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初中数学竞赛模拟试卷(含详解)

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2023年浙江省宁波市初中学业水平考试数学模拟试卷(探花卷)(含答案解析)

2023年浙江省宁波市初中学业水平考试数学模拟试卷(探花卷)(含答案解析)

2023年浙江省宁波市初中学业水平考试数学模拟试卷（探花卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．．．．5．某班30名学生的身高情况如下表所示，则这30名学生身高的中位数是（）身高（米） 1.50 1.53 1.60人数68A．1.48米．1.53米 1.56米6．如图，已知的弧长之差为oAOB=，则120A．18B．127．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，A．4 310．如图，在Rt ABC△正方形ABDE，ACFG知图中阴影部分的面积的和，则一定能求出（A．正方形ABDE的面积C．ABC的面积二、填空题11．实数2023--的相反数是______．16．如图，在平面直角坐标系中，三、解答题17．（1）计算：()()()2122a a a +--+．（2）解不等式组：()234,35 4.x x x x ⎧+≥+⎨>-⎩18．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点.如图，已知整A （2，2），B(4，1)，请在所给网格区域(含边界）上找到整点P ．(1)求m，k的值．(2)直线y a=与一次函数y x=于点B．若AB的长为3，求a20．2022年10月12日，“天宫课堂实验，分别为：A．毛细效应实验，调头的扳手实验，E．植物生长研究项目，某校随机抽取了部分学生对授课活动最感兴趣的实验进行了调查，并将统计结果绘制成如下统计表和统计图（不完整）实验频数频率A160.16B350.35C a0.25D20bE40.04请根据上述信息，解答下列问题：(1)求出a，b的值并补全条形统计图．(2)若该校有1200名学生，请你估计选择水球变“懒(3)假如你是一名宇航员，请根据以上调查结果，结合实际的实验操作，验时间？简要说说你的想法．21．如图，从点D处观测楼房AB的楼顶端点B的仰角为走18m到达点E，从点E处观测楼顶端点B的仰角为22．某经销商销售一种成本价为100元/件的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于180元/件．在销售过程中发现销量x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：x120140150170y360320300260（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？23．（1）【问题初探】如图1，E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，延长BA 至点F ，使AF CE =，连接DE ，DF ．求证：DCE DAF △△≌．（2）【问题再探】如图2，E ，M 分别是正方形ABCD 的边BC ，AB 上一点，分别过点M ，E 作MP CD ⊥于点P ，EQ AD ⊥于点Q ，线段QE ，MP 相交于点N ．连接DM ，DE ，ME ，PQ ，若o 45MDE ∠=．①求证：AM CE ME +=．②探究NME 和NPQ △的面积关系，并说明理由．（3）【问题延伸】如图3，在正方形ABCD 中，E ，M 分别是射线CB ，BA 上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断NME 和NPQ △的面积关系是否仍成立．24．如图，AOB 内接于O ，AB AC =，点D 为劣弧AC 上动点，延长AD ，BC 交于点E ，作DF AB 交O 于F ，连结CF ．(1)如图①，当点D 为 AC 的中点时，求证：DF BC =；(2)如图②，若CF CA =，ABC α∠=，请用含有α的代数式表示BAE ∠；(3)在（2）的条件下，若BC CE =，①求证：AC AD DE +=；②求tan E ∠的值．参考答案：【详解】如图所示，过D 作DN BF ⊥于点N ，连接DIAB AD = ，90ACB BND ∠=∠=︒，90ABC CAB ABC NBD ∠+∠=∠+∠=︒CAB NBD∴∠=∠ACB BND ∴ ≌，ACB BNDS S ∴= 同理可证ACB AGE ≌，1ACB S S ∴= ，DN BC CI == ，AC BN =，则有FC BN=90DNC ICB ∠=∠=︒DN CI ∴∥，四边形DNCI 是平行四边形，90NCI ∠=︒ ，∴四边形DNCI 是矩形，90DIC ∴∠=︒，∴D 、I 、H 三点共线，90MDN NDB DBN NDB ∠+∠=∠+∠=︒MDN DBN∴∠=∠又ND CB = ，90MND OCB ∠=∠=︒，MND OCB∴ ≌DMN BOC ∴∠=∠，MN OC =，MND OCB S S = ,∴90DCE OCF ∠=∠=︒，∴OCE FCD ∠=∠，∵CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到CE ∴CD CE =，在OCE △和FCD 中，CD CE OCE FCD CF CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．17．（1）25a +；（2）2x -≤<【分析】（1）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项即可；（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】解：（1）原式()22=214a a a ++--22=214a a a ++-+25a =+．（2）解不等式()234x x +≥+，得2x ≥-．解不等式354x x >-，得2x <．所以原不等式组的解是22x -≤<．【点睛】本题考查了乘法公式，整式的混合运算，以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．18．（1）详见解析；（2）5.【分析】（1）由点P 的纵坐标比点A 的横坐标大1知点P 的纵坐标为3，再根据整点的概念与等腰三角形的定义作图即可得；（2）根据直角三角形的概念，结合整点概念作图可得．【详解】（1）如图所示，点P 与点P'即为所求，（2）如图可知，这样的点P 有5个.【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的概念、直角三角形的判定与性质．19．(1)2m =，4k =(2)1或4⨯=（人）．（2）12000.35420答：估计选择水球变“懒”实验的有420人．（3）根据调查结果发现学生最感兴趣的是水球变“懒”实验和太空趣味饮水实验，故在时间安排上可以偏多点．（答案不唯一，合理即可）．【点睛】本题考查了频数分布表，条形统计图，用样本估计总体等知识，掌握频数、频率、样本容量之间的关系是解答本题的关键．答：楼房AB 的高度为19.6m ，广告牌BC 的高度为2.2m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．22．（1）2600y x =-+（100180x ≤≤）；（2）22(200)20000W x =--+，180元，19200元．【分析】（1）根据一次函数过()120,360，()140,320可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式；（2）根据（售价−成本）×销售数量＝销售利润，列出函数关系式，然后配方，写成顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，可得答案．【详解】解：（1）设关系式为y kx b =+，把()120,360，()140,320代入得：360120320140k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2600k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数表达式为：2600y x =-+，通过验证()150,300，()170,260满足上述关系式，因此y 与x 的之间的函数关系式就是()2600100180y x x =-+≤≤．（2）根据题意得(2600)(100)W x x =-+-22(200)20000x =--+∵20a =-<，抛物线开口向下，对称轴为200x =，在对称轴的左侧，W 随x 的增大而增大，∵100180x ≤≤，∴当x ＝180时，利润W 最大，()221802002000019200W =--+=最大元．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数在实际问题中的应用，明确成本利润的基本关系式及二次函数的性质是解题的关键．23．（1）见解析；（2）①见解析；②2NME NPQ S S △△=，见解析；（3）成立【分析】（1）【问题初探】根据正方形的性质直接运用SAS 证明全等即可；（2）【问题再探】①根据第一小问的思路，延长BA 至点F ，使AF CE =，连接DF ，证得DCE DAF △△≌，得到DE DF =，CDE ADF ∠=∠，再结合正方形的性质以及已知条件证得FDM EDM ≌△△，即可得到MF ME =，从而证得结论；②通过设DP AM m ==，CP n =，DQ CE a ==，AQ b =，根据正方形的基本性质建立方程求出其基本关系，然后分别表示NME 和NPQ △的面积，从而求出数量关系即可；（3）【问题延伸】仿照第二问的求解过程，先证得全等三角形，并结合全等三角形的性质设未知数，然后列方程求解即可．【详解】解：（1）【问题初探】∵四边形ABCD 为正方形，∴CD AD =，o 90DCE DAB ∠=∠=，∴o 90DAF DCE =∠=∠．在DCE △和DAF △中，∵,,,CD AD DCE DAF CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS DCE DAF ≌△△．（2）【问题再探】①如答图，延长BA 至点F ，使AF CE =，连接DF ．由（1），得DCE DAF △△≌，∴DE DF =，CDE ADF ∠=∠．∵在正方形ABCD 中，90o ADC ∠=，o 45MDE ∠=，∴o 45ADM CDE ∠+∠=，∴o 45MDF ADM ADF MDE ∠=∠=+∠=∠．在FDM 和EDM △中，∵,,,DF DE MDF MDE DM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()FDM EDM SAS ≌△△，∴MF ME =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角”模型并熟练运用其证得基本的全等三角形，24．(1)见解析。

河北省邯郸市馆陶县2023-2024学年九年级中考模拟数学试题(含详解)

河北省邯郸市馆陶县2023-2024学年九年级中考模拟数学试题(含详解)

2024 年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试数 学试 卷注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置.3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.4.答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题.5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本大题共16个小题，共38分.1~6小题各3分，7~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中，是轴对称图形的是( )2.将算式 |14−13|可以变形为( )A.14−13B.13+14C.−14−13D.13−143.小李准备从A 处前往B 处游玩，根据图1所示，能够准确且唯一确定B 处位置的描述是( )A.点 B 在点 A 的南偏西 48°方向上B.点 B 在距点A4 km 处C.点 B 在点 A 的南偏西48°方向上4k m 处D.点 B 在点A 的北偏西48°方向上 4k m 处4.若 3ᵐ⁺²=9,则m=( )A.-1B.0C.1D.25.如图2，圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形).已知地面阴影(圆形)的直径为1.5米，桌面距地面1米.若灯泡距离桌面2米，则桌面的直径为( )A.0.25米B.0.5米C.0.75米D.1米6.实数 1200用科学记数法表示为n102.1⨯,则n2102.1⨯表示的原数为( )A.1 200 000 B.120 000C.14 400 000 D.1 440 0007.如图3,在正方形木框ABCD 中,AB=10cm,将其变形,使∠A=60°,则点 D,B 间的距离为( )A.102cmB.103cmC.10 cmD.20cm8.若m是关于x 的不等式-2x+3>7的一个解，则对于 m的值下列判断可能正确的是( )A.2<m<3B.-1<m<0C.-2≤m≤-1D.-6<m<-49.我国古代的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两……”意思是：“今有生丝30斤，干燥后损耗3斤 12 两(我国古代1斤等于 16 两)……”据此，若得到14斤干丝，需使用生丝x斤，则正确的是( )A.依题意，得3030−3+1216=x14B.依题意，得3030−3−1216=x14C.需使用生丝14037斤D.得到14斤干丝，需损耗生丝2021斤10.已知8−m12=2,则m=( )A.4B.2C.1D.1211.如图4，一根直的铁丝AB=20cm，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下:①量出AP=5cm;②在点 P 右侧取一点 Q,使点 Q 满足 PQ>5 cm;③将AP向右翻折，BQ向左翻折.若要使A，B 两点能在点M 处重合，则 PQ的长度可能是( )A.12 cmB.11 cmC.10 cmD.7 cm12.如图5-1，使用尺规经过直线l外的点 P 作已知直线l的平行线，作图痕迹如图5-2：下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是( )A.弧②、③的半径长度可以不相等B.弧①的半径长度不能大于 AP的长度C.弧④以 PA的长度为半径D.弧③的半径可以是任意长度13.对于分式M=m+2m+3,有下列结论：结论一:当m=-3时,M=0;结论二:当M=-1时,m=-2.5;结论三:若m>-3,则M>1.其中正确的结论是( )A.结论一B.结论二C.结论二、结论三D.结论一、结论二14.用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒.先在纸板上画出其表面展开图(需剪掉阴影部分)，两种裁剪方案如图6-1和图6-2所示，图中A ，B ，C 均为正方形：下列说法正确的是( )A.方案 1中的 a=4B.方案2中的b=6C.方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积D.方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同15.有一段平直的公路AB ，A 与B 间的距离是50m.现要在该路段安装一个测速仪，当车辆经过A 和B 处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差t(s)输入程序后，随即输出此车在AB 段的平均速度v(km/h)，则v 与t 间的关系式为( ) A.v =50tB.v =180tC.v =1259tD.v =360t16.问题情境:如图7-1,在△ABC 中,AB=AC=8,BC=8 3,AD 是BC 边上的中线.如图7-2，将点C 沿EF 折叠后与点 D 重合，将顶点 B 沿GH 折叠，使得顶点 B 与点F 重合,GF 与DE 交于点K.