双因素方差分析-PPT课件
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双因素完全随机设计的方差分析PPT课件
误差（e） 6 1580.16 263.36
总变异
11 38550.67
F
31.81** 22.47**
F
5% 1% 4.79 9.78 5.14 10.92
表3-2-30 海拔高度、植被类型的差异显著性（SSR法）
因素
平均数
显著性
5%
1%
A3
165.33
a
A
A
A2
75.00
b
B
A4
70.00
b
B
SEA
MSe br
4.56 0.6164 12
SEAB
MSe r
4.56 1.2329 3
SEB
MSe ar
4.56 0.7118 9
单因素随机区组设计的方差分析
Made by Lidexiao 10-22-2008
回顾：随机区组设计
❖ 区组的概念不局限于田间试验，可以认为只要将性质近似的试验材料 （如同一窝动物，同年龄，同身长，同体重的个体等）或大致相同的环 境条件安排在同一组群中，该组群则可称为区组．
9671.66 3253.99
T x..
11.6
2 i.
xi2j
ij
8686.24 10180.81 25772.66
表3-2-27 双因素无重复试验方差分析模式
EMS
变异因素
df
SS MS
固定模型 随机模型 A随机B固定
A
a-1
SSA MSA
2
bK
2 A
2
b
2 A
2
a
2 A
B
b-1
SSB
MSB
xij i j ij
方差分析第四章双因素方差分析ppt课件
i1j1
i1
ab
Se
(yijyi•y•j y)2
i1 j1
整理版课件
自由度分析TN1a b1A a1 B b1
e T A B a 1 ( b a 1 ) ( b 1 ) a a b b 1
e a ( b 1 ) ( b 1 ) ( b 1 )a (1 )
e(b1)a (1)
i 1
b
a
a
a
b
b
y 1 jy i1y i2 y ib ( y 2 j y a)j
j 1
i 1
i 1
i 1
j 1
j 1
b 1 • a y • 1 a y • 2 y a • b ( b y 2 • b y 3 • y b a • )y
整理版课件
三、平方和的简化计算
ST
Se e
VE
SAB
AB
Se
e
■ 3. 判断
ab
ST
(yij y)2
i1 j1
ab
ab
ab
(y i• y ) 2 (y • j y ) 2 (y i jy i• y • j y ) 2
i 1j 1
i 1j 1
i 1j 1
ab
a
SA (yi•y)2b (yi•y)2
i1j1
i1
ab
a
SB (y•Jy)2a (y•jy)2
证明交叉项为零:
abr
(yij k yi• j)(yi• jyi••y•j•y)
i 1j 1k 1
ab
r
(yi•jyi••y•j•y) (yi j kyi•j)
i 1j 1
k 1
ab
第二节 双因素方差分析 PPT课件
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算均方(MS)
行因素的均方，记为MSR，计算公式为
MSR SSR k 1
列因素的均方，记为MSC ，计算公式为
MSC SSC r 1
误差项的均方，记为MSE ，计算公式为
MSE SSE (k 1)(r 1)
分析步骤
(构造检验的统计量)
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
总体的简单随机样本
2. 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽
取的
3. 观察值是独立的
无交互作用的双因素方差分析 (无重复双因0
343
340
品牌2
345
368
363
330
品牌3
358
323
353
343
品牌4
288
280
298
260
地区5 323 333 308 298
数据结构
分析步骤
(提出假设)
• 提出假设
– 对行因素提出的假设为
• H0：m1 = m2 = … = mi = …= mk (mi为第i个水平的
平方和 自由度 误差来源
均方
(SS) (df) (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素 SSR
MSR k-1 MSR
MSE
列因素 SSC
MSC r-1 MSC
MSE
误差
SSE (k-1)(r-1) MSE
总和 SST kr-1
双因素方差分析
(例题分析)
双因素试验方差分析课件
结合其他统计方法
未来将结合其他统计方法，如回归 分析、聚类分析等，以更全面地揭 示多因素对试验结果的影响。
THANKS
感谢您的观看
重复原则
在相同条件下重复进行试 验，提高试验的可靠性和 准确性。
对照原则
设置对照组，以消除非试 验因素的影响，突出试验 因素的作用。
试验的分类
STEP 02
STEP 03
多因素试验
同时考虑多个因素对试验 结果的影响。
STEP 01
双侧双因素试验
同时考虑两个因素对试验 结果的影响。
单侧双因素试验
只考虑两个因素中的一个 因素对试验结果的影响。
结果解释
根据方差分析的结果，解释各因素 对观测值的影响程度和显著性，得 出结论。
双因素试验方差分析的注意事项
数据的正态性和同方差性
样本量和试验精度
在进行方差分析之前，需要检验数据 是否符合正态分布和同方差性，以确 保分析结果的准确性。
适当增加样本量可以提高试验精度和 降低误差，对方差分析的结果产生积 极影响。
方差分析的步 骤
01
02
03
04
计算平均值和方差
计算各组的平均值和方差。
检验假设条件Βιβλιοθήκη 检查是否满足方差分析的假设 条件。
进行方差分析
使用适当的统计软件或公式进 行方差分析，并解释结果。
结论与建议
根据分析结果得出结论，并提 出相应的建议。
