD.常见的一线三等角模型：8.如图，点D ，A ，E 在一条直线上，AB AC =，60ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，试探究BD ，CE 与DE之间的数量关系．【分析】由题意可证BAD ACE Ð=Ð，ABD CAE Ð=Ð，且AB AC =，可证ABD CAE D @D ，可得AD CE =，BD AE =，即可求BD ，CE 与DE 之间的数量关系．【解答】解：DE BD CE=+理由如下：BAE D ABD BAC CAE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且60ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，ABD CAE\Ð=ÐDAC DAB BAC AEC ACE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且60ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，BAD ACE \Ð=Ð，且ABD CAE Ð=Ð，AB AC=()ABD CAE ASA \D @D AD CE \=，BD AE=DE AD AE=+Q DE CE BD\=+9.（2022•鹿城区二模）如图，在ABC D 中，AB AC =，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接AD ，DE ．已知12Ð=Ð，AD DE =．（1）求证：ABD DCE D @D ；（2）若3BD =，5CD =，求AE 的长．【分析】（1）根据AAS 可证明ABD DCE D @D ；（2）得出5AB DC ==，3CE BD ==，求出5AC =，则AE 可求出．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，在ABD D 与DCE D 中，12B C AD DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABD DCE AAS \D @D ；（2）解：ABD DCE D @D Q ，5AB DC \==，3CE BD ==，AC AB =Q ，5AC \=，532AE AB EC \=-=-=．10.如图，D ，A ，E 三点都在一条直线上，且BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð，AB AC =，试探究BD ，CE 与DE 之间的数量关系．【分析】由“AAS ”可证ABD CAE D @D ，可得AD CE =，BD AE =，可得结论．【解答】解：DE BD CE =+，理由如下：BAE D ABD BAC CAE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð，ABD CAE \Ð=Ð，在ABD D 和CAE D 中，ABD CAE ADB CEA AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABD CAE AAS \D @D ，AD CE \=，BD AE =，DE AD AE =+Q ，DE CE BD \=+．11.（2021秋•东至县期末）如图，在ABC D 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=，若10DE =，3BD =，求CE 的长．【分析】由AEC BAC a Ð=Ð=，推出ECA BAD Ð=Ð，再根据AAS 证明BAD ACE D @D 得CE AD =，3AE BD ==，即可得出结果．【解答】解：AEC BAC a Ð=Ð=Q ，180ECA CAE a \Ð+Ð=°-，180BAD CAE a Ð+Ð=°-，ECA BAD \Ð=Ð，在BAD D 与ACE D 中，BDA AEC BAD ACE AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BAD ACE AAS \D @D ，CE AD \=，3AE BD ==，10DE AD AE =+=Q ，1037AD DE AE DE BD \=-=-=-=．7CE \=．12.（2020秋•江津区期末）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，90B C Ð=Ð=°，P 是BC 上一点，PA PD =，AB BP BC +=．求证：90APD Ð=°；问题2：如图②，在三角形ABC 中，45B C Ð=Ð=°，P 是AC 上一点，PE PD =，且90EPD Ð=°．求AE AP PC+的值．【分析】问题1：证明Rt ABP Rt PCD(HL)D @D ，由全等三角形的性质得出APB PDC Ð=Ð，则可得出结论；问题2：过D 点作DF AC ^于点F ，证明()APE FDP AAS D @D ，由全等三角形的性质得出AE PF =，AP DF =，证出AP FC =，则可得出答案．【解答】问题1：证明：BP PC BC +=Q ，BP AB BC +=，PC AB \=，在Rt ABP D 与Rt PCD D 中，AP PDAB PC =ìí=î，Rt ABP Rt PCD(HL)\D @D ，APB PDC \Ð=Ð，180180()1809090APD APB DPC PDC DPC \Ð=°-Ð-Ð=°-Ð+Ð=°-°=°；问题2：过D 点作DF AC ^于点F ，在ABC 中，18090A B C Ð=°-Ð-Ð=°，A PFD \Ð=Ð，9090APE DPF AEP APE Ð+Ð=°Ð+Ð=°Q ，DPF AEP \Ð=Ð，在APE D 与FDP D 中，A DFPDPE AEP PE PDÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，()APE FDP AAS \D @D ，AE PF \=，AP DF =，在DPF D 中，90904545FDC C Ð=°-Ð=°-°=°，DF FC \=，AP FC \=，PC PF FC AE AP \=+=+，\1AE APPC +=．13.如图①，点B 、C 在MAN Ð的边AM 、AN 上，点E ，F 在MAN Ð内部的射线AD 上，1Ð、2Ð分别是ABE D 、CAF D 的外角．已知AB AC =，12BAC Ð=Ð=Ð．求证：ABE CAF D @D ．应用：如图②，在ABC D 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E ，F 在线段AD 上．12BAC Ð=Ð=Ð，若ABC D 的面积为15，求ABE D 与CDF D 的面积之和．【分析】（1）由“ASA ”可证ABE CAF D @D ；（2）由“ASA ”可证ABE CAF D @D ，由全等三角形的性质可得ABE CAF S S D D =，由三角形的面积关系可求解．【解答】证明：（1）12BAC Ð=Ð=ÐQ ，且1BAE ABE Ð=Ð+Ð，2FAC FCA Ð=Ð+Ð，BAC BAE FAC Ð=Ð+Ð，BAE FCA \Ð=Ð，ABE FAC Ð=Ð，且AB AC =，()ABE CAF ASA \D @D （2）12BAC Ð=Ð=ÐQ ，且1BAE ABE Ð=Ð+Ð，2FAC FCA Ð=Ð+Ð，BAC BAE FAC Ð=Ð+Ð，BAE FCA \Ð=Ð，ABE FAC Ð=Ð，且AB AC =，()ABE CAF ASA \D @D ABE CAF S S D D \=，2CD BD =Q ，ABC D 的面积为15，10ACD ABE CDF S S S D D D \==+．14.如图，在等腰三角形ABC D 中，AC BC =，D ，E 分别为AB ，BC 上一点，CDE A Ð=Ð．（1）如图1，若BC BD =，求证：CD DE =；（2）如图2，过点C 作CH DE ^，垂足为H ，若CD BD =，4EH =，求DE BE -的值．【分析】（1）根据ASA 判定ADC BED D @D ，即可得到CD DE =；（2）先证DCB CDE Ð=Ð，得CE DE =，再在DE 上取点F ，使得FD BE =，进而判定()CDF DBE SAS D @D ，得CF DE CE ==，然后由等腰三角形性质得4FH HE ==，即可求解．【解答】解：（1）AC BC =Q ，CDE A Ð=Ð，A B CDE \Ð=Ð=Ð，ACD BDE \Ð=Ð，又BC BD =Q ，BD AC \=，在ADC D 和BED D 中，ACD BDE AC BDA B Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADC BED ASA \D @D ，CD DE \=；（2）解：CD BD =Q ，B DCB \Ð=Ð，又CDE B Ð=ÐQ ，DCB CDE \Ð=Ð，CE DE \=，如图2，在DE 上取点F ，使得FD BE =，在CDF D 和DBE D 中，DF BE CDE B CD DB =ìïÐ=Ðíï=î，()CDF DBE SAS \D @D ，CF DE CE \==，又CH EF ^Q ，FH HE \=，28DE BE DE DF EF EH \-=-===．15.（2021春•榆次区校级期末）综合与实践（1）观察理解：如图1，ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD l ^，AE l ^，垂足分别为D ，E ，由此可得：90AEC CDB Ð=Ð=°，所以90CAE ACE Ð+Ð=°，又因为90ACB Ð=°，所以90BCD ACE Ð+Ð=°，所以CAE BCD Ð=Ð，又因为AC BC =，所以(AEC CDB D @D AAS )；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE AB ^，且AE AB =，BC CD ^，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S = ；（3）类比探究：如图3，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转90°至AB ¢，连接B C ¢，求△AB C ¢的面积．（4）拓展提升：如图4，点B ，C 在MAN Ð的边AM 、AN 上，点E ，F 在MAN Ð内部的射线AD 上，1Ð、2Ð分别是ABE D 、CAF D 的外角．已知AB AC =，12BAC Ð=Ð=Ð．求证：CF EF BE +=；（5）拓展应用：如图5，在ABC D 中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，12BAC Ð=Ð=Ð．若ABC D 的面积为15，则ACF D 与BDE D 的面积之和为 ．【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可．（2）利用“三垂模型”证明三角形全等，利用全等三角形的性质，解决问题即可．（3）如图3，过B¢作B E AC¢^于E，构造全等三角形解决问题即可．D@D，可得结论．（4）证明()ABE CAF ASA（5）利用（4）中结论，解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，Q，BD DE^，^AE DE\Ð=Ð=°，AEC CDB90\Ð+Ð=°，90CAE ACE又90ACBQ，Ð=°\Ð+Ð=°，90BCD ACE\Ð=Ð，CAE BCD在AEC D 和CDB D 中，CAE BCD AEC CDB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AEC CDB AAS \D @D 故答案为：AAS ．（2）如图2中，AE AB =Q ，90EAB Ð=°，BC CD =，90BCD Ð=°，由（1）得：EFA AGB D @D ，BGC CHD D @D ，6AG EF \==，3AF BG ==，4CG DH ==，3CH BG ==，\()11122461626324380181250222AEF CHD EFHD S S S S D D =--=+´-´´´-´´´=--=梯形．故答案为50．（3）如图3，过B ¢作B E AC ¢^于E ，由旋转得：AB AB =¢，90BAB ¢Ð=°Q ，由（1）可知AEB BCA ¢D @D ，4AC B E ¢\==，\1144822AB C S AC B E ¢¢=×=´´=V ．（4）如图4中，12BAC Ð=Ð=ÐQ ，1BAE ABE Ð=Ð+Ð，BAC BAE CAF Ð=Ð+Ð，2FCA CAF Ð=Ð+Ð，ABE CAF \Ð=Ð，BAE FCA Ð=Ð，在ABE D 和CAF D 中，ABE CAF AB ACBAE ACF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABE CAF ASA \D @D ，BE AF \=，CF AE =，CF EF AE EF AF BE \+=+==．（5）如图5中，ABC D Q 的面积为15，2CD BD =，ABD \D 的面积是：11553´=，由图4中证出ABE CAF D @D ，ACF \D 与BDE D 的面积之和等于ABE D 与BDE D 的面积之和，即等于ABD D 的面积，是5，故答案为：5．。