若设△GHF 的面积为S ₁,四边形 GKEA 的面积为S ₂,则 S ₁和 S ₂ 的值分别为( )A.932,43 B.932,23 C.934,43 D.934,23二、填空题(本大题共3个小题，共10分.其中17，18小题各3分，19小题第 1个空2分,第2,3个空各1分)17.已知a,b 互为相反数,则. ab +a²的值为 .18.如图8，从家到公园有A ₁，A ₂ 两条路线可走，从公园到超市有 B ₁，B ₂ 两条路线可走，现让小明随机选择一条从家出发经过公园到达超市的行走路线，那么恰好选到经过路线 A ₁ 与 B ₂的概率是 .19.如图9,在正五边形 ABCDE中,.AB=2,点M是AB 的中点，连接DM,点 P 在边BC上(不与点 C 重合),将.△CDP沿PD 折叠得到△QDP.(1)∠DQP=(2)当点 Q落在 DM 上时,∠DPQ=___________;(3)AQ 的最小值为 .三、解答题(本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20.(本小题满分9分)若A+3x²−5x+3=−x²+3x−2.(1)求多项式 A;(2)判断多项式A的值是否是正数，并说明理由.21.(本小题满分9分)如图10,整数m,n,t在数轴上分别对应点M,N,T.(1)若m，n互为相反数，描出原点O的位置并求t 的值；(2)当点 T为原点,且:m−n+□=−3时，求“□”所表示的数.22.(本小题满分9分)某校为了解学生对“党史知识”的掌握情况，进行“学党史”知识竞赛(满分100分)，并随机抽取5 0名学生的测试成绩作为样本进行研究，将成绩分组为A：50≤x<60，B:60≤x<70,C:70≤x<80,D:80≤x<90,E:90≤x≤100,进行整理,得到不完整的频数分布直方图，如图11所示，且C组成绩从小到大排列如下：70，71，72，72，74，77,78,78,,79,79,79.(1)通过计算，补全频数分布直方图；(2)在这个样本中，中位数是78.5分，设被“”盖住的成绩为a分，求a的值；(3)已知这个样本的平均数是78分，若又加入一名学生的成绩为78分，将这名学生的成绩计入样本后，判断新的样本平均数和方差与原样本相比是否发生改变.23.(本小题满分 10分)图 12 是小李同学设计的一个动画示意图，光点从点 P(2，1)发出，其经过的路径为抛物线G: y=a(x−ℎ)²+k的一部分，并落在水平台子上的点Q(4，1)处，其达到的最大高度为2，光点在点Q处被反弹后继续向前沿抛物线L:y=−2x²+bx+c的一部分运行，已知台子的长.AB=4,AQ=1,点 M 是AB 的中点.(1)求抛物线G的对称轴及函数表达式；(2)若光点被弹起后，落在台子上的BM之间(不含端点)，求 b所有的整数值.李阿姨正在练习扇子舞，如图13-1，她握住扇子的端点 Q，将扇子绕点 Q在平面内逆时针旋转一周.佳佳认真观察扇子的运动，画出示意图(图 13-2)，研究其中的数学问题.经测量可得 OQ=36cm,∠POQ=120°,扇形 QO'M 从O'M 与OP 重合的状态开始绕点Q 逆时针旋转，点 P 的对应点为点M.(1)当点O'落在弧 PQ 上时,求∠O'QO的度数,并判断点 O 是否在直线MO′上;(2)当O'Q 所在直线与扇形POQ第一次相切时，求点 O'经过的路径的长；(3)连接OM,当扇形 QO'M 转动一周时,求 OM 的取值范围.25.(本小题满分 12分)如图14,在平面直角坐标系中,点 N(n-1,n+3),M(2,0),A(-10,-1),B(4,6),连接AB，在线段AB上的整数点(横、纵坐标都为整数的点)处设置感应灯，当有点落在整点处，或从点 M发出光线(射线 MN)照射到线段AB上的整数点时，该处的感应灯会亮.(1)求线段 AB所在直线的函数解析式；(2)当点 N在线段AB 上时，请通过计算说明点 N(n-1，n+3)是否会使感应灯亮；(3)若线段上的感应灯被射线 MN分为两部分，并且两部分感应灯的个数相同(不包括边界上的点)，求n的取值范围.如图15-1,在四边形ABCD中,AB‖CD,∠CBA=2∠A，点 P 从点 C 开始以每秒1个单位长度的速度在射线CD上运动，连接PB 并延长，将射线PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角总与∠C相等，当旋转后的=k,DM=y,点 P 的运动时间为ts.射线与射线 DA 相交时，设交点为 M.令CBCD(1)当点 P 在线段CD 上(点 P 不与端点重合)时,求证:∠PBC=∠DPM.(2)如图15-2,当k=1,且点 P 在线段CD 上(点 P 不与端点重合)时,在线段CB上截取CG=CP,连接PG,求证:GP=DM.,且点 P 在 CD 的延长线上时，已知tan C=22,BC=3,①求出 y与t的函(3)如图15-3,当k=34数关系式；②若BP,AD交于点H,已知△HMPO△BPC,，直接写出t的值.数学模拟试题参考答案说明：1.在阅卷过程中，如考生还有其他正确解法，可参照评分标准按步骤酌情给分.2.坚持每题评阅到底的原则，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分.3.解答右端所注分数，表示正确做到这一步应得的累加分数.只给整数分数.一、选择题(本大题共16 个小题,共38分.1~6小题各 3分,7~16小题各2分)题号12345678答案A D C B D A C D 题号910111213141516答案BBDcBCBA1.A解:由轴对称图形的概念知，选 A.2.D解:: 14<13,∴|14−13|==13−14.3.C解:准确且唯一确定位置的描述是点 B 在点 A 的南偏西48°方向上4k m 处，故选 C.4.B解:由: 3ᵐ⁺²=9,得 3ᵐ×3²=3²,∴3ⁿ=3²÷3²=3⁰,故m=0.5.D解:构造几何模型如图:依题意知BC=1.5米,AF=2米,AG=3米,由△DAE∽△BAC 得 DE BC =AF ΛG ,即 DE 1.5=23,得 DE=1 米，即桌面的直径为1 米.6.A解:: ∴1200=1.2×10³,∴n =3,∴1,2×10²ⁿ=1,2×10⁶=1200000.7.C解:如图,连接DB,∵AD=AB=10cm,∠A=60°,∴△ABD 为等边三角形,∴BD=AB=10cm.8.D解:-2x+3>7的解集为x<-2,只有-6<m<-4可能正确,故选D.9.B解:依题意，得 3030−3−1216=x14,解得x=16,16-14=2(斤),∴若得到14斤干丝,则需使用生丝16斤,损耗生丝2斤.10.B解: ∵m 12=8−2=2,∴m =2÷12=2.11.D解:设 PQ=x cm,则BQ=(15-x) cm,根据三角形三边关系可得 x−5<15−x,x +5>15−x,解得5<x<10.故选 D.12.C解:该作图过程中，弧①的半径长度为任意长；弧②、③的半径长度相等，且大于 12EF 的长；弧④以 PA 的长度为半径.只有 C 选项正确.13.B解: |M−1=m +2m +3−1=−1m +3.∵m >−3时, −1m +3<0,故M<1,结论三不正确;m=-3,分式无意义;M=-1时,m=-2.5,故选 B.14.C解:方案1:a=12÷4=3,所折成的无盖长方体的底面积为3×3=9.容积为5×9=45.方案2：b=4，所折成的无盖长方体的底面积为4×2=8.容积为6×8=48.故选 C.15.B解:∵速度=路程/时间， 1m/s =3.6km/ℎ,∴v =180t.16.A解:∵AB=AC=8,BC=8 3,AD 是BC 边上的中线,F 为 DC 的中点,∴FC =14 :BC =23,BD =43, :AD =AB 2−BD 2=4.∵BH =HF,∴2BH +23=83∴BH =33.易知 1BG;HωBAD,∴+BHBD =CHAD ,∴3343=GH4,GH =3,∴∴S 1=12HF ×GH =932.由折叠易知∠EDC=∠C,∠GFB=∠B.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠EDC=∠B,∠GFB=∠C,∴DE∥AB,GF∥AC,∴四边形GKEA 为平行四边形.易得 BD =CD =12BC =43,DF =CF =23,DE =AE =12AB =4,∴EF =42−(23)2=2.过点 F 作 FM⊥CE 于点M.∵S EFC =12FE ⋅FC =12CE ⋅FM, ∴CE ⋅FM =2×23=43. ∵S 2=AE ⋅FM,AE =CE,∴S 2=43.二、填空题(本大题共3个小题，共10分.其中17，18小题各3分，19小题第1个空 2分，第2，3个空各1分)17.0解: ab +a²=a (b +a )."a ,b 互为相反数,∴b+a=0,∴原式=0.18. 14解:从家到公园,再到超市的路线有 A ₁与B ₁,A ₁ 与 B ₂,A ₂与 B ₁,A ₂ 与 B ₂共四种,则恰好选到经过路线 A ₁ 与 B ₂ 的概率是 14.19.(1)108 (2)45 (3)5−1解:(1)∵五边形的内角和为( (5−2)×180°=540°,∴∠C=∠DQP=∠CDE=108°.(2)如图1，由图形的轴对称可知，∠CDM =∠EDM =12∠CDE =54∘,∠CDP =∠QDP =12∠CDM =27∘,∴∠DPQ=180°-∠DQP-∠QDP=180°-108°-27°=45°.(3)∵CD=QD,∴点Q 在以D 为圆心,2 为半径的圆上,如图2. 连接AD,交圆D 于点Q,此时AQ 最短,此时点 B,P 重合,∠CPD=∠DPQ=∠QBA=36°,∴∠DBA=∠BQA=72°,∴△ABQ∽△ADB, ∴ABDA =AQAB ,∴22+AQ =AQ 2,∴AQ =5−1.三、解答题(本大题共7个小题，共72分)20.解: (1)A =−x²+3x−2−(3x²−5x +3)=−4x²+8x−5.……………………………………………………………5分(2)多项式A 的值不会是正数，………………………………………………6分理由如下：A= =−4x²+8x−5=−4(x²−2x )−5=−4(x²−2x +1−1)−5=−4(x−1)²−-1. ∵−4(x−1)²≤0, ∴−4(x−1)²−1<0,∴多项式A 的值不会是正数.…………………………………………………………………9分21.解:(1)∵m,n 互为相反数,∴m+n=0,即点 M,N 到原点的距离相等,∴ 原点的位置如图所示：……………………………………4分则t=-1.…………………………………………………………………………………………5分(2)∵点 T 为原点,则m=-2,n=4.∵m-n+□=-3,∴--2-4+□=-3,∴□=3.……………………………………………………………………………………9分22.解:(1)∵50-7-9-12-6=16.补全统计图如下：…………………………………………3分(2)∵样本容量为50,7+9+12=28,∴中位数落在C组.将样本数据从小到大排列，则中位数是第25，26 个数的平均数，a+792=78.5.解得a=78.即a的值为78.……………………………………………………………………………………7分(3)平均数不变，方差改变………………………………………………9分23.解:(1)点 P(2,1),点 Q(4,1)是抛物线上的一对对称点,∴对称轴为直线x=3.…………………………………………………………………………2分∵抛物线G 达到的最大高度为2，所以y=a(x−3)²+2,将点 P(2,1)代入,得1=a×(2−3)²+2,解得a=-1,∴抛物线G的函数表达式为y=−(x−3)²+2.…………………………………5分(2)∵AB=4,AQ=1,∴BQ=3.又 Q(4,1),∴点B(7,1),点M(5,1),………………………………………………………………………7分∴当点 Q(4,1)与点 M(5,1)是抛物线上的一对对称点时,−b2×(−2)=4+52=92,∴b=18.…8分当点 Q(4，1)与点 B(7，1)是抛物线上的一对对称点时，−b2×(−2)=4+72=112,∴b=22,…9分∴18<b<22,∴b所有的整数值为19,20,21.………………………………………………10分24.解:(1)如图1,连接OO',∵OO′=QO′=QO,∴△OQO′为等边三角形，∴∠OQO′=∠OO′Q=60°.………………………………………3分∵∠POQ=∠MO′Q=120°,∴∠MO′O=∠MO′Q+∠OOQ=120°+60°=180°,∴点O在直线MO'上.…………………………………………………………………………5分(2)当扇形 QO'M 的半径(O′Q所在直线与扇形POQ 第一次相切时，如图2，则∠OQO′=90°,∴l(x)=18π(cm).………………………………………………………………………8分=90×36π180(3)根据题意可知旋转中心为点 Q，MQ 为定值，∴当扇形 QO'M 旋转一周时,点 M的轨迹是以点Q 为圆心，MQ 的长为半径的一个圆.如图3，向两侧延长QO，分别交大圆Q于点 A，B，∴OA，OB的长分别为 MQ 的最小值和最大值.连接PQ,如图4,过点 O 作OE⊥PQ 于点 D,交PQ 于点E,∴PD =12PQ,∠POE =12∠POQ =60∘,∴PD =OP sin60∘=36×32=183(cm ),∴PQ =2×183=363(cm ),∴OA =(363−36)cm,OB =(363+36)cm,∴OM 的取值范围为(363−36)cm ≤OM ≤(363+36)cm.…10分25.解:(1)设线段AB 所在直线的解析式为y=kx+b.∵经过点A(-10,-1),B(4,6), ∴−1=−10k +b,6=4k +b,解得 k =12,b =4,∴线段 AB 所在直线的函数解析式为 y =12x +4.……………………4分(2)当点 N(n-1,n+3)在直线 AB 上时,n +3=12(n−1)+4,解得n=1,∴点 N(0,4),∴点 N(0,4)为线段 AB 上的整数点,∴当点N 在线段AB 上时,点N(n-1,n+3)会使感应灯亮.…………………………………8分(3)直线AB 的函数表达式为y= 12x+4,A(-10,-1),B(4,6),∴线段AB 上的整数点有(-10,-1),(-8,0),(-6,1),(-4,2),(-2,3),(0,4),(2,5),(4,6)共8个,其中(-4,2),(-2,3)为中间两个整数点,为临界点.当射线MN 经过(-4,2),(2,0)时,直线MN 的函数表达式为 y =−13x +23,将点 N(n-1,n+3)代入得 n +3=−13(n−1)+23,解得 n =−32.同理可得,当射线MN 经过(-2,3),(2,0)时,直线 MN 的函数表达式为 y =−34x +32,将点 N(n-1,n+3)代入得 n +3=−34(n−1)+32,解得 n =−37,∴符合条件的n 的取值范围为 −32<n <−37. …12分26.(1)证明:∵∠DPB=∠C+∠PBC,∴∠DPM+∠BPM=∠C+∠PBC.∵∠BPM=∠C,∴∠PBC=∠DPM.………………………………………………2分(2)当k=1,且点 P 在线段CD 上时,CB=CD,CG=CP,∴∠CGP =12(180∘−∠C ),CB−CG =CD−CP,即GB=PD.∵AB∥CD,∴∠C+∠CBA =180°.∴∠CBA =2∠A,∴∠A =12(180∘−∠C ),∴∠CGP =∠A.∵AB∥CD,∴∠A+∠ADC =180°.∵∠CGP+∠BGP=180°,∴∠BGP=∠ADC.又∵∠PBC=∠DPM,∴△BGP≌△PDM,∴GP=DM.………………………………………8分(3)①如图,在射线CB 上截取( CG =CP,连接PG,过点 G 作( GE ⊥CP,,垂足为点 E.由(1)的推理可知 ∠PBC =∠KPM,∴∠GBP =∠DPM.由(2)的推理可知 ∠CGP =∠A.∵AB‖CD,∴∠PDM=∠A,∴∠CGP =∠PDM,∴△BGP △PDM,∴BG PD =PG DM .∵在 Rt△ECG 中, tan C =22,CG =CP =t,∴CE =13t,EG =223t,∴PE =23t,∴PG =233t.由题意得,BC=3,CD=4,DM=y,∴t−3t−4=233ty ,∴y =23t 2−83t3t−9. ………………………………………………11分circle223+3.…………………………………………………13分解:记 PG 与AB 相交于点 N.∵△HMP∽△BPC,∴∠CPB=∠PMD.∵△BGP∽△PDM,∴∠BPG=∠PMD,∴∠CPB=∠BPG.∵AB∥CD,∴∠CPB=∠PBA,∴∠BPG=∠PBA,∴PN=BN.易得∠BGN=∠BNG,∴BN=PN=BG=t-3.∵ABCD,∴BC CG =PN PG ,∴3t =t−323t 3,∴t =23+3.。

