必修一数学培优辅导教材第7讲：函数的单调性

函数单调性考点：求函数单调性

1.定义法

例1：证明函数3

y x

=在定义域上是增函数．

练1：试用函数单调性的定义判断函数

2

()

1

x

f x

x

=

-

在区间(0,1)上的单调性．

练2：根据函数单调性的定义，证明函数3

()1

f x x

=-+在(,)

-∞+∞上是减函数．

练3：证明函数()

f x=

练4：讨论函数2()1x f x x =

-(11)x -<<的单调性．

练5：求函数f(x)=x+

1x

的单调区间。

练6：求证:函数()(0)a f x x a x

=+>在)+∞上是增函数.

练7：设函数f （x ）＝

b

x a x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性。

例1：函数对任意的，都有，且当时.

(1) 求证：是上的增函数；

(2) 若，解不等式

练1：已知f(x)是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+

)

(1x f ，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。

练2：已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，()0f x >，试判断()f x 的单调性，并说明理由．

()f x ,a b R ∈()()()1f a b f a f b +=+-0x >()1f x >()f x R (4)5f =2(32)3f m m --<

练3：已知给定函数()

f x≠0，当1

f x<．试

f y，且()

f x·()

f xy＝()

f x对于任意正数x，y都有()

x>时，()1

判断()

+∞上的单调性，并说明理由．

f x在(0,)

2.图象法

例1：如图是定义在区间[5,5]

y f x

=，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，-上的函数()

它是增函数还是减函数？

练1：求函数122

y x x

=++-的单调减区间

练2：求下列函数的单调区间：

⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x

=+

（0x >）．

练3：求下列函数的单调区间：

⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++

练4：作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．

练5：画出下列函数图象并写出函数的单调区间

（1）22||1y x x =-++ （2）2

|23|y x x =-++

3.求复合函数的单调区间 例1：函数2

1

x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）

A ．2x ≥

B ．0x ≤或2x ≥

C ．0x ≤

D ．1x ≤或x 练1：已知()y f x =是偶数，且在[)0+∞，上是减函数，求()

21f x -单调增区间。

练2：求函数2

12y x x =

++的单调区间．

练3：讨论函数y =

练4：求函数()f x =㏒20.5(87)x x -+的单调区间

练5：（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；

（2）已知2()82,f x x x =+-若2

()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性。

考点：利用函数单调性求参数

例1：设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则a 的范围为( )

A ．12a ≥

B ．12a ≤

C ．12a >-

D ．12

a < 练1：函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( )

A ．0b ≥

B ．0b ≤

C ．0b >

D ．0b < 练2：已知2()()2x x a f x a a a -=

⋅--（0a >且1a ≠）是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(01)，

B ．()(01)2+∞，，

C ．)+∞

D ．)(01)2⎡+∞⎣，， 练3：设a 是实数，2()()21

x f x a x =-

∈+R ， ⑴试证明对于任意a ，()f x 为增函数； ⑵试确定a 值，使()f x 为奇函数．

练4：设定义域为R 上的函数f(x)既是单调函数又是奇函数，若()()

2222log log log 20f k t f t t --->对一切

正实数t 成立，求实数k 的取值范围。

练5：已知f （x ）是奇函数，在实数集R 上又是单调递减函数且0＜θ＜2

π时,0)2

1()sin 23sin 21(2 f t f +-θθ,求t 的取值范围.

练6：已知奇函数f(x)的定义域为R ，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m ，使f(cos2θ－

3)+f(4m －2mcos θ)>f(0)对所有θ∈［0,

2

π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由。