中考数学几何经典模型之“三垂直模型”.doc
中考数学几何经典模型之“三垂直模型”两个全等的三角形△ACD≌△BEC，拼成如图形状，使得A、C、B三点共线。
条件：△ACD≌△BEC结论：1、△DCE是等腰直角三角形2、AB=AD+BE二、模型变形：条件：△ABD≌△BEC结论：1、BD⊥CE2、AC=BE-AD三、模型应用：在下列各图中构造出三垂直模型：1、△OCD为等腰直角三角形2、四边形OABC为正方形“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹，下面看一道典型例题，从这道题大家可以体会到“三垂直模型”的强大之处。
例题分析：如图，在△ABC中，∠C=90°,D、E分别为BC、AC上一点，BD=AC，DC=AE，BE与AD交于点P，求∠ADC+∠BEC.如图，过点B作BF⊥BC，且BF=AE=CD，连接AF，∠FBC=90°∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∠FBC=∠DCA．∴BF∥AC，∴四边形AFBE为平行四边形．∴∠BFA=∠AEB．在△BDF和△CAD中，BF＝CD∠FBC＝∠DCABD＝CA∴△BDF≌△CAD（SAS）．∴∠BFD=∠ADC，∠BDF=∠DAC，DF=DA．∵∠ADC+∠DAC=90°，∴∠ADC+∠BDF=90°，∴∠ADF=90°，∴∠DFA=∠DAF=45°．∵∠AEB+∠BEC=180°，∴∠AFB+∠BEC=180°，∴∠BFD+∠DFA+∠BEC=180°，∴∠ADC+∠AFD+∠BEC=180°，∠ADC+∠BEC=135°．故答案为：135．。
三垂直全等模型
三垂直全等模型模型 三垂直全等模型如图：∠D ＝∠BCA ＝∠E ＝90°，BC ＝AC .结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE .模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.图③A图④DE ABC例1 如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE ＝DE ，求证：AB ＋CD ＝BC . DAB证明：∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°.∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°.∴∠BAE ＝∠CED .在△ABE 和△ECD 中，B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△ECD . A∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ EDA解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. xy图①BA (0,3)C (-2,0)O x y 图②C (0，3)A O B (-1,0)解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°.∴∠DBC ＝∠ACO .在△BCD 和△CAO 中，BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△CAO .∴CD ＝OA ，BD ＝OC .∵OA ＝3，OC ＝2.∴CD ＝3，BD ＝2.∴OD ＝5.∴B （－5，2）. xy图③BA (0,3)C (-2,0)OD（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .在△ACD 和△CBO 中，ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBO .∴CD ＝OB ，AD ＝CO .∵B （－1，0），C （0，3）∴OB ＝1，OC ＝3.∴AD ＝3，OD ＝2.∴OD ＝5.∴A （3，2）. xy图④C (0，3)A OB (-1,0)D1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .FA证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△BCF .∴AE ＝BF .（2）∵△ABE ≌△BCF .∴∠BAE ＝∠CBF .∵∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF .2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____. c b aD A解答：∵a 、b 、c 都是正方形，∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠DCE .在△ABC 和△CBE 中，ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△CDE .∴AB ＝CE ，BC ＝DE .在Rt △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .（1）求证：EF ＝CF －BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.FC A BPP解答：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°.∴∠F AC ＋∠ACF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF .在△ABE 和△CAF 中，AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE －AF ，∴EF ＝CF －BE .（2）如图，EF ＝BE ＋CF .理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE ＋AF ，∴EF ＝ BE ＋ CF . FA4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将 腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE .（1）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（2）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD 的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积S 与α的关系式；若无关，请证明结论.D解答：（1）1；（2）1；（3）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 延长线于点F .∵AD ∥BC ，DG ⊥BC ，∴∠GDF ＝90°.又∵∠EDC ＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD 和△EFD 中，12DGE DFE CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCG ≌△DEF∴EF ＝CG ，∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，∴BG ＝AD ＝2，∴CG ＝1.∴EAD S ＝12AD ·EF ＝1. ∴△EAD 的面积与α大小无关. 12FD5．向△ABC 的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ，过A 作AH ⊥BC 于H ，AH 的反向延长线与EG 交于点P . 求证：BC ＝2AP . PE AG解答：过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N .∵四边形ACFG 是正方形，∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°.∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°.又∵AH ⊥BC ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∴∠ACH ＝∠GAM .在△ACH 和△GAM 中，AHC GMA ACH GAM AC GA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ACH ≌△GAM∴CH ＝AM ，AH ＝GM .同理可证△ABH ≌△EAN∴BH ＝AN ，AH ＝EN .∴EN ＝GM .在△EPN 和△GPM 中， EPN GPM ENP GMP EN GM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPN ≌△GPM . ∴NP ＝MP ，∴BC ＝BH ＋CH＝AN ＋AM＝AP ＋PN ＋AP －PM ＝2AP . P EAG M。
初中数学几何模型之三垂直模型
数学模型-三垂直模型一，三垂直与勾股定理模型分析：赵爽弦图：设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c ∴四个直角三角形面积=2ab，中心正方形面积=（b-a）²=b²-2ab+a²∴大正方形面积=c²=a²+b²毕达哥拉斯内弦图大正方形的面积=（a+b）2大正方形的面积=四个直角三角形+中心正方形面积=2ab+c2根据等面积法得（a+b）2=2ab+c2∴c²= a²+b²，即c²= a²+b²总统证明勾股定理：将毕达哥拉斯的图形平分即可得到总统证法规律总结：弦图能够解析完全平方定理，如此勾股定理，完全平方和弦图有机结合在一起，体现了数形结合的思想．实例精炼：1. 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值为()A. 113B. 103C. 3D. 83【答案】B【解析】【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【详解】解：将四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y．∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1＋S2＋S3＝10，∴S1＝8y＋x，S2＝4y＋x，S3＝x,∴S1＋S2＋S3＝3x＋12y＝10x＋4y＝10 3,∴S2＝x＋4y＝103．故选B.【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=10求出是解决问题的关键．2. 如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt ABC △中，AC b =，BC a =，90ACB ∠=︒，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求2()a b +的值．【答案】2()=79a b + 【解析】【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出2()5b a -=，237ab =，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论． 【详解】解：小正方形面积=2()5b a -= 4个小直角三角形的面积=142ab ⨯425=- ∴237ab =∴2()a b +2()4b a ab =-+5237=+⨯79=【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．