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析的步骤
确定试验因素
明确试验的两个因素，并确定每个 因素的取值水平。
试验设计
根据试验目的和因素水平进行试验 设计，确保每个因素的每个水平都 被充分考虑。
数据收集
未来将结合其他统计方法，如回归 分析、聚类分析等，以更全面地揭 示多因素对试验结果的影响。
THANKS
感谢您的观看
重复原则
在相同条件下重复进行试 验，提高试验的可靠性和 准确性。
对照原则
设置对照组，以消除非试 验因素的影响，突出试验 因素的作用。
试验的分类
STEP 02
STEP 03
多因素试验
同时考虑多个因素对试验 结果的影响。
STEP 01
双侧双因素试验
同时考虑两个因素对试验 结果的影响。
单侧双因素试验
只考虑两个因素中的一个 因素对试验结果的影响。
结果解释
根据方差分析的结果，解释各因素 对观测值的影响程度和显著性，得 出结论。
双因素试验方差分析的注意事项
数据的正态性和同方差性
样本量和试验精度
在进行方差分析之前，需要检验数据 是否符合正态分布和同方差性，以确 保分析结果的准确性。
适当增加样本量可以提高试验精度和 降低误差，对方差分析的结果产生积 极影响。
方差分析的步 骤
01
02
03
04
计算平均值和方差
计算各组的平均值和方差。
检验假设条件Βιβλιοθήκη 检查是否满足方差分析的假设 条件。
进行方差分析
使用适当的统计软件或公式进 行方差分析，并解释结果。
结论与建议
根据分析结果得出结论，并提 出相应的建议。
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析的步骤
确定试验因素
明确试验的两个因素，并确定每个 因素的取值水平。
试验设计
根据试验目的和因素水平进行试验 设计，确保每个因素的每个水平都 被充分考虑。
数据收集
双因素方差分析方法35页PPT
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
双因素方差分析方法
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
双因素方差分析方法
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
双因素方差分析课件
双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水 平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均 旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往 受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果， 而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性 能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳 影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析 中，把它当成一种新原因来处理。
双因素方差分析课件
特点
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
《双因素方差分析》课件
因素B对因变量的影响
同样地，因素B对因变量的影响也是显著的，表 明在不同水平下，因变量的均值存在显著差异。
3
交互作用
分析结果表明，因素A和因素B之间存在显著的 交互作用，这种交互作用对因变量产生了显著影 响。
对未来研究的建议
扩大样本量
为了更准确地评估双因素方差分析的结果，建议在未来研究中扩大样本量，以提高分析 的稳定性和可靠性。
数据筛选
检查数据是否满足方差分析的前提假设，如正 态分布、方差齐性等。
数据编码
对分类变量进行适当的编码，以便在分析中使用。
模型拟合
确定模型
根据研究目的和数据特征，选择合适的双因素方差分析模型。
拟合模型
使用统计软件（如SPSS、SAS等）进行模型拟合，得到估计参数和模型拟合指标。
假设检验
检验主效应
考虑其他影响因素
除了因素A和因素B外，可能还有其他未考虑的因素对因变量产生影响。因此，未来的 研究可以考虑纳入更多的变量，以更全面地了解因变量的影响因素。
深入研究交互作用
双因素方差分析结果表明因素A和因素B之间存在交互作用。为了更深入地了解这种交 互作用的机制和效果，建议进行更详细的研究和探讨。
实际应用价值
主效应和交互效应检验
使用双因素方差分析来检验两个实验因素的 主效应和它们之间的交互效应。
结果解释
根据分析结果，解释实验因素对因变量的影 响以及交互作用的存在与否。
05 结论与建议
研究结论
1 2
因素A对因变量的影响
通过双因素方差分析，发现因素A对因变量的影 响显著，说明在因素A的不同水平下，因变量的 均值存在显著差异。
双因素方差分析的数学模型
双因素方差分析涉及两个实验因素，通常表示为A和B。
同样地，因素B对因变量的影响也是显著的，表 明在不同水平下，因变量的均值存在显著差异。
3
交互作用
分析结果表明，因素A和因素B之间存在显著的 交互作用，这种交互作用对因变量产生了显著影 响。
对未来研究的建议
扩大样本量
为了更准确地评估双因素方差分析的结果，建议在未来研究中扩大样本量，以提高分析 的稳定性和可靠性。
数据筛选
检查数据是否满足方差分析的前提假设，如正 态分布、方差齐性等。
数据编码
对分类变量进行适当的编码，以便在分析中使用。
模型拟合
确定模型
根据研究目的和数据特征，选择合适的双因素方差分析模型。
拟合模型
使用统计软件（如SPSS、SAS等）进行模型拟合，得到估计参数和模型拟合指标。
假设检验
检验主效应
考虑其他影响因素