2023年陕西省西安市西工大附中中考九年级第三次模拟考试数学试卷(含答案解析)

2023年陕西省西安市西工大附中中考九年级第三次模拟考试数学试卷(含答案解析)

2023年陕西省西安市西工大附中中考九年级第三次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．12023-的绝对值是（）A ．2023-B ．2023C ．12023D ．12023-2．如图是某种零件模型的示意图，它的主视图是（）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（）A ．3412x x x ⋅=B ．()32628x x -=-C ．632x x x ÷=D ．235x x x +=4．如图，在ABC 中，AB AC =，80BAC ∠=︒，AD 是中线，BE 是角平分线，AD 与BE 交于点O ，则AOB ∠的度数为（）A ．130︒B ．125︒C ．120︒D ．115︒5．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，若16AC =，8BD =，则菱形ABCD 的边长为（）A ．B ．C ．8D ．106．将直线y kx =向右平移3个单位得到直线2y x b =+，则k ，b 的值分别为（）A ．2k =，6b =-B ．2k =，6b =C ．2k =-，6b =-D ．2k =-，6b =7．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，以点O 为圆心的量角器（半圆O ）的直径和AB 重合，零刻度落在点A 处（即从点A 处开始读数），点D 是AB 上一点，连接CD 并延长与半圆交于点P ，若72BDC ∠=︒，则点P 在量角器上的读数为（）A ．36︒B ．54︒C ．64︒D ．72︒8．已知抛物线：()2280y mx mx m =-+≠，若点()11,A x y ，()22,B x y ，()4,0C 均在该抛物线上，且1224x x <-<<，则下列结论正确的是（）A ．120y y >>B ．210y y >>C ．120y y >>D ．210y y >>二、填空题9．下列各数：227，2π-，3.14，其中无理数有______个．10．一个多边形的内角和是1440︒，则这个多边形的边数为________．11．如图，在ABC 中，56A ∠=︒，将ABC 绕点B 旋转得到A BC ''△，且点A '落在AC 边上，则CA C ''∠=______︒．12．如图，点A 在反比例函数4y x=的图象上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，以O 为位似中心把四边形OBAC 放大得到四边形OB A C '''，且相似比为2:3，则经过点A '的反比例函数表达式为______．13．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，=60B ∠︒，点P 在AD 上，且2AP =，若直线l 经过点P ，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q ，则线段PQ 的长度为______．三、解答题14．计算：()(211tan 60----+-°．15．解不等式组：()3173232x x x x ⎧-≥-⎪⎨+>-⎪⎩．16．化简：212111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭．17．如图，已知四边形ABCD ，连接BD ，请用尺规作图法在BC 边上找一点P ，使得ABP 与ABD △的面积相等．（不写作法，保留作图痕迹）18．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在AC 上，过点C 作CE AB ∥，且CE AD =，连接AE ．求证：AE BD =．19．近年来，新能源汽车深受人们的喜爱，某4S 店上周销售A 型新能源汽车2辆，销售B 型新能源汽车3辆，销售额为98万元；本周销售A 型新能源汽车3辆，销售B 型新能源汽车1辆，销售额为91万元；这两周这两款型号的新能源车销售单价不变，求出每辆A 型车和B 型车的售价各为多少万元？20．一只不透明袋子中装有3个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验．(1)将球搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为______；(2)将球搅匀后从中任意摸出两个球，请用树状图或列表的方法求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．21．小延想要测量学校教学楼AB 的高度，他站在N 点处时，视线通过旗杆DE 的顶端与顶楼的窗子下沿C 重合，他向前走到点G 处时，视线通过旗杆DE 的顶端与楼顶A 重合，已知小延的眼睛与地面的距离 1.6MN FG ==米，2NG =米，6GE =米，8BE =米，3AC =米，MN 、FG 、DE 、AB 均与地面垂直，且在同一平面内，请你根据以上数据计算教学楼AB 的高度．22．某校初三年级举办传统文化知识竞赛，甲、乙两个班都派出a 名学生参赛，比赛结束后，将成绩整理成下列图表：甲组成绩统计表分数/分人数/人100190480m 701601(1)求a 和m 的值；(2)将乙班成绩条形图补充完整；(3)若从甲、乙两班中选出一个班代表年级参加学校比赛，若只考虑平均成绩，请你分析选哪个班代表学校参赛比较合适．23．小林同学从家出发，步行到离家a 米的公园散步，速度为50米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y （米）与小林出发的时间x （分钟）的函数关系如图所示．(1)=a ______；(2)求CD 所在直线的函数表达式；(3)小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？24．如图，已知ABC 的外接圆直径是AB ，点O 是圆心，点D 在O 上，且 AD BD=，过点D 作O 的切线，与CA 、CB 的延长线分别交于点E 、F ．(1)求证：AB EF ∥；(2)若O 的半径为5，8BC =，求DF 的长度．25．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭，与y 轴的交点型标为()0,2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点A 、B 在x 轴上方的抛物线上，点A 在点B 左侧，点C 、D 在x 轴上，且四边形ABCD 为矩形，是否存在点A ，使得矩形ABCD 周长最大？若存在，求点A 的坐标；若不存在，请说明理由．26．问题提出：（1）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．小林用边长为10的正方形ABCD 制作了一个“弦图”：如图①，在正方形ABCD 内取一点E ，使得90BEC ∠=︒，作DF CE ⊥，AG DF ⊥，垂足分别为F 、G ，延长BE 交AG 于点H ．若2EH =，求tan BCE ∠；问题解决：（2）如图②，四边形ABCD 是公园中一块空地，50AB BC ==米，AD CD =，90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，空地中有一段半径为50米的弧形道路（即 AC ），现准备在 AC 上找一点P ，将弧形道路改造为三条直路（即PA PB PC 、、），并要求90BPC ∠=︒，三条直路将空地分割为ABP 、BCP 和四边形APCD 三个区域，用来种植不同的花草．①求APC ∠的度数；②求四边形APCD 的面积．参考答案：1．C【分析】根据正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．【详解】解：12023-的绝对值是12023，故选C ．【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知绝对值的意义是解题的关键．2．C【分析】主视图即从正面看几何体，据此解题．【详解】该零件模型是一个空心圆柱，从正面看主视图是中间有两条竖直虚线的矩形．故选：C ．【点睛】本题考查简单几何体的主视图，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．B【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘除法运算法则以及积的乘方分别分析得出即可．【详解】解：A 、347x x x ⋅=，故错误，不符合题意；B 、()32628x x -=-，故正确，符合题意；C 、633x x x ÷=，故错误，不符合题意；D 、2x 和3x 不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；故选B ．【点睛】此题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算法则以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．4．D【分析】根据等腰三角形的性质可求ABC ∠，根据角平分线的定义可求ABE ∠，根据三角形三线合一的性质可求BAD ∠，再根据三角形内角和可求AOB ∠．【详解】解：∵AB AC =，80BAC ∠=︒，∴()118080502ABC ACB ∠=∠=︒-︒=︒，∵BE 平分ABC ∠，∴1252ABE ABC ∠=∠=︒，∵AD 是中线，∴1402BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒，∴180115AOB ABE BAD ∠=︒-∠-∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和，关键是求得ABE ∠和BAD ∠．5．A【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理即可求出边长．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，182AO CO AC ===，142BO DO BD ===，∴AB =故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算边长是解题的关键．6．A【分析】根据左加右减可得3y kx k =-，根据题意即可解得．【详解】直线y kx =向右平移3个单位得到：()33y k x kx k =-=-∴32kx k x b -=+∴2k =，6b =-故本题选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移变换，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．7．B【分析】根据半圆的直径与等腰直角三角形斜边重合，由三角形的外角和定理求出ACD ∠，如图所示，连接OP ，根据圆周角与圆心角的关系算出AOP ∠，由此即可求解．【详解】解：∵Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，∴45CAB CBA ∠=∠=︒，在ACD 中，BDC ∠是外角，且72BDC ∠=︒，∴724527ACD BDC CAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，如图所示，连接OP ，根据题意得，222754AOP ACP ∠=∠=⨯︒=︒，∴点P 在量角器上的读数为54︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，圆周角的综合，掌握三角形外角和定理，圆周角与圆心角的关系是解题的关键．8．D【分析】根据点C 求出抛物线表达式，得到开口方向，再求出抛物线与x 轴交点，最后根据1224x x <-<<，结合抛物线的性质得到结果．【详解】解：∵()4,0C 在()2280y mx mx m =-+≠图像上，∴01688m m =-+，解得：1m =-，∴228y x x =-++，开口向下，令2280y x x =-++=，则2x =-或4x =，∴抛物线与x 轴交于()2,0-和()4,0，∵1224x x <-<<，∴210y y >>，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数解析式，图像和性质，与x 轴的交点坐标，解题的关键是求出解析式，结合性质作答．9．2【分析】根据无理数的定义：无线不循环小数，判断即可．3=，∴无理数有2π-，共2个，故答案为：2．【点睛】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的定义以及常见形式．10．10【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，则()21801440n -⨯︒=︒，解得10n =．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．11．68【分析】根据旋转的性质得到AB A B '=，56A BA C ''∠=∠=︒，根据等边对等角得到56BA A '∠=︒，利用三角形内角和求出68ABA '∠=︒，再利用三角形外角的性质可得结果．【详解】解：由旋转可知：AB A B '=，56A BA C ''∠=∠=︒，∴56A BA A '∠=∠=︒，∴180268ABA A '∠=︒-⨯∠=︒，∴68CA C CA B BA C A ABA BA C ''''''''∠=∠-∠=∠+∠-∠=︒，故答案为：68．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．12．9【分析】设经过点A '的反比例函数表达式为ky x=，根据反比例函数的比例系数的意义得到4OBAC AC AB S ⋅==四边形，再根据位似图形的相似比得到面积之比，从而求出四边形OB A C '''的面积，可得k 值．【详解】解：设经过点A '的反比例函数表达式为ky x=，∵点A 在反比例函数4y x=的图象上，AB x ⊥，AC y ⊥，∴4OBAC AC AB S ⋅==四边形，∵四边形OBAC 和四边形OB A C '''的相似比为2:3，∴面积之比为4:9，∴四边形OB A C '''的面积为4499÷=，∴9k A C A B ''''=⋅=，故答案为：9．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，位似图形的性质，解答此题的关键是根据反比例函数系数k 的几何意义求出k 的值．13【分析】过点C 作CR AD ⊥，垂足为R ，根据平行四边形的性质得出相应条件，求出1DP =，得到点P 与点R 重合，利用勾股定理求出CP ，根据直线平分平行四边形的面积可得直线经过对角线交点O ，证明()ASA ODP OBQ △≌△，得到2CQ AP ==，利用勾股定理即可求出PQ ．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，对角线交于点O ，2AB CD ==，3BC AD ==，60ABC ADC ∠=∠=︒，AD BC ∥，AO CO =，如图，过点C 作CR AD ⊥，垂足为R ，∴30DCR ∠=︒，OAP OCQ ∠=∠，∴112DR CD ==，∵2AP =，∴1DP =，即DR DP =，即点P 与点R 重合，∴CP ==∵直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，∴直线l 经过对角线的交点O ，在OAP △和OCQ △中，OAP OCQ AOP COQ OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ASA ODP OBQ △≌△，∴2CQ AP ==，∵AD BC ∥，CP AD ⊥，∴CP BC ⊥，∴PQ =．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造以PQ 为边的直角三角形．14．2-【分析】先计算负指数幂，特殊角的三角函数值，以及二次根式的乘法，再绝对值，并化简，最后合并计算．【详解】解：()(211tan 60----+-°11=--(11=+--2=-【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了特殊角的三角函数值，二次根式的乘法，负指数幂，解题的关键是掌握各部分的运算方法．15．23x -≤<【分析】先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】()3173232x x x x ⎧-≥-⎪⎨+>-⎪⎩①②解①得：2x ≥-解②得：3x <则不等式组的解集为23x -≤<【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，掌握不等式组的解法是解题关键．16．1x --【分析】先将括号内的部分通分，再利用同分母分式减法计算，将除法转化为乘法，再约分计算．【详解】解：212111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()1121111x x x x x x --⎛⎫=-÷ ⎪--+-⎝⎭()()11212x x x x x +--=⨯--1x =--【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握通分和约分的方法．17．见解析【分析】以BD 为边，作BDP ABD ∠=∠即可．【详解】解：如图，点P 即为所求．可得BDP ABD ∠=∠，∴AB DP ∥，∴点D 到AB 的距离1h 和点P 到AB 的距离2h 相等，∴ABP ABD S S =△△．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．见解析【分析】根据平行线的性质得到ACE DAB ∠=∠，再证明()SAS AEC BDA ≌△△，可得结论．【详解】解：∵CE AB ∥，∴ACE DAB ∠=∠，在AEC △和BDA △中，CE AD ACE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AEC BDA ≌△△，∴AE BD =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．19．每辆A 型车的售价是25万元，每辆B 型车的售价是16万元【分析】设每辆A 型车的售价是x 万元，每辆B 型车的售价是y 万元，利用总价＝单价×数量，结合上周和本周销售两种型号新能源汽车的数量及销售额，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设每辆A 型车的售价是x 万元，每辆B 型车的售价是y 万元，由题意得：2398391x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2516x y =⎧⎨=⎩，答：每辆A 型车的售价是25万元，每辆B 型车的售价是16万元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．20．(1)25(2)35【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出恰好摸到1个白球，1个红球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）解：∵共有3个白球和2个红球，∴摸到红球的概率为22325=+；（2）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的结果有12种，∴恰好摸到1个白球，1个红球的概率为123205=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．21．22.6米【分析】连接MF 并延长交DE AB 、分别于H 、P 两点，则由题意可证FDH FAP ∽、MDH MCP ∽，可得FH DH FP AP =、MH DH MP CP =，代入数据解方程即可．【详解】如图所示，连接MF 并延长交DE AB 、分别于H 、P 两点，则由题意可知MP AB MP NB ⊥∥、，设教学楼AB 高为h 米，则()()1.6 4.6AP h CP h =-=-米、米∵MN 、FG 、DE 、AB 均与地面垂直∴DH AP DH CP∥∥、∴90DHF APF DFH AFP∠=∠=︒∠=、∴FDH FAP∽∴FH DH FP AP =∴668 1.6DH h =+-∴()31.67DH h =-又∵DH CP∥∴MHD MPC∠=∠∵DMH CMP∠=∠∴MDH MCP∽∴MH DH MP CP =∴262683 1.6DH h +=++--∴()14.62DH h =-∴()()134.6 1.627h h -=-解得22.6h =故教学楼AB 的高22．6米．【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．22．(1)10a =，3m =(2)见解析(3)甲班，理由见解析【分析】（1）由乙班70分人数及其所占百分比可得总人数a ，总人数减去甲班得60、70、90、100分的人数即可求得m ；（2）用a 分别减去60、70、90、100分的人数，可得乙班80分的人数，再补全条形图即可；（3）计算出两个班的加权平均数，再根据大小判断即可．【详解】（1）解：330%10a =÷=；1014113m =----=；（2）乙班80分的人数为：1013321----=（人），补全图形如图：（3）选甲班代表学校参赛．∵90480370100183601011x ⨯⨯+⨯+++⨯==⨯甲分，27038010601810093102x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯+==乙分，∴乙班的平均数较小，故选择甲班．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，以及加权平均数的求法，解答本题的关键是明确题意，能从图表中获取关键数据．23．(1)600(2)2002400y x =-+(3)9.6分钟【分析】（1）根据图象，小林从家到公园与公园时间为12分钟，路程⨯速度即可求的a ；（2）由图象的出D 点的坐标，由于哥哥到达公园后立即以原速返回家中，所以来回则所用时间也相等，由此可以求出C 点坐标，进而可以求出CD 所在直线的函数表达式；（3）求出直线OA 与直线CD 的交点，其中交点的横坐标所表示实际意义是小林出与哥哥第二次相遇的时间．【详解】（1）解：由题意得：小林从家到公园与公园时间为12分钟，5012a \=´600=．（2）解：设(),C m n ，由题意得：12662m -=+9=，由图象得：600n =，()9,600C \；由图象得：()12,0D ；设CD 所在直线的函数表达式为：y kx b =+，则有：9600120x b x b +=⎧⎨+=⎩，解得：2002400k b =-⎧⎨=⎩，2002400y x \=-+．（3）解：由图象：()12,600A 设OA 所在直线的函数表达式为：1y k x =，则有112600k =，解得：150k =，50y x \=．由200240050x x -+=解得：9.6x =．故小林出发9.6分钟与哥哥第二次相遇．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用问题；理解图象表示的实际意义，准确分析图象，并从方程角度结合行程问题求解是解决问题的关键．24．(1)见解析(2)353【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质得到OD EF ⊥，根据 AD BD=得到OD AB ⊥，即可证明结论；（2）过点B 作BG EF ⊥，证明四边形OBDG 是矩形，求出6AC =，证明BGF ACB △∽△，可求出GF ，即可得到DF ．【详解】（1）解：连接OD ，∵EF 与O 相切，切点为D ，∴OD EF ⊥，∵AB 为直径，∴180AOD BOD ∠+∠=︒，∵ AD BD=，∴90AOD BOD ∠=∠=︒，即OD AB ⊥，∴AB EF ∥；（2）过点B 作BG EF ⊥，∵90ODG BOD BGD ∠=∠=∠=︒，∴四边形OBDG 是矩形，∴5DG OB ==，5BG OD ==，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵210AB OB ==，8BC =，∴6AC ==，∵AB EF ∥，∴F ABC ∠=∠，∵90BGF C ∠=∠=︒，∴BGF ACB △∽△，∴BG GF AC BC=，即568GF =，∴203GF =，∴353DF DG FG =+=．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定和性质求出GF ．25．(1)224233y x x =-++(2)125,23A ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的顶点设解析式为()2813y a x =-+，再将()0,2代入，求出a 值即可；（2）设出点A 坐标224,233a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，利用点A 的横坐标表示出矩形ABCD 的周长，再根据二次函数的性质求出点A 坐标即可．【详解】（1）解：设抛物线解析式为()2813y a x =-+，把()0,2代入，得()282013a =-+，解得：23a =-，∴抛物线解析式为：()222824123333y x x x =--+=-++；（2）存在点A ，使得矩形ABCD 周长最大，设224,233A a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∵抛物线的顶点坐标为81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴对称轴为直线1x =，设点C 的横坐标为m ，则12a m +=，∴2m a =-，∴222CD a a a =--=-，设矩形ABCD 的周长为w ，则()224222222233w AD CD a a a ⎛⎫=+=-+++- ⎪⎝⎭，∴24125323w a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∵403-<，∴抛物线开口向下，函数有最大值，∴12a =-，代入24125323w a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭得：253w =，∴125,23A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，能够表示出矩形的周长是解答此题的关键．26．（1）3tan 4BCE ∠=；（2）①135︒；②(2500m APCD S =+四边形【分析】（1）利用同角的余角相等推出BAH EBC ∠=∠，证明ABH BCE ≌，得到AH BE =，BH CE =，设AH BE x ==，根据勾股定理，得222AH BH AB +=，代入数值求出6x =，得到6,8BE CE BH ===，即可根据公式求出答案；（2）①作AE AB ⊥，CE BC ⊥，证得四边形ABCE 是正方形，得到50AE CE ==米，点E 为 AC 的圆心，连接EP ，设PEC α∠=，则90PEA α∠=︒-，根据等边对等角求出,EPC EPA ∠∠的度数，即可得到APC ∠的度数；②连接AC ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明PCA PAB ∽，得到PC AP AC PA BP AB ==，求出50PC AP PA BP ===，在Rt BPC △中，根据勾股定理得到222BP PC BC +=，求出BP =（负值舍去），得到2PC =⨯，AP =，过点A作AG PG ⊥交CP 的延长线于点G ，得到AG PG =，求出AG =（负值舍去），计算出APC S ，再证ACD 是等边三角形，得到AD CD AC ===，求出CF 得到ACD S ，即可根据APC ACD APCD S S S =+ 四边形求出答案．【详解】解：（1）∵90BEC ∠=︒，DF CE ⊥，AG DF ⊥，∴90EFG AGF BEC ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFGH 是矩形，∴90AHB BEC ∠=︒=∠，∴90BAH ABH ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AB BC ABC =∠=︒，∴90ABH EBC ∠+∠=︒，∴BAH EBC ∠=∠，∴ABH BCE ≌，∴AH BE =，BH CE =，设AH BE x ==，则2BH x =+，根据勾股定理，得222AH BH AB +=，∴()222210x x ++=，解得6x =，∴6,8BE CE BH ===，∴63tan 84BE BCE CE ∠===；（2）①作AE AB ⊥，CE BC ⊥，∴四边形ABCE 是矩形，又∵50AB BC ==，∴四边形ABCE 是正方形，∴50AE CE ==米，∵空地中有一段半径为50米的弧形道路（即 AC ），∴点E 为 AC 的圆心，连接EP ，设PEC α∠=，则90PEA α∠=︒-，∵EC EP =，∴()1111809090222EPC ECP PEC PEC α∠=∠=⨯︒-∠=︒-∠=︒-，∵EA EP =，∴()()111180909090452222EAP EPA PEA PEA αα∠=∠=⨯︒-∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，∴1459013522APC EPA EPC αα∠=∠+∠=︒++︒-=︒；②连接AC ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，∵135APC ∠=︒，∴36036013590135BPA APC BPC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴APC BPA ∠=∠，∵AB BC =，90ABC ∠=︒，∴45BAC BCA ∠=∠=︒，∴45PAB PAC ∠+∠=︒，∵45PCA PAC ∠+∠=︒，∴PCA PAB ∠=∠，∴PCA PAB ∽，∴PC AP AC PA BP AB==，又AC ===，∴50PC AP PA BP ===∴PC AP ==，，∴2PC BP ==，在Rt BPC △中，222BP PC BC +=，∴()222250BP BP +=，∴252500BP =，∴BP =（负值舍去），∴2PC =⨯，AP =，过点A 作AG PG ⊥交CP 的延长线于点G ，∵135APC ∠=︒，∴45APG ∠=︒，在Rt AGP △中，45APG ∠=︒，∴45PAG ∠=︒，∴PAG APG ∠=∠，∴AG PG =，又222AG PG AP +=，∴(222AG =，∴2500AG =，∴AG =（负值舍去），∴211500m 22APC S PC AG =⋅=⨯= ；∵,60AD CD D =∠=︒，∴ACD 是等边三角形，∴AD CD AC ===m ，∵CF AD ⊥，∴1122AF DF AD ===⨯=，∴CF ===，∴21122ACD S AD CF =⋅=⨯= ，∴(2500m APC ACD APCD S S S =+=+ 四边形．【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，定和性质，正方形的判定和性质，求角的正切值，综合掌握各知识点并引出辅助线解决问题是解题的关键．。

2022学年福建省各地中考数学模拟精编试卷(含答案解析)

2022学年福建省各地中考数学模拟精编试卷(含答案解析)