3. （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，所以4×12ab ＋(a －b )2=c 2，即a 2＋b 2=c 2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【答案】（1）见解析；（2）125；（3）见解析【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．【详解】（1）S梯形ABCD=1()()2a b a b++221122a ab b=++，S梯形ABCD=211222ab c⨯+∴12a2＋ab＋12b2=2×12ab＋12c2即a2＋b2=c2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，，∵设斜边上的高为h ，直角三角形的面积为12×3×4＝12×5×h ， ∴h ＝125 故答案为125； （3）∵图形面积为：（a−2b ）2＝a 2−4ab ＋4b 2， ∴边长为a−2b ， 由此可画出的图形如下：【点睛】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．4. 【阅读理解】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为()212a b +或者是211222ab c ⨯+，因此得到()221112222a b ab c +=⨯+，运用乘法公式展开整理得到222+=a b c ．【尝试探究】（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你根据古人的拼图完成证明．（2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你帮助完成．【实践应用】（3）已知a 、b 、c 为Rt ABC △的三边()c b a >>，试比较代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等． 【解析】【分析】[尝试探究]（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论； （2）根据图形面积的不同求法即可得到结论；[实践应用]（3）分解因式，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：[尝试探究]（1）图中大正方形的面积可表示为2()a b +，也可表示为214()2c ab +⨯，即221()4()2a b c ab +=+⨯，222a b c ∴+=；（2）图中大正方形的面积可表示为2c ，也可表示为21()4()2b a ab -+⨯，即221()4()2b a abc -+⨯=，222a b c ∴+=；[实践应用]（3）2222222()a c a b a c b +=+，442222222()()()c b c b c b c b a -=+-=+，∴代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. 我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD 的面积是_______【答案】1． 【解析】【分析】根据勾股定理可得股b=4，则小正方形ABCD 的边长为b-a ，最后根据正方形面积公式计算即可． 【详解】解：∵勾a=3，弦c=5∴股4== ∵小正方形ABCD 的边长为b-a=4-3=1 ∴小正方形ABCD 的面积是1． 故答案为1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．6. 把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为_____．【答案】1．【解析】【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【详解】解：图2小正方形ABCD的边长=3﹣2＝1，图2小正方形ABCD的面积=1×1＝1,故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形ABCD的边长．二，三垂直与全等和相似模型分析：规律总结：由同角的余角相等得到∠1=∠C，∠2=∠A，结合边长信息即可证明全等．★补充：射影定理直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．公式：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）（BD）²=AD•DC，（2）（AB）²=AD•AC ，（3）（BC）²=CD•CA．直角三角形射影定理的证明在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD BDBD CD=即BD²=AD•DC．其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD•AC，BC²=CD•CA两式相加得：AB²+BC²=（AD•AC）+（CD•AC）=（AD+CD）•AC=AC²．规律总结：由三垂直得到射影定理，能够得到边长平方与斜边之间的关系，是解决边长数量关系的常用方法．实例精炼：7. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a=，HG b=，则斜边BD 的长是（）A. +a bB. ⋅a b【答案】C 【解析】【分析】根据全等三角形的性质，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ，由C E a =，HG b =建立方程组，求解即可得出,22a b a bCD xBC y，然后借助勾股定理即可表示BD.【详解】解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ， ∵CE a =，HG b =，∴x y a y x b+=⎧⎨-=⎩ 解得：22a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故,22a ba bCDBC在Rt BCD ∆中，根据勾股定理得：2222222222a b a b a b BD BC CD +-+⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴BD =. 故选:C.【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含a ，b 的代数式表示CD 和BC 是解决此题的关键.8. 已知Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE ⊥AE ，过点B 作BD ⊥AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求∠EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG ⊥FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，∠EHB =∠BHG ，求线段EH 的长．【答案】（1）见解析；（2）∠EDH ＝45°；（3）EH ＝【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE ≌△ABD ，进而利用全等三角形的性质得出AE ＝BD 即可；（2）根据全等三角形的判定得出△AEH ≌△BDH ，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）过点M 作MS ⊥FH 于点S ，过点E 作ER ⊥FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET ∥BC ，根据全等三角形判定和性质解答即可．【详解】证明：（1）∵CE ⊥AE ，BD ⊥AE ，∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACE +CAE ＝∠CAE +∠BAD ＝90°，∴∠ACE ＝∠BAD ，在△CAE 与△ABD 中ACE BAD AEC ADB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAE ≌△ABD （AAS ），∴AE ＝BD ；（2）连接AH∵AB ＝AC ，BH ＝CH ，∴∠BAH ＝11904522BAC ∠=⨯︒=︒，∠AHB ＝90°，∴∠ABH ＝∠BAH ＝45°，∴AH ＝BH ，∵∠EAH ＝∠BAH ﹣∠BAD ＝45°﹣∠BAD ，∠DBH ＝180°﹣∠ADB ﹣∠BAD ﹣∠ABH ＝45°﹣∠BAD ，∴∠EAH ＝∠DBH ，在△AEH 与△BDH 中 AE BD EAH DBH AH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEH ≌△BDH （SAS ），∴EH ＝DH ，∠AHE ＝∠BHD ，∴∠AHE +∠EHB ＝∠BHD +∠EHB ＝90°即∠EHD ＝90°，∴∠EDH ＝∠DEH ＝18090452︒-︒=︒； （3）过点M 作MS ⊥FH 于点S ，过点E 作ER ⊥FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET ∥BC ，交HR 的延长线于点T ．∵DG ⊥FH ，ER ⊥FH ，∴∠DGH ＝∠ERH ＝90°，∴∠HDG +∠DHG ＝90°∵∠DHE ＝90°，∴∠EHR +∠DHG ＝90°，∴∠HDG ＝∠HER在△DHG 与△HER 中HDG HER DGH ERH DH EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHG ≌△HER （AAS ），∴HG ＝ER ，∵ET ∥BC ，∴∠ETF ＝∠BHG ，∠EHB ＝∠HET ，∠ETF ＝∠FHM ，∵∠EHB ＝∠BHG ，∴∠HET ＝∠ETF ，∴HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中ETF FHM EFT MFH EF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFT ≌△MFH （AAS ），∴HF ＝FT ， ∴22HF MS FT ER =， ∴ER ＝MS ，∴HG ＝ER ＝MS ，设GH ＝6k ，FH ＝5k ，则HG ＝ER ＝MS ＝6k ， 563022HF MS k k==， k∴FH ＝，∴HE ＝HT ＝2HF ＝．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．9. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．10. 在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图①，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图②，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图③，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，3AE =,2OE =,求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）8【解析】【分析】（1）根据“一线三垂直”模型，可以证得A AOB CD ∆∆≌；（2）过点C 作CM ⊥CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，利用旋转模型证明BCM ∆≌()ACO ASA ∆，由外角的性质计算即可；（3）在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，利用等腰直角△AOB ，等边△BOC 证得OAE ∆≌()OCH SAS ∆，通过等角代换证明HOE ∆为等边三角形，由线段和计算即可得到结果．