除了因素A和因素B外，可能还有其他未考虑的因素对因变量产生影响。因此，未来的 研究可以考虑纳入更多的变量，以更全面地了解因变量的影响因素。
深入研究交互作用
双因素方差分析结果表明因素A和因素B之间存在交互作用。为了更深入地了解这种交 互作用的机制和效果，建议进行更详细的研究和探讨。
实际应用价值
主效应和交互效应检验
使用双因素方差分析来检验两个实验因素的 主效应和它们之间的交互效应。
结果解释
根据分析结果，解释实验因素对因变量的影 响以及交互作用的存在与否。
05 结论与建议
研究结论
1 2
因素A对因变量的影响
通过双因素方差分析，发现因素A对因变量的影 响显著，说明在因素A的不同水平下，因变量的 均值存在显著差异。
双因素方差分析的数学模型
双因素方差分析涉及两个实验因素，通常表示为A和B。
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H 0 2: 12b 0
总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a b
2
SST
Xij X
i1 j1
可分解为：SS TSSASSBSSE
a
2
SSA b Xi. X
称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。
i1
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素A S S A 因素B S S B 误差 S S E 总和 S S T
d fA
MSA
SS A df A
d fB
MSB
SSB dfB
d fE
MSE
SSE dfE
d fT
F值
FA
MSA MSE
FB
MSB MSE
F 值临介值
F ( a 1 , a 1 b 1) F ( b 1 , a 1b 1)
j
1 a
bi1
ij
j
水平Bj对试验结果的效应
ij Xij ij
试验误差
a
b
特性： i0; j 0; ij~N0,2
i1
j1
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著
影响，即为检验如下假设是否成立：
H 01:1230
注意 d f E d f T d f A f B ,S S E S S T S S A S S B
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
S S A D A p ,S S B D B p
双因素方差分析方法
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。
统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。
机器 B 工人 A
甲 乙 丙 丁
a
T. j X ij i1
ⅠⅡ Ⅲ
50 63 52 47 54 42 47 57 41 53 58 48
对给定的检验水平 ，
当 F A F a 1 ,a 1 b 1 时，
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。
当 F B F b 1 ,a 1 b 1 时，
拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
bSSB a2源自X.j X称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。
j1
a b
2
SSE
Xij Xi.X.j X
i1 j1
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若假设 H01, H02成立，则： Xij ~N,2
可推得：
SST
其中
1
ab
a i1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 b
a j1
ij
i
水平Ai对试验结果的效应
j
1 a
bi1
ij
j
水平Bj对试验结果的效应
ij Xij ij
试验误差
i
1 b
a j1
ij
i
水平Ai对试验结果的效应
S S E R D A D B p ,S S T R p
其中：
DA
a
Ti.2
b,
i1
p T2 ab,
DB
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j 1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
F B S S S S E Bd d f fE B M M S S E B~ F b 1 ,a 1 b 1
F A S S S S E Ad d f fE A M M S S E A~ F a 1 ,a 1 b 1 F B S S S S E Bd d f fE B M M S S E B~ F b 1 ,a 1 b 1
我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
无交互作用的双因素试验的方差分析
数学模型
假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A 有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平， 记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1， 2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合 称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测 值Xij，得双因素无重复实验表
X ij
i1
i1 j 1
X . j T. j a X.1 X.2 ... X.b
X i. Ti. b X1. ... Xa.