2022学年福建省各地中考数学模拟精编试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a5B．2a+a2=3a3C．（﹣a3）3=a6D．a2÷a=22．学校小组5名同学的身高（单位：cm）分别为：147，156，151，152，159，则这组数据的中位数是（）．A．147B．151C．152D．1563．一、单选题如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（）A．B．C．D．4．某同学将自己7次体育测试成绩（单位：分）绘制成折线统计图，则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是（）A．50和48 B．50和47 C．48和48 D．48和435．对于一组统计数据：1，6，2，3，3，下列说法错误的是( )A．平均数是3 B．中位数是3 C．众数是3 D．方差是2.56．下列方程有实数根的是（）A．420x+=B221x-=-C ．x+2x−1=0D ．111x x x =-- 7．下列各式属于最简二次根式的有（ ） A ．8B ．21x +C ．3yD ．128．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|-|a-2b|-|c+2b|的结果是（ ）A ．4b+2cB ．0C ．2cD ．2a+2c9．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，AD′与CE 交于点F ，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的度数为（ ）A ．40°B ．36°C ．50°D ．45°10．下列各数中，比﹣1大1的是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．﹣311．2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A ．32，31B ．31，32C ．31，31D ．32，3512．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0-、()1,0x ，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在()0,2的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b c -+<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是（ ）个． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．不等式组42348x x -+<⎧⎨-≤⎩①②的解集是_____．14．计算：|﹣3|+（﹣1）2= ．15．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长为x 厘米，则依题意列方程为_________.16．江苏省的面积约为101 600km1，这个数据用科学记数法可表示为_______km1．17．抛物线y=（x+1）2 - 2的顶点坐标是______ ．18．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数kyx=的图象交于A，B两点，与X轴交于点C，与Y轴交于点D，已知10OA=，A（n，1），点B的坐标为（﹣2，m）（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；（2）连结BO，求△AOB的面积；（3）观察图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是．20．（6分）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线16y k x =+与函数()20k y x x=>的图象的两个交点分别为A （1，5），B ．（1）求1k ，2k 的值；（2）过点P （n ，0）作x 轴的垂线，与直线16y k x =+和函数()20k y x x=>的图象的交点分别为点M ，N ，当点M 在点N 下方时，写出n 的取值范围．22．（8分）已知2是关于x 的方程x 2﹣2mx +3m ＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为_____．23．（8分）计算：2sin60°﹣（π﹣2）0+（__）-1+|1﹣3|．24．（10分）随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A ，B 两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) A 7 25 0.01 Bmn0.01设每月上网学习时间为x 小时，方案A ，B 的收费金额分别为y A ，y B ．(1)如图是y B 与x 之间函数关系的图象，请根据图象填空：m ＝ ；n ＝ ； (2)写出y A 与x 之间的函数关系式； (3)选择哪种方式上网学习合算，为什么．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形DOBC 的顶点O 与坐标原点重合，B 、D 分别在坐标轴上，点C 的坐标为（6，4），反比例函数y=1k x（x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△OEF 的面积；（3）设直线EF 的解析式为y=k 2x+b ，请结合图象直接写出不等式k 2x+b ＞1k x的解集．26．（12分）某市为了解本地七年级学生寒假期间参加社会实践活动情况，随机抽查了部分七年级学生寒假参加社会实践活动的天数（“A ﹣﹣﹣不超过5天”、“B ﹣﹣﹣6天”、“C ﹣﹣﹣7天”、“D ﹣﹣﹣8天”、“E ﹣﹣﹣9天及以上”），并将得到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上的信息，回答下列问题： （1）补全扇形统计图和条形统计图；（2）所抽查学生参加社会实践活动天数的众数是 （选填：A 、B 、C 、D 、E ）；（3）若该市七年级约有2000名学生，请你估计参加社会实践“活动天数不少于7天”的学生大约有多少人？ 27．（12分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+3）x+m+2=1． （1）求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根的平方等于4，求m 的值．2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、A【答案解析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别计算得出答案．【题目详解】A、a2•a3=a5，故此选项正确；B、2a+a2，无法计算，故此选项错误；C、（-a3）3=-a9，故此选项错误；D、a2÷a=a，故此选项错误；故选A．【答案点睛】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2、C【答案解析】根据中位数的定义进行解答【题目详解】将5名同学的身高按从高到矮的顺序排列：159、156、152、151、147，因此这组数据的中位数是152.故选C.【答案点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是熟练掌握中位数的定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数）称为中位数.3、D【答案解析】测试卷分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.考点：简单几何体的三视图.4、A【答案解析】由折线统计图，可得该同学7次体育测试成绩，进而求出众数和中位数即可.【题目详解】由折线统计图，得：42，43，47，48，49，50，50， 7次测试成绩的众数为50，中位数为48， 故选：A ．【答案点睛】本题考查了众数和中位数，解题的关键是利用折线统计图获取有效的信息. 5、D 【答案解析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐一求解可得． 【题目详解】 解：A 、平均数为=3，正确；B 、重新排列为1、2、3、3、6，则中位数为3，正确；C 、众数为3，正确；D 、方差为×[（1-3）2+（6-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（3-3）2]=2.8，错误； 故选：D ． 【答案点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 6、C 【答案解析】分析：根据方程解的定义，一一判断即可解决问题；详解：A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解；故本选项不符合题意； B 22x -≥022x -=﹣1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x ﹣1=0，△=8=4=12＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意． 故选C ．点睛：本题考查了无理方程、根的判别式、高次方程、分式方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7、B 【答案解析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．【题目详解】A=A选项错误；B B选项正确；C=D=D选项错误；故选：B．【答案点睛】考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．8、A【答案解析】由数轴上点的位置得：b<a<0<c，且|b|>|c|>|a|，∴a+c>0，a−2b>0，c+2b<0，则原式=a+c−a+2b+c+2b=4b +2c.故选：B.点睛：本题考查了整式的加减以及数轴，涉及的知识有：去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键.9、B【答案解析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．【题目详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，∴∠FED′=108°﹣72°=36°．故选B．【答案点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF 和∠AED ′是解决问题的关键． 10、A 【答案解析】用-1加上1，求出比-1大1的是多少即可． 【题目详解】 ∵-1+1=1， ∴比-1大1的是1． 故选：A ． 【答案点睛】本题考查了有理数加法的运算，解题的关键是要熟练掌握： “先符号，后绝对值”． 11、C 【答案解析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35，数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1． 故选C ． 12、B 【答案解析】分析：根据已知画出图象，把x =−2代入得：4a −2b +c =0，把x =−1代入得：y =a −b +c >0，根据122cx x a⋅=<-，不等式的两边都乘以a (a <0)得：c >−2a ，由4a −2b +c =0得22c a b -=-，而0<c <2,得到102c-<-<即可求出2a −b +1>0. 详解：根据二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点(−2,0)、(x 1,0),且1<x 1<2,与y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方，画出图象为：如图把x =−2代入得：4a −2b +c =0，∴①正确；把x =−1代入得：y =a −b +c >0，如图A 点，∴②错误；∵(−2,0)、(x 1,0),且1<x 1，∴取符合条件1<x 1<2的任何一个x 1,−2⋅x 1<−2， ∴由一元二次方程根与系数的关系知122cx x a⋅=<-， ∴不等式的两边都乘以a (a <0)得：c >−2a ， ∴2a +c >0，∴③正确；④由4a −2b +c =0得22c a b -=-， 而0<c <2,∴102c-<-< ∴−1<2a −b <0 ∴2a −b +1>0， ∴④正确.所以①③④三项正确． 故选B.点睛：属于二次函数综合题，考查二次函数图象与系数的关系, 二次函数图象上点的坐标特征, 抛物线与x 轴的交点，属于常考题型.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13、2＜x≤1 【答案解析】本题可根据不等式组分别求出每一个不等式的解集，然后即可确定不等式组的解集． 【题目详解】 由①得x ＞2， 由②得x≤1，∴不等式组的解集为2＜x≤1． 故答案为：2＜x≤1． 【答案点睛】此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 14、4. 【答案解析】 |﹣3|+（﹣1）2=4， 故答案为4.15、x＋23x＝75.【答案解析】测试卷解析：设长方形墙砖的长为x厘米，可得：x＋23x＝75.16、1.016×105【答案解析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂,【题目详解】解：101 600=1.016×105故答案为：1.016×105【答案点睛】本题考查科学计数法，掌握概念正确表示是本题的解题关键.17、(-1,-2)【答案解析】测试卷分析：因为y=（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2）．考点：二次函数的性质．18、4 5【答案解析】测试卷分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即1024 105-=.考点：概率三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）y=3x；y=12x﹣12；（2）54；（1）﹣2＜x＜0或x＞1；【答案解析】（1）过A作AM⊥x轴于M，根据勾股定理求出OM，得出A的坐标，把A得知坐标代入反比例函数的解析式求出解析式，吧B的坐标代入求出B的坐标，吧A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出解析式．（2）求出直线AB交y轴的交点坐标，即可求出OD，根据三角形面积公式求出即可．（1）根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案．【题目详解】解:（1）过A作AM⊥x轴于M，则AM=1，OA=，由勾股定理得：OM=1，即A的坐标是（1，1），把A的坐标代入y=得：k=1，即反比例函数的解析式是y=．把B（﹣2，n）代入反比例函数的解析式得：n=﹣，即B的坐标是（﹣2，﹣），把A、B的坐标代入y=ax+b得：，解得：k=．b=﹣，即一次函数的解析式是y=x﹣．（2）连接OB，∵y=x﹣，∴当x=0时，y=﹣，即OD=，∴△AOB的面积是S△BOD+S△AOD=××2+××1=．（1）一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞1，故答案为﹣2＜x ＜0或x ＞1．【答案点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及用待定系数法求函数的解析式，函数的图象的应用.熟练掌握相关知识是解题关键.20、（1）y=﹣x 2+2x+4；M （1,5）；（2）2＜m ＜4；（3）P 1（311,31），P 2（313,31 ），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）． 【答案解析】测试卷分析：（1）将点A 、点C 的坐标代入函数解析式，即可求出b 、c 的值，通过配方法得到点M 的坐标；（2）点M 是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC 的解析式，将x=1代入求出点M 在向下平移时与AC 、AB 相交时y 的值，即可得到m 的取值范围；（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM 与△BCD 相似，则要进行分类讨论，分成△PCM ∽△BDC 或△PCM ∽△CDB 两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．测试卷解析：（1）把点A （3，1），点C （0，4）代入二次函数y=﹣x 2+bx+c 得， 解得 ∴二次函数解析式为y=﹣x 2+2x+4， 配方得y=﹣（x ﹣1）2+5，∴点M 的坐标为（1，5）；（2）设直线AC 解析式为y=kx+b ，把点A （3，1），C （0，4）代入得， 解得：∴直线AC 的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC 两边分别交于点E 、点F把x=1代入直线AC 解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E 坐标为（1，3），点F 坐标为（1，1）∴1＜5﹣m ＜3，解得2＜m ＜4；（3）连接MC ，作MG ⊥y 轴并延长交AC 于点N ，则点G 坐标为（0，5） ∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC==， 把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N 坐标为（﹣1，5），∵NG=GC ，GM=GC ， ∴∠NCG=∠GCM=45°， ∴∠NCM=90°，由此可知，若点P 在AC 上，则∠MCP=90°，则点D 与点C 必为相似三角形对应点①若有△PCM ∽△BDC ，则有∵BD=1，CD=3， ∴CP===， ∵CD=DA=3， ∴∠DCA=45°，若点P 在y 轴右侧，作PH ⊥y 轴， ∵∠PCH=45°，CP=∴PH== 把x=代入y=﹣x+4，解得y=， ∴P 1（）；同理可得，若点P 在y 轴左侧，则把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y= ∴P 2（）；②若有△PCM ∽△CDB ，则有 ∴CP==3 ∴PH=3÷=3， 若点P 在y 轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若点P 在y 轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P 3（3，1）；P 4（﹣3，7）．∴所有符合题意得点P 坐标有4个，分别为P 1（），P 2（），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）．考点：二次函数综合题21、（1）11k =-，25k =；（2）0＜n ＜1或者n ＞1．【答案解析】(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)利用图象法即可解决问题；【题目详解】解：（1）∵A （1，1）在直线16y k x =+上，∴11k =-，∵A （1，1）在()20k y x x =>的图象上，∴25k =．（2）观察图象可知，满足条件的n的值为：0＜n＜1或者n＞1．【答案点睛】此题考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，解题关键在于利用数形结合的思想求解.22、11【答案解析】将x=2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．【题目详解】将x=2代入方程，得：1﹣1m+3m=0，解得：m=1．当m=1时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵2+2=1＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2，∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=11．【答案点睛】考点：根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质23、3+1【答案解析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简各项后，再根据实数的运算法则计算即可求解．【题目详解】原式=21-1【答案点睛】本题主要考查了实数运算，根据特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负指数幂的性质以及绝对值的性质正确化简各数是解题关键．24、（1）10，50；（2）见解析；（3）当0＜x＜30时，选择A方式上网学习合算，当x=30时，选择哪种方式上网学习都行，当x＞30时，选择B方式上网学习合算．【答案解析】（1）由图象知：m=10，n=50；（2）根据已知条件即可求得y A与x之间的函数关系式为：当x≤25时，y A=7；当x＞25时，y A=7+（x﹣25）×0.01；（3）先求出y B与x之间函数关系为：当x≤50时，y B=10；当x＞50时，y B=10+（x﹣50）×60×0.01=0.6x﹣20；然后分段求出哪种方式上网学习合算即可．【题目详解】解：（1）由图象知：m=10，n=50；故答案为：10；50；（2）y A与x之间的函数关系式为：当x≤25时，y A=7，当x＞25时，y A=7+（x﹣25）×60×0.01，∴y A=0.6x﹣8，∴y A=7(025){0.68(25)xx x<≤->；（3）∵y B与x之间函数关系为：当x≤50时，y B=10，当x＞50时，y B=10+（x﹣50）×60×0.01=0.6x﹣20，当0＜x≤25时，y A=7，y B=50，∴y A＜y B，∴选择A方式上网学习合算，当25＜x≤50时．y A=y B，即0.6x﹣8=10，解得；x=30，∴当25＜x＜30时，y A＜y B，选择A方式上网学习合算，当x=30时，y A=y B，选择哪种方式上网学习都行，当30＜x≤50，y A ＞y B ，选择B 方式上网学习合算，当x ＞50时，∵y A =0.6x ﹣8，y B =0.6x ﹣20，y A ＞y B ，∴选择B 方式上网学习合算，综上所述：当0＜x ＜30时，y A ＜y B ，选择A 方式上网学习合算，当x=30时，y A =y B ，选择哪种方式上网学习都行，当x ＞30时，y A ＞y B ，选择B 方式上网学习合算．【答案点睛】本题考查一次函数的应用．25、（1）y=6x ；（2）454；（3）32＜x ＜1． 【答案解析】（1）先利用矩形的性质确定C 点坐标（1，4），再确定A 点坐标为（3，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k 1=1，即反比例函数解析式为y=6x ；（2）利用反比例函数解析式确定F 点的坐标为（1，1），E 点坐标为（32，4），然后根据△OEF 的面积=S 矩形BCDO ﹣S △ODE ﹣S △OBF ﹣S △CEF 进行计算；（3）观察函数图象得到当32＜x ＜1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k 2x+b ＞1k x ． 【题目详解】（1）∵四边形DOBC 是矩形，且点C 的坐标为（1，4），∴OB=1，OD=4，∵点A 为线段OC 的中点，∴A 点坐标为（3，2），∴k 1=3×2=1，∴反比例函数解析式为y=6x ； （2）把x=1代入y=6x得y=1，则F 点的坐标为（1，1）； 把y=4代入y=6x 得x=32，则E 点坐标为（32，4）， △OEF 的面积=S 矩形BCDO ﹣S △ODE ﹣S △OBF ﹣S △CEF=4×1﹣12×4×32﹣12×1×1﹣12×（1﹣32）×（4﹣1） =454； （3）由图象得：不等式不等式k 2x+b ＞1k x 的解集为32＜x ＜1． 【答案点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．26、（1）见解析;（2）A；（3）800人．【答案解析】(1)用A组人数除以它所占的百分比求出样本容量,利用360°乘以对应的百分比即可求得扇形圆心角的度数,再求得时间是8天的人数,从而补全扇形统计图和条形统计图；(2)根据众数的定义即可求解;(3)利用总人数2000乘以对应的百分比即可求解.【题目详解】解：（1）∵被调查的学生人数为24÷40%=60人，∴D类别人数为60﹣（24+12+15+3）=6人，则D类别的百分比为×100%=10%，补全图形如下：（2）所抽查学生参加社会实践活动天数的众数是A，故答案为：A；（3）估计参加社会实践“活动天数不少于7天”的学生大约有2000×（25%+10%+5%）=800人．【答案点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.27、（1）证明见解析；（2）m 的值为1或﹣2．【答案解析】（1）计算根的判别式的值可得（m+1）2≥1，由此即可证得结论；（2）根据题意得到x=±2 是原方程的根，将其代入列出关于m新方程，通过解新方程求得m的值即可．【题目详解】（1）证明：∵△=[﹣（m+3）]2﹣2（m+2）=（m+1）2≥1，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于2，∴x=±2 是原方程的根，当x=2 时，2﹣2（m+3）+m+2=1．解得m=1；当x=﹣2 时，2+2（m+3）+m+2=1，解得m=﹣2．综上所述，m 的值为1 或﹣2．【答案点睛】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点．。

7年级数学培优竞赛试题1-25题(含详解)

7年级数学培优竞赛试题1-25题(含详解)

七年级第1题：已知0132=+-x x , 则 =++13242x x x 。

答案：0.1第2题：若,,a b c 互异，且x y a b b c c aZ ==---，求x y Z ++的值。

答案：0第3题：a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？答案：6.2<a <331第4题：方程 200422=-b a的正整数解有 组.答案：2组第5题：用一张长方形的纸，折出一个30°的角，如何折？答案：第6题：（1）若A 和B 都是4次多项式，则A+B 一定是（ ） A 、8次多项式 B 、4次多项式C 、次数不高于4次的整式D 、次数不低于4次的整式答案: C（2）如果316x +的立方根是4，求24x +的平方根___________。

答案：立方根是4，则这个数是43=64。

3x+16=64，解得x =16。

2x +4=2×16+4=36， 36=±6。

第7题：已知21x x +=，那么 . 答案: 2016解析：x 4+2x 3-x 2-2x +2017= x 4+2x 3+ x 2-2x 2-2x +2017=（x 2+x ）2-2（x 2+x ）+2017=12-2×1+2017=1-2+2017=2016。

第8题：若2a ＋5b ＋4c ＝0，3a ＋b －7c ＝0，则a ＋b －c 的值是___________________答案：2a +5b +4c =0 ① a +b -7c =0 ②将①×3得6a +15b +12c =0 ③将②×2得6a +2b -14c =0 ④由③-④得13b +26c =0 ， b= -2c ⑤将⑤带入① 2a -10c +4c =0 ， 2a =6c ，a =3c ⑥将⑤和⑥带入a +b -c =3c -2c-c =0。

第 9 题：如图所示，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AB AE 21=，BC CF 31=，AF 与CE 相交于G ，如果矩形ABCD 的面积为120，那么可知AEG ∆与CGF ∆的面积之和为____________。

全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)

全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)