【详解】（1）∵∠BAC=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠DAC=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAC=∠ABO ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=AC ，在△AOB 和△CDA 中，ABO DAC AOB CDA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△CDA （AAS ）（2）如图②，过点C 作CM ⊥CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，90MCO ACB ∴∠=∠=，BCM ACO ∴∠=∠，90BCA AOB ∠=∠=，BNC ANO ∠=∠，CBM OAC ∴∠=∠，∵AC=BC ，BCM ∴∆≌()ACO ASA ∆，CM CO ∴=，45COM CMO ∴∠=∠=，9045135AOC ∴∠=+=，故答案为：135°．（3）如图③，在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，∵△AOB 是等腰直角三角形，△BOC 是等边三角形，所以AO BO CO ==，OAE OCH ∴∠=∠，OAE ∴∆≌()OCH SAS ∆，OH OE ∴=，AE=CH=3，∠AOE=∠COH ，OD AB ⊥，∠AOB=90°，45AOE BOE ∴∠=∠=，45COH ∴∠=，∠BOH=∠BOC-∠COH=60°-45°=15°， 154560HOE ∴∠=+=，HOE ∴∆为等边三角形，2HE EO ∴==，3238AC CH HE AE ∴=++=++=，故答案为：8．【点睛】本题考查了“一线三垂直”模型，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角代换的应用，计算线段和的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11. 如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ；(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样．【详解】(1)不成立．DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ，理由如下：如图，∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =， ∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE(AAS)，∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CE-CD=AD-BE ；(2)结论：DE=BE-AD ．∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB(AAS)，∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CD-CE=BE-AD ．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．12. 如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ．（1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点，求证：FD ＝BC ；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若AG ＝3，CG ＝1，求证：E 点为BC 中点；（3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若BC ＝4，BE ＝3，则AG CG＝ （直接写出结果） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53 【解析】【分析】(1)证明△AFD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF =AC ，等量代换证明结论；(2)作FD ⊥AC 于D ，证明△FDG ≌△BCG ，得到DG =CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；(3)过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG =GD ，AD =CE =7，代入计算即可．【详解】(1)∵FD ⊥AC ，∴∠FDA =90°，∴∠DF A +∠DAF =90°，∠CAE +∠DAF =90°，∴∠DF A =∠CAE ，在△AFD 和△EAC 中，AFD EACADF ECA AF AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFD ≌△EAC (AAS )，∴DF =AC ，∵AC =BC ，∴FD =BC ；(2)作FD ⊥AC 于D ，由(1)得，FD =AC =BC ，AD =CE ，在△FDG 和△BCG 中，90FDG BCG FGD BGC FD BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FDG ≌△BCG (AAS )，∴DG =CG =1，∴AD =2，∴CE =2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E点为BC中点；(3)当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴741.52CG DG AD AC-==-==，∴4 1.5111.53 AG AC CGCG CG++===，当点E在线段BC上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB-BE=1，由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=1，∴411.52CG DG AC AD-==-==，∴1 1.551.53 AG AD DGCG CG++===，故答案为：113或53． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，本题中求证△ADF ≌△ECA 、△GDF ≌△GCB 是解题的关键．三，三垂直与直角坐标系模型分析：规律总结：在坐标系中，一般利用点的坐标的几何含义作垂线，构建三垂直模型进行解题．具体考题中一般结合面积进行展开，常见的有一次函数与反比例函数的面积，二次函数中面积得最值等．实例精炼：13. 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点A 、B 分别是x 轴和y 轴上的一动点，点C 的横坐标为3-，求点B 的坐标.【答案】B （0，-3）．【解析】【分析】如图，作CD ⊥y 轴于M ，则CD=3，证明△BCD ≌△ABO(AAS)即可求得答案.【详解】如图，作CD ⊥y 轴于M ，则CD=3，∵∠ABC=∠AOB=90゜，∴∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBD=∠BAO ，又∵∠BDC ＝∠AOB=90°，BC ＝AB ，∴△BCD ≌△ABO(AAS)，∴OB=CD=3，∴B(0，-3)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标，正确添加辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.14. 如图所示，()1,0A -，()0,3B ，以AB 为边作正方形ABCD ，求C ，D 的坐标.【答案】()3,4C -；()4,1D -【解析】【分析】本题有A 、B 两个点都在坐标轴上，且正方形在坐标轴的同侧（基本上在第二象限），故只须过C ，D 两点分别向坐标轴作垂线即可. 作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，证明△BCE ≌△ABO ，得出对应边相等BE =OA =1，CE =BO =3，同理得出DF =OA =1，AF =BO =3，再求出OE 、OF ，即可得出结果．【详解】解：作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，如图所示：则∠CEB =∠AFD =90°，∴∠1+∠3=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，BC =AB ，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△BCE 和△ABO 中，1290CEB BOA BC AB ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△BCE ≌△ABO （AAS ），∴BE =OA =1，CE =BO =3，同理得：DF =OA =1，AF =BO =3，∴OE =4，OF =4，∴C （-3，4），D （-4，1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．当正方形的部分点在坐标轴上，且整个正方形在坐标轴的同侧时，往往过另外的点向坐标轴作垂线，从而得到“形外三垂直”的基本图形.15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 在x 轴上，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，且A （2，0）、B （3，3），BC 交y 轴于M ，（1）求点C 的坐标；（2）连接AM ，求△AMB 的面积；（3）在x 轴上有一动点P ，当PB +PM 的值最小时，求此时P 的坐标．【答案】（1）C的坐标是（﹣1，1）；（2）154；（3）点P的坐标为（1，0）．【解析】【分析】（1）作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，证明CDA≌AEB△，根据全等三角形的性质得到CD＝AE，AD＝BE，求出点C的坐标；（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，得到OM的长，根据梯形的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案；（3）根据轴对称的最短路径问题作出点P，求出直线B M 的解析式，根据x轴上点的坐标特征求出点P的坐标．【详解】解：（1）如图，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ACD，在CDA和AEB△中，ACD BAE ADC BEA CA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CDA ≌AEB △（AAS ），∴CD ＝AE ，AD ＝BE ，∵A （2，0）、B （3，3），∴OA ＝2，OE ＝BE ＝3，∴CD ＝AE ＝1，OD ＝AD ﹣OA ＝1，∴C 的坐标是（﹣1，1）；（2）如图，作BE ⊥x 轴于E ，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∵B 点的坐标为（3，3），C 点的坐标是（﹣1，1），∴331k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得，1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝12x +32， 当x ＝0时，y ＝32， ∴OM ＝32，∴AMB的面积＝梯形MOEB的面积﹣AOM的面积﹣AEB△的面积＝12×（32+3）×3﹣12×2×32﹣12×1×3＝154；（3）如图，作M关于x轴的对称点M'（0，﹣32），连接B M'，交x轴于点P，此时PB+PM=PB+P M'=B M'的值最小，设直线B M'的解析式为y＝mx+n，则3332m nn+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得，3232mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线B M'的解析式为y＝32x﹣32，点P在x轴上，当y＝0时，x＝1，∴点P的坐标为（1，0）．