X 1T ab
无交互作用的双因素试验的方差分析
基本假设（1） X
相互独立；
ij
（2）Xij ~Nij,2 ，（方差齐性）。
线性统计模型 Xij ijij
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B
因素 A
b
B 1 B 2 ... B b T i. X ij
j1
A1
X11 X12 ... X1b
T 1.
...
... ... ... ... . . .
Aa
Xa1 Xa2 ... Xab
T a.
a
ab
T. j X ij T .1 T .2 ... T .b T
2
~ 2 ab1
SSA
2
~
2
a1
SSB
2
~
2 b1
SSE
2
~2a1b1
将
SST
2
,
SS2A,
SS2B,SS2E
的自由度分别记作
dfT,dfA,dfB,dfE ，则
F A S S S S E Ad d f fE A M M S S E A~ F a 1 ,a 1 b 1
总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a b
2
SST
Xij X
i1 j1
可分解为：SS TSSASSBSSE
a
2
SSA b Xi. X
称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。
i1
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素A S S A 因素B S S B 误差 S S E 总和 S S T
d fA
MSA
SS A df A
d fB
MSB
SSB dfB
d fE
MSE
SSE dfE
d fT
F值
FA
MSA MSE
FB
MSB MSE
F 值临介值
F ( a 1 , a 1 b 1) F ( b 1 , a 1b 1)
j
1 a
bi1
ij
j
水平Bj对试验结果的效应
ij Xij ij
试验误差
a
b
特性： i0; j 0; ij~N0,2
i1
j1
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著
影响，即为检验如下假设是否成立：
H 01:1230
注意 d f E d f T d f A f B ,S S E S S T S S A S S B
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
S S A D A p ,S S B D B p
双因素方差分析方法
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。
统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。
机器 B 工人 A
甲 乙 丙 丁
a
T. j X ij i1
ⅠⅡ Ⅲ
50 63 52 47 54 42 47 57 41 53 58 48
对给定的检验水平 ，
当 F A F a 1 ,a 1 b 1 时，
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。
当 F B F b 1 ,a 1 b 1 时，
拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
bSSB a2源自X.j X称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。
j1
a b
2
SSE
Xij Xi.X.j X
i1 j1
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若假设 H01, H02成立，则： Xij ~N,2
可推得：
SST
其中
1
ab
a i1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 b
a j1
ij
i
水平Ai对试验结果的效应
j
1 a
bi1
ij
j
水平Bj对试验结果的效应
ij Xij ij
试验误差
i
1 b
a j1
ij
i
水平Ai对试验结果的效应
S S E R D A D B p ,S S T R p
其中：
DA
a
Ti.2
b,
i1
p T2 ab,
DB
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j 1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
F B S S S S E Bd d f fE B M M S S E B~ F b 1 ,a 1 b 1
F A S S S S E Ad d f fE A M M S S E A~ F a 1 ,a 1 b 1 F B S S S S E Bd d f fE B M M S S E B~ F b 1 ,a 1 b 1
我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
无交互作用的双因素试验的方差分析
数学模型
假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A 有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平， 记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1， 2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合 称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测 值Xij，得双因素无重复实验表
X ij
i1
i1 j 1
X . j T. j a X.1 X.2 ... X.b
X i. Ti. b X1. ... Xa.
X 1T ab
无交互作用的双因素试验的方差分析
基本假设（1） X
相互独立；
ij
（2）Xij ~Nij,2 ，（方差齐性）。
线性统计模型 Xij ijij
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B
因素 A
b
B 1 B 2 ... B b T i. X ij
j1
A1
X11 X12 ... X1b
T 1.
...
... ... ... ... . . .
Aa
Xa1 Xa2 ... Xab
T a.
a
ab
T. j X ij T .1 T .2 ... T .b T
2
~ 2 ab1
SSA
2
~
2
a1
SSB
2
~
2 b1
SSE
2
~2a1b1
将
SST
2
,
SS2A,
SS2B,SS2E
的自由度分别记作
dfT,dfA,dfB,dfE ，则
F A S S S S E Ad d f fE A M M S S E A~ F a 1 ,a 1 b 1