全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。

2022年江西省新余一中学、二中学、三中学联考数学七上期末统考模拟试题含解析

2022年江西省新余一中学、二中学、三中学联考数学七上期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年七上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（）A．调查奥运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况B．调查一个班级的学生对“国家宝藏”节目的知晓率C．调查成都市青羊区中小学生每天课外体育锻炼的时间D．调查“玉兔号”飞船各零部件的质量情况2．已知|a﹣2|+（b+3）2=0，则下列式子值最小是（）A．a+b B．a﹣b C．b a D．ab3．数据5600000用科学记数法表示为（）A．56×105B．5.6×105C．5.6×106D．5.6×1074．若点P在x轴上方，y轴的左侧，到每条坐标轴的距离都是6，则点P的坐标为( )A．(6，6) B．(﹣6，6) C．(﹣6，﹣6) D．(6，﹣6)5．大量事实证明，环境污染治理刻不容缓，据统计，全球每分钟约有852.1万吨污水排入江河湖海，把852.1万用科学记数法表示为( )A．0.8521×106B．8521×107C．8.521×106D．8.521×1076．数M精确到0.01时，近似数是2.90，那么数M的范围是（）A．2.8≤M<3B．2.80≤M≤3.00C．2.85≤M<2.95D．2.895≤M<2.9057．下列说法错误的个数是( )①单独一个数0不是单项式；②单项式-a的次数为0；③多项式-a2+abc+1是二次三项式；④-a2b的系数是1．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，下列图形绕直线l旋转一周后，能得到圆锥体的是（）A．B．C．D．9．单项式13a x y -与2b xy -的和是单项式，则a b 的值是（ ）A ．3B ．6C ．8D ．910．某次足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，小组比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是（ ）．A ．两胜一负B ．一胜两平C ．五平一负D ．一胜一平一负11．在数轴上与表示－2的点距离等于3的点所表示的数是（ ）A ．1B ．－1或5C ．－5D ．－5或112．下列等式正确的是( ).A ．()a b c a b c -+=-+B ．()a b c a b c -+=--C ．2()2a b c a b c --=--D ．()()a b c a b c -+=----二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．小明做一道代数题：“求代数式9876543210987654321x x x x x x x x x +++++++++，当1x =时的值”，由于粗心误将某一项前的“+”看为“-”， 从而求得代数式的值为39，小明看错了________次项前的符号．14．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A ，B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中 蕴含的数学道理是_____________．15．计算3(3)a b a --的结果是______．16．若13m a b -和322n a b --是同类项，则()nm -=_______．17．2017年1月10日，绿色和平发布了全国74个城市PM 2.5浓度年均值排名和相应的最大日均值，其中浙江省六个地区的浓度如下图所示(舟山的最大日均值条形图缺损)以下说法中错误的是______．①则六个地区中，最大日均值最高的是绍兴；②杭州的年均值大约是舟山的2倍；③舟山的最大日均值不一定低于丽水的最大日均值；④六个地区中，低于国家环境空气质量标准规定的年均值35微克每立方米的地区只有舟山．三、解答题 （本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（5分）如图①，已知线段14AB cm =，点C 为线段AB 上的一个动点D ，点D E 、分别是AC 和BC 的中点．（1）若点C 恰好是AB 的中点，则DE =_______cm ；若6AC cm =，则DE =_________cm ；（2）随着点C 位置的改版，DE 的长是否会改变？如果改变，请说明原因；如果不变，请求出的长；（3）知识迁移：如图②，已知130AOB ∠=︒，过角的内部任意一点C 画射线OC ，若OD OE 、分别平分AOC ∠和BOC ∠，试说明DOE ∠的度数与射线OC 的位置无关．19．（5分）某市一中学开通了空中教育互联网在线学习平台，为了了解学生使用情况，学校学生会干部把该平台使用情况分为A （经常使用）、B （偶尔使用）、C （不使用）三种类型，并设计了调查问卷，先后对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．（1）此次调查该校七（1）班A 类型有 人，七（2）班A 类型有 人；（2）求此次该校被调查的总人数.（3）求扇形统计图中代表C 类型的扇形的圆心角度数，并补全折线统计图．（4）若该校七年级有650人，请你估计七年级B 类型的人数．20．（8分）计算：(1)43 116(2)|31|-+÷-⨯--； (2)42355 2(4)757123⎛⎫÷--⨯-÷- ⎪⎝⎭． 21．（10分）一家服装店在换季时积压了一批服装．为了缓解资金的压力，决定打折销售．其中一条裤子的成本为80元，按标价五折出售将亏30元，(1)求这条裤子的标价是多少元？(2)另一件上衣按标价打九折出售，和这条裤子合计卖了230元，两件衣服恰好不赢不亏，求这件上衣的标价是多少元？22．（10分）列方程解应用题，已知A ，B 两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A 地匀速行驶到B 地，乙每小时比甲多行30千米.甲比乙早出发3小时，乙出发1小时后刚好追上甲.（1）求甲的速度；（2）问乙出发之后，到达B 地之前，何时甲乙两人相距6千米；（3）若丙骑自行车与甲同时出发，沿着这条笔直的公路由B 地匀速行驶到A 地.经过185小时与乙相遇，求此时甲、丙两人之间距离.23．（12分）如图，已知点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上，且AC ＝BD ，E 是线段BC 的中点．（1）点E 是线段AD 的中点吗？说明理由；（2）当AD ＝10，AB ＝3时，求线段BE 的长度．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、C【分析】根据抽样调查和普查的定义，逐一判断选项，是解题的关键．【详解】调查奥运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况适合普查，故A不符合题意；调查一个班级的学生对“国家宝藏”节目的知晓率，适合普查，故B不符合题意；调查成都市青羊区中小学生每天课外体育锻炼的时间范围广，适合抽样调查，故C符合题意；调查“玉兔号”飞船各客部件的质量情况适合普查，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查抽样调查和普查的定义，掌握抽样调查和普查的定义，是解题的关键．2、D【解析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意得，a﹣2=2，b+3=2，解得a=2，b=﹣3，所以，a+b=2+（﹣3）=﹣1，a﹣b=2﹣（﹣3）=2+3=5，b a=（﹣3）2=9，ab=2×（﹣3）=﹣1，所以值最小的是﹣1．故选：D．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为2时，这几个非负数都为2．3、C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】数据5600000用科学记数法表示为5.6×1．故选：C．【点睛】本题考查了科学记数法的应用，掌握科学记数法的定义以及应用是解题的关键．4、B【分析】根据点到直线的距离和各象限内点的坐标特征进行解答即可．【详解】解：∵点P在x轴上方，y轴的左侧，∴点P是第二象限内的点，∵点P到每条坐标轴的距离都是6，∴点P的坐标为（﹣6，6）．故选B．【点睛】本题考查了各象限内的点的坐标特征及点的坐标的几何意义，熟练掌握平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点是解此类题的关键．5、C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：852.1万＝8.521×106，故选：C．【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6、D【分析】精确到0.01求近似数要看千分位上的数进行四舍五入，近似值为2. 90，有两种情况，千分位上的数舍去，和千分位上的数要进一，找出舍去的和进一的数字即可解答.【详解】干分位舍去的数有，1、2、3、4，即数M可能是2.901 、2.902 、2.903 、2.904；千分位进一的数有5、6、7、8、9，因为千分位进一，得到近似数是2.90，所以原来的小数的百分位上是10-1=9，百分位9+1=10又向十分位进一，即原数的十分位原来是9-1=8 ，即数M可能是2.895、2.896 、 2.897、2.898 、2.899；∴数M精确到0.01时，近似数是2.90，那么数M的范围是2.895≤M<2.905，故选：D.【点睛】此题考查近似数及其求法，正确理解近似数的精确方法“四舍五入法”，从所精确的数位的后一位舍去或进一两种方法解决问题是解题的关键.7、D【分析】根据单项式和多项式的定义逐一判断即可．【详解】解：①单独一个数0是单项式，故①错误；②单项式﹣a 的次数为1，故②错误；③多项式﹣a 2+abc+1是三次三项式，故③错误；④﹣a 2b 的系数是﹣1，故④错误；故选：D ．【点睛】此题考查的是单项式和多项式的定义，正确把握单项式和多项式的定义是解题关键．8、B【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，只有直角三角形绕直角边旋转一周，可以得到一个以旋转直角边为高，另一直角边为底面半径的圆锥．【详解】解：只有直角三角形绕直角边旋转一周，可以得到一个圆锥．故选：B ．【点睛】本题考查了点、线、面、体之间的关系，抓住旋转的定义和圆锥的特征即可解决此类问题．9、D【分析】根据同类项的定义，可得a ，b 的值，进而即可求解．【详解】∵单项式13a xy -与2b xy -的和是单项式， ∴单项式13a x y -与2b xy -是同类项，∴113a b -=⎧⎨=⎩，解得：23a b =⎧⎨=⎩， ∴a b =239=，故选D ．【点睛】本题主要考查同类项的定义，根据同类项的定义，列出关于a ，b 的方程，是解题的关键．10、B【分析】根据题意，每个小组有4支球队，每支球队都要进行三场比赛，设该球队胜场数为x ，平局数为y (x ，y 均是非负整数)，则有y =5-3x ，且0≤y ≤3，由此即可求得x 、y 的值．【详解】由已知易得：每个小组有4支球队，每支球队都要进行三场比赛，设该球队胜场数为x ，平局数为y ，∵该球队小组赛共积5分，∴y =5-3x ，又∵0≤y ≤3，∴0≤5-3x ≤3，∵x 、y 都是非负整数，∴x =1，y =2，即该队在小组赛胜一场，平二场，故选：B ．【点睛】读懂题意，设该队在小组赛中胜x 场，平y 场，知道每支球队在小组赛要进行三场比赛，并由题意得到y=5-3x 及0≤y≤3是解答本题的关键．11、D【分析】根据题意分该点在2-的左侧以及右侧两种情况进一步求解即可.【详解】当该点在2-左侧时，该点表示的数为：235--=-；当该点在2-右侧时，该点表示的数为：231-+=；综上所述，该点表示的数为5-或1，故选：D.【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握相关概念是解题关键.12、B【解析】试题解析：A 、a-（b+c ）=a-b-c ，故原题错误；B 、a-b+c=a-（b-c ），故原题正确；C 、a-2（b-c ）=a-2b+2c ，故原题错误；D 、a-b+c=a-（+b ）-（-c ），故原题错误；故选B ．点睛：去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、1【分析】首先把x=1代入10x 9+9x 8+8x 1+1x 6+6x 5+5x 4+4x 3+3x 2+2x+1，求出算式的值是多少；然后根据它和求得的代数式的错误的值的差的大小，判断出小明看错了几次项前的符号即可．【详解】当x=1时，10x 9+9x 8+8x 1+1x 6+6x 5+5x 4+4x 3+3x 2+2x+1=10+9+8+1+6+5+4+3+2+1=55∵（55-39）÷2 =16÷2=8∴小明看错了1次项前的符号．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．14、两点之间，线段最短．【分析】把A ，B 两地看作两个点，再利用线段公理作答即可.【详解】解：A ，B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短.【点睛】本题是线段公理的实际应用，正确理解题意、熟知两点之间，线段最短是解题关键.15、6a b -【分析】去括号合并同类项即可.【详解】解：3(3)336a b a a b a a b --=-+=-.故答案为：6a b -.【点睛】本题考查了整式的加减，括号前是负号时，去括号时注意变号，熟练掌握去括号法则及合并同类项的方法是解题的关键.16、64-【分析】含有相同的字母，并且相同字母的指数也分别相等的项是同类项，根据定义解答.【详解】由题意得m-1=3，n-2=1，解得m=4，n=3，∴()n m -=()3464-=-，故答案为：-64.【点睛】此题考查同类项的定义，熟记定义是解题的关键.17、①．【分析】认真读图，根据柱状图中的信息逐一判断．【详解】①这6个地区中，最大日均值最高的不一定是绍兴，还可能为舟山，错误；②杭州的年均值为66.1，舟山的年均值为32.1，故杭州年均值约是舟山的2倍，正确； ③舟山的最大日均值不一定低于丽水的最大日均值，正确；④这6个地区中，低于国家环境空气质量标准规定的年均值35微克每立方米的地区只有舟山，正确． 故答案为：①．【点睛】本题考查从柱状统计图中读出信息，认真读图，理解题意是解答关键．三、解答题 （本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18、（1）7；7（2）DE 的长不会改变，7cm ；（3）见解析【分析】（1）根据线段中点定义即可求解；（2）根据线段中点定义即可说明DE 的长不会改变；（3）根据角平分线定义即可说明∠DOE 的度数与射线OC 的位置无关．【详解】解：（1）∵AB ＝14cm ，点C 恰好是AB 的中点，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×14＝7， ∵点D 、E 分别是AC 和BC 的中点，∴DC ＝12AC ，CE ＝12BC ， ∴DE ＝DC ＋CE ＝12AC ＋12BC ＝12×14＝7； ∵AC ＝6，∴BC ＝AB−AC ＝8∵点D 、E 分别是AC 和BC 的中点，∴DC ＝12AC ＝3，CE ＝12BC ＝4， ∴DE ＝DC ＋CE ＝3＋4＝7；故答案为7，7；（2）DE 的长不会改变，理由如下：因为点D 是线段AC 的中点，所以12DC AC =因为点E 是线段BC 的中点，所以12CE BC =. 所以11111472222DE DC CE AC BC AB cm =+=+==⨯= 所以DE 的长不会改变.1114722DE AB cm ==⨯= （3）因为OD 平分AOC ∠，所以12DOC AOC ∠=∠. 因为OE 平分BOC ∠，所以12EOC BOC ∠=∠. 所以111222DOE DOC EOC AOC BOC AOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠. 因为130AOB ∠=︒，所以111306522DOE AOB ∠=∠=⨯︒=︒ 所以，DOE ∠的度数与射线OC 的位置无关．【点睛】本题考查了角平分线定义、两点之间的距离，解决本题的关键是结合图形进行合理推理．19、（1）18；14；（2）此次被调查的学生总人数为100人；（3）代表C 类型的扇形圆心角是36︒，补全折线统计图如图见解析；（4）该校七年级B 类型人数约有377人.【分析】（1）观察折线统计图给出的数据直接解答即可；（2）先由折线统计图得到B 类型的学生有58人，再由扇形统计图得到B 类型的学生所占的百分比，然后用58除以这个百分比即可得到被调查的总人数．；（3）根据折线统计图给出的数据先求出A 类型的人数，由此可得出A 类型所占比例，从而求出C 类型所占的比例，由此可得到C 类型所对应扇形的圆心角的大小以及七（2）班C 类的人数，从而补全折线统计图；（4）用该校七年级的总人数乘以七年级B 类型所占的百分比即可得出答案．【详解】解：（1）此次调查该校七（1）班A 类型有14人，七（2）班A 类型有18人，故答案为：14，18；（2）从扇形统计知B 类型人数所占比例为58%，从折线统计图知B 类型人数为263258+=，所以5858%100÷=（人），所以，此次被调查的学生总人数为100人．（3）由折线图知A 人数=18+14=32人，故A 的比例为32÷100=32%， 所以C 类比例=1-58%-32%=10%，所以类型C的扇形的圆心角=360°×10%=36°，七（2）班C类人数=10%×100-2=8人，折线图如下：（4）65058%377⨯=（人）．所以，该校七年级B类型人数约有377人．【点睛】本题考查扇形统计图和折线统计图，用样本估计总体．解决此类题的方法通常是结合两种统计图，对照统计图中各已知量，分析要求求解的量．一般地，首先求出总数，再由总数及每一部分中的一个已知项求出另一个未知项，由此逐一求出所有的未知量，从而由所得结果补全统计图．20、（1）-2；（2）1．【分析】（1）先计算乘方及绝对值，再计算除法和乘法，最后计算减法即可；（2）先根据有理数除法法则计算，再利用乘法分配律计算即可得答案．【详解】（1）原式=-1+16÷(-8)×4=124--⨯=-2．（2）原式=45355 71271212 -⨯-⨯+=435 (1)7712 --+⨯=1．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．21、（1）100元;（2）200元.【分析】（1）设标价为x元，根据售价=成本+利润列方程即可求出x的值；（2）设上衣的标价为y元，根据两件合计卖了230元列方程计算.【详解】（1）设标价为x元，则0.5x =80-30，解得x =100，即标价为100元；（2）设这件上衣的标价为y 元，0.9y +50=230，y =200，即这件上衣的标价是200元.【点睛】此题考查一元一次方程的应用，正确理解题意列方程是解题的关键.22、（1）甲的速度为每小时10千米；（2）乙出发0.8小时或1.2小时，甲乙两人相距6千米；（3）甲、丙两人之间距离为12千米.【分析】（1）设甲的速度为x ，根据甲行驶的路程与乙行驶的路程相等，列出方程求解即可；（2）根据甲行驶的路程与乙行驶的路程相差6千米(分追上前和追上后两种情况讨论)，列出方程求解即可；（3）根据题意，乙行驶的时间为(1835-)小时，根据甲行驶的路程+丙行驶的路程＝60，求得丙的速度，再用60-甲、丙两人的路程和，就可求得甲、丙两人之间距离.【详解】（1）设甲的速度为x ，依题意得 ：()1330x x +=+解得：10x =∴甲的速度为每小时10千米；（2）设乙出发之后t 小时，甲乙两人相距6千米，由（1）的结论：甲的速度为每小时10千米，乙的速度为每小时40千米；未追上前：依题意得 ：()103406t t +-=解得：0.8t =追上并超过后：依题意得 ：()401036t t -+=解得： 1.2t =此时：1.2404860⨯=<，乙未到达B 地， 1.2t =符合题意；∴乙出发0.8小时或1.2小时，甲乙两人相距6千米；（3）丙骑自行车与甲同时出发，则乙行驶的时间为(1835-)小时， 设丙的速度为y ， 依题意得：181********y ⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭＝ 解得：10y = ∴甲、丙两人之间距离为：()186********-⨯+=- ∴此时甲、丙两人之间距离为12千米.【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键，第1、2小题属于追及问题，第3小题属于相遇问题.23、（1）点E 是线段AD 的中点，理由见解析；（2）线段BE 的长度为2.【分析】(1)由于AC=BD ，两线段同时减去BC 得：AB=CD ，而点E 是BC 中点，BE=EC ，AB+BE=CD+EC ，所以E 是线段AD 的中点．(2)点E 是线段AD 的中点，AD 已知，所以可以求出AE 的长度，而AB 的长度已知，BE=AE-AB ，所以可以求出BE 的长度．【详解】(1)点E 是线段AD 的中点，∵AC =BD ，∴AB ＋BC ＝BC ＋CD ，∴AB ＝CD . ∵E 是线段BC 的中点，∴BE ＝EC ，∴AB ＋BE ＝CD ＋EC ，即AE ＝ED ，∴点E 是线段AD 的中点；(2)∵AD =10，AB =3，∴BC ＝AD －2AB ＝10－2×3=4，∴BE ＝12BC ＝12×4＝2， 即线段BE 的长度为2.【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点等知识，解题的关键是根据题意和题干图形，得出各线段之间的关系．。

2023年湖南省衡阳市育贤中学中考数学模拟试卷(含答案解析)

2023年湖南省衡阳市育贤中学中考数学模拟试卷(含答案解析)

2023年湖南省衡阳市育贤中学中考数学模拟试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．⎛ ⎝11．某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产A．甲B．乙C．丙D．丁12．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题18．如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心的坐标为＝﹣34x +6上的动点，过点P 作⊙A 的切线，三、解答题19．计算：11()272sin 60(20192-︒+-+-20．先化简2222211a a a aa a a +++÷-+，再在代入，求出化简后分式的值．21．国务院办公厅2015年3月16日发布了《中国足球改革的总体方案》（1）求证：AE=AB；（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．23．如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的当手指接触键盘时，肘部形成的视线AB水平，且与屏幕BC垂直．（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离（2）若肩膀到水平地面的距离DG上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时（参考数据：sin69°≈1415，cos21°≈参考答案：∵四边形∠∴BAO．故答案为：93 4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题，等腰三角形．18．42【详解】试题解析：如图，作AP⊥直线y=【详解】）证明：连接OC与⊙O相切于C点CD⊥AEAEOCB＝∠EtanA=，AB===55DEI=，∴此时β不是符合科学要求的100°．考点：解直角三角形的应用24．(1)1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．(2)1002a-(3)购买A 型机器人35台，B 型机器人30台时，总费用w 最少．【分析】（1）设1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时各分拣垃圾x 吨和y 吨，然后根据2台A 型机器人和5台B 型机器人同时工作1小时共分拣垃圾1.8吨，3台A 型机器人和2台B 型机器人同时工作1小时共分拣垃圾1.6吨列出方程组求解即可；（2）根据这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨进行列式求解即可；（3）分当1030a ≤<时，4080b <≤，当3035a ≤≤时，3040b ≤≤，当3545a <≤时，1030b ≤<，三种情况列出w 关于a 的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时各分拣垃圾x 吨和y 吨，由题意得25 1.832 1.6x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得0.40.2x y =⎧⎨=⎩答：1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．（2）解：由题意得，0.40.220a b +=，∴1002b a =-，故答案为：1002a -；（3）解：当1030a ≤<时，4080b <≤，∴DF =334m -+，∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA ．∴BE BD BA BC=．∵DF ∥OC ，∴C DF OC BD B =．∴OBE DF BA C =．333。

2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练_方程(含详解)

2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练_方程(含详解)

初中数学竞赛专项训练（方 程）一、选择题：1、方程018)8(2=-++-a x a x 有两个整数根，试求整数a 的值 （ ）A. -8B. 8C. 7D. 9 2、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是 （ ）A. 2B. 3C. 4D. 53、若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的大小关系是（ ） A. △＞MB. △=MC. △＜MD. 不能确定4、已知ac b 42-是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）A. ab ≥81 B. ab ≤81 C. ab ≥41 D. ab ≤41 5、已知1x 、2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x 的两个实根，则2221x x +的最大值是（ ） A. 19B. 18C. 955D. 以上答案都不对6、已知z y x 、、为三个非负实数，且满足132523=-+=++z y x z y x ，　，z y x u 73-+=若，则u 的最大值与最小值之和为 （ ）A. 7762-B. 7764-C. 7768-D. 7774-7、若m 、n 都是正实数，方程022=++n mx x 和方程022=++m nx x 都有实数根，则m+n 的最小值是 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 108、气象爱好者孔宗明同学在x （x 为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。

则x 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题1、已知两个方程0022=++=++a bx x b ax x 与有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、若)(016110161122b a b b a a ≠=++=++，　，则=-baa b ＿＿＿＿＿＿＿3、已知关于x 的方程012)1(2=-+++n x n x 的两根为整数，则整数n 是＿＿＿＿＿4、设1x 、2x 是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实数根，且8)1)(1(21=++x x ，则k 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，则m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题1、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数k 的值。

2023-2024学年全国初中七年级下数学人教版模拟考试试卷(含答案解析)