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求一次函数解析式和求两线段和的最小值，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、利用待定系数法求一次函数解析式和轴对称的最短路径问题是解决此题的关键．16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴正半轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ．（1）如图1，直线3y x =-+经过点B 、点C ，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 为该抛物线223y x nx =-+的顶点，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点P ，当FP EP ⊥时，求P 点的纵坐标．（3）如图3，在（1）（2）的结论下，抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点G ，作⊥GH x 轴于点H ，延长EP 交GH 于K，当GK =时，求G 点的坐标．【答案】（1）243y xx =-+；（2）点P 的纵坐标为2；（3）G 点的坐标为（2+11）．【解析】【分析】（1）由直线的解析式，先求出点B 、C 的坐标，结合点A 的坐标，利用待定系数法即可得到答案；（2）把点A 代入，求出n 的值，然后得到点C 和点E 的坐标，然后求出点F 的坐标，设点P 为（x ，233x x -+），由FP EP ⊥，即可求出点P 的横坐标，即可求出点P 的纵坐标；（3）过点P 作PI ⊥GH 于点I ，先求出直线PE 的解析式，得到PK=2PI ，然后设点G 为（m ，243m m -+），表示出GK的长度，结合GK =，得到关于m 的一元二次方程，解方程求出m 的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵3y x =-+经过点B 、点C ，∴令0y =，3x =，令0x =，3y =，∴点B 为（3，0），点C 为（0，3），设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C ，三点代入解析式，得： 09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴243y x x =-+；（2）∵点A （1，0）在抛物线223y x nx =-+图像上，则1230n -+=，∴2n =，∴2243(2)1y x x x =-+=--，∴顶点E 为（2，1-）， 令x=0，则3y =， ∴点C 为（0，3）， ∵EF 垂直平分CD ，∴点D 的坐标为（4，3），点F 的坐标为（2，3）， ∵点P 在抛物线243y xx =-+上，则设点P 为（x ，243x x -+）， 又∵E 为（2，1-），F 为（2，3）， ∴2244(2)222EPx x x k x x x -+-===---，24(4)22FP x x x x k x x --==--， ∵FP EP ⊥， ∴1EP FP k k ∙=-， ∴(4)(2)12x x x x --∙=--，解得：2=±x∵点P 在对称轴右侧，则2x >，∴点P 的横坐标为2x =+ ∴点P 的纵坐标为：22243(2)1(22)12y x x x =-+=--=+--=； （3）如图：过点P 作PI ⊥GH 于点I ，∵点E （2，1-），点P 为（2，2），∴可求出直线PE 的解析式为：1y =--， ∴∠KPI=60°， ∵PI ⊥GH ，∴∠KIP=90°，∠PKI=30°， ∴PK=2PI ， ∵点G 在抛物线243y xx =-+图像上，则设点G 为（m ，243m m -+），∴点K 的坐标为（m 1--∴GK=2243144m m m m -+--=-++∵第P 的坐标为（2，2），∴点I 的坐标为（m ，2+），∴PI=2m -，∴PK=24m --∵GK =，∴244(24m m m -++=--，解得：12m =+，22m =当2m =+时，点G 与点P 、点K 重合， ∴0GK PK ==；不符合题意，舍去；∴点G 的横坐标为2+∴点G 的纵坐标为：2(24(2311y =+-⨯++=，∴点G 的坐标为（2+11）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的性质，以及一次函数的性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质，运用数形结合的思想进行解题．17. 如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于AB 、两点， O M AB ⊥于点M ，点P 为直线l 上不与点A B 、重合的一个动点. (1)求线段OM 的长；(2)当BOP △的面积是6时，求点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与OMP 全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，否则，说明理由.【答案】(1)12 5； (2) (-4，6)； (3) (125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125)【解析】【分析】(1)先求得点A 、B 的坐标，可求得OA 、OB 、AB 的长，利用面积法即可求得OM 的长；(2)先画图，确定△BOP 面积可以BO 为底，P 到y 轴距离为高求得P 到y 轴距离，再分类讨论求得答案；(3)分△OMP ≌△PQO 与△OMP ≌△OQP 两种情况讨论，结合图象分析即可求解． 【详解】(1)对于直线334y x =-+， 令0x =，则3y =，令0y =，则4x =， 点A 、B 的坐标分别是(4，0)，(0，3)，∴OA=4，OB=3，5==，∵11••22OA OB AB OM =，∴341255OM ⨯==； (2)过P 作PC ⊥y 轴于C ，如图1，∴12BOPS=OB•PC=6， ∴PC=4，∴点P 的横坐标为4或-4，∵点P 为直线l 上的一个动点且不与A 、B 重合， ∴横坐标为4时，与A 重合，不合题意，∴横坐标为-4时，纵坐标为：()34364-⨯-+=， ∴当点P 坐标为(-4，6)时，△BOP 的面积是6； (3)存在，理由如下：①当△OMP ≌△PQO 时，如图2和图3，由(1)得125OM =， ∴PQ=OM=125，即P 点横坐标为125-或125， 纵坐标为：312243455⎛⎫-⨯-+= ⎪⎝⎭或31263455-⨯+=，此时点P的坐标为(125-，245)，(125，65)；②当△OMP≌△OQP时，如图4和图5，∴OQ=OM=125，即即点P、点Q纵坐标为125-或125，由312345x-+=-，解得：365x=；由312345x-+=，解得：45x=；此时点P的坐标为(365，125-)，(45，125)；综上所述，符合条件的点P的坐标为(125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125) ．【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，考查了三角形及全等三角形的性质，体现了数形结合思想和分类讨论思想．解题关键是通过画图进行分类讨论．18. 如图,直线AB与坐标轴分别交于点A、点B,且OA、OB的长分别为方程x2－6x+8=0的两个根（OA＜OB）,点C在y轴上,且OA︰AC=2︰5,直线CD垂直于直线AB于点P,交x轴于点D.（1）求出点A 、点B 的坐标. （2）请求出直线CD 的解析式.（3）若点M 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B 、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直线CD 的解析式:y CD =－2x+7;（3）存在，()1 5.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，． 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法得出OA=2，OB=4，即可得出的A ，B 的坐标；（2）首先利用角之间的关系得出△BOA ∽△COD ，即可得出D 点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；（3）先求出P 点坐标（2，3），再根据平行四边形的性质，当PM=BD ，M 可在第一象限或第二象限，以及BM=PD 时M 在第三象限分别分析直接得出答案． 【详解】(1)∵2680x x +=－ ∴124,2x x ==∵OA 、OB 为方程的两个根，且OA ＜OB ∴OA=2，OB=4,∴ A(0,2)，B(－4,0), (2)∵OA:AC=2:5 ∴ AC=5∴OC=OA+AC=2+5=7 ∴ C(0,7),∵∠BAO=∠CAP,∠CPB=∠BOA=90O ∴∠PBD=∠OCD ∵∠ BOA=∠COD=90O ∴△BOA ∽△COD ∴=∴ OD===,∴D(,0)设直线CD 的解析式为y kx b =+ 把x=0,y=7;x=,y=0分别代入得：7702b kb =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴72b k =⎧⎨=-⎩∴y CD =－2x+7,(3)存在，()02A ，,()40B -，∴设直线AB 的解析式为：y kx b =+240b k b =⎧∴⎨-+=⎩解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故直线AB 的解析式为：122y x =+ 将直线AB 与直线CD 联立12227y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23x y =⎧⎨=⎩∴P 点坐标()2,3702D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()40B -， 7.5BD ∴=当1PM BD 是平行四边形则17.5BD PM ==1 5.5AM ∴=()1 5.53M ∴-，当2PBDM 是平行四边形 则27.5BD PM ==29.5AM ∴=()29.53M ∴，P 到x 轴距离等于3M 到x 轴距离，故3M 的纵坐标为-36BE DF BD DE ==-= 6 3.5 2.5FO ∴=-=∴3M 的横坐标为2.5 ∴3M 的坐标为()2.5,3--综上所述M 点的坐标为：()1 5.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，． 19. 【模型建立】（1）如图1，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ⊥ED 于点D ，过点B 作BE ⊥ED 于点E ，求证：△BEC ≌△CDA ； 【模型应用】（2）如图2，已知直线l 1：y ＝32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线l 1绕点A 逆时针旋转45°至直线l 2；求直线l 2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B （3，﹣4），过点B 作BA ⊥x 轴于点A 、BC ⊥y 轴于点C ，点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线y ＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD 能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．【答案】（1）见详解；（2）510y x =--；（3）点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）．【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB ，角角边证明△CDA ≌△BEC ；（2）证明△ABO ≌∠BCD ，求出点C 的坐标为（-3，5），由点到直线上构建二元一次方程组求出k=-5，b=-10，待定系数法求出直线l 2的函数表达式为y=-5x-10；（3）构建△MCP ≌△HPD ，由其性质，点D 在直线y=-2x+1求出m=103-或n=0或43-，将m 的值代入，得点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）． 