高中数学必修四教案第一章

一．任意角

初中时，我们已学习了360°角的概念，它是如何定义的呢？

(1)角可以看成是由平面内的一点出发的两条所组成的图形.

(2)角可以看成平面内的一条绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫做角的终边，射线的端点O叫做叫做角的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做 __,按顺时针方向旋转所形成的角叫做 __.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个 __.

这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括 __、 __和 __. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角ɑ”或“∠ɑɑ。

*试判断130°，-130°，720°，—720°，0°是哪种任意角

二．象限角

在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.

角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

如30°角、210°角分别是第______象限角和第______象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为轴线角.

第一象限角的集合为

第二象限角的集合为

第三象限角的集合为

第四象限角的集合为

终边在x轴上的角的集合为

终边在y轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

*试写出终边与130°角的终边重合的角的集合，—230°呢？

例1. 在0°~360°范围内，找出与ɑ=－950°终边相同的角，并判定它是第几象限角.

例2.写出终边在y轴上的角的集合.

分析：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个，与这两个角终边相同的角的集合还是可以合并的.

解答：

例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤ɑ≤720°的元素β写出来.

分析：关键是先写出集合S，注意类比例2去做.

解答：

例4.若角α是第一象限角，判断α/2，α/3，2α各是第几象限角.

课堂练习

1. 下列说法正确的有几个（）.

（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角；（3）小于 90°的角是锐角；（4）0°～90°的角是

锐角.

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个 D . 4 个

2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边在 x 轴的非负半轴上，则角885°是第（）象限角.

A. 第一象限角

B. 第二象限角

C. 第三象限角

D. 第四象限角

3．若α是第四象限角，则α-180°是（）．

A. 第一象限角

B. 第二象限角

C. 第三象限角

D. 第四象限角

4.钟表经过 4 小时，时针与分针各转了_______，________. (填度数)

与 1840°终边相同的最小正角为_______，与－1840°终边相同的最小正角是 _ .

5.下列命题中正确的是（）

A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等

C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同

三．弧度制

（1）已学的角的单位是度。实际上可以用不同的单位制来度量同一量，角度制和弧度制都是对角度量的方法。1弧度的概念就是1个半径长的弧长对应的圆心角的大小，也写做1rad。

（2）在一个半圆中，弧长l=C/2=πr，所以对应的圆心角是π

即180°=πrad，同理360°=2πrad，1rad=180°/π≈57.3°

（3）单位rad可以不写

例1．把45°化成弧度。

例2．把53rad化成度。

例3.利用弧度制证明扇形面积公式S＝1/2lr，其中l是扇形的弧长，r是圆的半径。

（4）弧长公式 l/r=l αl

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 扇形面积s=1/2l αlr² 推导：

例题：半径为3，圆心角为π/2的扇形，弧长？面积？ 已知弧长2π，半径2，角的大小？

四．任意角的三角函数

一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为

,,a b a

sinA cosA tanA c c b

=== ．

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课： 1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为

(0)r r ==>，那么

（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y

r α=；

（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x

r α=；

（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y

x

α=；

（4）比值

x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y

α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的

终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当()2

k k Z π

απ=

+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x

α=

无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y

x

=

αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y

x

、x y 分别是一个确定的实数，

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

2．三角函数的定义域、值域

3．例题分析

例1．求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值） （1）0； （2）π； （3）

32

π． 解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以

sin00=， 01cos =， tan 00=， cot 0不存在。 （2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以

sin 0π=， cos 1π=-， tan 0π=， cot π不存在，

（3）因为当32

π

α=时，0x =，y r =-，所以