2023-2024学年全国初中七年级下数学人教版模拟考试试卷(含答案解析)

20232024学年全国初中七年级下数学人教版模拟考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.下列各数中，是整数的是（）A. 0.5B. 2C. 2/3D. 1.52.下列各数中，是负数的是（）A. 3B. 4C. 5/6D. 03.下列各数中，是正数的是（）A. 3B. 0C. 2/3D. 44.下列各数中，是分数的是（）A. 0B. 2C. 3/4D. 15.下列各数中，是正整数的是（）A. 3B. 0C. 2/3D. 56.下列各数中，是负整数的是（）A. 4B. 5C. 2/3D. 07.下列各数中，是正分数的是（）A. 3/4B. 0C. 5/6D. 28.下列各数中，是负分数的是（）A. 3/4B. 0C. 2/3D. 59.下列各数中，是零的是（）A. 3B. 0C. 2/3D. 510.下列各数中，是自然数的是（）A. 3B. 0C. 2/3D. 5二、填空题（每题2分，共20分）1.下列各数中，是整数的是__________。

2.下列各数中，是负数的是__________。

3.下列各数中，是正数的是__________。

4.下列各数中，是分数的是__________。

5.下列各数中，是正整数的是__________。

6.下列各数中，是负整数的是__________。

7.下列各数中，是正分数的是__________。

8.下列各数中，是负分数的是__________。

9.下列各数中，是零的是__________。

10.下列各数中，是自然数的是__________。

三、解答题（每题5分，共20分）1.解方程：2x + 3 = 7。

2.解方程：3x 2 = 5。

3.解方程：4x + 5 = 9。

4.解方程：5x 3 = 7。

四、应用题（每题10分，共20分）1.小明有5个苹果，小红有7个苹果，小华有3个苹果。

他们一共有多少个苹果？2.小明有3个苹果，小红有5个苹果，小华有7个苹果。

他们一共有多少个苹果？五、简答题（每题5分，共20分）1.简述整数的概念。

【名校竞赛】2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练：代数式、恒等式、恒等变形(含详解)

【名校竞赛】2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练：代数式、恒等式、恒等变形(含详解)

初中数学竞赛专项训练（代数式、恒等式、恒等变形）一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。

1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b %出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ）A. m (1+a %)(1－b %)元B. m ·a %(1－b %)元C. m (1+a %)b %元D. m (1+a %b %)元2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a +b +c =0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为（ ） A. 0B. 1或－1C. 2或－2D. 0或－23、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则bc ab ac +++的值为（ ）A. 21B. 22C. 1D.24、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则ba ba -+的值为（ ）A.3B.6C. 2D. 35、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca 的值为 （ ） A. 0B. 1C. 2D. 36、设a 、b 、c 为实数，226232222πππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值（ ）A. 大于0B. 等于0C. 不大于0D. 小于07、已知abc ≠0，且a +b +c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 222++的值是 （ ）A. 3B. 2C. 1D. 08、若136498322++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数B. 负数C. 零D. 整数二、填空题1、某商品的标价比成本高p %，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d %，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿2、已知－1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+-+-+aa a a 得＿＿＿＿＿＿＿ 3、已知实数z 、y 、z 满足x +y =5及z 2=xy +y －9，则x +2y +3z =_______________4、已知x 1、x 2、……、x 40都是正整数，且x 1+x 2+……+x 40＝58，若x 12+x 22+……+x 402的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于＿＿＿＿＿＿＿＿5、计算=+⋯⋯+++++⋯⋯++++)441()417)(413)(49)(45()439()415)(411)(47)(43(4444444444________________ 6、已知多项式154723--+x bx ax 可被13+x 和32-x 整除，则=+b a ＿＿＿＿＿三、解答题：1、已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值。

2023年广东省东莞市初中学业水平考试数学模拟试卷(二)(含答案解析)

2023年广东省东莞市初中学业水平考试数学模拟试卷(二)(含答案解析)

2023年广东省东莞市初中学业水平考试数学模拟试卷（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．5-的绝对值是（）A ．15B ．5C ．5-D ．15-2．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，55A ∠=︒，点D 在斜边AB 上，如果把ABC 绕点B 逆时针旋转后与EBD △重合，那么旋转角等于（）A ．35︒B ．55︒C ．80︒D ．90︒3．下列计算正确的是（）A ．224a a a +=B ．2(2)(2)4a a a +-=-C ．2242(3)6a b a b -=D ．222()a b a b -=-4．某企业销售部第二季度的业绩考核得分为80分，第二季度比第一季度的业绩考核得分提高了20%．设该企业第一季度的业绩考核得分为x 分．依题意，下面列出的方程正确的是（）A ．20%80x =B ．()120%80x -=C ．()120%80x +=D ．()80120%x⨯+=5．若多边形的每个外角都为40︒，则该多边形是（）A ．六边形B ．七边形C ．八边形D ．九边形6．在一次数学能力选拔比赛中，有17位同学参加了“17进8”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解17位参赛同学成绩的（）A ．中位数B ．平均数C ．加权平均数D ．众数7．直角三角形的两条直角边长分别为3和5，则这个直角三角形的斜边长为（）A ．4BC D 48．如图，在O 中，直径AB CD ⊥，25CAB ∠=︒，则ODC ∠的度数是（）A ．25︒B ．40︒C ．50︒D ．65︒9．若2m n +=，则代数式2n m nm m m ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-10．如图，已知抛物线22(0)y ax bx a =+->的对称轴是直线=1x -，直线l x ∥轴，且交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y ，其中12x x <．下列结论错误的是（）A ．28b a>-B ．若实数1m ≠-，则2a b am bm -<+C ．当2y >-时，120x x ⋅<D ．320a ->二、填空题11．计算：101(2022)2π-⎛⎫--= ⎪⎝⎭_______________．12．如果把一枚质地均匀的骰子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是偶数的概率是______________．13．如图，DE 为ABC 的中位线，且BF 平分ABC ∠交DE 于点F ．若6AB =，10BC =，则EF =_____________．14．若31a +的算术平方根是5，则a 的算术平方根是_____________．15．如图，点D 是等边ABC 内部一动点，6AB =，连接,,AD BD CD ，若ABD BCD ∠=∠，则AD 的长度最小值是_______________．三、解答题16．先化简，再求值：221133x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中3x =．17．如图，在ABC 中，点E ，F 在BC 上，且BE CF =．点D 为平面内一点，且满足AC BD ∥，AE DF ∥．求证：EAC FDB ≌．18．如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在99⨯个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．(1)如图1，小南先踩中一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A ）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B ，A 与B 外围区域记为C ）．二人约定：在C 区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．(2)如图2，在D ，E ，F 三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷）．则选择D ，E ，F 三个区域踩到雷的概率分别是______．19．A 、B 两地相距4千米，甲从A 地出发步行到B 地，乙从B 地出发骑自行车到A 地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．(1)求甲、乙每小时各行多少千米？(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？20．如图，反比例函数()110,0k y k x x=≠>与直线()220y k x b k =+≠交于点(1,2)A 和点B ，且OA AB ⊥．(1)求反比例函数和一次函数解析式．(2)求OAB 的面积．21．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，以AD 为直径作O ，分别与AC ，AB 交于点E ，F ，过点E 作EM BC ⊥于点M ．(1)求证：EM 是O 的切线．(2)若5AD =，3tan 4C =，求BF 的长．22．如图（1），在矩形ABCD 中，O 为对角线AC ，BD 的交点，30CAB ∠=︒，F 为直线AC 上一动点，以BF 为边，在它的左侧作等边BEF △．(1)当点F 与点O 重合时，判断四边形BCFE 的形状，并说明理由．(2)如图（2），在点F 运动的过程中，求证：AE BE =．(3)若BC =时，当AE BE ⊥时，求AF 的长度．23．如图（1），点A 在二次函数2(0)y axa =>对称轴右侧图象上，连接OA ，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为点B ，过点B 作BC OA ∥，交x 轴于点C ，交抛物线于点D ．(1)①若点A 的坐标为(1,1)，则BDBC=______________．②对于任意点A ，①的结论还成立吗？请说明理由．(2)如图（2），将该抛物线向左平移1个单位，再向下平移k 个单位，此时抛物线与x 轴的交点为E ，F （点E 在点F 左侧），与y 轴的交点为(0,3)G -，且当43x -<<-时0y >，当01x <<时0y <．①抛物线的解析式为________________．（直接写结论）②连接,EG GF ，点P 为线段EG 上一点，过点P 作PQ GF ⊥，垂足为点Q ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点N ，设w PN =，求w 的最大值．参考答案：1．B【分析】直接根据绝对值的定义解答即可．【详解】解：∵5-是负数，∴|5|5-=．故选：B ．【点睛】本题考查的是绝对值，熟知负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．2．A【分析】先根据55A ∠=︒，求出ABC ∠，再结合图形，根据旋转的性质可得出答案．【详解】解：∵Rt ABC △中，55A ∠=︒，90C ∠=︒，∴9035A ABC ∠=︒∠=-︒．∵ABC 经过旋转后与EBD △重合，这一旋转的旋转中心是点B ，旋转角是ABC ∠，∴旋转角ABC ∠等于35︒．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，准确识图是解题的关键．3．B【分析】根据合并同类项、平方差公式、积的乘方及完全平方公式依次判断即可．【详解】A 、2222a a a +=，原计算错误，该选项不符合题意；B 、2(2)(2)4a a a +-=-正确，该选项符合题意；C 、2222224233()()()9a b a b a b -=-=，原计算错误，该选项不符合题意；D 、222()2a b a ab b -=-+，原计算错误，该选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项、平方差公式、积的乘方及完全平方公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键．4．C【分析】根据题意可知，一季度的考核得分加上其得分的20%等于第二季度的得分，据此列方程即可．【详解】根据题意，可得方程：()120%80x +=，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意列出方程是解答本题的关键．5．D【分析】根据多边形的外角和是360︒就可以求出多边形的边数．【详解】解：多边形的边数360409n =︒÷︒=．因此该多边形是九边形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了多边形的外角的知识，掌握多边形的外角和是360︒是解题的关键．6．A【分析】17人成绩的中位数是第8名同学的成绩．参赛选手要想知道自己是否能晋级，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】解：由于总共有17个人，第8名同学的成绩是中位数，要判断是否能晋级，故应知道中位数的多少．故选：A ．【点睛】本题主要考查了中位数的意义，熟练掌握把一组数据从大到小（或从小到大）排列后位于中间的一个数或两个数的平均数是中位数是解题的关键．7．B【分析】利用勾股定理直接计算即可．故选：B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是解答本题的关键．8．B【分析】连接OC ，如图，先根据圆周角定理得到250BOC CAB ∠=∠=︒，再利用互余计算出40OCD ∠=︒，然后利用等腰三角形的性质得到ODC ∠的度数．【详解】解：连接OC ；如图，25CAB ∠=︒Q ，∴250BOC CAB ∠=∠=︒，AB CD ⊥ ，90905040OCD BOC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，OC OD = ，40OCD ODC ∴=∠=∠︒．故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．B【分析】先根据分式的混合运算化简，再整体代入即可作答．【详解】2n m nm m m ⎛⎫--÷⎪⎝⎭22·n m mm m m n⎛⎫=- ⎪-⎝⎭22·n m m m m n-=-()()·n m n m m m m n +-=-()n m =-+n m =--，∵2m n +=，∴原式2n m =--=-，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．10．D【分析】先根据抛物线对称轴求出2b a =，再由抛物线开口向上，得到0a >，则228480b a a a +=+>由此可判断A ；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B ；根据2y >-时，直线l 与抛物线的两个交点分别在y 轴的两侧，即可判断C ；根据当=1x 时，20y a b =+-<即可判断D ．【详解】∵抛物线22(0)y ax bx a =+->的对称轴是=1x -，∴12ba-=-，∴2b a =，∵抛物线开口向上，∴0a >，∴228480b a a a +=+>，∴28b a >-，故A 正确，不符合题意，∵抛物线开口向上，对称轴是直线=1x -，∴当=1x -时，min 2y a b =--，∴当实数1m ≠-，则222a b am bm --<+-，∴实数1m ≠-，则2a b am bm -<+，故B 正确，不符合题意，∵2y >-，∴直线l 与抛物线的两个交点分别在y 轴的两侧，∴120x x ⋅<，故C 正确，不符合题意，∵当=1x 时，20y a b =+-<，∴220a a +-<，即320a -<，故D 错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．11．1【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可作答．【详解】101(2022)2112π-⎛⎫--=-= ⎪⎝⎭，故答案为：1．【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂的计算，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则是解答本题的关键．12．12【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵骰子有六个面分别写上数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，正面朝上的数字是偶数的有2，4，6，∴正面朝上的数字是偶数的概率3162=．故答案为：12．【点睛】本题考查了概率公式的运用，概率=所求情况数与总情况数之比．13．2【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ED BC ∥，12ED BC =，再根据角平分线的性质以及平行线的性质求出DBF DFB ∠=∠，根据等角对等边的性质可得BD FD =，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】解：∵DE 是ABC 的中位线，10BC =，∴ED BC ∥，152ED BC ==，∴DFB FBC ∠=∠，∵BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，∴DBF DFB ∠=∠，∴BD FD =，∵6AB =，ED 是ABC 的中位线，∴132BD AB ==，∴532EF DE DF DE BD =-=-=-=．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及等角对等边的性质，熟记性质以及定理，求出BD FD =是解题的关键．14．【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【详解】解：∵31a +的算术平方根是5，∴2315a +=，∴8a =，==∴a 的算术平方根是故答案为：【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的定义进行判断．157【分析】将ABD △绕B 点逆时针旋转使得BA 与BC 重合，得到BEC ，根据旋转的性质有：BEC BDA △≌△，60ABC DBE ∠=∠=︒，即有ABD CBE ∠=∠，AD EC =，BD BE =，BEC ADB ∠=∠，证明BE CD ∥，即两平行线之间，当CE BE ⊥时，CE 最短，此时AD 最短，即当AD BD ⊥时，AD 最短，此时的四边形BECD ，如图，过D 点作DF BE ⊥于点F ，求出EC =，问题得解．【详解】将ABD △绕B 点逆时针旋转使得BA 与BC 重合，得到BEC ，如图，根据旋转的性质有：BEC BDA △≌△，60ABC DBE ∠=∠=︒，∴ABD CBE ∠=∠，AD EC =，BD BE =，BEC ADB ∠=∠，∵ABD BCD ∠=∠，∴CBE BCD ∠=∠，∴BE CD ∥，即两平行线之间，当CE BE ⊥时，CE 最短，此时AD 最短，∵CE BE ⊥，∴90BEC ∠=︒，∴90ADB ∠=︒，即当AD BD ⊥时，AD 最短，此时的四边形BECD ，如图，过D 点作DF BE ⊥于点F ，根据旋转的性质可知：60DBE ∠=︒，∵BE CD ∥，DF BE ⊥，CE BE ⊥，∴四边形DCEF 是矩形，∴DF CE =，∵60DBE ∠=︒，∴sin 60DF BD DF =︒，∴BD DF EC ，∵BD BE =，∴BE =，∵在等边ABC 中，6AB =，∴6BC AB ==，∵在Rt BEC △中，222BE EC BC +=，∴2226EC ⎫+=⎪⎭，解得：EC =，∴D EC A ==即AD【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形的知识，通过两平行线之间，当CE BE ⊥时，CE 最短，进而得出当AD BD ⊥时，AD最短，是解答本题的关键．16．11x -，12【分析】利用通分，因式分解，约分进行化简，后代入求值即可．【详解】解：221133x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭=()()3233311x x x x x x ++⎛⎫-⋅ ⎪++-+⎝⎭=()()13311x x x x x ++⋅+-+11x =-；当3x =时，1111312x ==--．【点睛】本题考查了分式的化简求值，准确化简是解题的关键．17．见详解【分析】利用平行的性质证明C FBD ∠∠∥，AEF DFB ∠∠=，即根据“ASA ”即可证明．【详解】∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，∴BF CE =，∵AC BD ∥，AE DF ∥，∴C FBD ∠=∠，AEF DFB ∠∠=，∴EAC FDB ≌．【点睛】本题考查了两直线平行内错角相等，全等三角形的判定等知识，掌握平行的性质是解答本题的关键．18．(1)这个游戏不公平，说明见解析(2)1，23，35【分析】（1）求出小南胜的概率和小语胜的概率，再比较即可；（2）分别求出D ，E ，F 三个黑框区域中共藏的地雷颗数，再由概率公式求解即可．【详解】（1）解：这个游戏不公平，理由如下：在C 区域的999468⨯--=（个）方块中随机埋藏着202117--=（颗）地雷，C 区域中有681751-=（个）方块中没有地雷，∴小南胜的概率为171684=，小语胜的概率为513684=，1344< ，∴这个游戏不公平；（2）解： 围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷，空白区域无地雷，D ∴区域中有2个地雷，∴选择D 区域踩到雷的概率为1；围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷，空白区域无地雷，E ∴区域中有2个地雷，∴选择E 区域踩到雷的概率为23；在D ，E ，F 三个黑框区域中共藏有10颗地雷(空白区域无地雷)，F ∴区域中有：10226--=（颗），∴选择F 区域踩到雷的概率为63105=；故答案为：1，23，35．【点睛】本题考查了游戏公平性以及概率公式等知识，概率相等游戏就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．(1)甲每小时行3千米，乙每小时行5千米(2)出发后38小时或58小时两人相距1千米【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：30分钟×甲的速度+30分钟×乙的速度=4千米，4千米-40分钟×甲的速度=（4千米-40分钟×乙的速度）×3，依此列出方程求解即可，注意单位换算；（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．【详解】（1）解：设甲每小时行x 千米，乙每小时行y 千米．依题意：30304606040404346060x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩解方程组得35x y =⎧⎨=⎩答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米．（2）相遇前：()()341358-÷+=（小时），相遇后：()()541358+÷+=（小时）．故在他们出发后38小时或58小时两人相距1千米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．20．(1)反比例函数的表达式为2y x =；一次函数的解析式为1522y x =-+．(2)154．【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式；过点A 作AE y ⊥轴于点E ，过点B作BF EA ⊥，交EA 延长线于点F ，设2,B a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，用含a 的代数式表示线段AF ，DF ，利用相似三角形的判定与性质列出比例式，求得a 值，则点B 坐标可求，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）利用勾股定理求得OA ，AB 的值，则12OAB S OA AB =⨯⋅△．【详解】（1）解：（1）∵反比例函数()110,0k y k x x=≠>的图象经过点(1,2)A ，∴121k =，∴12k =．∴反比例函数的表达式为2y x=；过点A 作AE y ⊥轴于点E ，过点B 作BF EA ⊥，交EA 延长线于点F ，如图，∵(1,2)A ，∴1AE =，2OE =．设2(,)B a a ，则EF a =，∴1AF EF AE a =-=-，22FB a =-．∵OA AB ⊥，∴90EAO FAB ∠+∠=︒，∵90EAO EOA ∠+∠=︒，∴EOA FAB ∠=∠．∵90AEO BFA ∠=∠=︒，∴AEO BFA △∽△，∴AE BF EO AF=．∴22121a a -=-，解得：4a =或1a =（不合题意，舍去），∴1(4,)2B ．∵一次函数22(0)y k x b k =+≠的图象经过点A ，B ，∴222142k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：21252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴一次函数的解析式为1522y x =-+．（2）由（1）知：(1,2)A 和点1(4,2B ，∴1AE =，2OE =，413AF =-=，13222BF =-=．∴OA ==AB ==∴11152224OAB S OA AB =⨯⋅==△．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．21．(1)见详解(2)3【分析】（1）连接OE ，根据斜边的中线等于斜边的一半可得12AD BD DC BC ===，即有DAC C ∠=∠，根据OA OE =，有DAC OEA ∠=∠，则有OEA C ∠=∠，可得OE BC ∥，进而可得EM OE ⊥，问题得解；（2）连接DF ，先证明FD AC ∥，即有FDB C ∠=∠，则有3tan tan 4FDB C ∠=∠=，在Rt BFD 中，利用勾股定理即可作答．【详解】（1）解：连接OE ，如图，∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，∴12AD BD DC BC ===，∴DAC C ∠=∠，∵OA OE =，∴DAC OEA ∠=∠，∴OEA C ∠=∠，∴OE BC ∥，∵EM BC ⊥，∴EM OE ⊥，∵OE 是O 的半径，∴EM 是O 的切线；（2）解：连接DF ，如图，∵AD 为O 的直径，∴90AFD ∠=︒，∴90BFD ∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴FD AC ∥，∴FDB C ∠=∠，∵3tan 4C =，∴3tan tan 4FDB C ∠=∠=，∴在Rt BFD 中，3tan 4BF FDB FD ∠==，即43FD BF =，∵5AD =，12AD BD BC ==，∴5BD =，∵在Rt BFD 中，222BD BF FD =+，∴222453BF BF ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴3BF =（负值舍去）．【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及勾股定理等知识，构造合理的辅助线，灵活运用相关考点知识是解答本题的关键．22．(1)菱形，理由见详解(2)见详解或者32【分析】（1）在矩形ABCD 中，1122OA OB OC OD AC BD =====，根据30CAB ∠=︒，有12BC AC =，在根据BEF △是等边三角形，有OB BE OE ==，问题得证；（2）连接OE ，交AB 于G 点，先证明EBO FBC ≌V V ，即可得OE BC ∥，则OE AB ⊥，在矩形ABCD 中，OA OB =，即有OE 是AB 的垂直平分线，问题随之得解；（3）当点F 在线段AC 上时，过B 点作BM AC ⊥于M 点，先证明15FBA ∠=︒，再证明是等腰直角三角形，利用解直角三角形的知识求出cos AM AB CAB =⨯∠=3sin 2BM AB CAB =⨯∠=，即32MB MF ==，则AF 可求；当点F 在AC 的延长线上时，过B点作BM AC ⊥于M 点，同理可得cos AM AB CAB =⨯∠=32MB MF ==，即AF 可求；当点F 在CA 的延长线上时，不存在AE BE ⊥，故此种情况舍去；即问题得解．【详解】（1）菱形，理由如下：当点F 与点O 重合时，如图1，在矩形ABCD 中，1122OA OB OC OD AC BD =====，∵30CAB ∠=︒，∴在Rt CAB △中，有12BC AC =，∴BC OC OB ==，∵BEF △是等边三角形，∴OB BE OE ==，∴OC OE BE BC ===，∴四边形BCFE 是菱形；（2）连接OE ，交AB 于G 点，如图，∵30CAB ∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∴60OBC ∠=︒，在等边BEF △中，60EBF ∠=︒，BE BF =，∴EBO FBC ∠=∠，∵OB OC =，∴EBO FBC ≌V V ，∴60EOB FCB ∠=∠=︒，∴EOB FCB OBC ∠=∠=∠，∴OE BC ∥，∴OE AB ⊥，∵在矩形ABCD 中，OA OB =，∴OE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =；（3）当点F 在线段AC 上时，过B 点作BM AC ⊥于M 点，如图，根据（2）的结论可知：AE BE =，∵AE BE ⊥，∴45ABE BAE ∠=∠=︒，∵60FBE ∠=︒，∴15FBA ∠=︒，∴45MFB FBA FAB ∠=∠+∠=︒，∵BM AC ⊥，∴MBF V 是等腰直角三角形，∴MB MF =，∵BC =，30CAB ∠=︒，∴2AC BC ==3tan BCAB CAB ==∠，∴cos AM AB CAB =⨯∠=3sin 2BM AB CAB =⨯∠=，∴32MB MF ==，∴32AF AM MF =-==当点F 在AC 的延长线上时，过B 点作BM AC ⊥于M 点，如图，同理可得：∴cos AM AB CAB =⨯∠=32MB MF ==，∴3322AF AM MF =+=+=，当点F 在CA 的延长线上时，不存在AE BE ⊥，故此种情况舍去，综上所述：AF 32．【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的判定与性质，等边三角形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．题目难度不大，灵活运用相关考点知识，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．23．(1)12；②对于任意点A ，①的结论成立，理由见解析；(2)①223y x x =+-；w 的最大值为：254．【分析】（1）设点2(,)A m am ，则点2(0,)B am ，求出直线BC 的表达式为：2y amx m =+，得到点2)D ，进而求解；（2）①当43x -<<-时0y >，即当12x <<时0y >，当01x <<时0y <，得到点(1,0)F ，根据抛物线的对称性，则点(3,0)E -，进而求解；②过点P 作PT x ∥轴交FG 于点T ，由sinPQ PT PTG PT =∠，求得直线EG 的表达式为：3y x =--，同理可得，直线FG 的表达式为：33y x =-，设点(,3)P m m --，则点2(,23)N m m m +-，点1(,3)3T m m ---，得到w PN =+21(3)(23)()23m m m m m =---+-+⨯--22525( 2.5)44m =-++≤，即可求解．【详解】（1）解：∵AB CO ∥，BC OA ∥，∴四边形ABCO 为平行四边形，设点2(,)A m am ，则点2(0,)B am ，设直线OA 的表达式为：y nx =，则直线BC 的表达式为：y nx r =+，由点A 的坐标得，2am nm =，解得n am =，由点B 的坐标得，2am r =，直线OA 的表达式为：y amx =，直线BC 的表达式为：2y amx am =+，联立直线BC 和抛物线的表达式得：22amx am ax +=，即220x mx m --=，解得：21x m =（正值已舍去），当21x m =时，232y =，则点213(,)22D -，则222122B D Bam y y BD BC y am -==，即m ，a 取任何值，上式成立，①故答案为：12；②对于任意点A ，①的结论成立，理由见上；（2）①∵抛物线的对称轴为=1x -，则当43x -<<-时0y >，即当12x <<时0y >，∵当01x <<时0y <，则点(1,0)F ，根据抛物线的对称性，则点(3,0)E -，设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =--，即2(3)(1)(23)y a x x a x x =+-=+-，∵(0,3)G -，∴当0x =时，33y a =-=-，即1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =+-，故答案为：223y x x =+-；②过点P 作PT x ∥轴交FG 于点T ，在Rt OFG △中，tan 3tan GO OFG PTG OF ∠===∠，则sinPTG ∠=，则sinPQ PT PTG PT =∠，设直线EG 的表达式为：y kx b =+，由点E 、G 的坐标得，330b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=-⎩直线EG 的表达式为：3y x =--，同理可得，直线FG 的表达式为：33y x =-，设点(,3)P m m --，则点2(,23)N m m m +-，点1(,3)3T m m ---，则w PN =21(3)(23)()23m m m m m =---+-+⨯--22525( 2.5)44m =-++≤，即w 的最大值为：254．【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用，涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的增减性、解直角三角形等知识，其中（2），确定点F 的坐标是本题的难点．。