【详解】解：（1）如图1所示：∵AD ⊥ED ，BE ⊥ED ， ∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BEC=90°，又∵∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△CDA 和△BEC 中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDA ≌△BEC （AAS ）；（2）过点B 作BC ⊥AB 交AC 于点C ，CD ⊥y 轴交y 轴于点D ，如图2所示：∵CD ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，∴∠CDB=∠BOA=90°，又∵BC ⊥AB ，∴∠ABC=90°，又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD=180°，∴∠ABO+∠CBD=90°，又∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBD ，又∵∠BAC=45°，∴∠ACB=45°，∴AB=CB ，在△ABO 和∠BCD 中，AOB BDC BAO CBD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌∠BCD （AAS ），∴AO=BD ，BO=CD ，又∵直线l 1：y=32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点A 、B 两点的坐标分别为（-2，0），（0，3），∴AO=2，BO=3，∴BD=2，CD=3，∴点C 的坐标为（-3，5），设l 2的函数表达式为y=kx+b （k≠0），点A 、C 两点在直线l 2上，依题意得：2035k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， ∴510k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线l 2的函数表达式为y=-5x -10；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，①若点P 为直角时，如图3甲所示：设点P 的坐标为（3，m ），则PB 的长为4+m ，∵∠CPD=90°，CP=PD ，∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°，。
中考必会几何模型：三垂直全等模型
三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.图③图④DEABC例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.D证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED.在△ABE和△ECD中，AB C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ECD .∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？EDAB解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.xy图①BA (0,3)C (-2,0)O解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°.∴∠DBC ＝∠ACO .在△BCD 和△CAO 中，BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△CAO .∴CD ＝OA ，BD ＝OC .∵OA ＝3，OC ＝2.∴CD ＝3，BD ＝2.∴OD ＝5.∴B （－5，2）.（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .在△ACD 和△CBO 中，ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBO .∴CD ＝OB ，AD ＝CO .∵B （－1，0），C （0，3）∴OB ＝1，OC ＝3.∴AD ＝3，OD ＝2.∴OD ＝5.∴A （3，2）. 跟踪练习1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .F证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△BCF .∴AE ＝BF .（2）∵△ABE ≌△BCF .∴∠BAE ＝∠CBF .∵∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF .2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____.解答：∵a 、b 、c 都是正方形，∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠DCE .在△ABC 和△CBE 中，ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△CDE .∴AB ＝CE ，BC ＝DE .在Rt △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .（1）求证：EF ＝CF －BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.P解答：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°.∴∠F AC ＋∠ACF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF .在△ABE 和△CAF 中，AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE －AF ，∴EF ＝CF －BE .（2）如图，EF ＝BE ＋CF .理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE ＋AF ，∴EF ＝ BE ＋ CF .4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将 腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE .（1）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（2）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD 的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积S 与α的关系式；若无关，请证明结论.EADB解答：（1）1；（2）1；（3）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 延长线于点F .∵AD ∥BC ，DG ⊥BC ，∴∠GDF ＝90°.又∵∠EDC ＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD 和△EFD 中，12DGE DFE CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCG ≌△DEF∴EF ＝CG ，∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，∴BG ＝AD ＝2，∴CG ＝1.∴EADS ＝12AD ·EF ＝1. ∴△EAD 的面积与α大小无关.5．向△ABC 的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ，过A 作AH ⊥BC 于H ，AH 的反向延长线与EG 交于点P . 求证：BC ＝2AP .PFD E AG解答：过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N . ∵四边形ACFG 是正方形，∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°.∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°.又∵AH ⊥BC ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∴∠ACH ＝∠GAM .在△ACH 和△GAM 中，AHC GMAACH GAM AC GA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ACH ≌△GAM∴CH ＝AM ，AH ＝GM .同理可证△ABH ≌△EAN∴BH ＝AN ，AH ＝EN .∴EN ＝GM .在△EPN 和△GPM 中，EPN GPMENP GMP EN GM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△EPN ≌△GPM .∴NP ＝MP ，∴BC ＝BH ＋CH＝AN ＋AM＝AP ＋PN ＋AP －PM＝2AP .。
三垂直模型与全等综合剖析.docx
K模型图与全等知识点基本图形本题 8 分）如图，在等腰Rt △ABC中，∠ACB=90 °，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，求证：AF＝CF．22 ．边长为 1 的正方形 ABCD 中， E 是 AB 中点，连CE，过 B 作 BF⊥ CE 交 AC 于 F，求AF.D CFHA EB 【例 8】CFEA D B【例 9 】等腰 Rt △ABC 中∠ACB ＝ 90 °，AC=BC ； F 是 BC 上的中点，连AF ，作 CD ⊥ AF 于 E，交 AB 于 D；连 FD. 求证： AD ＝2BD ；【例 3 】已知△ABC 中 ,∠C=90 ,AC=BC,D是AB的中点,E是BC上任一点,EP⊥ CB,PF⊥ AC,E、F为垂足 ,CFE求证 :△DEF 是等腰直角三角形.A D P B【例 4 】如图， D 为线段 AB 的中点，在AB 上取异于 D 的点 C，分别以 AC、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与 BCF，连结 DE、 DF、 EF，求证：△ DEF 为等腰直角三角形。
DFEHEAA C D BBFC【例 5 】如图，分别以△ ABC 的边 AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰 Rt △ACE；连接 DE。
AF 是△ABC 的中线，FA 的延长线交DE 于点 H ，求证： DE＝ 2AF【例 6 】如图，在正方形ABCD 中，点 N 是 BC 边上的点。
连接AN ，MN ⊥ AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。
求证： AN ＝ MN9、如图，直线AB 交 x 轴正半轴于点 A（a，0），交 y 轴正半轴于点B（0， b），且 a 、b 满足 a 4+ |4 －b|=0（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB 于 E，求证∠BDO=∠EDA；yBEFO D A x（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt△PBM ，其中 PB= PM，直线 MA 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x轴上运动时，线段 OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段 OQ 的取值范围.yM BO A PxQ 1024 ．（ 12分）如图， VCOD 等腰直角三角形， CA ⊥ x 轴。
模型研究初中几何模型之三垂直模型
模型研究初中几何模型之三垂直模型一、三垂直模型的概念我们在学习勾股定理的时候，学习了多种证明方法，其中有一种方法叫做总统证法，是1875年美国总统加菲尔德证明的，他将两个全等的三角形△ABC≌△CDE，拼成如图形状，使得B、C、D三点共线，易得△ACE为等腰直角三角形，四边形ABDE为直角梯形，假设三角形三边长分别为a，b，c，则四边形ABDE的面积可用两种方法表示：S=1/2ab+1/2ab+c²=1/2(a+b)(a+b)整理可得a²+b²=c²这就是勾股定理的总统证法。
