双因素方差分析-PPT课件

j
1 a
bi1
ij
j

水平Bj对试验结果的效应
ij Xij ij
试验误差
a
b
特性： i0; j 0; ij~N0,2
i1
j1
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著
影响，即为检验如下假设是否成立：
H 01:1230
注意 d f E d f T d f A f B ,S S E S S T S S A S S B
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
S S A D A p ,S S B D B p
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B
因素 A
b
B 1 B 2 ... B b T i. X ij
j1
A1
X11 X12 ... X1b
T 1.
...
... ... ... ... . . .
Aa
Xa1 Xa2 ... Xab
T a.
a
ab
T. j X ij T .1 T .2 ... T .b T
其中
1
ab
a i1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 b
a j1
ij
i

水平Ai对试验结果的效应
j
1 a
bi1
ij
j

水平Bj对试验结果的效应
ij Xij ij
试验误差
i
1 b
a j1
ij
i

水平Ai对试验结果的效应
机器 B 工人 A
甲 乙 丙 丁
a
T. j X ij i1
ⅠⅡ Ⅲ
50 63 52 47 54 42 47 57 41 53 58 48
我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
无交互作用的双因素试验的方差分析
数学模型
假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A 有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平， 记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1， 2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合 称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测 值Xij，得双因素无重复实验表
S S E R D A D B p ,S S T R p
其中：
DA


a
Ti.2

b,
i1
p T2 ab,
DB

b
T.
2 j

a,
j1
ab
源自文库 R
X
2 ij
i1 j 1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
b
SSB a
2
X.j X
称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。
j1
a b
2
SSE
Xij Xi.X.j X
i1 j1
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若假设 H01, H02成立，则： Xij ~N,2
可推得：
SST
双因素方差分析方法
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。
统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。
H 0 2: 12b 0
总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a b
2
SST
Xij X
i1 j1
可分解为：SS TSSASSBSSE
a
2
SSA b Xi. X
称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。
i1
F B S S S S E Bd d f fE B M M S S E B~ F b 1 ,a 1 b 1
F A S S S S E Ad d f fE A M M S S E A~ F a 1 ,a 1 b 1 F B S S S S E Bd d f fE B M M S S E B~ F b 1 ,a 1 b 1
X ij
i1
i1 j 1
X . j T. j a X.1 X.2 ... X.b
X i. Ti. b X1. ... Xa.
X 1T ab
无交互作用的双因素试验的方差分析
基本假设（1） X
相互独立；
ij
（2）Xij ~Nij,2 ，（方差齐性）。
线性统计模型 Xij ijij
2
~ 2 ab1
SSA
2
~
2
a1
SSB
2
~
2 b1
SSE
2
~2a1b1
将
SST
2
,
SS2A,
SS2B,SS2E
的自由度分别记作
dfT,dfA,dfB,dfE ，则
F A S S S S E Ad d f fE A M M S S E A~ F a 1 ,a 1 b 1
对给定的检验水平 ，
当 F A F a 1 ,a 1 b 1 时，
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。
当 F B F b 1 ,a 1 b 1 时，
拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素A S S A 因素B S S B 误差 S S E 总和 S S T
d fA
MSA

SS A df A
d fB
MSB

SSB dfB
d fE
MSE

SSE dfE
d fT
F值
FA

MSA MSE
FB

MSB MSE
F 值临介值
F ( a 1 , a 1 b 1) F ( b 1 , a 1b 1)