四川省成都市石室天府中学2022-2023学年中考数学模试卷含解析

四川省成都市石室天府中学2022-2023学年中考数学模试卷含解析

2023年中考数学模拟试卷 注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE 的长为（ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．76π2．如图，点A ，B 为定点，定直线l//AB ，P 是l 上一动点．点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对于下列各值： ①线段MN 的长； ②△PAB 的周长； ③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离； ⑤∠APB 的大小．其中会随点P 的移动而变化的是（ ）A ．②③B ．②⑤C ．①③④D ．④⑤3．下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．14．郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A ，B ，C ，D ，E 五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．165．如图所示，从☉O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC，已知∠A=26°，则∠ACB的度数为（）A．32°B．30°C．26°D．13°6．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（）A．1 B．2 C．23﹣2 D．4﹣237．如图是二次函数2y ax bx c=++的图象，有下面四个结论：0abc>①；0a b c②-+>；230a b+>③；40c b->④，其中正确的结论是()A．①②B．①②③C．①③④ D ．①②④8．“a是实数，20a≥”这一事件是（）A．不可能事件B．不确定事件C．随机事件 D．必然事件9．如图,把一个矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′为（）。

初二数学竞赛试题7套整理版（含答案）

初二数学竞赛试题7套整理版（含答案）

1 2009年初中数学（初二组）初赛试卷 01一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、下列名人中：①比尔·盖茨②高斯③袁隆平④诺贝尔⑤陈景润⑥华罗庚⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）A ．①④⑦B.③④⑧C.②⑥⑧D.②⑤⑥2、已知111,,bc a a b c a b c +=+=+¹¹则a 2b 2c 2=( )A.5B.3.5C.1D.0.53、在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点。

设k 为整数，当直线2y x =-与y kx k =+的交点为整点时，的交点为整点时，k k 的值可以取（）A ．4个 B.5个 C.6个 D.7个4、如图，边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转300到正方形AB ‘C ’D ‘，图中阴影部分的面积为（）A.331-B.33C.341-D.125、已知()421M p p q =+，其中,p q 为质数，且满足29q p -=，则M =（）A.2009B.2005C.2003D.2000（第4题图）（第6题图）6、四边形ABCD 中0060,90,DAB B D Ð=Ð=Ð=1,2BC CD ==,则对角线AC 的长为（）A.21B.213 C.2213 D.5213二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、如果有2009名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1的规律报数，那么第2009名学生所报的数是。

2、已知,,a b c 满足()222242322a b a b a c ac -+++-++=+，则a b c -+的值为______ 3、已知如图，在矩形ABCD 中，AE BD ^，垂足为E ，030ADB Ð=且43BC =，则ECD 的面积为_____ （第3题图）（第4题图）DA B CKC BAB ′C ′DD ′E ABCDEF ABCD2x2xx xx4、有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰三角形纸片的顶角为_______度。

2023年广西初中学业水平考试模拟(二)数学试题(含答案解析)

2023年广西初中学业水平考试模拟(二)数学试题(含答案解析)