上面这个图形。
我们把它称为三垂直模型，这个模型有以下几个结论：1、△ABC≌△CDE2、△ACE是等腰直角三角形3、BD=AB+DE其实，三垂直模型可以看做是由弦图模型得来的，如下图，弦图模型分为内弦图和外弦图，是由四个全等的直角三角形拼接而成的，将外弦图的两个三角形拿掉，就得到了三垂直模型。
当然从内弦图中还可以得到三垂直模型的变形：以上所述三垂直是由两个全等的直角三角形拼成的，这样的三垂直我们把它叫做全等型三垂直，那么如果是两个相似的直角三角形拼成如图形状，就变成了相似型三垂直，相似型三垂直有如下结论：1、△ABC∽△CDE2、AB:CD=BC:DE=AC:CE三垂直的应用非常广泛，在三角形、四边形、平面直角坐标系、网格、一次函数、反比例函数、二次函数、三角函数、圆中都会出现，在中考等大型考试中也是常考内容，所以大家一定要熟练掌握。
二、三垂直模型的构造方法：一般情况下，碰到斜着放置的等腰直角三角形，要想到在直角顶点所在的直线上构造全等型三垂直，若碰到的是一般的直角三角形，则在直角顶点所在的直线上构造相似型三垂直。
在下列各图中构造出三垂直模型：1、△OCD为等腰直角三角形2、四边形OABC为正方形3、△OAB为直角三角形三、三垂直在不同领域的应用1、在三角形中例1：如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是 .例2：如图，在△ABC中，∠C=90°,D、E分别为BC、AC上一点，BD=AC，DC=AE，BE与AD交于点P，则∠ADC+∠BEC= .2、在矩形中如图,点是矩形ABCD的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,使点D 恰好落在BC边上的F点处。
三垂直模型与全等综合
D P FE BCA K 模型图与齐等之阳早格格创做知识面基原图形原题8分）如图，正在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．（1）供证：AD ⊥CF ；（2）对接AF ，供证：AF ＝CF ．22．边少为1的正圆形ABCD 中，E 是AB 中面，连CE ，过B 做BF ⊥CE 接AC 于F ，供AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC上的中面，连AF ，做CD ⊥AF 于E ，接AB 于D ； 连FD.供证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中面,E 是BC 上任一面,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂脚, 供证:△DEF 是等腰直角三角形.【例4】如图，D 为线段AB 的中面，正在AB 上与同于D的面C ，分别以AC 、BC 为斜边正在AB 共侧做等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，供证：△DEF 为等腰直角三角形.【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 背中做等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；对接DE.AF是△ABC的中线，FA的延少线接DE于面H，供证：DE＝2AF【例6】如图，正在正圆形ABCD中，面N是BC边上的面.对接AN，MN⊥AN接∠DCB的中角仄分线于面M.供证：AN＝MN9、如图，直线AB接x轴正半轴于面A（a，0），接y 轴正半轴于面B（0，b），且a 、b谦脚4 a+ |4－b|=0（1）供A、B二面的坐标；（2）D为OA的中面，对接BD，过面O做OE⊥BD于F，接AB于E，供证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A面左侧任性一面，以BP为边做等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA接y 轴于面Q，当面P正在x轴上疏通时，线段OQ的少是可爆收变更？若没有变，供其值；若变更，供线段OQ的与值范畴.1024．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴.⑴若面C 的坐标是（—2，—4），供D 面的坐标.（4分） ⑵连结CD ，面E 为CD 的中面，供证：AE ⊥BE ；（4分） ⑶如图，面P 是y 轴正半轴是一面，OP=AB ，当面A 、B 正在x 轴上疏通时，∠APB+∠CPD 的值是可爆收变更？若并证明缘由.（4分）“K”为过二顶面做该直线垂线. 例：已知等腰RT △ABC 中，过面A △ABE ≌△CAF衍死：仄里直角坐标系中A （1,3），以OA 为边做正圆形OABC ，供B 、C 坐标.变式：仄里直角坐标系中，面A （4,1），过面O 做一条直线与OA 夹角为45°，供该直线剖析式.衍伸：仄里直角坐标系中直线3:2OA l y x =与单直线k y x=接于面A ，以OA 为边做等腰RT △OAB ，面B 刚刚佳降正在单直线上.供k.原题8分）如图，正在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．（1）供证：AD ⊥CF ；（2）对接AF ，供证：AF ＝CF ． ABC 的直角顶面C 正在x 轴上，面B 正在y 轴上.（1）如图1，若面C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），供面B 的坐标.（2）如图2，直角边BC 正在坐标轴上疏通，使面A 正在第四象限内，过面A 做AD ⊥y 轴于D ，供CO AD BO -的值. 八年级数教每日一题（041-045）P —041如图，如图，正在仄里直角坐标系中，面A 战面B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 谦脚330a b -+=.（1）供面A 、面B 的坐标；（2）面C 是第三象限内一面，以BC 为直角边做等腰直角D yx A O C B O C B A△BCD，∠BCD=90º，过面A战面D分别做直线CO的垂线，垂脚分别是面E、F.试问线段AE、DF、CO之间是可存留某种决定的数量闭系？为什么？P—042 如图，正在仄里直角坐标系中，面A、面C分别正在y轴的正半轴战背半轴上，面B正在x轴正半轴上，∠ABC=90º.面E正在BC延少线上，过面E做ED∥AB，接y轴于面D，接x轴于面F，DO–AO=2CO.（1）供证：AB=DE；（2）若AB=2BC，供证：EF=EC；（3）正在（2）的条件下，若面B的坐标是（2，0），供面E 的坐标.9、如图，直线AB接x轴正半轴于面A（a，0），接y 轴正半轴于面B（0，b），且a 、b谦脚4 a+ |4－b|=0（1）供A、B二面的坐标；（2）D为OA的中面，对接BD，过面O做OE⊥BD于F，接AB于E，供证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A面左侧任性一面，以BP为边做等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA接y 轴于面Q，当面P正在x轴上疏通时，线段OQ的少是可爆收变更？若没有变，供其值；若变更，供线段OQ的与值范畴.10如图，正在仄里直角坐标系xoy中，直线AP接x轴于面P （p，0），接y轴于面A（0，a），且a、b谦脚＋(p＋1)2＝0．（1）供直线AP的剖析式；（2）如图1，面P 闭于y轴的对于称面为Q，R（0，2），面S正在直线AQ上，且SR=SA，供直线RS的剖析式战面S的坐标；（3）如图2，面B（-2，b）为直线AP上一面，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC，面C正在第一象限，D为线段OP上一动面，对接DC，以DC为直角边，面D为直角顶面做等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂脚，下列论断：①2DP+EF的值没有变；②AO−EF的值没有变；其中惟有一个论断精确，请您采用出精确的论断，并供出其定值．如图，正在仄里直角坐标系xoy中，直线AP接x轴于面P （p，0），接y轴于面A（0，a），且a、b谦脚＋(p＋1)2＝0．（1）供直线AP的剖析式；（2）如图1，面P 闭于y轴的对于称面为Q，R（0，2），面S正在直线AQ上，且SR=SA，供直线RS的剖析式战面S的坐标；（3）如图2，面B（-2，b）为直线AP上一面，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC，面C正在第一象限，D为线段OP上一动面，对接DC，以DC为直角边，面D为直角顶面做等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂脚，下列论断：①2DP+EF的值没有变；②AO−EF的值没有变；其中惟有一个论断精确，请您采用出精确的论断，并供出其定值．。
三垂直模型与全等综合之欧阳学文创编
D P FE BCA K 模型图与全等欧阳歌谷（2021.02.01）知识点基本图形本题8分）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD.求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足,求证:△DEF 是等腰直角三角形.【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。
【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。
AF是△ABC的中线，FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。
连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。
求证：AN＝MN9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y 轴正半轴于点B（0，b），且a 、b满足4a+ |4－b|=0（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.1024．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴。
全等压轴(三垂直模型)-学生版
全等压轴（三垂直模型）1．在ABC=．∠=︒，BC AC∆中，90ACB（1）如图①，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的同侧，AD DE⊥于D，BE DE⊥于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的两侧，AD DE⊥于D，BE DE⊥于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由．2．综合与实践．积累经验（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，线段DE 经过点C ，且AD DE ⊥于点D ，BE DE ⊥于点E ．求证：AD CE =，CD BE =”这个问题时，只要证明ADC CEB ∆≅∆，即可得到解决，请写出证明过程；类比应用（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为(0,2)，点C 的坐标为(1,0)，求点B 的坐标．拓展提升（3）如图3，ABC ∆在平面直角坐标系中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为(2,1)，点C 的坐标为(4,2)，则点B 的坐标为 ．3．如图，ABC △是等腰直角三角形，DE 过直角顶点A ，90D E ∠=∠=︒，则下列结论正确的个数有（ ）①CD AE =；②12∠=∠；③34∠=∠；④AD BE =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5AD cm =，1BE cm =，求DE 的长．5．如图所示，直线MN 一侧有一个等腰Rt ABC ∆，其中90ACB ∠=︒，CA CB =．直线MN 过顶点C ，分别过点A ，B 作AE MN ⊥，BF MN ⊥，垂足分别为点E ，F ，CAB ∠的角平分线AG 交BC 于点O ，交MN 于点G ，连接BG ，恰好满足AG BG ⊥．延长AC ，BG 交于点D ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AC CO AB +=．6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆≅∆．进而得到AC = ，BC = ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2,4)，点B 为平面内任一点．若AOB ∆是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标．7．如图，(2,0)A -．（1）如图①，在平面直角坐标系中，以A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若(0,4)B -，求C 点的坐标；（2）如图②，P 为y 轴负半轴上一个动点，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt APD ∆，过D 作DE x ⊥轴于E 点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，试问OP DE -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图③，已知点F 坐标为(4,4)--，G 是y 轴负半轴上一点，以FG 为直角边作等腰Rt FGH ∆，H 点在x 轴上，90GFH ∠=︒，设(0,)G m ，(,0)H n ，当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，m n +的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．。