2023年广西初中学业水平考试模拟（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数中是无理数的是（）A ．πB ．227C ．3-D ．2．下列几何体中，主视图与俯视图的形状不一样的几何体是（）A ．B ．C ．D ．3．下列运算中，正确的是（）A ．235a a a +=B ．3515a a a ⋅=C ．632a a a ÷=D ．43a a a-=4．据广西壮族自治区统计局消息根据地区生产总值统一核算结果，2022年全区生产总值26300.87亿元，按不变价格计算，比上年增长2.9％．数据26300用科学记数法表示为（）A ．32.6310⨯B ．42.6310⨯C ．52.6310⨯D ．62.6310⨯5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．下列事件中，属于必然事件的是（）A ．随机购买一张彩票，中奖100万B ．抛掷硬币时，反面朝上C ．三角形的两边之和大于第三边D ．经过红绿灯路口，遇到绿灯7．如图，要把河中的水引到水池A 中，应在河岸B 处（AB ⊥CD ）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（）A ．两点之间线段最短B ．点到直线的距离C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短8）A ．1x >-B ．1x >C ．1x ≥-D ．1x ≥9．为了解某中学八年级600名学生的身高情况，抽查了其中100名学生的身高进行统计分析．下面叙述正确的是（）A ．以上调查属于全面调查B ．每名学生是总体的一个个体C ．100名学生的身高是总体的一个样本D ．600名学生是总体10．不等式组21{30x x +≥-≥①②的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．12．对于任意实数m ，n ，如果满足2424m n m n++=+，那么称这一对数m ，n 为“完美数对”，记为(),m n ．若(),a b 是“完美数对”，则()()332a b a b +-+-的值为（）A ．2B ．3C ．4-D ．6-二、填空题13．点()23A -，关于x 轴的对称点A '的坐标为_________．14．已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=有两个相等的实数根，则m =_________．15．如图，在等边ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD △绕点B 逆时针旋转60︒得到BAE ，连接ED ，若8BC =，7BD =，则AED △的周长是______．16．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，09～这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为______．17．如图，已知双曲线()0ky x x=<经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为3，则k =______．18．如图所示，在ABC 中，30A ∠=︒，M 为线段AB 上一定点，P 为线段AC 上一动点．当点P 在运动的过程中，满足12PM AP +的值最小时，则APM ∠=______．三、解答题1913322-+÷-．20．解方程：28124x x x -=--．21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．22．某中学举办“垃圾分类知识答题竞赛”，七年级和八年级根据初赛成绩各选出5名选手参加学校决赛，成绩如图所示．平均分中位数众数方差七年级a 85b s 2八年级85c100160(1)直接写出a 、b 、c 的值；(2)结合两个年级成绩的平均数和中位数进行分析，哪个年级的决赛成绩好；(3)计算七年级决赛成绩的方差s 2，并判断哪个年级的选手成绩较为稳定．23．在Rt ABC △中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC ∥交BE 的延长线于点F ．(1)求证：AEF DEB ≌△△；(2)证明：四边形ADCF 是菱形：(3)若AC ＝3，AB ＝4，求菱形ADCF 的面积．24．为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数学魅力，享受数学乐趣”的数学活动．并计划购买A 、B 两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，已知购买1件A 种奖品和2件B 种奖品共需64元，购买2件A 种奖品和1件B 种奖品共需56元．(1)每件A 、B 奖品的价格各是多少元？(2)根据需要，该学校准备购买A 、B 两种奖品共80件，设购买a 件A 种奖品，所需总费用为w 元，求w 与a 的函数关系式，并直接写出a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，若要求购买的A 种奖品的数量不超过B 种奖品数量的3倍，求所需总费用的最小值．25．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图1，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图2，筒车O 与水面分别交于点A ，B ，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P 表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN 所在的直线是O 的切线，且与直线AB 交于点M ，当点P 恰好在NM 所在的直线上时．解决下面的问题：(1)求证：BAP MPB ∠=∠；(2)若AB AP =，8MB =，12MP =，求BP 的长．26．已知二次函数2y x x 2=--的图象与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ．(1)直接写出点A 和点B 的坐标．(2)如图1，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，设PQw OQ=，求w 的最大值．(3)如图2，已知点()1,2D -，P 是二次函数图象上不同于点D 的一个动点，连接CD 、PB 、PC ，当DBC △的面积等于PBC 时，求点P 的坐标．参考答案：1．A【分析】先计算零次幂，然后根据有理数和无理数的概念加以判断即可．【详解】解：在π，227，3-，0=1中，π是无理数，其余的数是有理数，故选：A ．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无限不循环小数是无理数．2．C【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．【详解】解：A ．正方体的主视图与俯视图都是正方形，故该选项不符合题意；B ．圆柱的主视图与俯视图都是长方形，故该选项不符合题意；C ．圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故该选项符合题意；D ．球的主视图与俯视图都是圆，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关键．3．D【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则进行计算，进而得出答案．【详解】解：A ，2a 和3a 底数相同，但指数不同，不是同类项，不能合并，故选项错误；B ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此358a a a ⋅=，故选项错误；C ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此633a a a ÷=，故选项错误；D ，4a 和a 是同类项，可以合并，43a a a -=，故选项正确．故答案为：D【点睛】本题考查合并同类项和同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．B【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：426300 2.6310⨯=,故选B ．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．5．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．6．C【分析】根据必然事件：一定条件下，一定发生的事件即为必然事件，可能发生也可能不发生的为随机事件，一定不发生的为不可能事件；据此判断即可．【详解】解：A、随机购买一张彩票，中奖100万，是随机事件，不符合题意；B、抛掷硬币时，反面朝上，是随机事件，不符合题意；C、三角形的两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；D、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了事件类型的判断，熟练掌握相关事件的定义是解本题的关键．7．D【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．【详解】解：要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，故选：D.【点睛】本题考查垂线段的性质：垂线段最短，熟练掌握垂线段的定义是解题的关键. 8．D【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0，再解即可．【详解】由题意得：x-1≥0，解得：x≥1，故选D．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．9．C【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．据此对每个选项进行判断即可．【详解】A．是抽样调查，故A不符合题意；B．每名学生的身高是个体，故B不符合题意；C．100名学生的身高是总体的一个样本，故C符合题意；D．600名学生的身高是总体，故D不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查的概念．10．B【详解】解：解不等式①得x≥-1解不等式②得x≤3∴不等式组的解集是﹣1≤x≤3，其数轴上表示为：故选B．【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．11．C【分析】根据A、B、C、D各图形结合勾股定理一一判断可得答案.【详解】解:A、有三个直角三角形,其面积分别为12ab,12ab和21c2,还可以理解为一个直角梯形,其面积为1(a+b)(a+b)2，由图形可知:1(a+b)(a+b)2=12ab+12ab+21c 2，整理得:(a+b)2=2ab+c 2,∴a 2+b 2+2ab=2ab+c 2,a 2+b 2=c 2∴能证明勾股定理;B 、中间正方形的面积=c 2,中间正方形的面积=(a+b)2-4⨯12⨯ab=a 2+b 2,∴a 2+b 2=c 2,能证明勾股定理;C 、不能利用图形面积证明勾股定理,它是对完全平方公式的说明.D 、大正方形的面积=c 2,大正方形的面积=(b-a)2+4⨯12⨯ab =a 2+b 2,,∴a 2+b 2=c 2,能证明勾股定理;故选C.【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.12．A【分析】先根据“完美数对”的定义2424a b a b ++=+，从而可得40a b +=，再去括号，计算整式的加减，然后将40a b +=整体代入即可得解．【详解】解：由题意得：2424a b a b ++=+，即40a b +=，则3(3)(2)932a b a b a b a b +-+-=+--+，822a b =++，2(4)2a b =++，202=⨯+，2=；故选：A ．【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，掌握理解“完美数对”的定义是解题关键．13．()23-，-【分析】关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．由此可解．【详解】解：点()23A -，关于x 轴的对称点A '的坐标为()23-，-．故答案为：()23-，-．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．14．4【分析】一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．利用判别式的意义得到2(4)40m ∆=--=，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：根据题意得2(4)40m ∆=--=，解得m =4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．15．15【分析】先根据旋转的性质得BE BD =，AE CD =，60DBE ∠=︒，于是可判断BDE 为等边三角形，则有7DE BD ==，所以AED △的周长DE AC =+，再利用等边三角形的性质得8AC BC ==，即可求得AED △的周长．【详解】解：BCD 绕点B 逆时针旋转60︒得到BAE ，BE BD ∴=，AE CD =，60DBE ∠=︒，BDE ∴ 为等边三角形，7DE BD ∴==，AED ∴ 的周长DE AE AD DE CD AD DE AC =++=++=+，ABC 为等边三角形，8AC BC ∴==，AED ∴ 的周长7815DE AC =+=+=，故答案为：15．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．16．110##0.1【分析】从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字6的只有1种结果，利用概率公式求解即可．【详解】解： 随着π小数部分位数的增加，09～这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，∴从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字6的只有1种结果，P ∴(数字是6)110=．故答案为：110．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．17．3-【分析】设点(,)k E m m ，根据中点表示出(2,)2k F m m ，求出矩形的面积，根据反比例函数k 的几何意义求出OEC △与OAF △面积，即可得到答案；【详解】解：设点(,k E m m ，∵F 是AB 的中点，∴(2,)2k F m m，∵四边形OABC 是矩形，∴22OABC k S m k m =⨯=-，∵22OEC k k S ==- ，22OAF k k S ==- ，∴222OEBF OABC OAF OEC k k S S S S k k =--=-++=- ，∵四边形OEBF 的面积为3，∴3k -=，∴3k =-，故答案为3-；【点睛】本题考查反比例函数k 的几何意义，解题的关键是设出点的坐标计算出表示出矩形的面积．18．120︒【分析】作CAF CAB ∠=∠，过M 作MD AF ⊥交AC 于一点即为点P ，结合三角形内外角关系即可得到答案；【详解】解：作CAF CAB ∠=∠，过M 作MD AF ⊥交AC 于一点即为点P ，∵30CAB ∠=︒，∴30CAF CAB ∠=∠=︒，∴1DP AP 2=，∴当MD AF ⊥时12PM AP +的值最小，∴在ADP △中，9030120APM ∠=︒+︒=︒,故答案为120︒；【点睛】本题考查垂线段最短及直角三形30︒角所对直角边等于斜边的一半，解题的关键是作辅助线找到最小距离点．19．5【分析】先计算负整数指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可．13322-+÷-13823=⨯+÷14=+5=．【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．20．无解【分析】根据解分式方程的步骤去解答：去分母将分式方程化为整式方程、解整式方程、检验、回答．【详解】解：原方程可化为：812(2)(2)x x x x -=-+-．方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，得(2)(2)(2)8x x x x +-+-=．化简，得248x +=．解得2x =．检验：2x =时(2)(2)0x x +-=，所以2x =不是原分式方程的解，所以原分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其是检验是解分式方程的重要步骤．21．（1）见解析（2【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．【详解】（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，由图形可知，∠A 2C 2B 2=∠ACB ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A （2，2），C （4，﹣4），B （4，0），易得D （4，2），故AD =2，CD =6，AC ==，∴sin10AD ACB AC ∠=，即222sin A C B ∠【点睛】此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．22．(1)85、85、80(2)七年级的决赛成绩较好(3)七年级决赛成绩的方差S 2为70，七年级的选手成绩较为稳定【分析】（1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行求解即可；（2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好进行解答即可；（3）根据方差公式先算出七年级选手成绩的方差，然后根据方差的意义即可解答．【详解】（1）解：七年级5名选手的平均分a =（75+80+85+85+100）÷5=85，由八年级成绩中85分学生数最多，则众数b =85，八年级5名选手的成绩按从低到高排列为：70，75，80，100，100，则中位数c =80；（2）解：由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数较高，故七年级的决赛成绩较好；（3）解：222221(7585)(8085)2(8585)(10085)70,5s ⎡⎤=⨯-+-+⨯-+-=⎣⎦七年级∵22s s 七年级八年级＜∴七年级的选手成绩较为稳定．【点睛】本题主要考查方差、中位数、平均数与众数等知识点，掌握方差是反映了一组数据的波动大小且方差越大，波动性越大．23．(1)见解析(2)见解析(3)6【分析】(1)根据AAS 证AEF DEB ≌△△；(2)利用全等三角形的对应边相等得到AF ＝DB ，证出四边形ADCF 是平行四边形，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD =DC ，从而得出结论；(3)由Rt △ABC 与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．【详解】（1）证明：∵AF BC ∥，∴∠AFE ＝∠DBE ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEB 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEF DEB AAS ≌△△；（2）证明：由（1）知，AFE DBE △△≌，则AF ＝DB ，∵DB ＝DC ，∴AF ＝CD ，∵AF BC ∥，∴四边形ADCF 是平行四边形∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴12AD DC BC ==，∴四边形ADCF 是菱形；（3）解：连接DF ，如图所示：∵AF BD ∥，AF BD =，∴四边形ABDF 是平行四边形，∴DF ＝AB ＝4，∵四边形ADCF 是菱形，∴菱形ADCF 的面积1134622D C F A =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．24．(1)A 奖品的价格为16，B 奖品的价格为24；(2)81920w a =-+（080a ≤≤，且是整数）；(3)1440元；【分析】（1）设A 奖品的价格为x ，B 奖品的价格为y ，根据买1件A 种奖品和2件B 种奖品共需64元，购买2件A 种奖品和1件B 种奖品共需56元列方程组求解即可得到答案；（2）根据金额=单价⨯数量即可得到答案；（3）根据A 种奖品的数量不超过B 种奖品数量的3倍，求出a 的取值范围，结合函数性质求解即可得到答案；【详解】（1）解：设A 奖品的价格为x 元，B 奖品的价格为y 元，由题意可得，264256x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1624x y =⎧⎨=⎩，答：A 奖品的价格为16，B 奖品的价格为24；（2）解：由题意可得，∵购买A 、B 两种奖品共80件，购买a 件A 种奖品，∴B 种奖品(80)a -件，∴1624(80)1619202481920w a a a a a =+⨯-=+-=-+（080a ≤≤，且是整数）；（3）解：∵A 种奖品的数量不超过B 种奖品数量的3倍，∴3(80)a a ≤-，解得：60a ≤，∴060a ≤≤，且是整数，∵81920w a =-+，∵80k =-<，∴w 随a 的增大而减小，∴当60a =时，w 最小，∴min 86019201440w =-⨯+=（元）；【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题及一次函数择优方案问题，解题的关键是找到等量关系式．25．(1)见解析(2)203【分析】（1）由圆周角定理得出90BPC BCP ∠+∠=︒，由切线的性质得出90MPB BPC ∠+∠=︒，进而得出MPB BCP ∠=∠，由对顶角的性质得出BCP BAP ∠=∠，即可证明BAP MPB ∠=∠；（2）先证明MPA MBP ∽，得出MA MP AP MP MB PB==，由AB AP =，8MB =，12MP =，求出18MA =，进而求出10AP =，即可求出BP【详解】（1）证明：PC 是O 的直径，90PBC ∴∠=︒，90BPC BCP ∴∠+∠=︒，MN 所在的直线是O 的切线，点P 恰好在NM 所在的直线上，MP PC ∴⊥，90MPC ∴∠=︒，90MPB BPC ∴∠+∠=︒，MPB BCP ∴∠=∠，BCP BAP ∠=∠ ，BAP MPB ∴∠=∠；（2）解：MAP MPB ∠=∠ ，M M ∠=∠，MPA MBP ∴ ∽，∴MA MP AP MP MB PB== AB AP =，8MB =，12MP =，2212188MP MA MB ∴===18810AP AB MA MB ∴==-=-=，∴121020183MP AP BP MA ⋅⨯===【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，掌握圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．26．(1)()1,0A -，()2,0B (2)12(3)(1或(1【分析】（1）根据次函数2y x x 2=--的图象与x 轴交于点A ，点B ，令0y =，即220x x --=，解方程即可；（2）过点P 作PN AB ⊥于点N ，交BC 于点M ，二次函数2y x x 2=--的图象与y 轴交于点C ，求出点C 的坐标为()0,2-，由B 、C 点坐标求出直线BC 的解析式为2y x =-，可得(),2M t t -，再结合()2,2P t t t --，求出2=2PM t t -+，根据证明OQC PQM ，可得22==2PQ PM t t OQ OC -+，即()211=122w t --+，即可求出结果；（3）可分为点P 在直线BC 的上方或下方两种情况，设点P 的坐标分别为()2,2m m m --或()2,n n n n --，分别表示出BPC △的面积，根据1PBC DCB S S == ，列出方程求解，即可求出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵次函数2y x x 2=--的图象与x 轴交于点A ，点B ，0y ∴=时，220x x --=，解得：11x =-，22x =，∴A 点坐标为()1,0-，B 点坐标为()2,0．（2）解：如图，过点P 作PN AB ⊥于点N ，交BC 于点M ，∵二次函数2y x x 2=--的图象与y 轴交于点C ，0x ∴=时，=2y -，∴点C 的坐标为()0,2-，设直线BC 的解析式为2y kx =-，∵直线BC 的图象过点()2,0B ，∴把点()2,0B 代入直线BC 的解析式为2y kx =-，即220k -=，解得1k =，∴直线BC 的解析式为2y x =-，()2,t 2P t t -- ，(),2M t t -，()()22=22=2PM t t t t t ∴-----+，PN CO ∥ ，=MPQ COQ ∴∠∠，=OQC PQM ∠∠，OQC PQM ∴ ，22==2PQ PM t t OQ OC -+∴，()22211==1222t t w t -+∴--+，∴1t =时，w 的最大值为12．（3）解；如图，当点P 在直线BC 的上方时，过点P 作PF y ∥轴，交BC 于点F ，PF 的延长线交x 轴于点E ，设点P 的坐标为()2,2m m m --，则点F 的坐标为(),2m m -，111222PBC PBF PCF S S S BE PF OE PF OB PF =-=⋅-⋅=⋅ ，2OB = ，()()22=22=2PF m m m m m -----，()2212222PBC S m m m m ∴=⨯⨯-=- ，∵点()1,2D -，点C 的坐标为()0,2-，1DC ∴=，12112DBC S ∴=⨯⨯= ，DBC PBC S S = ，221m m ∴-=，解得：1m =∴点1m =y 1m =y =答案第15页，共15页(1P ∴+或(1P ；当点P 在BC 的下方时，过点P 作PH AB ⊥，交AB 于点G ，延长PH 交CD 的延长线于点L ，设点P 的坐标为()2,n n n n --，则点G 的坐标为(),2n n -，()()22=22=2PG n n n n n ∴-----+，()111222PBC BGP CPG S S S HB GP CL GP GP HB CL =+=⨯⋅+⋅⋅=+ ,==2HB CL OB + ，122PBC S GP GP ∴=⨯⨯= ，1PBC DCB S S == ，1GP \=，22=1n n ∴-+，解得1n =，1n = 时，2=112=2y ---，此时点P 与点D 重合，故舍去，∴点P的坐标为(1或(1．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、求一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、解一元二次方程，作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．。

2019-2020年初中数学竞赛初赛试题(一,含详解)

2019-2020年初中数学竞赛初赛试题(一,含详解)

及 x 轴围成的三角形面积为 sk ，则 s1 s2 s3 ... s2006 的值是
。
13．如图，正方形 ABCD和正方形 CGEF的边长分别是 2 和 3，且
点 B、 C、 G 在同一直线上， M 是线段 AE 的中点，连结 MF，则 MF
的长为
。
14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为
心 DEF 的各边与 ABC 的对应边平行，且各对应边的距离都是
1cm,
那么 DEF 的周长是（
）
(A)5cm (B)6cm (C)
( 6 3 )cm (D) ( 3 3 )cm
3．将长为 15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的 截法有 ( ) (A)5 种 (B) 6 种 (C)7 种 (D)8 种
（ 1）随着 m 的变化，该二次函数图象的顶点 P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求 出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由；
（ 2）如果直线 y x 1 经过二次函数 y x 2 2( m 1 ) x m 1 图象的顶点 P，求
此时 m的值。
全国初中数学竞赛初赛试题（一）参考答案
一、选择题 1．答案 D
4．作抛物线 A 关于 x 轴对称的抛物线 B，再将抛物线 B 向左平移 2 个单位，向上平移 1 个 单位，得到的抛物线 C 的函数解析式是 y 2( x 1 ) 2 1，则抛物线 A 所对应的函数表达
式是 ( )
(A) y 2( x 3 )2 2 (B) y 2( x 3) 2 2
(C) y 2( x 1 )2 2 (D) y 2( x 3 )2 2
顶点，棋子停在顶点 D。依这样的规则，在这 10 次移动的过程
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初中数学竞赛模拟试卷（含详解）一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。

2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。

3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。

4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。

5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。

BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。

6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。

7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。

8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。

9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,ο78=∠ABC ,ο162=∠BCD 。

设BCAD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，ο90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。

二、（本题15分）如图，ABC ∆中，ο90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。

BCB三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd ：()2cd ab abcd +=，其中数字c 可以是0。

AM四、（本题15分）正整数n 满足以下条件：任意n 个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n 。

五、（本题15分）若两个实数b a ,使得22b a b a ++与都是有理数，称数对()b a ,是和谐的。

① 试找出一对无理数，使得()b a ,是和谐的；② 证明：若()b a ,是和谐的，且b a +是不等于1的有理数，则b a ,都是有理数； ③ 证明：若()b a ,是和谐的，且ba是有理数，则b a ,都是有理数。

初中数学竞赛模拟试卷一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。

【答案】4或213-【解析】()5.285.25.2=++a a ，265.22=+a a ，052522=-+a a ，()()04132=-+a a ，所以4=a 或213-2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。

【答案】0【解析1】若a a a b a b 21)1(1,222+=-+≥->则，即.CA BC AB +≥矛盾若a b <，则a a a b a b 21)1(1,1222-=--≤--≤，即CA BC AB -≤矛盾，0=-∴a b【解析2】Θb a ,是大于1的整数，所以2≥a ，此时()0222≥-=-=-a a a a CA BC ，CA BC AB CA BC +<<-Θ，即a a b a a 212222+<-<-，()()22211+<<-∴a b a ，即a b a <<-1，a b =∴，即0=-a b3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。

【答案】50，94【解析】设两边长分别为x 和y ，则922=xy ，23246146⨯=⨯==xy ，所以周长为()944612=+⨯或()502322=+⨯4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。

【答案】5【解析】原方程可化为02,0))(2(222≠++=++++x x k x x x x Θ02=++∴k x x ，2-=k Θ，022=-+∴x x ，1,221=-=x x ，即5142221=+=+x x5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。

BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。

ECA【答案】552 【解析】设x CF =，y EC =，则BC BE CA EP =，所以221yx -=，x y 22-=，54545485)22(2222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-+=+=x x x x x y x EF ，当54=x ，52=y 时，55254==EF 最小。

6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。

【答案】2772【解析】68-=+b a Θ，1=ab ，86=+d c ，1=cd ，()()()()d b d a c b c a --++∴()()2222681681))()()((d d c c d d b a ab c c b a ab +++-=++-+++=277215418)6886)(6886(=⨯=+-=cd d d c c7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。

【答案】3123<<k 【解析】()3112121=---=k ，()3212022=---=k 2331<<∴k 8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。

【答案】72【解析】414914177200911172872009⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=正整数解6+3+3+6=18组，非正整数解18×3=54组，共72组9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,ο78=∠ABC ,ο162=∠BCD 。

设BCAD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.E【答案】21ο【解析】作AF ∥BC ，FC ∥AB ，易知，四边形ABCF 为平行四边形，︒=∠-︒=∠=∠102180ABC FCB BAF ，ο60102162=︒-︒=∠∴FCD ，CDF ∆是等边三角形，即AFD ∆为等腰三角形，︒=︒+︒=∠1386078AFD ,ο21=∠=∠FAE AEB10. 如图，在直角梯形ABCD 中，ο90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC 上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。

AMM【答案】3150300-【解析】将图补成正方形，易知ABM ∆≌AHD ∆，令x HD BM ==，则x CM CD -==10，由勾股定理得()()2222101010+=-+-x x x ，解得31020-=x ，()()315030010310213102010212-=-+-⨯⨯=S 二、（本题15分）如图，ABC ∆中，ο90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。

BCB【答案】11114=BC 。

【解析】设x BC =，则，，16122+=+=x AB x BD 作DBA ∠的平分线交AC 于点E ，()A A BDC DBA DBE ∠=∠-∠=∠=∠2121BE ，则BDE ∆∽ADB ∆,所以DE DA DE BD 32=⋅=，由角平分线定理可知，。

BDAB BDDE BD AB BD DE AE DE AB BD AE DE +=⇒+=+⇒=3因此，1161912222++++=+x x x x 解得11114==x BC 。

三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd ：()2cd ab abcd +=，其中数字c 可以是0。

【答案】3025,2025,9801=abcd【解析】设ab x =，cd y =，则由题意得()2100y x y x +=+，即()()0100222=-+-+y y x y x ，因为x 为整数，()()()2224992500441002t y y y y =-=---=∆，()()t t y +-=505099，500≤≤t Θ，且在100内11的倍数只有9个，经验证，49=t 时，1=y ，5=t 时，25=y ，解得⎩⎨⎧==198y x ，⎩⎨⎧==2520y x ，⎩⎨⎧==2530y x ，因此，3025,2025,9801=abcd 四、（本题15分）正整数n 满足以下条件：任意n 个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n 。

【解析】由于2222222222222243,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2这14个合数都小于2009且两两互质，因此。

而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数1521,,,a a a ΛΛ的最小素因子,,,,1521p p p ΛΛ则必有一个素数,47≥不失一般性，设，4715≥p 由于15p 是合数15a 的最小素因子，因此，200947221515>≥≥p a 矛盾。

所以，任意15个大于1且不超过2009的互质整数1521,,a a a ΛΛ中至少有一个素数。

综上所述，n 最小是15。

五、（本题15分）若两个实数b a ,使得22b a b a ++与都是有理数，称数对()b a ,是和谐的。

④ 试找出一对无理数，使得()b a ,是和谐的；⑤ 证明：若()b a ,是和谐的，且b a +是不等于1的有理数，则b a ,都是有理数；⑥ 证明：若()b a ,是和谐的，且ba是有理数，则b a ,都是有理数。

【解析】① 不难验证⎪⎭⎫⎝⎛-+=221,212),(b a 是和谐的。

② 由已知()()()()122-+-=+-+=b a b a ba b a t 是有理数，s b a =+是有理数，所以1-+=-b a t b a ，解得）（121-+=s t s a 是有理数，所以a s b -=也是有理数。

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