一线三等角模型之欧阳家百创编
专题九：“一线三角型”模型的应用欧阳家百（2021.03.07）1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 、M 分别在BC 、AC 边上，且APM B ∠=∠，AP=MP ，求证：△APB ≌△PMC 。
分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据 已有的知识经验，学生很快能够解决。
2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图， △ABC 为等边三角形，60APM ︒∠=，BP=1,23CM =，求△ABC 的边长。
3、如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC,3,7,60AD cm BC cm B ︒==∠=， P 为BC 上一点（不与B 、C 重合），连结AP ，过P 点作PM 交DC 于M ，使得APM B ∠=∠。
（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）求AB 的长；（3）在底边BC 上是否存在一点P ，使得DM:MC=5:3？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由。
4、如图，,AB BD CD BD ⊥⊥，且6,4,14AB cm CD cm BD cm ===， 问：在BD 上是否存在P 点，使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C为顶点的三角形相似？如果存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由。
5、已知在梯形ABCD 中，AD//BC,AD BC <，且AD=5,AB=DC=2。
（1）如图a ，P 是AD 上的一点，满足BPC A ∠=∠。
①求证：△ABP ∽△DPC ；②求AP 的长。
（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足BPE A ∠=∠，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么：①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设,AP x CQ y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；②当CE=1时，求出AP 的长。
6、正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，如图。
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D P F
E B
C
A K 模型图与全等
欧阳光明（2021.03.07）
知识点
基本图形
本题8分）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中
点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作
BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接
CF ．
（1）求证：AD ⊥CF ；
（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．
22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是
AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.
【例8】
【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中
点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD.求证：AD ＝2BD ；
【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足,
求证:△DEF 是等腰直角三角形.
【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分
别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。
【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACE ；连接DE 。
AF 是△ABC 的中线，
FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF
【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。
连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。
求证：AN＝MN
9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y 轴正半轴于点
B（0，b），且a 、b满足4
a+ |4－b|=0
（1）求A、B两点的坐标；
（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB 于E，求证∠BDO=∠EDA；
（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P
在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求
其值；若变化，求线段OQ的取值范围.
10
24．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴。
⑴若点C 的坐标是（—2，—4），求D 点的坐标。
（4分）
⑵连结CD ，点E 为CD 的中点，求证：AE ⊥BE ；（4分）
⑶如图，点P 是y 轴正半轴是一点，OP=AB ，当点A 、B 在x 轴上运动时，∠APB+∠CPD 的值是否发生变化？若变化，请你指出其变“K”字型：点作该直线垂线。
例：已知等腰RT △ABC 中，过点A 作直线。
衍生：平面直角坐标系中A （1,3），以OA B 、C 坐标。
变式：平面直角坐标系中，点A （4,1），过点O 作一条直线与OA 夹角为45°，求该直线解析式。
衍伸：平面直角坐标系中直线3:2OA l y x =与双曲线k y x
=交于点A ，以
OA 为边作等腰RT △OAB ，点B 刚好落在双曲线上。
求k 。
本题8分）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中
点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作
BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接
CF ．
（1）求证：AD ⊥CF ；
（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．
5.已知等腰Rt ABC 的直角顶点C 在x 轴
上，点B 在y 轴上。
（1）如图1，若点C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），求点B 的坐标。
（2）如图2，直角边BC 在坐标轴上运动，使点A 在第四象限内，过点A 作AD ⊥y 轴于D ，求
CO AD BO -的值。
八年级数学每日一
题（041-045）
P —041如图，如图，
在平面直角坐标系中，点A 和点B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 330a b -+=.
（1）求点A 、点B 的坐标；
（2）点C 是第三象限内一点，以BC 为直角边作等腰直角△BCD ，∠BCD=90º，过点A 和点D 分别作直线CO 的垂线，垂足分别是点E 、F.试问线段AE 、DF 、CO 之间是否存在某种确定的数量关系？为什么？
P —042 如图，在平面直角坐标系中，点A 、点C 分别在y 轴的正半D y x A
O C B O C B
A
轴和负半轴上，点B在x轴正半轴上，∠ABC=90º.点E在BC延长线上，过点E作ED∥AB，交y轴于点D，交x轴于点F，DO–AO=2CO.（1）求证：AB=DE；
（2）若AB=2BC，求证：EF=EC；
（3）在（2）的条件下，若点B的坐标是（2，0），求点E的坐标.
9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y 轴正半轴于点
B（0，b），且a 、b满足4
a+ |4－b|=0
（1）求A、B两点的坐标；
（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB 于E，求证∠BDO=∠EDA；
（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P
在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求
其值；若变化，求线段OQ的取值范围.
10
如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足
＋(p＋1)2＝0．（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，点P关于y 轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；（3）如图2，点B（-2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF 的值不变；②AO−EF
的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求
出其定值．
如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足
＋(p＋1)2＝0．（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，点P关于y 轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；（3）如图2，点B（-2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF 的值不变；②AO−EF
的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．。